Root-Locus Introdução Regras para construção do root-locus para Equação característica; Condição de módulo e condição de argumento; Regras para construção do root-locus para Regra 1: Número de ramos Regra 2: Ponto de partida dos ramos Regra 3: Ponto de chegada dos ramos Regra 4: Troços sobre o eixo real Regra 5: Simetria Regra 6: Pontos de entrada/saída do eixo real Regra 7: Ângulos de entrada e de saída do eixo real Regra 8: Comportamento assimptótico Regra 9: Soma dos polos da função de transferência em anel fechado Regra 10: Ângulo de partida de um polo ou ângulo de chegada a um zero Mapa polos/zeros da malha fechada Zeros da malha fechada Cancelamento polo/zero no root-locus Root-locus em função de qualquer parâmetro Projecto apoiado no root-locus

cadeia de acção cadeia de retroacção Introdução O root-locus consiste na representação gráfica dos polos de um sistema em cadeia fechada como função de um parâmetro do sistema (normalmente do ganho ) Função de transferência em cadeia fechada: função de transferência em cadeia aberta Polos da função de transferência em cadeia fechada: raízes de equação característica

Introdução < > < < Exemplo 1 Equação característica: Polos do sistema em cadeia fechada: < > < <

Introdução Equação característica: Os pontos do plano complexo (plano s) que pertencem ao root-locus são aqueles que verificam a condição Condição de módulo: Condição de argumento: (permite calcular para cada ponto do root locus o correspondente valor de ) (permite determinar os pontos do plano complexo que pertencem ao root locus)

Introdução Condição de argumento: Exemplo 1 < > s+1 s Qualquer ponto do root locus satisfaz a condição de argumento

Introdução Condição de argumento: Exemplo 1 < > Se o ponto não pertencer ao root locus a condição de argumento não é satisfeita e, portanto, não pode ser polo do sistema em anel fechado

Introdução Condição de módulo: < > Exemplo 1 Qual o ganho que conduz ao par de polos complexos conjugados para o sistema em anel fechado? Como pertence ao root-locus para , conclui-se que

Introdução < > Exemplo 2 Mesmo root-locus com Apenas o ganho se alterou Exemplo 1 Polos em :

Root-Locus Caso geral Condição de argumento: polinómios mónicos contribuição dos zeros contribuição dos polos

Root-Locus Caso geral Condição de argumento: nº ímpar de p nº par de p A condição de argumento permite determinar os pontos do plano complexo que pertencem ao root-locus.

Root-Locus Caso geral Condição de módulo: A condição de módulo permite calcular o valor de K correspondente a cada localização particular das raízes sobre o root-locus.

Regras para construção do Root-Locus para Equação característica: polinómio de grau n Regra 1 – Número de ramos O número de ramos do root-locus é igual ao número de polos da função de transferência em cadeia aberta. Regra 2 – Ponto de partida dos ramos Os ramos do root-locus começam nos polos da função de transferência em cadeia aberta. Equação característica do sistema em cadeia aberta Equação característica para :

Regras para construção do Root-Locus para Condição de módulo: Regra 3 – Ponto de chegada dos ramos Os ramos do root-locus terminam ( ) nos zeros da função de transferência em cadeia aberta ou no infinito. A função de transferência em cadeia aberta só se anula quando toma o valor dos zeros ou de infinito ( )

Regras para construção do Root-Locus para Condição de argumento: Regra 4 – Troços sobre o eixo real Pertencem ao root-locus os pontos do eixo real que tenham à sua direita um número ímpar de polos mais zeros. f1 f2 Contribuição do par de polos ou zeros complexos conjugados: Contribuição de polos ou zeros reais: à direita do ponto : f3 f4 à esquerda do ponto : - nº zeros reais, - nº polos reais à direira de é ímpar

Regras para construção do Root-Locus para Exemplo 1 Exemplo 2

Regras para construção do Root-Locus para Regra 5 – Simetria O root-locus é simétrico em relação ao eixo real. Regra 6 – Pontos de entrada/saída do eixo real Um ponto de saída do eixo real ocorre para um máximo relativo do ganho no domínio de real. Um ponto de entrada no eixo real ocorre para um mínimo relativo do ganho no domínio de real. Exemplo 3 Tem de haver um ponto de saída do eixo real

Regras para construção do Root-Locus para Exemplo 3 (cont.) Equação característica No ponto de saída do eixo real existe uma raiz real dupla. O ponto de saída corresponde ao maior valor de para o qual as raízes da equação característica ainda são reais

Regras para construção do Root-Locus para Equação característica: Os pontos de entrada/saída do eixo real satisfazem a equação: condição necessária mas não suficiente Exemplo 3 (cont.) Ganho no ponto de saída: (ponto de saída)

Regras para construção do Root-Locus para Exemplo 4 Tem de haver um ponto de entrada no eixo real Tem de haver um ponto de saída do eixo real

Regras para construção do Root-Locus para Exemplo 4 (cont.) (ponto de entrada) (ponto de saída)

Regras para construção do Root-Locus para Quando a solução da equação correspondente a um ponto de entrada ou de saída do eixo real tem multiplicidade , o número de ramos que se cruzam nesse ponto é igual a . Exemplo 5 (raiz tripla) 4 ramos Ponto de saída do eixo real:

Regras para construção do Root-Locus para Regra 7 – Ângulos de entrada e de saída do eixo real O ângulo entre dois ramos adjacentes que se aproximam (ou se afastam) do mesmo ponto do eixo real é O ângulo entre dois ramos adjacentes um chegando e outro partindo do mesmo ponto do eixo real é ( - número de ramos que se cruzam num ponto do eixo real)

Regras para construção do Root-Locus para Exemplo 5 (cont.)

Regras para construção do Root-Locus para Exemplo 6 1. Troços sobre eixo real - ponto de saída do eixo real 2. Ponto de saída do eixo real 3. Ângulo de saída do eixo real (2 ramos)

Regras para construção do Root-Locus para Regra 8 – Comportamento assimptótico Quando , ramos tendem para infinito. As assimptotas (rectas para que tendem os ramos do root-locus que vão para infinito) cruzam-se num ponto do eixo real (centro assimptótico) O ângulo das assimptotas com o eixo real é dado por

Regras para construção do Root-Locus para Exemplo 6 (cont.) 4. Assimptotas assimptotas

Regras para construção do Root-Locus para Exemplo 6 (cont.) Método 1: verifica a condição de argumento: ponto de cruzamento com o eixo imaginário

Regras para construção do Root-Locus para Exemplo 6 (cont.) ponto de cruzamento com o eixo imaginário Método 2: é solução da equação característica: Critério de Routh-Hurwitz equação auxiliar: raízes imaginárias puras linha de zeros

Regras para construção do Root-Locus para Regra 9 – Soma dos polos da função de transferência em anel fechado Se o excesso de polos-zeros da função de transferência da malha aberta for maior ou igual a 2 ( ), então a soma dos polos da função de transferência da malha fechada é independente de e igual à soma dos polos da função de transferência da malha aberta Exemplo 6 (cont.) Para onde está o outro polo da f.t.c.f ? ?

Regras para construção do Root-Locus para Exemplo 7

Regras para construção do Root-Locus para Regra 10 – Ângulo de partida de um polo ou ângulo de chegada a um zero Determinados de modo a que a condição de argumento seja satisfeita. Condição de argumento: ponto que se admite pertencer ao root-locus Ângulo de partida do polo j : Contribuição angular dos zeros Contribuição angular dos restantes polos Ângulo de chegada ao zero j : Contribuição angular dos restantes zeros Contribuição angular dos polos

Regras para construção do Root-Locus para 2. Assimptotas Exemplo 8 1. Troço sobre eixo real 3. Ângulo de saída do polo complexo

Regras para construção do Root-Locus para Condição de módulo: (não depende do sinal de K) Condição de argumento: Apenas são alteradas as regras nas quais intervém a condição de argumento: regras 4 (troços sobre o eixo real), 8 (comportamento assimptótico) e 11 (ângulo de partida de um polo ou ângulo de chegada a um zero).

Regras para construção do Root-Locus 1 Nº ramos = Nº polos f.t.c.a. ( ) 2 Ponto de partida dos ramos = polos da f.t.c.a. ( ) 3 Ponto de chegada dos ramos = zeros da f.t.c.a. ou ( ) 4 Troços sobre o eixo real = pontos do eixo real que tenham à sua direita um número ímpar de polos + zeros. Troços sobre o eixo real = pontos do eixo real que tenham à sua direita um número par de polos + zeros. 5 Simetria = simétrico em relação ao eixo real 6 Pontos de entrada/saída do eixo real = pontos tais que 7 Ângulo entre dois ramos adjacentes que se cruzam no eixo real = ( nº ramos que se cruzam)

Regras para construção do Root-Locus 8 Comportamento assimptótico = 9 Soma dos polos da f.t.c.f = soma dos polos da f.t.c.a ( ) 10 Ângulo de partida de um polo ou ângulo de chegada a um zero = Polo: Zero:

Regras para construção do Root-Locus Exemplo 9

Zeros da malha fechada Os zeros da função de transferência em cadeia fechada são os zeros da função de transferência da cadeia de acção e os polos da função de transferência da cadeia de retroacção.

Mapa polos/zeros da malha fechada Exemplo I II mesma função de transferência em cadeia aberta III Mesmo Root-Locus

Mapa polos/zeros da malha fechada polos do anel fechado para : Exemplo (cont.) I II III

Cancelamento polo/zero no root-locus Exemplo root-locus com 2 ramos 1 dos polos não depende de K NÃO root-locus com apenas 1 ramo pode cancelar-se?

Cancelamento polo/zero no root-locus Exemplo (cont.) Polo de G(s) Zero de H(s) pode cancelar-se? NÃO Root-locus de Polo fixo ramo de dimensão nula, i.e, polo da malha fechada independente de K

Root-locus em função de qualquer parâmetro Exemplo Root-locus em função de a: Dada a equação característica do sistema em cadeia fechada procurar escrevê-la na forma Equação característica:

Root-locus em função de qualquer parâmetro Exemplo Root-locus em função de a: Traçar o root-locus para o sistema cuja função de transferência em anel aberto é ganho do sistema Polos do sistema em anel aberto: Pontos singulares: Pontos de cruzamento com o eixo imaginário:

Projecto apoiado no root-locus - sistema instável Objectivo 1: estabilidade absoluta 1ª tentativa: controlador proporcional 2 ramos; 2 assímptotas Não resulta: polos sobre o eixo imaginário

Projecto apoiado no root-locus - sistema instável Objectivo 1: estabilidade absoluta 2ª tentativa: controlador proporcional derivativo 2 ramos; 1 assímptota Porção do diagrama no eixo real

Projecto apoiado no root-locus - sistema instável Objectivo 1: estabilidade absoluta 2ª tentativa: controlador proporcional derivativo (cont.) pontos de entrada/saída do eixo real: ângulo entre 2 ramos adjacentes que se cruzam no eixo real: Sistema em malha fechada estável, mas…

Projecto apoiado no root-locus - sistema instável Objectivo 1: estabilidade absoluta 2ª tentativa: controlador proporcional derivativo (cont.) Sistema em malha fechada estável, mas … não é possível realizar diferenciadores puros. Solução:

Projecto apoiado no root-locus - sistema instável Objectivo 2: estabilidade relativa Sobre-elevação: Tempo de estabelecimento (5%): Zona desejada para os polos dominantes em malha fechada Assumindo comportamento dominante de 2ª ordem sem zeros:

Projecto apoiado no root-locus - sistema instável Objectivo 3: resposta dinâmica especificada Sobre-elevação: Tempo de estabelecimento (5%): Polos dominantes pretendidos para sistema em anel fechado Traduzir as especificações em polos de 2ª ordem considerados dominantes

Projecto apoiado no root-locus - sistema instável Objectivo 3: resposta dinâmica especificada Controlador: Dimensionamento preliminar apoiado no root-locus – posicionamento de polos condição de argumento: f.t.c.a:

Projecto apoiado no root-locus - sistema instável Objectivo 3: resposta dinâmica especificada Controlador: Dimensionamento preliminar apoiado no root-locus – posicionamento de polos (cont.) tentativa: condição de módulo:

Projecto apoiado no root-locus - sistema instável Objectivo 3: resposta dinâmica especificada Controlador: Dimensionamento preliminar do controlador por via puramente algébrica (alternativa): Polinómio característico do sistema em anel fechado : Polinómio característico desejado para o sistema em anel fechado: Comparando:

Projecto apoiado no root-locus - sistema instável Objectivo 3: resposta dinâmica especificada Controlador: Simulação Sobre-elevação muito superior à desejada!

Projecto apoiado no root-locus Objectivo 3: resposta dinâmica especificada - sistema instável Polos projectados não são dominantes Polos em anel fechado:

Projecto apoiado no root-locus Objectivo 3: resposta dinâmica especificada Controlador: Para diminuir a sobre-elevação S: “fechar” mais os ramos principais do root-locus deslocar o polo do controlador para a esquerda e/ou o zero do controlador para a direita variar consistentemente o ganho tendo em conta o correspondente deslocamento dos polos da malha fechada

Projecto apoiado no root-locus tentativas: Objectivo 3: resposta dinâmica especificada Polos em anel fechado: Controlador:

Projecto apoiado no root-locus - síntese Dados: Função de transferência do sistema G(s) (e dos sensores H(s) ) Especificações de regime permanente tipo Especificações dinâmicas polos desejados da malha fechada (polos de 2ª ordem supostos dominantes) Projecto: Estruturado controlador C(s) (sugerida pelo root-locus) Dimensionamento do Controlador C(s) Apoiado no root-locus: condições de argumento e de módulo Via algébrica Simulação e comparação com o desempenho desejado Ajuste dos parâmetros de C(s) (ajuste guiado pelo root-locus) simulação