Critério de Nyquist Introdução Método de Nyquist Definição; Teorema de Cauchy. Método de Nyquist Contorno de Nyquist; Construção e análise do diagrama. Estabilidade relativa; Margens de ganho e de fase.

Introdução O critério de Nyquist é um método gráfico que parte do conhecimento da função resposta em frequência da malha aberta para avaliar a estabilidade do sistema em malha fechada Função de transferência em cadeia fechada: função de transferência em cadeia aberta Critério de estabilidade absoluta: as raízes da equação característica (polos da função de transferência em cadeia fechada) situam-se no semiplano complexo esquerdo O critério de Nyquist baseia-se no teorema de Cauchy para funções de variável complexa

Teorema de Cauchy Dada uma função , analítica sobre todo um contorno e no interior deste excepto para um número finito de pontos, quando percorre, num dado sentido, o contorno , percorre um contorno imagem dando em torno da origem do plano complexo um número de voltas que é igual ao número de zeros menos o número de polos de no interior do contorno : plano dá 1 volta, no mesmo sentido que , em torno da origem. Ex. 1 plano dá 1 volta, em sentido contrário a , em torno da origem. Ex. 2

Método de Nyquist Aplicação do Teorema de Cauchy ao estudo da estabilidade de um sistema em anel fechado Objectivo: determinar se possui zeros no semiplano complexo direito Definição do contorno C - contorno de Nyquist não tem polos sobre o eixo imaginário - semicircunferência de raio - inclui todo o semiplano complexo direito Plano s tem polos sobre o eixo imaginário raio Plano s Sentido positivo: sentido dos ponteiros do relógio

Método de Nyquist Objectivo: determinar se possui zeros no semiplano complexo direito Plano s Plano F(s) Contorno de Nyquist - nº de voltas de em torno da origem - nº de polos de - igual ao nº de polos de - no semiplano complexo direito - nº de zeros de - igual ao nº de polos da f.t.c.f. - no semiplano complexo direito

Método de Nyquist O sistema em cadeia fechada é estável sse Nº voltas de em torno da origem em torno de Contorno de Nyquist Diagrama de Nyquist - nº de polos no semiplano complexo direito - nº de zeros de no semiplano complexo direito - nº de voltas de em torno de Nº de polos da função de transferência em cadeia fechada no semiplano complexo direito O sistema em cadeia fechada é estável sse

Diagrama de Nyquist O diagrama de Nyquist é uma representação polar de para um dado valor de Contorno de Nyquist - pode obter-se a partir do diagrama de Bode - função par - função ímpar O diagrama de Nyquist é simétrico em relação ao eixo real

Diagrama de Nyquist Contorno de Nyquist A imagem da semi-circunferência de raio infinito é a origem

Diagrama de Nyquist Exemplo 1 O sistema em anel fechado é estável para Amplitude (dB) Fase (º) Contorno de Nyquist O sistema em anel fechado é estável para

Diagrama de Nyquist Exemplo 1 (cont.) só a fase se altera Amplitude (dB) Fase (º) só a fase se altera Contorno de Nyquist

Diagrama de Nyquist Exemplo 1 (cont.) O sistema em anel fechado é estável para 1 polo no SPCD O sistema em anel fechado é instável para

Diagrama de Nyquist rotação de 180º em torno da origem do plano Exemplo 1 (cont.) rotação de 180º em torno da origem do plano

Diagrama de Nyquist Exemplo 2 Contorno de Nyquist Amplitude (dB) Fase (º) Contorno de Nyquist

Diagrama de Nyquist Exemplo 2 (cont.) O sistema em anel fechado é instável para 1 polo no SPCD O sistema em anel fechado é estável para

Diagrama de Nyquist Exemplo 2 (cont.) rotação de 180º em torno da origem 1 polo no SPCD O sistema em anel fechado é instável

Diagrama de Nyquist Exemplo 3 O sistema em anel fechado é estável para Amplitude (dB) Fase (º) Contorno de Nyquist O sistema em anel fechado é estável para

Diagrama de Nyquist Exemplo 4 Amplitude (dB) Fase (º) ?

Diagrama de Nyquist Exemplo 4 (cont) Sistema estável: Ponto de cruzamento com o eixo real negativo: Fase Amplitude Sistema estável: Amplitude (dB) Fase (º)

Diagrama de Nyquist Exemplo 5

Diagrama de Nyquist Exemplo 5 (cont.) O sistema em cadeia fechada é instável para qualquer valor de K>0

Estabilidade Relativa Amplitude (dB) Fase (º) O sistema torna-se instável com o aumento do ganho? O sistema fica instável quando O diagrama não está à escala

Estabilidade Relativa Margem de Ganho (MG) A Margem de Ganho (MG) é o valor máximo por que se pode multiplicar o ganho da malha de modo a colocar o sistema em anel fechado na fronteira da estabilidade. Amplitude (dB) Fase (º)

Estabilidade Relativa Margem de Fase (MF) A Margem de Fase (MF) é o valor máximo por que se pode rodar o diagrama de Nyquist do sistema em cadeia aberta de modo a colocar o sistema em anel fechado na fronteira da estabilidade. Amplitude (dB) Fase (º)

Estabilidade Relativa A Margem de Ganho (MG) é o valor máximo por que se pode multiplicar o ganho da malha de modo a colocar o sistema em anel fechado na fronteira da estabilidade. frequência para a qual a função de transferência em anel aberto introduz uma rotação de fase de -180º A Margem de Fase (MF) é o valor máximo por que se pode rodar o diagrama de Nyquist do sistema em cadeia aberta de modo a colocar o sistema em anel fechado na fronteira da estabilidade. frequência de corte a 0 dB – frequência para a qual a função de transferência em anel aberto tem ganho unitário

Estabilidade Relativa O uso da Margem de Ganho e da Margem de Fase para o estudo da estabilidade relativa só é válido para sistemas em cadeia aberta estáveis ou marginalmente estáveis (P = 0). Para sistemas cujo diagrama de Nyquist não cruza o eixo real negativo em mais do que um ponto, a condição de estabilidade imposta pelo critério de Nyquist traduz-se em MG>1 e MF>0. Para sistemas de 1ª e 2ª ordem cujo diagrama de Nyquist não cruza o eixo real negativo em qualquer ponto, a MG é sempre infinita. Para sistemas de ordem superior pode haver mais do que um ponto de cruzamento do diagrama de Nyquist com o eixo real negativo. Consideram-se valores convenientes para uma boa estabilidade relativa 30º<MF<60º e MG>6dB.

Estabilidade Relativa Exemplo Qual o valor de K para o qual a margem de fase é de 45º? Amplitude (dB) Fase (º) Qual a margem de ganho para este valor de K?

Margem de Fase vs. Coeficiente de Amortecimento x Para sistemas em cadeia fechada de 2ª ordem sem zeros e com polos complexos, que valor deve ter a Margem de Fase para que a sua resposta ao escalão apresente uma determinada sobre-elevação? Função de transferência em cadeia aberta: Margem de Fase:

Margem de Fase vs. Coeficiente de Amortecimento x especificação no domínio da frequência especificação no domínio do tempo

Largura de Banda vs. Frequência de Corte a 0 dB Amplitude da malha fechada Amplitude da malha aberta

Largura de Banda vs. Coeficiente de Amortecimento x