Renato Assunção DCC, UFMG

Apresentação em tema: "Renato Assunção DCC, UFMG"— Transcrição da apresentação:

1 Renato Assunção DCC, UFMG
Derivadas e EDO Renato Assunção DCC, UFMG

2 Derivada numerica Lembre da definição de derivada
Como no caso da integral, a definição e’ uma operação de limite quando h  0 Uma estimativa simples e’ então tomar h ≈0 e usar a aproximação Este e’ chamado o método das diferença sucessiva (forward difference method)

3 Precisão da diferença sucessiva
Se f e’ diferenciavel duas vezes, podemos escrever sua expansao de Taylor de 2ª ordem: Onde ε (x, x+h) Entao Portanto, o erro de Dhf e’

4 Exemplo Considere a função e calcule
Pelo método da diferença sucessiva: Por outro lado, sabemos do calculo que f ’(x)=1/(1+x2) e portanto

5 Um método mais preciso Considere as seguintes DUAS expansões de Taylor: Isolando f ’ (x) encontramos: Isto produz o método da diferença simétrica

6 Diferença simétrica Este método e’ uma media dos métodos de diferença sucessiva e diferença retroativa. Qual a precisão desta media? Como e O método da diferença simétrica tem um erro de aproximação igual a

7 Extrapolação de Richardson
Extrapolação de Richardson pode ser usada para melhorar qualquer método numérico que tenha a ordem de grandeza de seu erro conhecida. Podemos usa-la para melhorar: Diferença sucessiva (O(h)) Diferença simétrica (O(h2)) Nos podemos ser bastante específicos sobre o impacto da extrapolação de Richardson nestes dois casos.

8 Se nos tivéssemos tomado a expansão completa de Taylor quando derivamos o método das diferenças simétricas teríamos: ou onde k2, k4, .. são constantes independentes de h.

9 Agora podemos olhar a precisao da extrapolacao de Richardson para diferencas simetricas (p=2):
4/3 Dh/2 – 1/3 Dh Do slide anterior: Multiplicando pelos fatores apropriados temos Substituindo (2) em (1) temos Assim, diferenças simétricas com extrapolação de Richardson tem erro O(h4)

10 Estimando a derivada segunda
Vamos considerar de novo as duas expansões de Taylor: Isolando f’’(x) encontramos E assim temos a aproximação

11 Equações diferenciais ordinárias de 1ª ordem

12 Calculo diferencial e integral
Newton e Leibniz inventaram o calculo diferencial e integral por volta de 1670. O objetivo era ter ferramentas matemáticas apropriadas para lidar com o movimento e mudanças no tempo. Entender, modelar e predizer o movimento dos corpos celestes era um dos maiores objetivos da ciência naqueles tempos. Para os homens daquele tempo, compreender o movimento dos céus era ouvir a voz de Deus.

13 Calculo diferencial e integral
Logo depois ocorre uma explosão cientifica revolucionaria: Os irmãos Bernoulli, Euler, Lagrange, Laplace, etc. A ciência e engenharia modernas nascem, vicejam, crescem e criam o que temos hoje em dia. Derivadas e integrais aparecem em todos os modelos científicos para descrever a natureza se um processo de mudança estiver envolvido no fenômeno estudado. A mais famosa lei da fisica, a 3ª lei de Newton, envolve uma segunda derivada: F = m * d2 y(t)/dt2

14 Um passo alem: Equações diferenciais
Equação não linear usual: achar os valores de t para os quais a igualdade f(t)=0 e’ valida Equação diferencial ordinária: achar as funções y(t) para as quais a igualdade g(t, y(t), y’(t)) = 0 PARA TODO t Por exemplo: achar y(t) tal que seja valida a equação y’(t)–3y(t) = OU SEJA y’(t) = 3y(t). Isto e’, queremos achar as todas as funções y(t) tais que a sua função derivada y’(t) seja igual a 3 vezes a própria função y(t).

15 EDO de 1ª ordem Achar y(t) tal que y’(t) = 3y(t) Geometricamente:
Desenhe o gráfico da função y(t) Calcule a inclinação da reta tangente y’(t) em cada ponto t A inclinação deve ser igual a 3 vezes o valor da função y(t) Existe alguma função que satisfaz esta condição? Se existem, e’ possível encontra-las? Técnicas de solução ANALITICA de EDO: solução exata

16 EDO de 1ª ordem Achar y(t) tal que y’(t) = 3y(t) Que tal y(t) = t2 ??
Neste caso, y’(t) = 2 t  t2 = y(t) Que tal y(t) = cos(t) ? Neste caso, y’(t) = -sen(t)  cos(t) = y(t) OU ainda y(t) = log(t) ?? y‘(t) = 1/t que não e’ a própria função y(t)=log(t)

17 EDO de 1ª ordem Achar y(t) tal que y’(t) = 3y(t) Que tal y(t) = e3t ??
De fato, para esta função, temos y’(t) = 3 e3t = 3 y(t)  e’ uma solução da equação diferencial. Existe alguma outra função que também seja solução? Sim: todas as funções da forma y(t) = c e3t onde c  R também e’ uma solução. Existem outras? Não, estas são todas, não existem mais funções para as quais temos y’(t) = 3 y(t) PARA TODO t

18 EDO 1ª ordem com valor inicial
Achar y(t) tal que y’(t) = 3y(t) E ALEM DISSO, y(0) = 2 Agora, colocamos uma restrição adicional, uma condição sobre o valor inicial da função y(t). No tempo t=0, a função deve valer y(0)=2 Como todas as soluções de y’(t) = 3y(t) são da forma y(t) = c e3t temos de encontrar alguma que satisfaça a condição inicial. 2 = y(0) = c e3*0 = c.1  y(t) = 2 e3t

19 Notação: ordinária? Equações diferenciais: ok
Mas por que Equações diferenciais ORDINÁRIAS? Existem Equações diferenciais EXTRAORDINÁRIAS? Não. O palavra “ordinária” e’ usada para diferenciar das equações diferenciais PARCIAIS. Parciais: equações que envolvem funções de mais de uma variável e suas derivadas parciais. Exemplo: Equação de difusão do calor numa barra de densidade homogênea. Seja u(t,x) a temperatura no ponto x no tempo t Então onde c depende do material

20 EDO de 1ª ordem Equações diferenciais ordinárias de 1ª ordem são equações envolvendo apenas a derivada y’(t) e a funcao y(t) e possivelmente outras funções FIXAS e conhecidas (tais como sin(t) ou exp(t)). Por exemplo: y’(t) = p(t) * y(t) + g(t) Casos particulares: y’(t) = 3 * y(t) + sin(t) y’(t) = (3*t2 + 2t -1) * y(t) + sin(t)

21 EDO de ordem n EDO ordem n são equações envolvendo :
As derivadas yn(t), yn-1(t),..., y’(t) a função y(t) e possivelmente outras funções FIXAS e conhecidas (tais como sin(t) ou exp(t)). Por exemplo, uma EDO de 2ª ordem: y”(t) = sin(t) * y’(t) + y(t) + 3t Qual a (ou as) FUNCAO y(t) tal que a sua FUNCAO derivada segunda y’’(t) obedece a equação acima? Mas isto e’ so’ um exercício de matemáticos sem ter o que fazer, certo?

22 Exemplos de EDOs famosas
Decaimento radioativo: proporção carbono-14/carbono-12 presente na matéria orgânica viva é constante. No entanto, na matéria orgânica morta a quantidade de 14C diminui com o tempo, a uma taxa proporcional à quantidade existente. Se designarmos essa quantidade por Q, teremos: Q’(t) = -c Q(t) onde c > 0 e’ uma constante

23 Exemplos de EDOs famosas
Corpo em queda livre com atrito devido a resistência do ar: Mv’(t) = mg – k v(t) ou v’(t) + k/m v(t) – g = 0 Engenharia Química: balanço de massa ou volume ou energia num reator químico. O volume de líquido num tanque e a concentração de uma solução A mudam com o tempo. Entra e sai líquido a taxas constantes e diferentes. Os líquidos possuem concentrações de A diferentes. Descrever a concentração de A em cada instante : terminamos em uma EDOs

24 Exemplos de EDOs famosas
Oscilador harmônico amortecido: y’’(t) + a y’(t) + b y(t) = 0 Para descrever a física do átomo de hidrogênio: Legendre: (1-t2)y’’(t) – 2 t y’(t) + k(k+1) y(t) = 0 Para descrever o comprimento de onda no átomo de hidrogênio: Laguerre: t y’’(t) + (1-t) y’(t) + k y(t) = 0 Membranas vibratórias: Bessel : t2 y’’(t) + t y’(t) + (t2 – k2) y(t) = 0 Mecânica quântica: Hermite: y’’(t) – 2 t y’(t) + 2 k y(t) = 0 Arco-íris y’’(t) + t y(t) = 0

25 EDO linear de 1ª ordem Suponha que y’(t) = a(t) * y(t) + b(t) Solução:
Com o fator integrante Se y’(t) = - y2(t)  EDO NÃO-LINEAR. Esta EDO particular pode ser resolvida pelo método de separação de variáveis .

26 EDO de 1ª ordem Vamos considerar problemas do seguinte tipo:
Existe alguma solução? Quando ela e’ única? TEOREMA:

27 Métodos numéricos: Euler
Nosso problema de EDO de 1ª ordem: Euler e’ o método mais simples. Acha uma aproximação para a solução y(t) num intervalo [t0, tN] Divide o intervalo em N subintervalos de comprimentos iguais: t0, t1, ..., tN onde tk=t0 + k * h com h=(tN-t0)/N Se h e’ pequeno, temos

28 Método de Euler Nosso problema de EDO de 1ª ordem:
t0, t1, ..., tN onde tk=t0 + k * h com h=(tN-t0)/N Se h e’ pequeno, temos Algoritmo: Temos uma aproximação y0, y1, y2, ..., yN para y(t)

29 Método de Euler – 1ª iteracao
Passo h t y(t) (t0, y0) Valor de y(t0+ h) Slope Valor aproximado y1 t0 t1 Interpretação gráfica: primeiro passo do método de Euler

30 Método de Euler – 2ª iteração
Tamanho do passo h Valor verdadeiro y(x2) y2 Valor aproximado y1 t y(t) t1 t2 Note que y2 e’ o Valor em x2 de uma reta que passa por (t1, y1) e que tem inclinação f(t1,y1). Segunda iteração do método de Euler

31 Método de Euler – 2ª iteração
NÃO ESTAMOS USANDO y*2 = y(t1) + f(t1, y(t1))h uma reta passando por y(t1) e com inclinação f(t1,y(t1)) pois NOS NÃO TEMOS y(t1) Na 1ª iteração obtivemos uma aproximação y1 para y(t1) Tamanho do passo h Valor verdadeiro y(t2) y2 Valor aproximado y1 t y(t) t1 t2

32 Método de Euler – iteração i
Tamanho do passo h Valor verdadeiro y(ti+1) yi+1, Valor aproximado yi t y ti ti+1 Passo genérico do método de Euler

33 Erros em Euler Assim, na n-ésima iteração, gostaríamos de aproximar yn+1 pelo valor em tn+1 = tn+h da reta tangente a y(t) no ponto (tn, y(tn)) Entretanto, NÃO TEMOS y(tn) mas somente uma aproximação yn Assim, temos dois erros acumulando-se em cada iteração do método de Euler. Existe um erro em aproximar y(tn) por yn , a n-ésima iteração Além disso, gostaríamos de ter f(tn,y(tn)) mas usamos f(tn,yn)

34 Exemplo Uma esfera possui temperatura de 1200K (ou 920oC ) e comeca a resfriar ‘a temperatura ambiente de 300K (ou 27oC). Assumindo que o calor e’ dissipado sem interferência, a equação diferencial que reflete a temperatura (t) da esfera no tempo t deve satisfazer a seguinte EDO Encontrar a temperatura em t=480 segundos usando o método de Euler. Assuma um passo de tamanho h=240 segundos

35 Solução Primeira iteração: e’ a temperatura aproximada em

36 Solução - continuação Iteração 2: Para e’ a temperatura aproximada em

37 Solução – continuação A solução exata da EDO e’ dada pela raiz da equação não-linear A solução (480) desta equação não-linear em t=480 segundos e’ Bem diferente da aproximação:

38 Comparação das soluções exata e numérica
Euler

39 Efeito do tamanho do passo h
Temperatura aos 480 segundos como uma função do passo h Step, h q(480) Et |єt|% 480 240 120 60 30 −987.81 110.32 546.77 614.97 632.77 1635.4 537.26 100.80 32.607 14.806 252.54 82.964 15.566 5.0352 2.2864 (valor exato)

40 Comparação com resultado exato
Apenas h=480, 240 e 120

41 Efeito do tamanho do passo h em Euler
Valor exato

42 Mais um exemplo Considere a EDO Como x0=0 então xn=nh Iteração:
Usando h=0.1 e 0.001 E comparando com a solução exata temos a tabela ao lado

43 Erros no método de Euler
Vimos que o método de Euler PODE ter erros grandes. Para entender a ordem de grandeza desses erros, vamos fazer a expansão de Taylor em torno de xi Isto e’: Os dois primeiros termos da serie de Taylor e’ o método de Euler O erro na aproximação e’ dado por 

44 Runge - Kutta Euler fez a seguinte aproximação
Que tal usar uma aproximação melhor para a integral? Por exemplo, podemos usar a regra do trapézio: Neste caso, teremos então a aproximação E o algoritmo

45 Runge-Kutta Encontramos a equação de iteração:
Existe um problema no entanto: yn+1 aparece dos dois lados da equação acima. Não conseguimos isolar yn+1. Uma possibilidade e’ substituir yn+1 NO LADO DIREITO por sua aproximação baseada em Euler: yn+1 = yn + f(tn,yn)h Este e’ o metodo de Runge-Kutta de 2ª ordem

46 Runge Kutta de 2ª ordem Equação de iteração: ou simplesmente onde
Assim, este e’ um método de Euler com inclinação (s1+s2)/2

47 Runge – Kutta de 2ª ordem E’ possível uma interpretação gráfica-geométrica deste método de Runge-Kutta. Temos com Isto corresponde ao seguinte esquema em dois passos: Tome um passo preliminar de Euler com inclinação s1 em tn: Com isto, obtenha uma segunda inclinação s2 em tn+h A atualização de Euler realmente dada usa a média das inclinações s1 em tn e s2 em tn+h

48 Um segundo método de Runge-Kutta
O método de Runge-Kutta que acabamos de estudar começou aproximando uma integral pela regra do trapézio: Podemos usar alguma outra regra: Simpson ou midpoint Vamos usar midpoint: Neste caso Note que y(t+h/2) no lado direito não e’ conhecido. Vamos usar Euler de novo para este valor.

49 2º. Método de Runge - Kutta
Temos a aproximação Usamos a aproximação de Euler para o termo y(tn+h/2): y(tn+h/2) ≈y(tn)+h/2 * f(tn, yn) Substituindo a iteração para yn+1 temos Este método e’ conhecido como método de Euler modificado ou método do ponto médio

50 2º metodo de Runge-Kutta
Também podemos ver este novo método de Runge-Kutta como um processo em dois estágios. Escrevemos como onde

51 2º metodo de Runge-Kutta
Também podemos ver este novo método de Runge-Kutta como um processo em dois estágios. Tome um passo de Euler mas apenas com metade do comprimento do intervalo h/2 Isto corresponde ao tempo tn+h/2 = tn+1/2 A seguir, de mais um passo de Euler de comprimento h usando a inclinação no ponto médio (tn+1/2, yn+1/2)

52 Resumo dos 2 métodos de R-K
Primeiro: o método clássico de 2ª ordem de R-K (ou método de Euler melhorado) yn+1 = yn + h (s1+s2)/2 com Segundo: Método de Euler modificado (método do ponto médio) yn+1 = yn + h s2 O que eles tem em comum?

53 Comparando os dois R-K Os dois métodos usam dois estágios intermediários s1 e s2 para obter uma iteração. Os estágios correspondem a diferentes estimativas para a inclinação da solução. No método clássico de RK (Euler melhorado) nós damos um passo completo yn+1 = yn + h (s1+s2)/2 tomando a media das inclinações s1 em tn e s2 em tn+h No método de Euler modificado (ponto médio), nós usamos s1 em tn para dar um meio-passo ate tn+h/2. A seguir, calculamos s2, a estimativa da inclinação no ponto médio, e então tomamos o passo completo yn+1 = yn + h s2

54 Exemplo Considere a EDO Euler modificado: yn+1 =yn+hs2
Temos s1=x2n+ y2n e s2=(xn+h/2)2+(yn+s1/2)2 Exemplo numérico na tabela ao lado

55 Runge-Kutta 2ª ordem geral
Podemos imaginar varias outras maneiras alternativas de calcular s1 e s2. O método geral de Runge-Kutta de 2ª ordem e’ da forma onde com (esta notação vem de uma teoria mais avançada ligada a métodos implícitos) Clássico RK (Euler melhorado): Euler modificado (ponto médio): γ1=0, γ2=1 e α2= β21=1/2

56 Tabela de Butcher E’ costume arranjar os coeficientes αi, βij e γi em uma tabela chamada tabela de Butcher Onde α2 = β21 Para o método ser de segunda ordem e ter certas propriedades desejáveis impomos também as condições

57 Tabela de Butcher α2 = β21 RK Clássico (Euler melhorado)
RK : Euler modificado (ponto médio) RK: Método de Heun α2 = β21 Método de Ralston α2=3/4 β21=3/4 Γ1=1/3 Γ2=2/3

58 Exemplo Uma esfera possui temperatura de 1200K (ou 920oC ) e comeca a resfriar ‘a temperatura ambiente de 300K (ou 27oC). Assumindo que o calor e’ dissipado sem interferência, a equação diferencial que reflete a temperatura (t) da esfera no tempo t deve satisfazer a seguinte EDO Encontrar a temperatura em t=480 segundos usando o método EULER MELHORADO (ou metodo classico de Runge-Kutta de segunda ordem) Assuma um passo de tamanho h=240 segundos

59 Solução Iteração 1:

60 Solução - continuação Iteração 2:

61 Solução - continuação A solução exata da EDO e’ dada pela solução de uma equação não -linear: A solução para esta equação não-linear em t=480 segundos e’

62 Comparação com resultado exatos
Euler melhorado (ponto médio) para diferentes valores de h

63 Efeito do tamanho do passo h
Temperatura em t=480 segundos como uma funcao do tamanho do passo h Passo h q(480) Erro = Et |єt|% 480 240 120 60 30 −393.87 584.27 651.35 649.91 648.21 1041.4 63.304 −3.7762 −2.3406 − 160.82 9.7756 (exact)

64 Efeito do tamanho do passo h

65 Comparação de Euler e RK de 2a ordem
Passo h q(480) Euler Euler Melhorado Ponto Medio Ralston 480 240 120 60 30 −987.84 110.32 546.77 614.97 632.77 −393.87 584.27 651.35 649.91 648.21 1208.4 976.87 690.20 654.85 649.02 449.78 690.01 667.71 652.25 648.61 (exato)

66 Comparação de Euler e RK de 2a ordem
Passo h Euler Euler Modificado Ponto Médio Ralston 480 240 120 60 30 252.54 82.964 15.566 5.0352 2.2864 160.82 9.7756 86.612 50.851 6.5823 1.1239 30.544 6.5537 3.1092 (exato)

67 Comparação de Euler e RK de 2a ordem
Ponto Medio Modificado

68 Runge-Kutta de 4ª ordem E’ o mais famoso método de Runge-Kutta com
E tabela de Butcher

69 Para a prova Memorizar apenas os dois métodos mais simples de Runge-Kutta: Euler melhorado (RK clássico de 2ª ordem) Euler modificado (ponto médio)