O problema da divisão das apostas e outras histórias

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1 O problema da divisão das apostas e outras histórias
Carlos Tenreiro Departamento de Matemática Universidade de Coimbra Escola Superior de Tecnologia e Gestão Guarda, 23 de Novembro de 2006

2 Plano da exposição 1. O problema da divisão das apostas
2. O conceito de probabilidade 3. O problema dos três dados 4. Soluções de Pascal e de Fermat para o problema da divisão das apostas 5. O erro de d’Alembert O tema principal da exposição é o problema da divisão das apostas. A primeira referência a este problema surge num livro de Luca Pacioli ( ; interesses: aritmética, geometria, proporções, equações cúbicas) no ano de 1494 (ver Bellhouse, D., 2001, Probability prior to Pascal, In: Statisticians of the Centuries, Sta). Apesar de terem sido propostas várias falsas soluções para o problema que não envolvem o conceito de probabilidade, vamos ver que este conceito surge naturalmente na solução do problema. O problema dos três dados é ilustrativo do tipo de assuntos tratados através das probabilidades antes da solução apresentada por Pascal e Fermatt. O cálculo das probabilidades era motivado pelos jogos de sorte e azar e não contribuíram para o desenvolvimento da área. O último tópico tem como objectivo mostrar que mesmo 100 anos depois da solução, os conceitos não estavam suficientemente solidificados.

3 O problema da divisão das apostas
Dois jogadores jogam uma série de partidas justas até que um deles obtenha 6 vitórias. Por motivos exteriores ao jogo, este é interrompido quando um dos jogadores somava 5 vitórias e o outro 3 vitórias. Na terceira carta da correspondência Pascal refere o exemplo duma partida com 3 lançamentos em que a um dos jogadores falta 1 vitória e ao outro 2 vitórias. Isto corresponde à situação agora descrita uma vez que a probabilidade de ganhar é natural que dependa apenas do que falta jogar e não do que se fez até chegar à situação de paragem.

4 O problema da divisão das apostas
Jogador A V V V V V Jogador B V V V

5 O problema da divisão das apostas
Como devemos dividir, de forma justa, o montante apostado por ambos os jogadores?

6 O problema da divisão das apostas
Por volta de 1652, este problema é colocado a Pascal ( ) pelo Chevalier de Méré, um homem de letras e filósofo marcante na corte de Luís XIV. Blaise Pascal

7 O problema da divisão das apostas
No verão de 1654, ele é o principal motivo duma troca de correspondência entre Pascal e Fermat ( ). Pierre de Fermat Famoso também pelo último teorema de Fermat.

8 O problema da divisão das apostas
Esse conjunto de documentos é composto por 7 cartas: - 1ª carta, de Pascal para Fermat, que já não existe; - 2ª carta, de Fermat para Pascal, da qual se desconhece a data em que foi escrita; - 3ª carta, de Pascal para Fermat, escrita a 29 de Julho de 1654; - 4ª carta, de Pascal para Fermat, de 24 de Agosto de 1654; - 5ª carta, de Fermat para Pascal, de 29 de Agosto de 1654; - 6ª carta, de Fermat para Pascal, de 25 de Setembro de 1654; - 7ª carta, de Pascal para Fermat, de 27 de Outubro de 1654. As cartas trocadas entre ambos, contendo reflexões sobre a resolução de problemas de jogos de azar, são consideradas os documentos fundadores da Teoria das Probabilidades. Esse conjunto de documentos é composto por 7 cartas: a 1ª carta, de Pascal para Fermat, que já não existe; a 2º carta, de Fermat para Pascal, da qual se desconhece a data em que foi escrita; a 3ª carta, de Pascal para Fermat, escrita a 29 de Julho de 1654; a 4ª carta, de Pascal para Fermat, de 24 de Agosto de 1654; a 5ª carta, de Fermat para Pascal, de 29 de Agosto de 1654; a 6ª carta, de Fermat para Pascal, de 25 de Setembro de 1654; a 7ª carta, de Pascal para Fermat, de 27 de Outubro de 1654.

9 O problema da divisão das apostas
O problema já tinha sido discutido por vários matemáticos: 1494 – Pacioli ( ) propõe: Luca Pacioli Luca Pacioli ( ): aritmética, geometria, proporções, equações cúbicas. O problema da divisão das apostas é discutida por Pacioli no livro Summa. Esta é a primeira referência escrita ao problema (de acordo com Bellhouse). Segundo Katz (1998) a versão que aqui apresentamos do problema é a considerada por Pacioli. A solução apresentada tem como princípio tomar em conta o que foi conseguido até ao momento da paragem por ambos os jogadores e não o falta para jogar.

10 O problema da divisão das apostas
1556 – Tartaglia ( ) diz: “A solução de Pacioli não parece estar correcta, mas qual-quer que seja a forma de dividir o prémio haverá sem-pre lugar a litígio” Nicolo Tartaglia Niccolò Tartaglia ( ): aritmética Em Generale Trattato escrito 60 anos depois da publicação do livro de Pacioli, Tartaglia diz que a solução de Pacioli está errada pois implicaria que se o jogo tivesse sido interrompido no final da primeira partida, o prémio ficaria na totalidade com o jogador que tivesse ganho essa partida (ver Katz, 1998, p. 451). A solução apresentada por Tartaglia baseia-se na diferença de pontuações obtidas pelos jogadores no momento da paragem. No caso presente como a diferença são dois pontos, um terço do número de jogos inicialmente fixado para ganhar, o prémio devia ser dividido em três partes ficando o vencedor com duas partes. Como se depreende da frase citada, Tartaglia não está muito confiante na solução que apresenta.

11 O problema da divisão das apostas
Girolamo Cardano 1564 – Cardano ( ) diz: “Há um erro evidente na divisão do prémio proposta por Pacioli que até uma criança pode reconhecê-lo” Gerolamo Cardano ( ): Áreas de interesse: Equações do 3º grau e aritmética. O problema dos três dados é resolvido no Liber in Ludo Aleae (Livro sobre jogos de azar) escrito por volta de 1526 (Katz, 1998, p. 449). A noção de equiprobabilidade é usada naturalmente. O resultado mais avançado de Cardano é a "regra da multiplicação“ para determinas as "chances" de ocorrência de uma acontecimento em várias repetições dum jogo. Na referência Bellhouse, D., 2001, (Probability prior to Pascal, In: Statisticians of the Centuries, Sta) a data indicada é 1520. Cardano tinha um problema com Tartaglia a propósito das equações cúbicas: Tartaglia conhecia a solução e comunicou-a a Cardano mas este não a devia tornar pública. Mais tarde Cardano descobre que a solução era devida a del Ferro e não se sente obrigado a cumprir a promessa feita a Tartaglia de não divulgação do resultado.

12 O problema da divisão das apostas
Para os matemáticos anteriores o problema da divisão das apostas é um problema sobre proporções. Para Pascal e Fermat o problema reduz-se a um problema de probabilidades.

13 O problema da divisão das apostas
“Ninguém, antes de Pascal e Fermat, estabeleceu os princípios e os métodos que permitissem calcular as chances favoráveis e desfavoráveis aos jogadores, bem como resolver questões complicadas deste género.” Laplace, P.-S., 1814, Essai Philosophique sur les Probabilités. Este texto reflete a ideia de que apesar de haver outros trabalhos na área é o trabalho de P e F que dá visibilidade ao assunto.

14 Probabilidade A probabilidade é um número entre 0 e 1 (ou entre 0% e 100%). A probabilidade quantifica a maior ou menor possibilidade que um acontecimento tem de ocorrer. Quanto maior for a probabilidade de determinado acontecimento, mais possibilidade tem ele de ocorrer.

15 resultados favoráveis
Probabilidade Para resultados igualmente prováveis: resultados favoráveis resultados possíveis Probabilidade =

16 Probabilidade A definição anterior de probabilidade é conhecida como
Pierre-Simon Laplace A definição anterior de probabilidade é conhecida como “Definição Clássica” sendo atribuída a Laplace ( )

17

18 Probabilidade No entanto, a definição clássica de probabilidade foi usada por outros matemáticos anteriores a Laplace!!!! A definição clássica de probabilidade está relacionada com outro conceito de probabilidade a que por vezes se dá o nome de Definição Frequencista. simul1dado.xls

19 Probabilidade Repetindo muitas vezes a experiência:
proporção de resultados favoráveis Probabilidade ~

20 Probabilidade A igualdade anterior é conhecida como
Jacques Bernoulli A igualdade anterior é conhecida como “Lei dos grandes números” e é devida a Jacques Bernoulli ( ).

21 O problema dos 3 dados Jogando com três dados, 9 e 10 pontos podem ser obtidos de seis maneiras diferentes: 9 pontos 10 pontos Exemplo onde se juntam as duas definições. A frequencista que serve para motivar o problema e a clássica que permite resolver o problema.

22 O problema dos 3 dados Porque não está este facto de acordo com a experiência que revela que a soma 10 ocorre mais vezes que a soma 9? simul3dadosA.xls

23 O problema dos 3 dados Este problema foi estudado por gente famosa:
Girolamo Cardano Cardano ( ) “Livro sobre jogos de azar” (escrito em 1526, publicado em 1663) O problema dos três dados é resolvido no "Livro sobre jogos de azar" escrito por volta de 1526 (Katz, 1998, p.449). A noção de equiprobabilidde é usada naturalmente. O resultado mais avançado de Cardano é a "regra da multiplicação" para determinas as "chances" de ocorrência de uma acontecimento em várias repetições dum jogo.

24 O problema dos 3 dados Galileu Galilei (1564-1642)
“Considerações sobre o jogo dos dados” (escrito entre 1613 e 1623)

25 O problema dos 3 dados Ambos concluem que as combinações anteriores não são igualmente prováveis. A definição clássica de probabilidade não pode ser usada a partir da contagens de tais combinações.

26 O problema dos 3 dados Resultado 1º dado 2º dado 3º dado 1 2 6

27 O problema dos 3 dados Resultado 1 4 4 Resultado 3 3 3 1º dado 2º dado

28 O problema dos 3 dados 1 2 6 1 3 5 1 4 4 2 2 5 2 3 4 3 3 3 9 pontos
Possibili-dades

29 O problema dos 3 dados 1 2 6 6 1 3 5 1 4 4 2 2 5 2 3 4 3 3 3 9 pontos
Possibili-dades 6

30 O problema dos 3 dados 1 2 6 6 1 3 5 1 4 4 2 2 5 2 3 4 3 3 3 9 pontos
Possibili-dades 6

31 O problema dos 3 dados 9 pontos Possibili-dades 6 3

32 O problema dos 3 dados 9 pontos Possibili-dades 6 3

33 O problema dos 3 dados 9 pontos Possibili-dades 6 3

34 O problema dos 3 dados 9 pontos Possibili-dades 6 3 1

35 O problema dos 3 dados 1 2 6 6 1 3 5 1 4 4 3 2 2 5 2 3 4 3 3 3 1 total
9 pontos Possibili-dades 6 3 1 total 25

36 O problema dos 3 dados 1 2 6 6 1 3 5 1 4 4 3 2 2 5 2 3 4 3 3 3 1 total
9 pontos Possibili-dades 6 3 1 total 25 10 pontos Possibili-dades

37 O problema dos 3 dados 1 2 6 6 1 3 5 1 4 4 3 2 2 5 2 3 4 3 3 3 1 total
9 pontos Possibili-dades 6 3 1 total 25 10 pontos Possibili-dades 6

38 O problema dos 3 dados 1 2 6 6 1 3 5 1 4 4 3 2 2 5 2 3 4 3 3 3 1 total
9 pontos Possibili-dades 6 3 1 total 25 10 pontos Possibili-dades 6

39 O problema dos 3 dados 1 2 6 6 1 3 5 1 4 4 3 2 2 5 2 3 4 3 3 3 1 total
9 pontos Possibili-dades 6 3 1 total 25 10 pontos Possibili-dades 6 3

40 O problema dos 3 dados 1 2 6 6 1 3 5 1 4 4 3 2 2 5 2 3 4 3 3 3 1 total
9 pontos Possibili-dades 6 3 1 total 25 10 pontos Possibili-dades 6 3

41 O problema dos 3 dados 1 2 6 6 1 3 5 1 4 4 3 2 2 5 2 3 4 3 3 3 1 total
9 pontos Possibili-dades 6 3 1 total 25 10 pontos Possibili-dades 6 3

42 O problema dos 3 dados 1 2 6 6 1 3 5 1 4 4 3 2 2 5 2 3 4 3 3 3 1 total
9 pontos Possibili-dades 6 3 1 total 25 10 pontos Possibili-dades 6 3

43 O problema dos 3 dados 1 2 6 6 1 3 5 1 4 4 3 2 2 5 2 3 4 3 3 3 1 total
9 pontos Possibili-dades 6 3 1 total 25 10 pontos Possibili-dades 6 3 total 27

44 O problema dos 3 dados Há 27 maneiras igualmente prováveis de obter 10 pontos. Há apenas 25 maneiras igualmente prováveis de obter 9 pontos. simul3dadosB.xls

45 O problema da divisão das apostas
Dois jogadores jogam uma série de partidas justas até que um deles obtenha 6 vitórias. Por motivos exteriores ao jogo, este é interrompido quando um dos jogadores somava 5 vitórias e o outro 3 vitórias.

46 O problema da divisão das apostas
Jogador A V V V V V Jogador B V V V

47 O problema da divisão das apostas
Como devemos dividir, de forma justa, o montante apostado por ambos os jogadores?

48 O problema da divisão das apostas
A primeira publicação de uma solução para o problema é feita por Christians Huygens ( ) em 1657. Christiaan Huygens Uma solução para o problema é pela primeira vez publicada em 1657 por Christiaan Huygens ( ) num livro que é considerado o primeiro livro sobre probabilidades: De Ratiociniis in Aleae Ludo (o livro foi escrito em 1656 sendo publicado no ano seguinte). Apesar das soluções de Pascal e Fermat datarem de 1654, esta só é publicada por Pascal em A solução de Huygens é semelhante à apresentada por Pascal. Huygens tem conhecimento do problema numa estada em Paris em 1655: Por volta de 1654 descobre uma nova forma de construir e polir lentes e com um telescópio por si construído detecta em 1655 a primeira lua de Saturno. Nesse mesmo ano visita Paris onde informa os matemáticos da sua descoberta. É nessa altura que tem conhecimento dos avanços das probabilidades feitos na correspondência entre P e F. De regresso à Holanda escreve o livro referido.

49 Primeira página da versão latina do livro de Huygens De Ratiociniis de Ludo Aleæ (Sobre o raciocínio nos jogos de azar) 1657

50 O problema da divisão das apostas
Se p é a probabilidade de um dos jogadores ganhar, ele deverá arrecadar p x Prémio Divisão justa: p x Prémio (1-p) x Prémio

51 O problema da divisão das apostas
O problema reduz-se ao cálculo da probabilidade de um jogador ganhar As soluções apresentadas por Pascal e por Fermat são diferentes mas chegam ao mesmo resultado.

52 O problema da divisão das apostas
O seu método é muito bom e foi o primeiro que me ocorreu durante estas pesquisas. Mas, devido ao facto de as combinações serem excessivas, eu encontrei um atalho e, na realidade, outro método mais curto e claro, o qual lhe passo a descrever em poucas palavras; pelo que gostaria de lhe abrir o meu coração daqui para a frente, se tal me é permitido, visto ter sido enorme o prazer que tive com o nosso acordo. Claramente vejo que a VERDADE é a mesma em Toulouse e em Paris. Fermat está na época em Toulouse e Pascal em Paris. A tradução da carta de Pascal a Fermat foi obtida de Carta de Pascal a Fermat de 29 de Julho 1654

53 O problema da divisão das apostas
Solução de Pascal Jogador A V V V V V V Jogador B V V V V V

54 O problema da divisão das apostas
Solução de Fermat 1ª partida 2ª partida 3ª partida vencedor A B A B A B A A B A B

55 O problema da divisão das apostas
Divisão justa: Jogador A recebe Jogador B recebe simuldivisao.xls

56 Jean Le Round D’Alembert
O erro de D’Alembert Jean Le Round D’Alembert Esta questão tem origem num artigo publicado por D’Alembert ( ) na “Enciclopédia Francesa” de 1754. Publicações anteriores à publicação do artigo de D'Alembert da Encyclopédie Française. 1657, Publicado e livro de Huygens, De Ratiociniis de Ludo Aleæ. 1708, Pierre Remond de Montmort publishes his Essai d'Analyse sur les Jeux de Hazards. Segunda versão alargada é publicada em 1713/14 1711, Sai o O livro de Abraham de Moivre, De Mensura Sortis, seu, de Probilitate Eventuum in Ludis a Casu Fortuito Pendentibus. 1713, O livro de Jacob Bernoulli, Ars Conjectandi, é publicado postumamente. 1718, Abraham de Moivre defines statistical independence in his first edition of Doctrine of Chances 1730, Abraham de Moivre publishes the central limit theorem in the special case of the binomial distribution Ver:

57 O erro de D’Alembert

58 Resposta de D’Alembert:
O erro de D’Alembert Qual é a probabilidade de obter pelo menos uma cara em dois lançamentos duma moeda? Resposta de D’Alembert: = 0.666…

59 O erro de D’Alembert 1º lançamento 2º lançamento 1 ou 2 caras cara sim
coroa coroa não

60 Resposta de D’Alembert:
O erro de D’Alembert Qual é a probabilidade de obter pelo menos uma cara em três lançamentos duma moeda? Resposta de D’Alembert: = 0.75

61 O erro de D’Alembert 1º lançamento 2º lançamento 3º lançamento
1,2 ou 3 caras cara coroa cara coroa cara coroa sim não

62 O erro de D’Alembert D’Alembert (1717-1783) Cardano (1501-1576)
Galileu ( ) Fermat ( ) Pascal ( ) Huygens ( ) Bernoulli ( ) Montmort ( ) De Moivre (1667 – 1754) Laplace ( ) D’Alembert ( )

63 O erro de D’Alembert É claro que D’Alembert estava a par da forma usada para calcular a probabilidade pedida

64 Estarão as respostas de D’Alembert correctas?
O erro de D’Alembert E D’Alembert termina: “Isto parece-me digno de merecer a atenção dos calculadores que irão reformular as regras por todos aceites sobre os jogos de azar” Estarão as respostas de D’Alembert correctas? simul2erroA.xls simul3erroA.xls

65 O erro de D’Alembert As respostas de D’Alembert não estão correctas.
As combinações por ele descritas não são igualmente prováveis. D’Alembert devia ter usado o método que Fermat utilizou 100 anos antes.

66 O erro de D’Alembert 1º lançamento 2º lançamento 1 ou 2 caras
cara sim cara coroa sim cara sim coroa coroa não simul2erroB.xls

67 O erro de D’Alembert 1º lançamento 2º lançamento 3º lançamento
1,2 ou 3 caras cara coroa cara coroa cara coroa sim cara coroa sim não simul3erroB.xls

68 Bibliografia Deheuvels, Paul (1990)
La Probabilité, le Hasard et la Certitude, PUF. Hald, Anders (1990) A history of probability and statistics and their applications before 1750, Wiley. Laplace, Pierre-Simon (1812) Essai Philosophique sur les probabilités. Székely, Gábor J. (1986) Paradoxes in probability theory and mathematical statistics, Reidel.

69 O paradoxo seguinte é essencial para conclusão da exposição
O paradoxo seguinte é essencial para conclusão da exposição. Podiamos também tentar simular para analisar a velocidade de convergência.

70 Paradoxo Opinião contrária à opinião comum ou ao sentir comum;
Contradição ou contra-senso, pelo menos aparente; Coisa que não liga bem com outra; Coisa incrível; Discordância, discrepância, desarmonia.

71 Paradoxo do dia de aniversário
Se não mais que 365 pessoas estiverem reunidas, é possível que todas tenham um dia de aniversário diferente. Com 366 pessoas é certo que pelo menos duas delas têm o mesmo dia de aniversário.

72 Paradoxo do dia de aniversário
Se 57 pessoas estiverem reunidas, qual é a probabilidade de pelo menos duas terem o mesmo dia de aniversário? Com certeza deve ser pequena ...

73 Paradoxo do dia de aniversário
Para resultados igualmente prováveis: resultados favoráveis resultados possíveis Probabilidade =

74 Paradoxo do dia de aniversário
resultados possíveis 2 pessoas 1 2 3 … 365 1,2,3,…,365 … 365 x 365 resultados possíveis

75 Paradoxo do dia de aniversário
resultados favoráveis 2 pessoas 1 2 3 … 365 1 2 3 … 365 365 resultados favoráveis

76 Paradoxo do dia de aniversário
Para 2 pessoas a probabilidade pedida é igual a = Em 0.27% das reuniões com 2 pessoas, essas duas pessoas têm o mesmo dia de aniversário

77 Paradoxo do dia de aniversário
Para resultados igualmente prováveis: resultados desfavoráveis resultados possíveis Probabilidade = 1 -

78 Paradoxo do dia de aniversário
resultados desfavoráveis 2 pessoas 1 2 3 … 365 2,3,…,365 1,3,…,365 1,2,…,365 … 1,2,…,364 365 x 364 resultados desfavoráveis

79 Paradoxo do dia de aniversário
Para 2 pessoas a probabilidade pedida é igual a =

80 Paradoxo do dia de aniversário
3 pessoas resultados possíveis 365 365 x 365 x 365 resultados possíveis 365 365

81 Paradoxo do dia de aniversário
3 pessoas resultados desfavoráveis 365 365 x 364 x 363 resultados desfavoráveis 364 363

82 Paradoxo do dia de aniversário
Para 3 pessoas a probabilidade pedida é igual a = Em 0.82% das reuniões com 3 pessoas, há pelo menos duas que têm o mesmo dia de aniversário

83 Paradoxo do dia de aniversário
Fórmula de cálculo para 2 pessoas Fórmula de cálculo para 3 pessoas

84 Paradoxo do dia de aniversário
Fórmula de cálculo para 57 pessoas = !!!

85 Paradoxo do dia de aniversário
Em 99.01% das reuniões com 57 pessoas, há pelo menos duas que têm o mesmo dia de aniversário

86 Paradoxo do dia de aniversário
2 0.27% 23 50.73% 50 97.04% 12 16.70% 30 70.63% 57 99.01% 20 41.14% 40 89.12% 69 99.90%

87 Paradoxo do dia de aniversário
Não devemos confundir o problema anterior com o seguinte: Qual é a probabilidade de alguém nesta sala ter o mesmo dia de aniversário que eu?

88 Paradoxo do dia de aniversário
3 pessoas além de mim resultados possíveis resultados desfavoráveis eu 365 364 365 364 365 364 365 x 365 x 365 364 x 364 x 364

89 Paradoxo do dia de aniversário
23 5.86% 100 23.78% 1000 93.55% 57 14.24% 254 50.05% 2000 99.58% 69 17.02% 500 74.56% 2518 99.90%

90 O paradoxo das coincidências
Numa festa de natal os alunos de uma escola decidem dar presente uns aos outros. Cada um traz um presente que é misturado com os outros presentes. Os presentes são distribuídos ao acaso pelos alunos. O livro Lectures On Generating Functions de Lando, S.K., 2003, (05ALAN), tem, no capítulo 7, o princípio da inclusão-exclusão abordado de forma simples que pode ser usada para organizar uma exposição detalhada sobre o cálculo da probabilidade envolvida. Os paradoxos do dia de aniversário e das coincidências Este podia ser um título interessante para uma exposição detalhada sobre estes dois problemas.

91 O paradoxo das coincidências
Este procedimento é usado acreditando-se que, se o número de alunos for grande, a probabilidade de alguém receber o seu próprio presente deve ser muito pequena... Será isto verdade?

92 O paradoxo das coincidências
Este problema é referido por Pierre Rémond de Montmort ( ) em 1708.

93 O paradoxo das coincidências
Este problema é referido por Pierre Rémond de Montmort ( ) em 1708. Uma tal probabilidade é dada por:

94 O paradoxo das coincidências
1 4 7 2 5 8 3 6 9

95 O paradoxo das coincidências
1 100% 4 7 2 5 8 3 6 9

96 O paradoxo das coincidências
1 100% 4 7 2 50% 5 8 3 6 9

97 O paradoxo das coincidências
1 100% 4 7 2 50% 5 8 3 66.66% 6 9

98 O paradoxo das coincidências
1 100% 4 62.5% 7 2 50% 5 8 3 66.66% 6 9

99 O paradoxo das coincidências
1 100% 4 62.5% 7 2 50% 5 63.33% 8 3 66.66% 6 9

100 O paradoxo das coincidências
1 100% 4 62.5% 7 2 50% 5 63.33% 8 3 66.66% 6 63.19% 9

101 O paradoxo das coincidências
1 100% 4 62.5% 7 63.21% 2 50% 5 63.33% 8 3 66.66% 6 63.19% 9

102 O paradoxo das coincidências
1 100% 4 62.5% 7 63.21% 2 50% 5 63.33% 8 3 66.66% 6 63.19% 9

103 O paradoxo das coincidências
1 100% 4 62.5% 7 63.21% 2 50% 5 63.33% 8 3 66.66% 6 63.19% 9

104 O paradoxo das coincidências

105 Bibliografia Deheuvels, Paul (1990)
La Probabilité, le Hasard et la Certitude, PUF. Hald, Anders (1990) A history of probability and statistics and their applications before 1750, Wiley. Laplace, Pierre-Simon (1812) Essai Philosophique sur les probabilités. Székely, Gábor J. (1986) Paradoxes in probability theory and mathematical statistics, Reidel.