ALGEBRA LINEAR UNIDADE 1 MATRIZES Faculdade Católica Salesiano - Profº. Msc. Jerry Adriane Domingos

Definição de Matrizes Amxn = Matriz: Tabela de elementos dispostos em linhas e colunas. Amxn = = [aij]mxn Elemento da linha i e coluna j Elemento da 2 ª linha e 1ª coluna matriz A de m linhas e n colunas Faculdade Católica Salesiano - Profº. Msc. Jerry Adriane Domingos

Diagonal principal (i = j) Tipos de Matrizes Matriz quadrada m = n (x linhas = x colunas) m = linhas n = colunas m = 3 n = 3 Diagonal: Uma matriz quadrada possui duas diagonais que são: Diagonal Principal e Diagonal secundaria Diagonal principal (i = j) Elementos da diagonal principal: a11= 1; a22 = 1; a33 = 2 Esta é uma matriz quadrada de ordem 3 (3 x 3) Faculdade Católica Salesiano - Profº. Msc. Jerry Adriane Domingos

Diagonal secundária = (n + 1 = i + j) Elementos da diagonal secundária: a13 = 2; a22 = 1; a31=4 Esta é uma matriz quadrada de ordem 3 (3 x 3) Só tem sentido falar de diagonais em matrizes quadradas. Faculdade Católica Salesiano - Profº. Msc. Jerry Adriane Domingos

Matrizes Triangulares Elementos acima ou abaixo da diagonal principal são todos nulos. Matriz triangular superior É a matriz quadrada na qual os elementos acima da diagonal principal são diferentes de 0 Diagonal principal Falou em diagonal, falou em matriz quadrada! Todas as triangulares são quadradas. Faculdade Católica Salesiano - Profº. Msc. Jerry Adriane Domingos

Matriz triangular inferior É a matriz quadrada na qual os elementos abaixo da diagonal principal são diferentes de 0 Diagonal principal Esta também é uma matriz triangular! Faculdade Católica Salesiano - Profº. Msc. Jerry Adriane Domingos

Casos especiais de Matrizes Triangulares. Matriz diagonal Apenas os elementos da diagonal principal são diferentes de zero Falou em diagonal, falou em matriz quadrada! Todas as triangulares são quadradas. Chatice hein! Faculdade Católica Salesiano - Profº. Msc. Jerry Adriane Domingos

Matriz identidade A identidade é uma matriz diagonal cujo elementos da diagonal principal são todos iguais a um. Chamamos a matriz acima de I3 (identidade de ordem 3) No geral, In onde n é a ordem da matriz. Obs.Todas as Triangulares são quadradas, logo, a diagonal e a identidade são quadradas. Faculdade Católica Salesiano - Profº. Msc. Jerry Adriane Domingos

Matriz nula Todos os elementos são nulos. Chamamos a matriz nula de Omxn Então essa é O3x4 A Matriz nula não precisa ser quadrada! Faculdade Católica Salesiano - Profº. Msc. Jerry Adriane Domingos

= Igualdade de Matrizes Duas matrizes são ditas idênticas quando seus elementos correspondentes são iguais. = Caso ao olhar essas duas matrizes e não ver que elas são iguais, favor procurar o oculista. Faculdade Católica Salesiano - Profº. Msc. Jerry Adriane Domingos

Matriz Transposta É formada pela troca de linha por coluna (m x n => n x m ) Matriz A transposta Faculdade Católica Salesiano - Profº. Msc. Jerry Adriane Domingos

Os elementos da transposta são os opostos da original. Matriz Simétrica  Matriz quadrada tal que At = A = Matriz A transposta Matriz Antissimétrica  Matriz quadrada tal que At = -A Os elementos da transposta são os opostos da original. Faculdade Católica Salesiano - Profº. Msc. Jerry Adriane Domingos

+ = Operações com Matrizes Adição Dadas duas matrizes A e B, somaremos os elementos de A com seus correspondentes em B, ou seja, se tomarmos um elemento na primeira linha e primeira coluna de A devemos somá-los com o elemento na primeira linha e primeira coluna de B. + = É sempre possível somar matrizes? Não! Somente quando estas forem de mesma ordem. Se liguem, o mesmo vale pra subtração. Faculdade Católica Salesiano - Profº. Msc. Jerry Adriane Domingos

Regra Pratica Para Soma De Matrizes A 3 x 2 B 3 x 2 C 3 x 2 c11 = a11 + b11 c21 = a21 + b21 c31 = a31 + b31 c12 = a12 + b12 c22 = a22 + b22 c32 = a32 + b32 Faculdade Católica Salesiano - Profº. Msc. Jerry Adriane Domingos

Exemplo A B C = c11 = 2 + (-5) = -3 c21 = 1 + 3 = 4 c31 = -1 + 4 = 3 Faculdade Católica Salesiano - Profº. Msc. Jerry Adriane Domingos

Multiplicação por escalar Multiplicação por escalar ( número real qualquer)  multiplicamos todos os elementos da matriz por este número. Matriz A Matriz -2A Faculdade Católica Salesiano Profº. MSC Jerry Adriane Domingos

Multiplicação de Matriz por Matriz CONDIÇÃO: Só podemos efetuar o produto de duas matrizes Am x n e Bl x p SE O NÚMERO DE COLUNAS da primeira for igual ao NÚMERO DE LINHAS da segunda (n = l). A matriz C = AB será de ordem m x p. Ihhh... Aqui ..! Faculdade Católica Salesiano Profº. MSC Jerry Adriane Domingos

O produto da primeira linha pela primeira coluna, gera o elemento C11. O produto da primeira linha pela segunda coluna, gera o elemento C12. Em geral AB  BA, ou seja, o produto de matrizes não comutativo Pode ser possível efetuar AB e não ser possível efetuar BA. Faculdade Católica Salesiano - Profº. Msc. Jerry Adriane Domingos

EXEMPLO: x Faculdade Católica Salesiano - Profº. Msc. Jerry Adriane Domingos

Observe, multiplicamos ordenadamente os termos, ou seja, multiplicamos o primeiro elemento da linha com o primeiro da coluna e por aí vai... 2.(-1) + 1.4 2.1 + 1.0 4.1 + 2.0 4.(-1) + 2.4 5.1 + 3.0 5.(-1) + 3.4 Faculdade Católica Salesiano - Profº. Msc. Jerry Adriane Domingos

Exemplos para resolver Faculdade Católica Salesiano - Profº. Msc. Jerry Adriane Domingos

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5) Determine x, y e z para que A + B = C . 23 Faculdade Católica Salesiano - Profº. Msc. Jerry Adriane Domingos

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Matriz INVERSA Seja A uma matriz quadrada. Dizemos que A é matriz inversível se existir uma matriz B tal que A.B = B.A = I. Calcule a inversa da matriz A = Resolvendo os sistemas temos a matriz inversa de A. Faculdade Católica Salesiano - Profº. Msc. Jerry Adriane Domingos

Use a definição para calcular a inversa da matriz Exercício. Use a definição para calcular a inversa da matriz Faculdade Católica Salesiano - Profº. Msc. Jerry Adriane Domingos