Profa. Vitória Pureza 1º Semestre Aulas 3 e 4 PESQUISA OPERACIONAL PARA A ENGENHARIA DE PRODUÇÃO II **Construção de Modelos de Programação Linear II ** Profa. Vitória Pureza 1º Semestre Aulas 3 e 4

Roteiro Definindo objetivos Definindo restrições Lista de Exercícios Construção de modelos grandes combinando modelos menores Modelos multi-instalações Modelos multi-produtos Modelos multi-períodos Williams, capítulos 3 e 4

Definindo Objetivos maximizar lucro minimizar custo/tempo maximizar retorno em investimento minimizar número de empregados maximizar número de empregados maximizar a satisfação do cliente Objetivos múltiplos e conflitantes Um único objetivo Objetivos irrelevantes

Um Único Objetivo Normalmente inclui apenas termos variáveis - é geralmente incorreto* adicionar custos fixos tais como custos administrativos e de equipamentos No problema de Gepetto Deseja-se maximizar 3x1+ 2x2 (lucro) O valor da função objetivo é proporcional ao valor das variáveis x1e x2 que indicam a quantidade de trens e bonecos a serem produzidos (decisões)

Objetivos Múltiplos e Conflitantes Objetivo 1: Min h(x)=c1/x Objetivo 2: Min g(x)=c2x Combinação linear dos objetivos: Min f(x)=g(x) + h(x) Programação Multiobjetivo Manter apenas o objetivo mais relevante e tranformar os demais em restrições do modelo: Min g(x)  g(x) ≤ M g(x) h(x) f(x) x fo

Et-1 + xt = Dt + Et (unidades/trimestre) Definindo Restrições Capacidade produtiva Máximo de 100 horas de acabamento disponíveis por semana 2x1 + x2 ≤ 100 (horas/semana) Disponibilidade de matéria-prima Máximo de 4500 kgs de aço disponíveis por mês 3x1 + 4x2 ≤ 4500 (kgs/mês) Demanda mínima Mínimo de 10000 barris de gasolina 1 produzidas por mês x1 ≥ 10000 (barris/mês) Limitações de mercado Máximo de 40 bonecos vendidos por semana x2 ≤ 40 (unidades/semana) Balanço de material ou massa Balanço trimestral de estoque de barcos Et-1 + xt = Dt + Et (unidades/trimestre) Especificações do produto Octanagem, resistência, condutividade, porcentagem de nutrientes

Restrições Soft e Hard limitações da capacidade produtiva e disponibilidade de mão-de-obra : podem ser desobedecidas soft. restrições tecnológicas: não podem ser desobedecidas  hard. redundantes Restrições soft e hard conflitantes pouco usuais

Restrições Redundantes restrições inativas, identificadas por métodos de detecção Restrições Conflitantes o problema é infactível Programação por Metas : procura-se satisfazer ao máximo as restrições  a função objetivo passa a ser “o custo” resultante das violações das restrições, e que deve ser minimizado

Uma agência de publicidade quer determinar uma programação de anúncios na TV para uma concessionária de carros. A concessionária tem 3 metas: (1 ) seus anúncios devem ser vistos por pelo menos 40 milhões de homens classe A (H-A). (2) seus anúncios devem ser vistos por pelo menos 60 milhões de pessoas classe C (P-C). (3) seus anúncios devem ser vistos por pelo menos 35 milhões de mulheres classe A (M-A). A agência pode comprar dois tipos de anúncios: os mostrados durante jogos de futebol e os mostrados durante novelas. No máximo $600.000,00 podem ser gastos em anúncios. Os custos de propaganda (em milhares de $) e suas audiências potenciais (em milhões de pessoas) de um anúncio de 1 minuto são mostrados abaixo. A agência precisa determinar quantos anúncios de cada tipo devem ser comprados. Tipo de anúncio H-A P-C M-A Custo por anúncio Jogos 7 10 5 100 Novelas 3 4 60

Variáveis de decisão: x1= no de anúncios de 1 minuto em jogos x2= no de anúncios de 1 minuto em novelas Min 100x1 + 60x2 s.a: 7x1 + 3x2 ≥ 40 Metas de mercado 10x1 + 5x2 ≥ 60 5x1 + 4x2 ≥ 35 100x1 + 60x2≤ 600 Orçamento x1,x2 ≥ 0 NOVO MODELO Variáveis de decisão adicionais: si- = montante a menos da meta i si+ = montante a mais da meta i (i=1..3) Min 200s1- + 100 s2- + 50 s3- 7x1 + 3x2 + s1- - s1+= 40 10x1 + 5x2 + s2- - s2+= 60 5x1 + 4x2 + s3- - s3+= 35 100x1 + 60x2 ≤ 600 todas as variáveis ≥ 0 Infactível ! Solução ótima: x1=6 x2=0 s1+ =2 s1- =0 s2+ =0 s2- =0 s3+ =0 s3- =5

Restrições Pouco Usuais “Pode-se produzir produto 1 se o produto 2 for produzido mas não se os produtos 3 e 4 forem produzidos”

 Lista 2 No exercício 2 da lista 2, suponha que se tenha decidido não fazer a alocação prévia de matéria- prima para as fábricas. Quanto produzir para maximizar o lucro total ?

Modelos Multi-produtos - Problema da Mistura Uma refinaria produz três tipos de gasolina (G1, G2, G3) a partir de três tipos de óleo cru (O1, O2, O3). Há 5.000 barris de óleo cru de cada tipo disponíveis diariamente, e a refinaria pode produzir no máximo 14.000 barris diários de gasolina. Os produtos finais devem ter a qualidade exigida. Cada barril de gasolina produzida incorre em um custo de $4. Há uma demanda fixa diária de 3.000 barris de G1, 2.000 barris de G2 e 1.000 barris de G3, e esta pode ser estimulada através de propaganda. Cada $ gasto em propaganda em um dado tipo de gasolina, aumenta a demanda diária por esse tipo em 10 barris. Faça um modelo de programação matemática para determinar o quanto produzir de cada tipo de gasolina com o maior lucro total. ÓLEOS GASOLINA Preço de compra ($) Oct Enx Preço de venda ($) OctMIN EnxMAX O1 45 12 0,5 G1 70 10 1 O2 35 6 2 G2 60 8 O3 25 3 G3 50

Demanda estimulada: 10 barris/$ Objetivo: Maximizar o lucro total diário = { receita de vendas para clientes cativos e com demanda estimulada por propaganda - custos de matéria-prima - custos de produção - custos de propaganda } com as gasolinas G1, G2, e G3 Demanda estimulada: 10 barris/$ ÓLEOS GASOLINA Preço de compra ($) Preço de venda ($) Custo de Produção ($) O1 45 G1 70 4 O2 35 G2 60 O3 25 G3 50

Fatores que afetam o alcance do objetivo Capacidade de refinamento: 14.000 barris diários Disponibilidade (suprimento) dos óleos: 5.000 (O1, O2 e O3) barris diários Demanda mínima das gasolinas: 3.000 (G1), 2.000 (G2) e 1.000 (G3) barris diários Qualidade das gasolinas ÓLEOS GASOLINA Oct Enx OctMIN EnxMAX O1 12 0,5 G1 10 1 O2 6 2 G2 8 O3 3 G3

Representação informal do problema Deseja-se Maximizar lucro diário = { receita de vendas para clientes cativos e com demanda estimulada por propaganda - custos de matéria-prima - custos de produção – custos de propaganda } com as gasolinas G1, G2, e G3}, sujeito às seguintes restrições: a produção das gasolinas não pode exceder a capacidade diária de refinamento a produção das gasolinas não pode exceder a disponibilidade diária de óleos crus a produção das gasolinas deve atender a demanda diária de clientes cativos a qualidade das gasolinas produzidas deve ser satisfeita

12 (octanas/barril)*1 barril + 6(octanas/barril)* 1 barril = 9 octanas Se misturássemos 1 barril de O1 e 1 barril de O2, qual a octanagem da gasolina resultante? 12 (octanas/barril)*1 barril + 6(octanas/barril)* 1 barril = 9 octanas (1 + 1) barris E se misturássemos 1 barril de O1 e 0,5 barril de O2? E se misturássemos 1 barril de O1, 1 barril de O2 e 1 barril de O3? E se misturássemos x1 barris de O1, x2 barris de O2 e x3 barris de O3?

Restrições de qualidade Suponha que misturássemos 1 barril de O1 e 1 barril de O2. Qual a octanagem da gasolina resultante? 12 (octanas/barril)*1 barril + 6(octanas/barril)* 1 barril = 9 octanas (1 + 1) barris E se misturássemos: 1 barril de O1 e 0,5 barril de O2? 1 barril de O1, 1 barril de O2 e 1 barril de O3? x1 barris de O1, x2 barris de O2 e x3 barris de O3? Note que para conhecermos a qualidade de uma determinada gasolina, precisamos saber as quantidades de cada tipo de óleo utilizado na sua produção. Mas como saber a quantidade de cada tipo de gasolina produzida?Mas como saber a quantidade de

Decisão: A refinaria precisa definir quanto de cada óleo deve usar em cada gasolina e o quanto gastar em propaganda com cada gasolina xi j = número de barris de oleo cru i usado na producao da gasolina j (i=1,2,3; j=1,2,3) yj = custo de propaganda com demanda estimulada da gasolina j (j=1,2,3)

Modelo Variáveis de decisão xi j = número de barris de oleo cru i usado na producao da gasolina j (i=1,2,3; j=1,2,3) yj = custo de propaganda com demanda estimulada da gasolina j (j=1,2,3) Função objetivo Max 70(x11 + x21 + x31) (receita da venda de G1) + 60(x12 + x22 + x32) (receita da venda de G2) + 50(x13 + x23 + x33) (receita da venda de G3) - 45(x11 + x12 + x13) (custo de compra de O1) - 35(x21 + x22 + x23) (custo de compra de O2) - 25(x31 + x32 + x33) (custo de compra de O3) - 4(x11 + x21 + x31 + x12 + x22 + x32 + x13 + x23 + x33) (custos de produção) - y1 – y2 – y3 (custo de propaganda com G1, G2 e G3)

x11 + x12 + x13 ≤ 5.000 (restrições de suprimento dos óleos) x11 + x21 + x31 ≥ 3.000 (restrições de demanda das gasolina) x12 + x22 + x32 ≥ 2.000 x13 + x23 + x33 ≥ 1.000 x11 + x21 + x31 + x12 + x22 + x32 + x13 + x23 + x33 ≥ 14.000 (restrição de capacidade de refinamento) x11 + x21 + x31 = 3.000 + 10*y1 (restrições de demanda estimulada) x12 + x22 + x32 = 2.000 + 10*y2 x13 + x23 + x33 = 1.000 + 10*y3 (restrições de qualidade) 12x11 + 6x21 + 8x31 ≥ 10 12x12 + 6x22 + 8x32 ≥ 8 12x13 + 6x23 + 8x33 ≥ 6 (x11 + x21 + x31) (x12 + x22 + x32) (x13 + x23 + x33) 0,5 x11 + 2x21 + 3x31 ≥ 1 0,5x12 + 2x22 + 3x32 ≥ 2 0,5x13 + 2x23 + 3x33 ≥ 1 xij ≥ 0 , yj ≥ 0 (i=1,2,3; j=1,2,3) (restrições de sinal)

Modelos Multi-períodos Uma empresa precisa determinar quantos barcos produzir durante cada um dos próximos 4 trimestres. A demanda de cada semestre é 40, 60, 75 e 25. Deve-se atender a demanda sem atrasos. No início, a empresa tem em estoque 10 barcos. Assume-se que os barcos produzidos durante um período podem ser usados para atender a demanda daquele período. Durante cada período, a empresa pode produzir 40 barcos com mão-de -obra regular a um custo total de $400/barco. Se utilizadas horas extras, pode-se produzir barcos extras a um custo total de $450 por barco. No fim de cada período (depois da produção ter ocorrido e a demanda do período corrente ter sido satisfeita), incorre-se em um custo de estoque de $20 por barco. Como minimizar a soma de custos de estoque e produção?

Restrições de balanço Seja it o estoque de barcos advindo do período t, xt a produção de barcos no período t e dt a demanda de barcos no período t. barcos em estoque em t-1 + barcos produzidos em t = barcos vendidos em t + barcos em estoque em t it-1+ xt =dt + it It-1 xt dt It xt+1 dt+1 It+1 t t+1

Seja T, o número de períodos do horizonte de planejamento Solução: fo=$78.450 Utilização de modelos multi-períodos na prática (horizonte rolante) Seja T, o número de períodos do horizonte de planejamento Resolução do modelo para t=1 a T Implementação das decisões do(s) primeiro(s) período(s), por exemplo dos períodos 1 e 2. Decisões de períodos posteriores são consideradas provisórias Após um ou mais períodos (por exemplo, após período 2), o modelo é novamente resolvido com dados atualizados, por exemplo, para 3 a T+3 PRODUÇÃO ESTOQUE PERÍODO HORA REGULAR HORA EXTRA 1 40 2 10 3 35 4 25