Projeto PneumoMOD Modelos Matemáticos para a Epidemiologia Cientista orientadora – Erida Gjini Augusto Franco Cristina Viegas Paula Pereira Susana Camilo

β: taxa de transmissão por unidade de tempo  : taxa de remoção por unidade de tempo

1º objetivo do projeto: estudar os equilíbrios no modelo SIS com demografia Nos modelos atrás descritos, não foi considerada a demografia. Nos casos em que a dinâmica da epidemia se prolonga no tempo, as taxas de nascimento e morte devem ser consideradas, obtendo-se as equações seguintes:  : taxa de nascimento e de morte(per capita)

Dividindo por N, para trabalhar com proporções, e sendo e, obtemos as equações Determinemos os valores de equilíbrio, ou seja, as soluções das equações De conclui-se que,ou seja,

Estes valores de s também satisfazem a equação. São, portanto, as soluções de «equilíbrio». Vamos ver, para estes valores, em que condições é que o equilíbrio é estável.

Seja. Tem-se Para s =1, O equilíbrio é estável se,ou seja, se Trata-se de uma situação de equilíbrio sem doença pois, se s =1, tem-se S = N e, portanto, I = 0

Já vimos que Para, tem-se O equilíbrio é estável se,ou seja, se Então, para, o equilíbrio é estável se, sendo este equilíbrio um equilíbrio endémico.

O quociente é habitualmente designado por e representa o número médio de novos infetados gerado por um indivíduo doente, numa população inteiramente suscetível. Concluímos então que equilíbrio endémico é estável se

2º objetivo do projeto: Estender o modelo SIS com demografia (nascimento e morte) para infecção com dois tipos do mesmo patogénio (co-colonização) e interpretar o parâmetro k (coeficiente de competição). ʎSkʎI1 ϒ

Equações da dinâmica k = coeficiente de competição (é natural que k seja um número menor do que 1, pois a taxa de infeção por um segundo serotipo deve ser inferior; valores elevados de k sugerem co-colonização elevada) I 1 (t) = número de indivíduos infetados com um serotipo I 2 (t)= número de indivíduos infetados com os dois serotipos I=I 1 +I 2

Dividindo as equações por N:

3º objetivo: trabalhar com dados reais relativos à co-colonização (dois serotipos de pneumococo) Dados retirados dos artigos:

A partir dos dados, estimámos os valores de R o, e K (considerando a taxa mensal de remoção   ,  ): Idades (meses) Prevalência total Prevalência da co-colonização R0R0 k  Inglaterra<6048,4%-----1, ,0331,4 Dinamarca ,5%9%2, ,0231,7 Portugal %17,3%2,80,1170,0222,0 NoruegaMédia 4578%13,8%4,50,0460,0223,2