3. AS FORMAS DIFERENCIAIS DAS LEIS FUNDAMENTAIS 3.1. Introdução Solução integral  solução global Ex. – Sustentação de um aerofólio. Resulta da integração da distribuição de pressões sobre o mesmo. Solução diferencial  solução pontual Ex. - Determinação da pressão ponto a ponto sobre o aerofólio.

Há duas técnicas diferentes para se chegar às formas diferenciais das Leis Básicas. Aplicação do Teorema de Gauss:  = vetor, ou  = escalar. Identificando um elemento infinitesimal no espaço e aplicando as Leis Básicas diretamente a ele.

Conservação da massa  Eq. da continuidade diferenc. 2ª Lei de Newton  Eq. da q.d.m. diferencial Escoamento inviscito  Eq. de Euler Escoamento viscoso  Eq. de Navier-Stokes. 1ª Lei da Termodinâmica  Eq. da energia diferenc.

A maioria dos problemas em um curso introdutório refere-se a escoamentos isotérmicos e incompressíveis, nos quais a temperatura não exerce influência. Para tais escoamentos as três Eq. de Navier-Stokes e a Eq. da continuidade fornecem quatro equações que relacionam os três componentes da velocidade e a pressão. Deste modo a Eq. da energia não é necessária.

As equações diferenciais parciais requerem condições que especificam certos valores para as variáveis dependentes em valores particulares das variáveis independentes. Se a variável independente é o tempo, as condições são chamadas condições iniciais. Se a variável independente é uma coordenada espacial, as condições são condições de contorno.

Condições de contorno Fluido viscoso  condição de aderência; (escorregamento nulo) velocidade do fluido em relação à parede igual a zero; fluido não viscoso  condição de impenetrabilidade; em uma parede não porosa, o componente normal da velocidade é nulo.

Figura 5.1 Volume de controle infinitesimal 3.2. Equação Diferencial da Continuidade Considere o volume de controle fixo infinitesimal da Fig. 5.1. x y z Figura 5.1 Volume de controle infinitesimal Considerando a conservação da massa, tem-se:

Considerando essas quantidades como variáveis únicas, vem: Para fazer o balanço de massa, toma-se u, v e w no centro do elemento. Considerando essas quantidades como variáveis únicas, vem: x y z (x, y, z)

O fluxo líquido em cada direção será: Em x  Em y  Em z 

Logo, em todo o volume elementar, será: No volume  Portanto, igualando com a variação da massa no volume de controle elementar, resulta: Desenvolvendo as derivadas de produtos,

Então: Introduzindo o operador vetorial de derivada, resulta:  equação diferencial da continuidade. Onde:  vetor velocidade  divergente da velocidade

Para escoamento incompressível,  a massa específica se conserva ao longo das trajetórias da partículas A conservação da massa específica, não implica em constância da massa específica. É possível a existência de um escoamento estratificado, com a massa específica constante em cada linha de corrente. Portanto,  Eq. da continuidade para escoamento incompressível. Ou:  condição de incompressibilidade.

Introduzindo a derivada local, Considerando a propriedade de derivada de produtos,  equação diferencial da continuidade. Para escoamento permanente,

Exemplo 5.1 A componente x da velocidade é dada por u(x, y) = Ay2 em um escoamento plano incompressível. Determine v(x, y) se v(x, 0) = 0, tal como o caso de um escoamento entre placas paralelas. Dados: u(x, y) = Ay2. Solução: Escoamento plano (bidimensional). Condição de incompressibilidade. = 0 então:

Logo: integrando, Condição de contorno: v0 = v(x, 0) = 0. Logo f(x) = 0 e, v = v(x, y) = 0.

Exemplo 5.2 Ar escoa em uma tubulação, sendo a velocidade em três pontos vizinhos A, B, e C, distanciados de 100 mm um do outro, de: 83,50; 86,90 e 88,70 m/s, como mostra a Fig. E5.2. A temperatura e a pressão no ponto B são de 10° C e 345 kPa, respectivamente. Faça uma aproximação de d/dx naquele ponto, supondo um escoamento permanente e uniforme. A B C 83,50 m/s 86,90 m/s 88,70 m/s x Figura E5.2

Solução: Dados Dx uA uB uC TB pB 100 83,50 86,90 88,70 10,00 345000 mm m/s º C N/m2 0,100   m Solução: Hipóteses simplificadoras: Escoamento permanente escoamento uniforme em cada seção Assim, u = u(x).

Considerando a Eq. da continuidade = 0 = 0 = 0 = 0 = 0 Portanto, a Eq. da continuidade se reduz a: De modo que: A derivada da velocidade é aproximada a: Em que a diferença central, mais precisa, foi usada.

Tendo em vista que a constante do ar é R = 287 m2/(s2K) a massa específica é calculada A derivada da massa específica é então aproximada a: A diferença à frente conduz a: E a diferença à traz a:

Exemplo 5.3 Os valores do componente x da velocidade nos pontos A, B, C, e D, que estão a 10 mm uns dos outros, são 5,76; 6,72; 7,61 e 8,47 m/s, respectivamente, no escoamento plano, permanente, simétrico e incompressível mostrado na Fig. E5.3, no qual w = 0. Faça uma aproximação do componente x da aceleração em C e do componente y da velocidade 6 mm acima de B. Figura E5.3

Dados Solução: Dx uA uB uC uD DyB 10 5,76 6,72 7,61 8,47 6 mm m/s º C 0,010   0,006 m Solução: Hipóteses simplificadoras: Escoamento permanente; escoamento plano (bidimensional); escoamento incompressível; escoamento simétrico.

O componente em x da aceleração é dado por: = 0 = 0 = 0 Usando as diferenças centrais para aproximar a derivada, vem: No escoamento simétrico o componente da velocidade em y (v) ao longo da linha central é nulo. Fora desta linha é diferente de zero, sendo calculado a partir da Eq. da continuidade. = 0 então:

v = 0 em B; portanto, na localização desejada,

Exemplo 5.4 A equação da continuidade pode ser usada par mudar a forma de uma expressão. Escreva a expressão em termos da entalpia h em vez da energia interna Lembre que h = + p/ (vide Eq. 1.7.11). Solução: Usando a definição de entalpia,

Derivando, Substituindo na Eq. procurada, Considerando a Eq. da continuidade, Levando na Eq. anterior, vem:

3.3. Equação Diferencial da Quantidade de Movimento Estado de tensões em um ponto

z y tz ty x tx Face x Tensão em uma face

Ponto  partícula de fluido  cubo elementar Particularidade  faces normais aos eixos coordenados. z Face z Face y y Normal ao eixo x  Face x x Positiva, se o vetor unitário normal a face e exterior, estiver no sentido + de x.

Tensão na face x  Tensão na face y  Tensão na face z  Para representar estas três tensões em uma única entidade matemática é utilizado o conceito de tensor.

O componente da tensão será positivo se estiver em uma face positiva e orientado segundo o sentido positivo do eixo. Também será positivo, se estiver em uma face negativa, porem orientado segundo o sentido negativo do eixo.

Figura 5.3 Força agindo sobre uma partícula infinitesimal 3.3.1. Formulação geral Figura 5.3 Força agindo sobre uma partícula infinitesimal

2ª Lei de Newton  Considerando a resultante das forças na direção x, Dividindo pelo volume do elemento(dx dy dz), vem:

Procedendo de modo análogo com as outras direções,

Nota: - Pressão Estática Na estática dos fluidos as tensões tangenciais são nulas e o tensor das tensões se resume às tensões normais. Por outro lado é sabido que os fluidos (quando em repouso) não resistem às tensões de tração. p p  campo de pressões (escalar)

Estática dos fluidos: A pressão é definida para a estática dos fluidos e por isso é chamada de pressão estática. Para fluidos em movimento é dada por:

3.3.2. Equação de Euler Hipótese: Efeitos viscosos desprazíveis. Neste caso, tal como na estática dos fluidos, as tensões tangenciais (viscosas) são nulas e o tensor das tensões se resume às tensões normais. Estática ou sem tensões viscosas.

Neste caso as Eq.s da q.d.m. se resumem a: Equações de Euler. Em termos vetoriais, com: (vertical). Equação de Euler.

Exemplo 5.5 Um campo de velocidade é proposto como É esse um possível escoamento incompressível? (b) Se é, ache o gradiente , supondo um escoamento de ar sem atrito, com o eixo z vertical. Use  = 1,23 kg/m3.

Solução: a) É um possível escoamento incompressível? Considerando a condição de incompressibilidade, = 0 (escoamento plano) Portanto, este é um possível escoamento incompressível.

b) Cálculo do p. Escoamento sem atrito ( Eq. de Euler), com z vertical. em x, Com: = 0 = 0

em y, Com:

em z, onde w = 0. De modo que:

Exemplo 5.6 Suponha um escoamento permanente, com massa específica constante, e integre a equação de Euler ao longo de uma linha decorrente em um escoamento plano.

Solução: Hipóteses simplificadoras: Escoamento inviscito; escoamento permanente; escoamento incompresível e escoamento em uma mesma linha de corrente. A Eq. de Euler na forma vetorial é expressa por: Em termos da linha de corrente, a velocidade é dada por:

A derivada substancial do vetor velocidade é: = 0 (escoamento permanente) Assim, na direção da LC, a Eq. de Euler passa a ser escrita como: A massa específica sendo constante, permite escrever ds dz

Integrando ao longo da linha de corrente  Eq. de Bernoulli. Ou, em termos de energia por unidade de massa  Eq. de Bernoulli.

3.3.3. Equação de Navier-Stokes A Lei de viscosidade de Newton foi apresentada para o escoamento unidimensional e tem a seguinte forma  Fluidos newtonianos Stokes estendeu a Lei de Newton para o caso do escoamento tridimensional de fluidos newtonianos,

  1o coeficiente de viscosidade  viscosidade dinâmica   2º coeficiente de viscosidade  escoamento compressível. Em se tratando de escoamento incompressível  = 0. Hipótese de Stokes  Tr() = xx + yy + zz = 0. Considerando esta hipótese, tem-se:

O estado de tensões em um ponto é descrito pelo tensor das tensões, o qual engloba as pressões e tensões viscosas. Substituindo as relações de Stokes nas Eq.s da quantidade de movimento em termos escalares e iniciando pela direção x, vem:  Eq. da q.d.m. em x.

Com considerações análogas para as direções y e z, chega-se a:

Observe que:

Com estas observações, as três equações escalares podem ser agrupadas em uma única equação vetorial. Para escoamento incompressível vem:

Exemplo 5.7 Simplifique o componente x da equação de Navier-Stokes para um escoamento permanente em um canal horizontal e retangular, supondo todas as linhas de corrente paralelas às paredes. Considere a direção x como a direção do escoamento (Fig. E5.7).

x z y h b Escoamento x z b u = u(y, z) x y h u = u(y, z)

Solução: Hipóteses simplificadoras: Escoamento permanente; escoamento incompressível. Linhas de corrente paralelas e na direção x. Neste caso, apenas o componente x, da velocidade, será diferente de zero. v = w = 0 u = u(y, z). No caso de escoamento incompressível a Eq. da continuidade é: = 0 = 0

Para este escoamento permanente, a aceleração será = 0 = 0 = 0 = 0 Lembrando que o escoamento é incompressível, o componente em x da Eq. de Navier-Stokes, passa a ser escrito como: = 0 = 0  ou seja A solução desta equação pode ser encontrada aplicando condições de contorno apropriadas.

ds dz