CEPZ1 – 2015 – AULA 09 PROFESSORA: BRUNA CAVALLINI E RODRIGUES Gráficos – Parte II CEPZ1 – 2015 – AULA 09 PROFESSORA: BRUNA CAVALLINI E RODRIGUES

Retomando Como expressar, organizar e analisar medidas de 1 grandeza independente. Como organizar medidas de 2 grandezas relacionadas

Análise de gráfico linear (primeiro grau) Sabendo como montar o gráfico usando os valores medidos, para que se possa entender o fenômeno é necessário que se determine a função que governa a linha encontrada (reta média). Para começar, comecemos pela análise de um gráfico linear onde as grandezas crescem proporcionalmente. Essa linha é a representação gráfica de uma função de primeiro grau: y = a.x + b

Análise de gráfico linear (primeiro grau) y = a.x + b Nesse expressão, as letras “a” e “b” representam os valores fixos que temos que descobrir, os coeficientes da reta (“a” é o coeficiente angular e “b” é o coeficiente linear). As letras x e y representam os valores da grandeza preditora e resposta, respectivamente. Mas, com a reta média já ajustada, esses valores são interpretados como verdadeiros, não mais as medidas que foram tomadas.

Análise de gráfico linear (primeiro grau) Calculando “a” e “b”: - Escolha dois pontos PERTENCENTES À RETA MÉDIA e monte um sistema. Para resolvê-lo, subtraia as duas equações. y 2 =a. x 2 +b y 1 =a. x 1 +b y 2 =a. x 2 +b y 1 =a. x 1 +b − y 2 − y 1 =a. (x 2 − x 1 )→a= ∆y ∆x - Depois é só substituir para achar o b!

Análise de gráfico linear (primeiro grau) P. Ex: 3=a.2+b 1=a.1+b 2 = 1.a + 0 a = 2 m/s2 1 = 1.a + b 1 = 2 + b b = -1 m/s Note que o valor de “b” é o ponto representado no gráfico em que a reta média toca o eixo y.

Análise de gráfico linear (primeiro grau) Note que a concepção do coeficiente angular (a) para a matemática não é a mesma concepção da física: Matemática Física a= ∆y ∆x =tg θ a= ∆y ∆x ≠tg θ Eixos x e y na mesma escala Eixos x e y geralmente não têm a mesma escala a adimensional (número) a dimensional (número e unidade)

Como avaliar as incertezas dos coeficientes Como a construção de um gráfico adapta os valores medidos, as barras de erros de cada ponto não representam o erro do experimento, da reta média. Como fazer com os erros o mesmo que a reta média faz com os valores de medidas? Primeiro é necessário criar retângulos que unam as pontas das barras de erros de cada medida. (note que isso é uma adaptação pois a barra de erro deveria ser criada a partir do σ)

Como avaliar as incertezas dos coeficientes Em seguida, em cada retângulo deve ser marcado o ponto de vértice mais distante da reta média. Com esses pontos devem ser criadas duas retas de suporte para os cálculos, que, se traçadas, não podem ser confundidas com a reta média do gráficos. Veja que o limite dessas retas suporte deve obedecer o limite dos valores medidos. Ou seja, as retas suportes não existem abaixo do menor valor medido e nem acima do maior valor.

Como avaliar as incertezas dos coeficientes Detalhe: se houver barra de erro somente em uma dimensão (somente em y), significando que os valores do eixo x são considerados verdadeiros, o ponto que seria criado no vértice do retângulo, fica no extremo mais distante da própria barra de erro.

Como avaliar as incertezas dos coeficientes Em seguida as pontas dessas retas suportes devem ser ligadas, formando as retas máxima e mínima. Então os coeficientes “a” e “b” de cada uma dessas retas devem ser descobertos. Eles serão usados nas seguintes equações para calcular os erros: ∆a= a máx − a mín 2 ∆b= b máx − b mín 2

Interpolação e extrapolação Interpolação: obter informações sobre pontos intermediários às medidas realizadas. Pode ser lido no gráfico ou pela substituição de um valor arbitrário na equação encontrada para a reta média. Extrapolação: obter informações sobre pontos fora do trecho das medidas realizadas. Este processo envolve algum risco, já que se assume como as grandezas se comportam fora do trecho medido. Pode ser feito pela substituição de um valor na equação. Não pode ser tirado diretamente do gráfico.

E se o gráfico não for uma linha? Fazemos ser! Linearização por anamorfose: é feito quando se conhece a equação que governa o fenômeno a priori, antes de se montar o gráfico. Este método transforma a variável que cresce de uma maneira não linear em uma linear. Ex: No MRUV, o espaço varia assim (simplificado) segundo t2. Podemos ajustar: S= a. t 2 2 t 2 = α →S= a 2 . α Depois dos cálculos feitos, basta voltar nesta expressão e trabalhar no sentido inverso!

Anamorfose Ex: Variação de espaço no MRUV S x t S x t2

Treinando 1) Utilizando os dados da tabela abaixo, construir um gráfico e calcular o k da mola. Utilize para o erro de x o valor típico do erro de uma régua. Suponha que o valor da força peso do objeto pendurado na ponta da mola tenha ΔF = 0,2 gf.

Treinando 2) A tabela mostra os valores tomados para uma queda livre. Crie o gráfico para descobrir o valor de g. Use Δt = 0,001 s e Δh = 1 cm

Próxima aula Gráfico com logaritmo!

Referências Autor desconhecido. Capítulo III - Interpretação gráfica de dados. Disponível: http://macbeth.if.usp.br/~gusev/Graficos.pdf. Acesso em: 15/11/2015 Autor desconhecido. CONSTRUÇÃO DE GRÁFICOS E LINEARIZAÇÃO. Disponível em: http://www.joinville.udesc.br/portal/professores/cinelli/materiais/apostila_graficos.pdf. Acesso em: 15/11/2015 CEPA. Movimento retilíneo uniformemente variado. Disponível em: http://efisica.if.usp.br/mecanica/basico/mruv/intro/. Acesso em: 15/11/2015 COSTA, A. B. e CABRAL, F. C. F.. TEXTOS DE LABORATÓRIO - Teoria de Erros: Física I. Salvador, Universidade Federal da Bahia, 2013. (apostila) LIMA JUNIOR, Paulo  [et al.]. Laboratório de mecânica: subsídios para o ensino de Física experimental. Porto Alegre: UFRGS, 2013. (apostila) LÍBIO, F. Construção e Interpretação de Gráficos. Disponível em: http://www.modelab.ufes.br/fisexp1/pagina.asp?link=graficos3. Acesso em: 15/11/2015 NOÉ, M. Construindo o Gráfico de uma Função. Disponível em: http://www.alunosonline.com.br/matematica/construindo-o-grafico-de-uma-funcao.html. Acesso em: 15/11/2015 OLIVEIRA, C. L. P. [et al]. Introdução às medidas em Física. São Paulo, USP, 2010. (apostila)