Gráficos com escalas logarítmicas CEPZ1 – 2015 – AULA 10 PROFESSORA: BRUNA CAVALLINI E RODRIGUES

Retomando Como organizar e analisar medidas de 2 grandezas relacionadas

Escalas logarítmicas Quando uma ou as duas grandezas medidas estão ligadas ao termo exponencial, não é possível criar um gráfico com escala linear. Na Física é bastante comum encontrarmos expressões do tipo y x =A x B ou y x = A Bx , por exemplo, para desintegração radioativa, abalos sísmicos, etc Em casos como esses, a grandeza y(x) pode variar muitas ordens de grandeza a partir de pequenas variações de x a ponto de nem mesmo poder ser diretamente desenhado seu gráfico em papel milimetrado.

Escalas logarítmicas Existem duas maneira de trabalhar com expressões logarítmicas: transformando a expressão ou utilizando um papel especial. Para maior comodidade, estudaremos os dois tipos de expressão separadamente, já que cada uma se adapta melhor a um tipo de papel de gráfico: y x =B x A - papel di-log (ou log-log) y x = B Ax - papel mono-log (ou lin-log / log-lin)

Escalas logarítmicas A escala logarítmica desses papeis de gráfico é construída para, quando uma quantidade x é marcada nessa escala o comprimento (distância em relação à origem do eixo), ela ser proporcional a log(x): Note que a escala logarítmica não começa do zero!

Escalas logarítmicas Regras de uso das escalas logarítmicas: 1. Não existe zero em escala logarítmica. O gráfico deve ser desenhado a partir do início do papel. 2. A escala logarítmica é dividida em décadas. Cada década corresponde a uma ordem de grandeza decimal. A divisão da escala, em cada década, é idêntica de uma década para outra.

Escalas logarítmicas 3. Como a escala é proporcional a log(x), não podemos escolher qualquer escala para fazer o gráfico. A posição equivalente ao 1 na escala logarítmica pode ser atribuída somente a números do tipo 1; 0,1; 10; 1000; etc. Do mesmo modo, a posição 3 só pode ser atribuída a números do tipo 3; 0,3; 30; 3000; etc. 4. Uma década subsequente deve ter números de uma ordem de grandeza acima da década anterior. Por exemplo, caso a década anterior varie de 0,01 à 0,1; a década subsequente deve variar de 0,1 à 1 e assim sucessivamente.

Gráficos di-log São aqueles em que ambas as escalas são logarítmicas Funcionam bem para expressões do tipo y x =B x A São construídos em papel di-log

Gráficos di-log – tratamento matemático Linearizando matematicamente a expressão y x =B x A : log(y x )=log B x A →log(y x )=log B)+log( x A log(y x )=log B)+A.log(x Agora basta mudar todas as expressões com log de variável: log y x =z x log B =b z x =a.k x +b Ou seja, uma reta! A.log(x) = a.k(x)

Gráficos di-log – tratamento matemático Seja pelo desenho direto no papel di-log ou pela transformação da expressão, o gráfico deve dar uma reta. Podemos então realizar todos os cálculos que fazemos para o gráfico de escala linear. O coeficiente linear pode ser calculado a partir do valor lido no gráfico. Adaptando o cálculo do coeficiente angular: a= z 2 − z 1 k 2 − k 1 = log⁡( y 2 )− log⁡(y 1 ) log⁡( x 2 )− log⁡(x 1 )

Gráficos mono-log São aqueles em que uma escala é logarítmica e a outra é linear Funcionam bem para expressões do tipo y x = CB Ax São construídos em papel mono-log

Gráficos mono-log – tratamento matemático Linearizando matematicamente a expressão y x = CB Ax : log y x =log CB Ax →log(y x )=log C)+log( B Ax log(y x )=log C)+Ax.log(B Agora basta mudar todas as expressões com log de variável: log y x =z x log C =b z x =a.x+b Veja que, neste caso, A.log(B) = a x não foi substituído, é linear.

Gráficos mono-log – tratamento matemático Como no caso do di-log, o gráfico deve dar uma reta. O coeficiente linear pode ser calculado a partir do valor lido no gráfico. Adaptando o cálculo do coeficiente angular: a= z 2 − z 1 x 2 − x 1 = log⁡( y 2 )− log⁡(y 1 ) x 2 − x 1

Treinando O gráfico de uma certa força F(em newtons), que atua sobre uma partícula em função da distância X de acordo com a tabela abaixo: Sabendo que as grandezas se relacionam pela expressão F = Kxn, transforme a equação e construa o gráfico linear para obter a relação entre F e x. F (N) 25,2 17,1 10,0 7,6 6,0 x (m) 0,54 0,70 1,00 1,20 1,40

Próxima aula Dependendo do tempo de desenvolvimento desta aula: - Treinando gráficos? - P2? Se for este o caso, conteúdo: gráficos.

Referências Autor desconhecido. Papel Mono log e papel Log log. Disponível em: http://fonteatomica.com/papel-mono-log-e-papel-log-log/. Acesso em: 22/11/15 Autor desconhecido. Capítulo III - Interpretação gráfica de dados. Disponível: http://macbeth.if.usp.br/~gusev/Graficos.pdf. Acesso em: 15/11/2015 COSTA, A. B. e CABRAL, F. C. F.. TEXTOS DE LABORATÓRIO - Teoria de Erros: Física I. Salvador, Universidade Federal da Bahia, 2013. (apostila) OLIVEIRA, C. L. P. [et al]. Introdução às medidas em Física. São Paulo, USP, 2010. (apostila) WIKIPEDIA. Representación logarítmica. Disponível em: https://es.wikipedia.org/wiki/Representaci%C3%B3n_logar%C3%ADtmica. Acesso em: 22/11/15