TRÂNGULO DE PASCAL (ou triângulo aritmético) Tarefa: Construir um triângulo (isósceles) de números seguindo as duas regras: Os números inicial (vértice superior) e laterais são sempre 1. Os números das linhas inferiores resultam da soma dos dois números imediatamente acima.
1 1 1 1 1 2 1 3 3 1 1 4 6 4 1 1 5 10 10 5 1 1 6 15 20 15 6 1 1 7 21 35 35 21 7 1 1 8 28 56 70 56 28 8 1
Soma dos números de cada linha do Triângulo de Pascal 1 2 4 8 16 32 64 = 20 = 21 = 22 = 23 =24 =25 =26 Conclusão: A soma dos elementos da linha n é dada por 2n
Os números que aparecem em cada linha do triângulo de Pascal podem ser escritos usando combinações. … Conclusões: Os elementos da linha n são nC0, nC1, nC2, …, nCn A linha n tem n + 1 elementos
Propriedades das combinações O triângulo de Pascal possui várias propriedades que podem facilmente ser transportadas para as combinações Propriedade 1 Os números dos lados oblíquos são sempre iguais a 1. Exemplos: 2C0 = 2C2= 1; : 10C0 = 10C10= 1; … Demonstração: Queremos mostrar que nC0 = nCn= 1. Propriedade 2 (Lei da simetria) Em cada linha, os elementos equidistantes dos extremos são iguais. Exemplos: 4C1 = 4C3 , 5C2 = 5C3 , 100C10 = 100C90 , … propriedade muito útil Demonstração: Temos de mostrar que nCp = nCn-p. De facto, nCn-p = = nCp
Propriedade 3 (Lei de Pascal) Cada elemento de uma linha (com exceção dos extremos) é igual à soma dos dois que estão imediatamente acima. Exemplos: 5C2 + 5C3 = 6C3 ; 20C4 + 20C5 = 21C5 ; 1000C100 + 1000C101 = ... Demonstração: Temos de mostrar que nCp + nCp+1 = n+1Cp+1 nCp + nCp+1 = n+1Cp+1
Propriedade 4 A soma dos elementos da linha n é igual a 2n. Exemplo: 8C0 + 8C1 + 8C2 + 8C3 + 8C4 + 8C5 + 8C6 + 8C7 + 8C8 = 28 = 256 Também é uma propriedade muito útil Demonstração: Temos de mostrar que nC0 + nC1 + nC2 + … + nCn = 2n Esta demonstração pode ser feita pelo método de indução, mas, veremos um processo mais simples depois de estudarmos o binómio de Newton. Ao contrário das anteriores, neste caso começamos pela parte mais simples. 2n = (1 + 1)n