Coloração Teoria dos Grafos (INF 5037/INF2781) 1.

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1 Coloração Teoria dos Grafos (INF 5037/INF2781) 1

2 Número cromático (χ(G))
Um grafo que requere k cores diferentes para a sua coloração própria e nenhuma a menos possui número cromático χ(G) = k 3-cromático b a c e f d Teoria dos Grafos (INF 5037/INF2781) 2

3 Um exemplo de aplicação
Problema dos exames: alocação de um grupo de alunos aos exames de recuperação que eles devem prestar em um colégio Restrição: Duas disciplinas só podem ter exames realizados simultaneamente se não envolverem alunos em comum Teoria dos Grafos (INF 5037/INF2781) 3

4 Um exemplo de aplicação
Alunos Disciplinas 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 Mat. x Port. Ingl. Geog. Hist. Física Química Biologia Teoria dos Grafos (INF 5037/INF2781) Teoria dos Grafos (INF 5037/INF2781) 4

5 Um exemplo de aplicação
G H F Q B São necessários apenas dois horários para realização dos exames: um para os exames de Matemática, Geografia, Biologia e História e outro, para os exames de Português, Inglês, Física e Química. Teoria dos Grafos (INF 5037/INF2781)

6 Algumas considerações...
Coloração de vértices: considerado em grafos simples e conexos Grafo nulo: 1-cromático Grafo com uma ou mais arestas: pelo menos 2-cromático Grafo com clique de tamanho k: pelo menos k-cromático Grafo cíclico: 2-cromático ou 3-cromático

7 Toda árvore com dois ou mais vértices
Teorema Toda árvore com dois ou mais vértices é 2-cromática Obs: toda árvore é 2-cromática mas nem todo grafo 2- cromático é uma árvore Teoria dos Grafos (INF 5037/INF2781) 7

8 Teorema Um grafo com pelo menos uma aresta é 2-cromático sss
não possui ciclos com comprimento ímpar Teoria dos Grafos (INF 5037/INF2781) 8

9 Corolário Um grafo G é bipartido sss G é 2-cromático Teoria dos Grafos
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10 Teorema Seja Δ o grau máximo dos vértices de G. Então χ(G)  1 + Δ
Exercício! Teoria dos Grafos (INF 5037/INF2781) 10

11 Menor número de cores para
Coloração de arestas Exemplo de aplicação: Em um laboratório, uma lista de tarefas deve ser cumprida o mais rápido possível. Cada tarefa deve ser realizada por uma dupla de integrantes do laboratório e necessita de 1 hora para ser executada. Qual é o menor número de horas necessárias para que todas as tarefas sejam cumpridas? f e a b c d Índice cromático: Menor número de cores para colorir propriamente as arestas de um grafo

12 Partição Cromática Um grafo G k-cromático é p-partido sss k  p.
Em um grafo p-partido, vértices de uma mesma partição não são adjacentes. Um conjunto de vértices de um grafo é dito independente se não possui vértices adjacentes. Teoria dos Grafos (INF 5037/INF2781) 12

13 Conjunto Independente de vértices
g a b e d f Exemplos: {a, c, d, g}, {e}, {a,d} Teoria dos Grafos (INF 5037/INF2781) 13

14 Conjunto Independente de vértices
Incompatibilidade de horários entre professores que devem aplicar prova final: deseja-se obter o maior número possível de turmas que realizarão prova final de várias disciplinas em um mesmo horário. Turmas com alunos em comum que farão prova final de disciplinas diferentes não podem ser alocadas no mesmo horário. Teoria dos Grafos (INF 5037/INF2781) 14

15 Conjunto independente
maximal de vértices Um conjunto independente maximal é um conjunto independente no qual não se pode adicionar mais nenhum vértice sem destruir a propriedade de independência. a d f g c e b Exemplos: {a,c,d,g}, {b,f} Teoria dos Grafos (INF 5037/INF2781) 15

16 Conjunto Independente de vértices maximal
Existem vários conjuntos independentes maximais em um grafo que podem ter diferentes tamanhos. Qual é o de maior tamanho? (G) = número de independência de G (cardinalidade do conjunto independente de vértices de maior tamanho de G) Teoria dos Grafos (INF 5037/INF2781) 16

17 χ(G) X (G) Seja G um grafo com n vértices e χ(G) = k
Número de vértices coloridos com a mesma cor  (G) (G) ≥ n/ χ(G) Teoria dos Grafos (INF 5037/INF2781) 17

18 Como achar um conjunto independente maximal?
Comece com um vértice qualquer. Selecione os próximos vértices sempre testando se o conjunto ao qual eles estão sendo inseridos continua independente Atenção: encontra-se um conjunto maximal e não o maior de todos! Teoria dos Grafos (INF 5037/INF2781) 18

19 χ(G) X (G) Encontrar (G): consiste em encontrar todos os conjuntos independentes maximais e obter o maior; Encontrar χ(G): número mínimo de conjuntos independentes maximais cuja união resulta em V Teoria dos Grafos (INF 5037/INF2781) 19

20 Partição cromática Dado um grafo simples e conexo G, os vértices de G são particionados no menor número possível de conjuntos independentes de vértices disjuntos. Teoria dos Grafos (INF 5037/INF2781) 20

21 Matchings Teoria dos Grafos (INF 5037/INF2781) 21

22 Exemplo Sejam a1, a2, a3 e a4 candidatos a preencher 6 vagas p1, p2, p3, p4, p5 e p6 de uma empresa. A qualificação de cada candidato o possibilita a se candidatar para um certo subconjunto de vagas, conforme a figura a seguir: Teoria dos Grafos (INF 5037/INF2781) 22

23 Exemplo Problema de Matching p1 a1 p2 a2 p3 a3 p4 a4 p5 p6
É possível empregar todos os candidatos em posições nas quais eles são qualificados? a1 p2 a2 p3 a3 p4 a4 p5 Qual é o número máximo de posições que podem ser preenchidas pelo grupo de candidatos? p6 Problema de Matching Teoria dos Grafos (INF 5037/INF2781) 23

24 Matching Um matching em um grafo é um subconjunto de arestas não adjacentes. Uma única aresta já é considerada um matching. Um matching maximal é um matching no qual nenhuma aresta a mais pode ser adicionada sem ferir a propriedade de matching Teoria dos Grafos (INF 5037/INF2781) 24

25 Exemplos a b a b a b d c d c d c Teoria dos Grafos (INF 5037/INF2781)
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26 Exemplo de aplicação Em um laboratório, cada tarefa de uma lista de
tarefas especificadas, deve ser realizada por uma dupla de integrantes do laboratório e necessita de 1 hora para ser executada. Qual é o maior número de tarefas que podem ser executadas em um mesmo horário? f e a b c d

27 Número de matching Um grafo pode ter muitos matchings maximais;
n° de matching: o número de arestas do maior deles. qual é o número de matching do grafo do slide anterior? Teoria dos Grafos (INF 5037/INF2781) 27

28 Matching Perfeito Um matching perfeito é um matching no qual todo vértice do grafo é um extremo de algum elemento do matching Nem todo grafo contém um matching perfeito: a b e d c Teoria dos Grafos (INF 5037/INF2781) 28

29 Observação Todo matching perfeito é maximal mas
nem todo matching maximal é perfeito Teoria dos Grafos (INF 5037/INF2781) 29

30 Matching completo Definição válida para grafos bipartidos
Em um grafo bipartido com subconjuntos de vértices V1 e V2, um matching completo de V1 em V2 é um matching no qual existe uma aresta incidente a cada aresta de V1. Teoria dos Grafos (INF 5037/INF2781) 30

31 Observação um matching completo é o maior matching maximal mas um matching maximal pode não ser completo Teoria dos Grafos (INF 5037/INF2781) 31

32 Exemplo p1 a1 p2 a2 p3 a3 p4 a4 p5 p6 Teoria dos Grafos
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33 Condições para existência de um matching completo
|V1|  |V2|; todo subconjunto de r vértices em V1 deve ser adjacente a pelo menos r vértices em V2, para r = 1, 2, ..., |V1|. Teoria dos Grafos (INF 5037/INF2781) 33

34 Problema de representantes distintos
Cinco senadores (s1, s2, s3, s4 e s5) são membros de três comitês (c1, c2 e c3) s1 Um membro diferente de cada comitê deve participar de uma comissão geral. É possível realizar esse matching? c1 s2 c2 s3 c3 s4 s5 Teoria dos Grafos (INF 5037/INF2781) 34

35 Teorema Em um grafo bipartido, se existe um inteiro positivo m tal que
d(v1) ≥ m ≥ d(v2) , com v1 de V1 e v2 de V2, então existe um matching completo de V1 para V2 Teoria dos Grafos (INF 5037/INF2781) 35

36 Prova Considere um subconjunto de r vértices em V1
Cada um dos r vértices tem pelo menos m vértices de V2 incidentes a ele. Assim esses r vértices tem pelo menos m.r arestas incidentes Cada uma das m.r arestas é incidente a algum vértice de V2 Por sup. d(vi) ≤ m, vi de V2 Então as m.r arestas são incidentes a pelo menos m.r/m = r vértices Assim, qualquer subconjunto de r vértices de V1 é adjacente a r ou mais vértices de V2. Logo, G possui um matching completo Teoria dos Grafos (INF 5037/INF2781) 36

37 Cobertura de vértices Um conjunto de vértices K de V é uma cobertura de G se toda aresta de G possui pelo menos um extremo em K Cobertura mínima: aquela que possui o menor número possível de vértices Aplicações: Vigilância: menor número possível de câmeras de segurança em lugares públicos. Teoria dos Grafos (INF 5037/INF2781) 37

38 Exemplo Teoria dos Grafos (INF 5037/INF2781) 38

39 Observações Se K é uma cobertura de vértices e M um matching de G então K contém pelo menos um extremo de cada aresta de M Para quaisquer K e M em G tem-se |M|  |K| Teoria dos Grafos (INF 5037/INF2781) 39

40 Cobertura de arestas Em um grafo G, um conjunto g de arestas cobre G se todo vértice em G é incidente a pelo menos uma aresta em g. O conjunto g é chamado cobertura de G. Teoria dos Grafos (INF 5037/INF2781) 40

41 Observações G consiste na sua própria cobertura
Uma árvore geradora é uma cobertura Um ciclo hamiltoniano, se ele existe, é uma cobertura Teoria dos Grafos (INF 5037/INF2781) 41

42 Cobertura minimal Conjunto de arestas que cobre G de forma que a retirada de uma única aresta destrói essa propriedade a b d c Teoria dos Grafos (INF 5037/INF2781) 42

43 Exemplo Garantir a alocação de todas as disciplinas
da oferta de um curso aos professores do departamento

44 Observações G possui uma cobertura se não possui vértices isolados
Uma cobertura de um grafo com n vértices possui pelo menos n/2 arestas Toda aresta pendente de um grafo faz parte de toda cobertura de G Toda cobertura contém uma cobertura minimal Nenhuma cobertura minimal contém um ciclo. Assim, uma cobertura minimal contém no máximo n-1 arestas Teoria dos Grafos (INF 5037/INF2781) 44

45 Nº de cobertura de G Número de arestas da cobertura minimal de menor tamanho de G Teoria dos Grafos (INF 5037/INF2781) 45

46 Uma cobertura g de um grafo é minimal
Teorema Uma cobertura g de um grafo é minimal se e somente se g não contém caminhos de comprimento 3 ou mais Teoria dos Grafos (INF 5037/INF2781) 46