AULA 3 – O Modelo de Regressão Simples DISCIPLINA: Econometria PROFESSOR: Bruno Moreira CURSO: Tecnólogo em Gestão Financeira AULA 3 – O Modelo de Regressão Simples

Introdução Cross-section (corte trasnversal) consiste em uma amostra de dados coletados em um determinado ponto no tempo.

Regressão : Conceitos O que é uma regressão? Regressão pode ser entendida como o estudo da dependência de uma variável em relação a uma ou mais variáveis com o objetivo de estimar e/ou prever a média ou o valor médio da dependente em termos dos valores fixos das variáveis que a explica.

Relações Estatísticas X Relações Determinísticas Regressão : Conceitos Relações Estatísticas X Relações Determinísticas Qual a diferença entre variáveis estatísticas e variáveis determinísticas?

Relações Estatísticas X Relações Determinísticas Regressão : Conceitos Relações Estatísticas X Relações Determinísticas Nas relações estatísticas lidamos com variáveis aleatórias ou estocásticas, ou seja, aquelas que têm distribuições de probabilidades. Nas relações de dependência funcional, as variáveis são determinísticas.

Toda relação estatística sugere uma causação implícita? Regressão : Conceitos Regressão X Causação Toda relação estatística sugere uma causação implícita?

Para atribuir causalidade, deve-se recorrer a considerações teóricas. Regressão : Conceitos Regressão X Causação Uma relação estatística, por si só, não pode logicamente implicar em uma causação. Para atribuir causalidade, deve-se recorrer a considerações teóricas.

Regressão X Correlação Correlação e regressão são sinônimos? Regressão : Conceitos Regressão X Correlação Correlação e regressão são sinônimos?

Regressão : Conceitos Regressão X Correlação São intimamente relacionados mas conceitualmente distintos. O objetivo da correlação é medir o grau ou intensidade de associação linear entre as variáveis. Na regressão objetivamos prever o valor médio de uma variável com base em valores fixados de outras variáveis.

Regressão X Correlação Regressão : Conceitos Regressão X Correlação Exe: Avaliar o grau de correlação entre as notas de uma prova de matemática e outra de estatística. Tentar prever a nota da prova de estatística dado a nota da prova de matemática.

Surgimento: Lei Universal de Galton Pais altos X pais baixos Regressão : Conceitos Surgimento: Lei Universal de Galton Pais altos X pais baixos

Regressão : Conceitos Galton estava interessado em descobrir por que havia uma estabilidade na distribuição de alturas em uma população. Para pais muito altos ou muito baixos a altura dos filhos vão regredindo para a altura média da população.

Regressão : Conceitos Entretanto, a moderna econometria está interessada em como varia a altura média dos filhos dada a altura dos pais. Em outras palavras, estamos interessados em prever a altura média dos filhos dada a altura dos pais.

Regressão : Conceitos Assim, na análise econométrica estamos interessados em explicar Y em termos de X, ou, estudar como Y varia dado variações em X.

Entretanto, isto implica em 3 problemas: Regressão : Conceitos Entretanto, isto implica em 3 problemas: Como não há uma relação exata entre duas variáveis, como consideramos outros fatores? Qual a relação funcional entre y e x? Como podemos estar certos de capturar uma relação ceteris paribus entre y e x?

Esta equação define o Modelo de Regressão Linear Simples Regressão : Conceitos Para resolvermos este problema iniciamos escrevendo uma equação que relacione y a x. Esta equação define o Modelo de Regressão Linear Simples

Regressão : Conceitos Em que:

Regressão : Conceitos Em que: u = Termo de erro ou termo estocástico é:  - uma variável estocástica ou aleatória mas não observável ;  - representa todos os fatores desconhecidos que possam influenciar uma relação económica.

Regressão : Conceitos Razões principais que justificam a presença do termo de erro nos modelos econométricos:   (a) no termo de erro incluímos fatores desconhecidos; (b) no termo de erro incluímos fatores conhecidos mas não quantificáveis (gostos, preferências, risco, incerteza);

Regressão : Conceitos (c) no termo de erro incluímos os chamados erros de especificação - especificação matemática imprópria - inclusão de variáveis irrelevantes  - exclusão de variáveis relevantes (d) no termo de erro incluímos erros de medição ou erros nas observações devido as simplificações, arredondamentos e transformações dos dados.

Regressão : Conceitos Seremos capazes de obter estimadores confiáveis de β0 e β1 de uma amostra aleatória de dados somente se fizermos algumas hipóteses que restrinjam a maneira como o termo de erro estocástico está relacionada à variável explicativa X.

Regressão : Conceitos Hipótese 1 E(u) = 0 Se o modelo estiver corretamente especificado, podemos supor que o erro, em média, será zero. Em outras palavras, a probabilidade do erro ser x unidades acima da reta é a mesma de ser x unidades abaixo.

Hipótese 2 E(u/x) = 0 O valor médio de u não depende do valor de x. Regressão : Conceitos Hipótese 2 E(u/x) = 0 O valor médio de u não depende do valor de x.

Regressão : Conceitos Assim, considerando o valor esperado da equação define o Modelo de Regressão Linear Simples condicionado a x, e levando em consideração a hipótese 2 temos:

Função de Regressão Populacional a Regressão : Conceitos Função de Regressão Populacional a

Regressão : Conceitos Revisando!!! Relações Estatísticas X Relações Determinísticas Regressão X Causação Regressão X Correlação O Modelo de Regressão Linear Simples Função de Regressão Populacional a

Função de Regressão Amostral (FRA) Regressão : Conceitos Função de Regressão Amostral (FRA) Na maioria das situações práticas não temos conhecimento do total da população a que iremos analisar, apenas uma pequena parcela deste total, a amostra.

Função de Regressão Amostral (FRA) Regressão : Conceitos Função de Regressão Amostral (FRA) Lê-se: y chapéu, beta chapéu ... Em que:

Regressão : Conceitos Função de Regressão Amostral (FRA) O desafio é, portanto, estimar a FRP a partir da FRA. Aqui enfrentaremos alguns problemas!!! Suponha as seguintes amostras:

Função de Regressão Amostral (FRA) Regressão : Conceitos Função de Regressão Amostral (FRA)

Regressão : Conceitos As duas amostras apresentam os gastos semanais de consumo (Y) referentes à certos montantes de renda (X). Mas qual das amostras me conduzirá a uma previsão mais acertada do consumo semanal (Y)?

Regressão : Conceitos

Para n amostras é possível termos n FRAs. Regressão : Conceitos De outra forma, qual das duas linhas de regressão representa a “verdadeira” linha de regressão da população? Por causa da flutuação das amostras é difícil estimar a FRP de maneira acurada. Para n amostras é possível termos n FRAs.

Para n amostras é possível termos n FRAs. Regressão : Conceitos De outra forma, qual das duas linhas de regressão representa a “verdadeira” linha de regressão da população? Por causa da flutuação das amostras é difícil estimar a FRP de maneira acurada. Para n amostras é possível termos n FRAs.

No entanto, ainda queremos estimar a FRP Com base na FRA. Regressão : Conceitos No entanto, ainda queremos estimar a FRP Com base na FRA.

Regressão : Conceitos Resgatando: Por causa da flutuação das amostras é difícil estimar a FRP de maneira acurada. Em outras palavras, nossa estimativa da FRP baseada na FRA é, na melhor das hipóteses, uma estimativa aproximada.

Regressão : Conceitos Pois para X = Xi temos uma observação da amostra Y = Yi . Em termos da FRA o Yi observado pode ser expresso como:

Graficamente nosso exemplo fica: Regressão : Conceitos Graficamente nosso exemplo fica:

A questão crítica passa a ser: Regressão : Conceitos A questão crítica passa a ser: Considerando que a FRA seja apenas uma aproximação da FRP, poderemos criar uma regra ou um método que a fará tão próxima quanto o possível? OU SEJA, Como construir a FRA de modo que os estimadores se tornem o mais próximos possíveis dos verdadeiros coeficientes βs?

O Método dos Mínimos Quadrados Ordinários

Mínimos Quadrados Ordinários Sob certas hipóteses restritivas, o MQO tem algumas propriedades estatísticas muito atraentes, fazendo com que seja um dos métodos mais utilizados de regressão.

Mínimos Quadrados Ordinários Relembrando: FRP Como não é diretamente observável, a estimamos a partir da FRA:

Mínimos Quadrados Ordinários Relembrando: FRP Como não é diretamente observável, a estimamos a partir da FRA:

Mínimos Quadrados Ordinários Mas como estimamos a FRA propriamente dita? Primeiro vamos expressar Da seguinte forma: Que mostra apenas que os resíduos são simplesmente as diferenças entre os valores reais e estimados.

Mínimos Quadrados Ordinários Então, para n pares de observação Y e X, queremos determinar a FRA de tal modo que seja tão próxima quanto possível do Y real. Para tanto podemos adotar o seguinte critério:

Mínimos Quadrados Ordinários Escolher a FRA para que a soma dos resíduos Seja a menor possível. A ideia é interessante mas apresenta problemas.

Mínimos Quadrados Ordinários Se adotarmos como critério minimizar Todas as observações terão o mesmo peso e poderemos correr o risco de, mesmo em amostras com grandes dispersões, encontrar valores pequenos ou mesmo nulos para este somatório. Exe:

Mínimos Quadrados Ordinários

Mínimos Quadrados Ordinários Podemos evitar este problema adotando o critério de se minimizar o quadrado dos erros. Ao elevarmos os erros ao quadrados implicitamente estaremos dando maior peso aos que se encontram mais afastados do centro.

Mínimos Quadrados Ordinários

Mínimos Quadrados Ordinários Assim, como foi visto, A soma dos resíduos ao quadrado é uma função dos estimadores

Mínimos Quadrados Ordinários O método MQO escolhe De tal maneira que, para uma dada amostra, É o mínimo possível. Em outras palavras, para uma dada amostra, o método MQO nos fornece estimativas únicas de que dão menor valor possível de

Sendo assim é possível calcular Mínimos Quadrados Ordinários Sendo assim é possível calcular