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Os contratos de crédito
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O contrato de crédito Existem três razões principais para a necessidade de haver contratos de crédito. O ciclo de vida das pessoas Poder ocorrer um período de “desemprego” ou de despesas acrescidas (e.g., doença) O capital ser produtivo
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O ciclo de vida Uma das mais obvias razões para a a existência de empréstimos é o ciclo de vida das pessoas. As pessoas precisam de consumir sempre Existem longos períodos em que não têm rendimento (quando crianças e “velhos”)
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O ciclo de vida
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O ciclo de vida As pessoas, quando crianças, não têm rendimento suficiente para sobreviver, pedindo recursos emprestados Em média, é-se “criança” durante 20 anos Quando trabalham, pagam as dívidas (de criança) e poupam alguns recursos (para a velhice) Em média, é-se activo durante 45 anos
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O ciclo de vida Quando reformados, não têm suficiente rendimento para sobreviver, mas têm os recursos que pouparam (emprestaram) Em média, a reforma dura 15 anos Esses recursos que vão-se esgotando
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O desemprego O trabalho é a fonte mais importante de rendimento das famílias E, de repente, qualquer pessoa pode ficar desempregada. A probabilidade será de 10%/ano
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O desemprego E, depois, demora alguns meses a encontrar novo emprego
Em média, 12 meses E o salário é menor que o anterior Menos 15% Será necessário poupar recursos para essa eventualidade. Deverão ter uma poupança > 12 salários.
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Cataclismos Podem ocorrer imponderáveis
O indivíduo pode adoecer, ficando sem poder trabalhar e necessitando de tratamento médico. Pode ter um acidente de automóvel, necessitando de pagar a reparação. Pode ter um incêndio em casa. É necessário ter uns activos de lado
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O capital ser produtivo
O trabalho torna-se mais produtivo se for auxiliado por capital máquinas e ferramentas, solo agrícola, etc. Se um indivíduo pedir emprestado dinheiro, pode comprar bens de capital e aumentar o seu rendimento Mais tarde, pode devolver o dinheiro pedido
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O capital ser produtivo
Existem bens que custam “muito dinheiro” e duram muito tempo Casas, carros, frigoríficos, televisores, etc. Estes bens “produzem” utilidade As pessoas, sem dinheiro, estão disponíveis para pedir empréstimos e pagar um pouco todos os meses.
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O empréstimo em dinheiro
Numa sociedade “atrasada”, Armazenam-se bens Emprestam-se bens e serviços Numa sociedade monetarisada, empresta-se dinheiro
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O empréstimo em dinheiro
O armazenamento de recursos tem custos muito elevados A roupa passa de moda A comida estraga-se Os carros enferrujam É vantajoso emprestar dinheiro e mais tarde tê-lo de volta para comprar bens e serviços
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O empréstimo em dinheiro
Poupar dinheiro não é o mesmo que poupar recursos escassos Se poupamos dinheiro, nós deixamos de consumir recursos (bens e serviços) Mas, a quem emprestamos, vai consumir esses recursos que poupamos.
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O empréstimo em dinheiro
Como as pessoas são heterogéneas, haverá sempre algumas que precisam de pedir dinheiro E.g., as criancinhas, os desempregados e acidentados imprevidentes. Outras que precisam de guardar dinheiro E.g., os activos previdentes.
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A taxa de juro
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A taxa de juro Quando eu empresto uma quantidade de dinheiro, não vou receber a mesma quantidade A diferença denomina-se por JURO O Juro pode ser entendido como a remuneração de eu adiar o consumo
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A taxa de juro Em termos económicos,
quem empresta está a vender bens do presente em troca de bens do futuro quem pede emprestado está a comprar bens do presente em troca de bens do futuro Ou vice versa
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A taxa de juro Então, o juro também pode ser entendido
como uma “taxa de cambio” intertemporal 1€ de agora vale 1.1€ do futuro como um “preço relativo” intertemporal 1 camisola de agora vale 0.9 camisolas do futuro
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A taxa de juro O raciocínio em termos de “remuneração” é muito mais fácil de compreender que em termos de “preço relativo”
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A taxa de juro O juro, em tese, tanto poderá ser positivo como negativo. Há razões para justificar ser positivos e razões para justificar ser negativo Historicamente é positivo
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A taxa de juro Porque é positivo? Por três razões A inflação
Haver alternativas remuneradas As pessoas preferem o presente ao futuro O capital é produtivo Haver risco de incumprimento
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Taxa de juro positiva Hoje faço anos e deram-me 1000€
Hipótese 1: entregam-mos agora. Hipótese 2: entregam-mos daqui a 10 anos. Qual das hipóteses será preferível?
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Taxa de juro positiva É preferível a hipótese 1
A) O dinheiro vai desvalorizar B) Podia depositá-lo a juros C) O doador pode morrer (e a oferta falhar)
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Inflação A) O dinheiro vai desvalorizar
O valor do dinheiro resulta de podermos comprar bens e serviços. Como existe inflação (i.e., o preço dos bens e serviços aumenta com o tempo), a quantidade de bens que posso comprar diminui com o tempo. O valor do dinheiro diminui com o tempo
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Inflação A) O dinheiro vai desvalorizar Inicialmente tenho V0 euros
Os preços, em média, aumentam %. No fim do período terei que ter V1 = V0 (1+ )
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Inflação A) O dinheiro vai desvalorizar Exercício Posso ter 1000€
Sendo que, em média, durante os próximos 10 anos os preços aumentarão 40%. Quanto terei que ter ao fim deste tempo para ter o mesmo poder aquisitivo?
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Inflação V1 = 1000 x ( ) = 1400€ Teria que ter 1400€
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Alternativa remunerada
B) Podia depositá-lo a juros O capital é produtivo. E.g., um agricultor se cavar com uma enxada consegue produzir mais do que se o fizer com um apenas um pau. O capital é escasso Quem precisar de capital estará disponível a pagar uma remuneração pelo seu “aluguer”.
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Alternativa remunerada
B) Podia depositá-lo a juros É preferível consumir hoje. As pessoas preferem o Presente ao Futuro No Futuro estamos mortos No Futuro estamos velhos pelo que não apetecerá Quem faz o sacrifício de não consumir no presente precisa ser “remunerado”. Quem tem o benefício de consumir o que não tem (ainda) tem que “pagar”.
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Alternativa remunerada
B) Podia depositá-lo a juros Inicialmente tenho V0 euros Apesar de os preços, em média, se manterem, = 0%, um empresário de confiança paga-me como juro r%. No fim do período, terei V1 = V0 (1+ r)
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Risco de incumprimento
C) O doador pode morrer O Futuro é incerto. A obrigação pode não ser cumprida Quando eu empresto dinheiro, estou a pensar receber o dinheiro mais os juros Mas posso não receber nenhum deles Ou receber apenas parte
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Risco de incumprimento
C) O doador pode morrer Vamos supor que eu emprestei V0 euros e vou receber (penso eu) V1 euros. Existindo a probabilidade p de eu não receber nada, para, em média, ficar equivalente, terá que V0 = 0 x p + V1 x (1 - p) V1 = V0 / (1 - p)
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Risco de incumprimento
C) O doador pode morrer Vamos supor que eu empresto 1000€ Existe a probabilidade de 10% de, decorrido o prazo acordado, não receber nada Qual terá que ser a soma prometida no fim do prazo?
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Risco de incumprimento
V1 = 1000 / (1 – 10%) = € Teriam que me prometer acrescentar € de juros ao dinheiro que eu emprestei.
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A taxa de juro Haverá razões para que a taxa de juro pudesse ser negativa? O dinheiro que guardo em casa pode ser roubado Se houver poucas criancinhas e poucos empresários, não há a quem emprestar dinheiro i.e., se não houver crescimento económico
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A taxa de juro Haverá razões para que a taxa de juro pudesse ser negativa? Historicamente, os efeitos “negativos” são negligenciáveis face aos efeitos “positivos”
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A taxa de juro AS unidades de juro são em termos de unidades de capital (dinheiro) por unidades de tempo. e.g., 0.10€ por cada 1.00€ e por cada ano Seria uma taxa de juro de 10% ao ano
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A taxa de juro Como o juro incorpora 3 elementos
A inflação A remuneração do capital (o juro real) O risco de não cobrança Em termos de taxas temos, num ano Vfinal = Vinicial x (1+ ) x (1 + r) / (1 - p) 1+ i = (1+ ) x (1 + r) / (1 - p)
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A taxa de juro Para valores de r, e p pequenos, é aceitável somas as 3 parcelas:
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A taxa de juro Supondo que eu empresto 1000€, durante 1 ano.
A inflação (prevista) é de 5% ao ano O juro real (acordado) é de 2% ao ano O risco de não cobrança é de 3% ao ano Qual a taxa de juro? Quanto dinheiro devo acordar receber?
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A taxa de juro A taxa de juro seria de10.41%:
1+i = ( ) x ( ) / (1 – 0.03) i =10.412% Devo exigir receber (daqui a um ano) V1 = 1000 x ( ) x ( ) / (1 – 0.03) V1 = € Os juros seriam €.
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A taxa de juro A soma das parcelas daria 10%
A taxa calculada é % Quanto mais pequenas forem as parcelas, menor é a diferença
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A taxa de juro Eu tenho 10 galinhas que posso comer (galinhas de hoje) ou emprestar e receber 11 galinhas daqui a um ano (galinhas do futuro). i) Qual é a taxa de juro? ii) Qual é o preço das galinhas do futuro relativamente às galinhas do presente?
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A taxa de juro i) A taxa de juro resolve 11 = 10.(1 + i) i = 10%.
ii) Compro 11 galinhas do futuro com 10 unidades “monetárias” (10 galinhas de hoje) pelo que preço de cada galinha do futuro será de 0,909 unidades “monetárias” (i.e., galinhas de hoje).
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A taxa de juro Assumir um juro proporcional à duração do tempo e à quantidade emprestada tem problemas O risco de grandes somas é mais que proporcional ao risco das pequenas somas Por causa da diversificação do risco O risco de longos prazos é mais que proporcional ao risco dos curtos prazos O futuro distante é menos previsível
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A taxa de juro Mesmo assim, usa-se como referência para o juro uma taxa por unidade de tempo, normalmente o ano. E.g. 4.47%/ano Podendo haver ajustamentos ao prazo e ao valor
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A taxa de juro Taxa EURIBOR
É a taxa de juro por ano que os bancos sem risco (first class credit standing) emprestam euros entre si É uma referência nos contratos com taxa de juro variável (e.g., crédito à habitação).
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EURIBOR a 6 meses desde o início de 2008
A taxa de juro EURIBOR a 6 meses desde o início de 2008
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A taxa de juro EURIBOR dependendo do prazo do contrato
(Escalas: esquerda; direita)
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A taxa de juro Taxa EURIBOR
Como é uma taxa sem risco, os particulares acrescem um Spread à sua taxa que é a previsão que o emprestador tem do risco de não cobrança de cada cliente. Os depositantes recebem menos que a EURIBOR – “pagam” os serviços bancários
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A taxa de juro Taxa de desconto do Banco Central
O BC controla a quantidade de papel moeda em circulação, i.e, controla o nível médio de preços Não tem qualquer efeito real (monetaristas) Quando é definida, e.g., 4%/ano, o BC aceita liquidez a 3.5%/ano e cede liquidez a 4.5%/ano – denomina-se janela de desconto
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A taxa de juro Taxa de desconto do Banco Central não é uma boa medida da taxa de mercado sem risco A cedência de liquidez é de “último recurso”. Ao fim de 60 dias, a taxa de juro aumenta 1 ponto percentual Ao fim de 120 dias, aumenta mais 1 p.p.
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A taxa de juro
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A taxa de juro O Credit Scoring é uma técnica de estimação da probabilidade de incumprimento. O Score é um índice que resulta de somar os efeitos de várias variáveis
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A taxa de juro Ex.1.9: assuma o seguinte score:
PJA: Proporção dos juros e amortizações no rendimento mensal PDP: Proporção das dívidas no património IM: Idade média do casal Score = 100PJA + 25PDP + IM
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A taxa de juro score ≤ 80, o spread será de 0.75 pp
80 < score ≤ 130, o spread será 1.75 pp score > 130, o banco não concede crédito. Qual o spread de um casal, com 2M€/mês, património de 100M€, anos, e que pedem 175M€ para comprar uma casa avaliada em 250M€? Assuma uma prestação mensal de 6€/1M€.
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A taxa de juro Como o Score p = 100x6x175/2000 + 25.[175/(100 + 250)]
+ 28 = 93 está no intervalo ]80, 130], o spread será de 1.75pp.
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Questões a discutir A natalidade tem diminuído
As crianças sustentavam os pais na velhice Será culpa do estado por garantir a velhice com reformas e assistência? Por não garantir os pagamentos das dívidas dos filhos aos pais? Será culpa dos mercados financeiros por disponibilizarem activos sem risco?
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Questões a discutir A poupança das famílias tem decrescido
Garantiam uma “eventualidade” Permitiam comprar um “bens duradouros” Será culpa do estado ao garantir assistência médica e medicamentosa? De haver “subsídio de desemprego”? De haver seguradoras? De haver crédito bancário?
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Questões a discutir Não há investimento
Será culpa dos bancos favorecerem o crédito ao consumo? Será culpa do estado porque, os processos de falência são demorados, ineficientes, e favorece os trabalhadores em detrimento de quem emprestou o “capital”?
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Capitalização e Desconto
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Capitalização A taxa de juro é referida a uma unidade de tempo, normalmente um ano. Se a duração do contrato for de vários anos mas os juros forem pagos no final de cada ano Estamos sempre a voltar à situação inicial. Esta é a situação dita normal.
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Capitalização Se os juros forem pagos apenas no fim do prazo contratado (de vários anos) Cada ano, o capital aumentará Haverá lugar a juros dos juros não pagos. Esta é a situação capitalizada.
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Capitalização Simples
Neste caso, desprezamos os juros dos juros. Cada ano, os juros são o capital inicial a multiplicar pela taxa de juro anual J = Vinicial.i No final de n anos, receberemos Jtotal = Vinicial.n.i e Vfinal.(1+ n.i) itotal = n.i
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Exercício Ex.1.4. Um empréstimo de 10M€ a 3 anos em que os juros são pagos no fim do período, capitalização simples. A taxa de juro foi 3.754%/ano; 4.217%/ano e 4.765%/ano, respectivamente. Qual a quantia a pagar?
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Exercício R. Os juros serão J = 10M€.(3.754% + 4.217% + 4.765%)
= € O capital final será V = 10000€ € = €.
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Exercício C3: =B3*B$1 C6: =SUM(C3:C5) C7: =C6 + B1
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Capitalização Composta
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Capitalização Composta
Neste caso, vamos considerar os juros dos juros. Cada ano, os juros acrescem ao capital Jt+1 = Vt.i Vt+1 = Vt + Vt.i = Vt.(1+i) No final de n anos, receberemos Vfinal.=Vinicial.(1 + i)n, itotal = (1 + i)n - 1
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Exercício Ex.1.5. Emprestando 25M€, a 5 anos à taxa de 5% ao ano, juros a pagar no fim do período com capitalização composta. Denominam-se de juros postecipados i) Qual o capital final a receber ii) Determine a taxa de juro dos 5 anos e compare com a capitalização simples.
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Exercício i) O capital final a receber será de
25000.(1 + 5%)5 = 31907,04€. ii) A taxa de juro do contrato será (1+5%)5 –1 = 27,628% com capitalização simples seria menor = 5x5% = 25%.
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Exercício Ex.1.6. Um empréstimo de 10M€ a 3 anos em que os juros são postecipados, capitalização composta. A taxa de juro foi 3.754%/ano; 4.217%/ano e 4.765%/ano, respectivamente. Qual a quantia a pagar?
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Exercício O valor a receber será
= €
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Período de tempo fraccionário
Na expressão da taxa de juro capitalizada de forma composta: itotal = (1 + i)n - 1 O número de anos é inteiro. No entanto, podemos extrapolar o conceito de capitalização a fracções do ano.
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Período de tempo fraccionário
Sendo que empresto 1000€ durante 3 meses a uma taxa anual de 5%/ ano, quanto vou receber de juros (c. composta):
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Período de tempo fraccionário
3 meses correspondem a 0.25 anos. Vou receber 12,27€ de juros Se capitalizasse esta taxa 4 vezes, obtinha os 5% ( %)4 – 1 = 5%
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Período de tempo fraccionário
Ex.1.7. Num empréstimo de 100M€ foi acordado o pagamento mensal de juros à taxa média do último mês da EURIBOR a 3 meses e o capital no fim do prazo acordado. Supondo um mês em que a taxa de juro foi de 5.735%/ano, quanto foi pago de juros?
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Período de tempo fraccionário
R. A taxa mensal será ( %)1/12 – 1 = % Um mês corresponde a 1/12 anos € de juros referentes ao mês
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Valor Futuro O valor que uma soma de dinheiro do presente terá no futuro Traduz o total a pagar pelo devedor no final do prazo acordado: valor futuro do capital emprestado.
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Valor Futuro Ex.1.8. Foram colocadas à venda obrigação do SCP de valor nominal de 5.00€ por 4.05€. Sabendo que o SCP resgata a obrigação ao par (i.e., paga os 5€) daqui a 3 anos, qual a taxa de juro desta aplicação?
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Valor Futuro R. O valor futuro dos 4.05€ do presente serão 5.00€ pelo que a taxa de juro resolve: será 7.277%/ano:
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Valor Futuro Ex.1.9. Um indivíduo deposita no início de cada mês 1000€ durante 60 meses. As prestações são antecipadas Supondo que a taxa de juro é de 4% ao ano, determine o valor futuro total das parcelas poupadas (i.e., quanto dinheiro terá no fim dos 60 meses)?
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Valor Futuro O valor futuro de 1000€ depositados no início do mês i é
O valor futuro total valerá que, resolvido no Excel, resulta em €.
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Valor Futuro C2: =B2*(1+4%)^((60-A2+1)/12) e copiava em coluna
C62: =Soma(B2:B61)]
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Taxa de juro instantânea
Apesar de a taxa de juro i ser anualizada, pode ser usada em contratos em que os juros são pagos com regularidade inferior Juros recebidos no final do primeiro período
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Taxa de juro instantânea
Juros recebidos no final do segundo período O total de juros recebidos durante o ano, vem dado por,
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Taxa de juro instantânea
Por exemplo, se empresto 10M€ à taxa de juro de 5%/ano e quiser receber no fim de cada dia os juros, T=1/365, então durante um ano recebo:
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Taxa de juro instantânea
Quando o tempo se torna infinitesimal, esta medida k transforma-se na taxa de juro instantânea: A taxa de juro média virá dada por
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Taxa de juro instantânea
De forma equivalente
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Taxa de juro instantânea
A vantagem da taxa instantânea é poder ser utilizada em modelos em tempo contínuo (o que será feito em Macroeconomia e Matemática II).
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Desconto Sendo que capitalizar é andar para a frente no tempo
Descontar é andar no tempo para trás É, na taxa de juro capitalizada de forma composta: itotal = (1 + i)n - 1, assumir um número negativo de anos
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Desconto – Valor passado
Em termos económicos, pode traduzir o valor passado de uma quantidade de dinheiro presente Eu recebi hoje 1000€ de um valor que emprestei há 10 anos a 4% ao ano. Qual o capital que eu emprestei?
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Desconto – Valor actual
Também pode traduzir o valor actual (no presente) de uma quantidade de dinheiro que vou ter disponível no futuro
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Desconto – Valor actual
No meu emprego, vão-me dar de prémio 100€, pagos daqui a 10 anos. Para uma taxa de juro de 6% ao ano, esses 100€ de daqui a 10 anos valem no presente 100€ x 1.06–10 = 55.84€.
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Desconto – Valor actual
Ex Um estudante, quando terminar o curso, vai receber de umas tias um prémio de 10000€. Supondo que pensa terminar o curso daqui a 30 anos e que a sua taxa de desconto é de 5% ao ano, qual será o seu valor actual?
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Desconto – Valor actual
Posso “vender” este activo e receber no presente € (a outra pessoa que tenha 5% como taxa de desconto).
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Desconto – Valor actual
Ex Um indivíduo depositou num banco em 1940 uma soma. Sendo que esse banco devolveu 1milhão€ em 2008, qual terá sido a soma depositada?
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Desconto – Valor actual
R. Descontando 1milhão€ para 1940, temos = €.
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Pagamento da dívida Rendas
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Rendas Já consideramos duas possibilidades para o pagamento da dívida.
1) Os juros são pagos periodicamente e o capital é pago no fim do prazo contrato. 2) O capital mais os juros são pagos no fim do prazo contrato.
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Rendas Agora explorar uma outra possibilidade:
É paga uma prestação em cada período No final do prazo não há mais nada a pagar Cada prestação contêm juros e amortização do capital Denominamos este plano como uma Renda
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Rendas Uma renda transforma uma determinada soma de dinheiro num rendimento. Um stock num fluxo
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Rendas O Jardel, aos 26 anos de idade, ganhava 300mil€ por mês.
Poderia ter constituído um depósito de 1.5 milhões de euros e Receber, a partir dos 35 anos, 600 prestações mensais de 10000€ cada.
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Rendas As prestações podem ser regulares ou irregulares no tempo
constantes ou variáveis no valor haver ou não diferimento de alguns períodos terem duração limitada ou serem perpétua
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Rendas Emprestamos um capital que recuperamos na forma de uma renda (e.g., saiu-nos a lotaria); Pedimos um capital que pagamos na forma de uma renda (e.g., um crédito à habitação); Pagamos uma renda que recebemos no final na forma de um capital (e.g., para comprar um barco a pronto);
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Rendas Recebemos uma renda que pagamos no fim na forma de um capital (e.g., para podermos viver à custa de uma herança que vamos receber no futuro); Receber uma renda que pagamos na forma de renda (e.g., para financiar os estudos).
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Rendas Obtemos o valor actual da renda descontando todos os recebimentos ao instante de tempo presente. Podemos usar outro instante de tempo qualquer. Tem é que ser o mesmo para todas as prestações.
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Rendas Ex Determine, na aplicação financeira do Jardel, qual a taxa de juro implícita. É de 4.857% ao ano.
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Rendas
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Rendas Na coluna A estão os meses de vida, na B as quantias entregues, na C as quantias descontadas ao presente C2: =B2/(1+$E$1)^(A2-312) e copiava em coluna C710: =Soma(C2:C709) Uso a ferramenta “atingir objectivo” definindo C710 para 0 por alteração de E1.
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Rendas Ex Uma família adquiriu uma habitação mediante um empréstimo bancário de 150mil€ à taxa de juro de 5.5% anual a 50 anos. Qual a prestação mensal a pagar? 720.29€ / mês
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Rendas
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Rendas Na coluna A estão os meses, na B as quantias recebidas, na C as quantias descontadas ao presente B2: =E$3; C2: =B2/(1+$E$1)^A2 e depois copiamos ambas em coluna. C603: =Soma(C2:C602); E1: =(1+E2)^(1/12)–1. Usava a ferramenta “atingir objectivo” definindo C603 para 0 por alteração de E3.
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Renda perpétua Numa renda perpétua, recebe-se uma prestação para sempre. Tem mais interesse teórico apesar de poder existir Sendo a taxa de juro i e os recebimentos no fim de cada período (i.e., postecipada), é uma situação idêntica a um depósito em que no fim de cada período, são pagos apenas os juros
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Renda perpétua Como os juros de cada período valeriam J = V.i
Podemos determinar o valor da renda (ou da taxa de juro implícita) (P=prestação, i=tx.juro, V=valor da renda):
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Renda perpétua Ex Um agricultor arrendou um terreno por 50€/mês para sempre. Supondo uma taxa de juro de 5% ao ano, qual será o valor presente do terreno?
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Renda perpétua V = 50 / 0.407% = €
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Renda perpétua Se a renda for antecipada (a prestação é paga no princípio do período), teremos que somar uma parcela
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Renda perpétua Se houver deferimento de n períodos (tempo em que não é paga prestação), a renda terá que ser descontada
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Renda de duração limitada
Com o conhecimento da expressão da renda perpétua Podemos calcular o valor de uma renda de duração limitada Compondo duas rendas perpétuas.
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Renda de duração limitada
Recebemos a prestação R entre o presente e o período N (postecipada). Para a taxa de juro i, determine o valor desta renda.
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Renda de duração limitada
É equivalente a receber uma renda perpétua a começar agora e pagar uma renda perpétua a começar no período N, Descontamos tudo ao presente.
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Renda de duração limitada
Se a renda for paga no princípio do período (i.e., antecipada)? Teremos que somar uma parcela.
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Renda de duração limitada
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Renda de duração limitada
Ex Um agricultor arrendou um terreno por 50€/mês, pago no fim do mês, até que o TGV lhe destrua o terreno (i.e., daqui a 25 anos). Supondo uma taxa de juro anual de 5%, qual será o valor presente do terreno?
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Renda de duração limitada
Já não preciso do Excel V = 50/0.407% x (1 – –300) = € x = € Mas podemos usá-lo para verificar
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Renda de duração limitada
C2: =B2*(1+$D$2)^-A2
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Renda de duração limitada
Ex o Figo, entre os 25 e os 35 anos, depositou 100mil€/mês (i.e., 120 prestações). Com essa poupança vai receber uma renda de valor fixo entre os 35 anos e os 85 anos (600 prestações). Para uma taxa de juro anual de 4%, quanto vai receber por mês?
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Renda de duração limitada
Vamos usar como instante de referência os 25 anos (acabados de fazer) Vamos somar Duas rendas de duração limitada Ou quadro rendas perpétuas Nota: Sem perda, vou usar anos para descontar e meses para a renda
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Renda de duração limitada
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Obrigações a taxa fixa Uma obrigação de taxa fixa consiste num activo que condensa uma entrega inicial e um recebimento futuro. O valor da obrigação é o valor actual do recebimento futuro Altera-se com o decorrer do tempo e da tx.jr de mercado
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Obrigações a taxa fixa Ex Uma obrigação a 10 anos de valor nominal de 100€ reembolsável ao par (i.e., serão pagos 100€ daqui a 10 anos) vai ser vendida em leilão. Para uma remunerado a uma taxa média de 7.5%/ano, qual o preço máximo que o investidor está disponível a pagar?
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Obrigações a taxa fixa Vamos descontar os 100€ ao presente:
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Obrigações a taxa fixa Passados 5 anos, qual será o valor da obrigação? Se o mercado justificar um aumento da taxa de juro em um ponto percentual, qual a desvalorização da obrigação?
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Obrigações a taxa fixa Já só faltam 5 anos para receber os 100€
O aumento da taxa de juro desvaloriza a obrigação em 4.5%
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Obrigações a taxa fixa Se o investidor adquiriu a obrigação a 45€, qual a taxa de juro que pensava receber? E qual será se vender a obrigação depois da desvalorização?
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Obrigações a taxa fixa A taxa de juro prevista era E passou a ser
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TAEG implícita no contrato
TAEG – Taxa anual efectiva global –Taxa anual equivalente global Actualmente, é obrigatório que nos anúncios (de venda a crédito) seja afixado o preço a pronto pagamento e a taxa de juro implícita (efectiva) calculada com todas as despesas a incorrer pelo cliente
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TAEG implícita no contrato
Um televisor (ppp de 1190€), a crédito “paga na entrega 119€ mais 12 prestações trimestrais de 100€. Tem que pagar no fim do primeiro ano mais 50€”. Determine a TAEG deste contrato de crédito.
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TAEG implícita no contrato
Podemos indicar algebricamente o resultado Mas o mais fácil é determina-lo no Excel
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TAEG implícita no contrato
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TAEG implícita no contrato
Se a EURIBOR for de 5.5%/ano, qual é a probabilidade de incumprimento implícita neste contrato de crédito?
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TAEG implícita no contrato
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TAEG implícita no contrato
Ex Um anúncio dizia “Telefone que lhe emprestamos 5000€ por apenas 150€ mensais (durante 60 meses, TAEG=29.28%)”. Confirme a TAEG.
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TAEG implícita no contrato
Tem que se determinar no Excel
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TAEG implícita no contrato
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Preços correntes e constantes
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Preços correntes e constantes
A inflação (i.e., a subida generalizada dos preços dos bens e serviços) não tem efeito na afectação dos recursos escassos. Apenas a alteração dos preços relativos tem efeito.
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Preços correntes e constantes
O aumento dos preços é calculado para um cabaz de bens e serviços, sendo um valor médio (pesos de 2005). B6: =B2*$G$2+B3*$G$3+B4*$G$4+B5*$G$5
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Preços correntes e constantes
Nesse sentido, calcula-se quanto o cabaz custava então e compara-se com quanto custa agora. Esse preço é normalizado a no ano base valer 100 (ou 1 ou 1000). B7: =B6/$B$6*100 151
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Preços correntes e constantes
Denomina-se por Índice de Preços no Consumo, havendo outros índices de preços E.g., na produção 152
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Preços correntes e constantes
Os preços dos bens ou serviços observados no dia a dia denominam-se de “preços correntes” (ou “preços nominais”) e variam ao longo do tempo. E.g., há um ano a gasolina custava cerca de 1.50€ e agora custa cerca de 1.10€.
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Preços correntes e constantes
Os preços corrigidos da inflação denominam-se de “preços constantes” ou “preços reais”.
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Preços correntes e constantes
Para transformar preços correntes em preços reais utilizamos o índice de preços. Se precisarmos de transformar os preços correntes do período J, PJ, em preços reais com base no ano T, PJT, teremos que multiplicar o preço corrente pelo índice de preços do período T, IPT, e dividir pelo índice de preços do período J, IPJ, (não interessa qual o ano base do IP): 155
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Preços correntes e constantes
Ex O salário mínimo em 1974 era de 16,46€ e em 2009 é de 450,00€. IPC era em 1974 (2000 como ano base) e é 125,16 em 2009 (mesmo ano base). compare, em termos reais (de 2000), o poder aquisitivos do SM nesses dois anos e a taxa de variação anual em termos nominais e reais. R. Relativamente a 2009, os 16.46€ de 1974 valem SM = = 411,19€ que é maior que SM = 450€*100/125,16=359.54€ pelo que o SM diminuiu (em termos reais). 156
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Preços correntes e constantes
Se quiséssemos comparar em termos de preços reais do ano 2009 fazíamos os 16.46€ de 1974 valem a preços de 2009 SM = = 514,65€ que é maior que os 450€ de 2009 valem a preços de 2009 SM = 450€*125,16/125,16 = 450€ 157
158
Preços correntes e constantes
R. Relativamente à taxa de variação, no espaço de 35 anos, em termos nominais o SM aumentou 2634% (9,91%/ano) mas, em termos reais, diminuiu 12.5% (uma média de -0,38%/ano). Tem na folha de excel a resolução 158
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Preços correntes e constantes
B4: =B3*100/B2 e copiava em linha D2: =C2/B2-1 e copiava em coluna E2: =(C2/B2)^(1/35)-1 e copiava em linha E5: =(1+E3)/(1+E2)-1 159
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Preços correntes e constantes
A taxa de inflação é com base o IPC que é calculado pelo INE, com periodicidade mensal. Taxa de inflação homóloga – compara o IPC do mês corrente com o IPC do mês igual do ano anterior. Taxa de inflação média – é a média das 12 taxas de inflação homóloga. Taxa de inflação acumulada – é a variação percentual do IPC desde o principio do ano. 160
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Preços correntes e constantes
Se, por exemplo, em Março de 2005 o IPC valia e em Março 2006 passou a valer 131.4, então a taxa de inflação homóloga de Março entre estes dois anos foi de 131.4/128.7 – 1 = 2.1%. 161
162
Preços correntes e constantes
Interessará retirar a inflação da análise de equivalência das somas de valores dinheiro obtidas em instantes de tempo diferentes. E.g., precisamos saber se a renda de 60mil€ mensais dará ou não para comprar alguma coisa quando o Figo tiver 85 anos. 162
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Taxa de inflação Como a taxa de inflação é calculada com o índice de preços, podemos utilizá-la na transformação de preços correntes em preços reais Ou mesmo refazer o IPC
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Taxa de inflação Sendo IPT e, IPT+1
os índice de preços no início do período T e T+1, respectivamente Também calculamos a taxa de inflação durante o período T, T , por:
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Taxa de inflação Se, por exemplo, em 2005 o IPC valia e em 2006 valia 131.4, então a taxa de inflação em 2005 foi de 131.4/128.7 – 1 = 2.1%.
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Preços correntes e constantes
Se o preço corrente de um bem em 2006 foi de 150€, podemos saber a quanto correspondia em 2005 em termos reais (constantes) descontando este preço com a taxa de inflação O preço do bem, a preços de 2005, seria
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Preços correntes e constantes
O preço de um bem era p2005 = 1.25€ e passou para p2006 = 1.30€. Sendo que em 2005 a inflação foi de 2.1%, em termos reais, será que o preço deste bem aumentou (em termos reais)?
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Preços correntes e constantes
O preço, em termos reais, aumentou 1.86%:
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Preços correntes e constantes
Para transformar preços correntes do período T+n em preços constantes em referência ao período T, sabida a taxa de inflação para cada um dos n–1 períodos, temos:
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Preços correntes e constantes
Como a taxa de inflação é calculada “em cadeia”, a partir do Índice de Preços: Memorizar que se o IPC aumenta, o preço real diminui.
171
Salário Mínimo Nacional A preços correntes e constantes
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Salário Mínimo Nacional A preços correntes e constantes
E3: =C4*$B$4/B4; F3: =D4*$B$36/B4 E copiava ambas as expressões em coluna
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Preços correntes e constantes
Ex No exercício 1.17, vimos que o planeamento da reforma do Figo se traduz numa prestação mensal a preços correntes de 60mil€ até aos 85 anos. Prevendo-se uma taxa de inflação de 2% ano, i) Determine a preços constantes de agora, qual será o valor desse prestação (faltam 50 anos).
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Preços correntes e constantes
Vamos descontar 60026€ ao presente com a taxa de inflação de 2%/ano como taxa de desconto: Em termos reais, corresponde a apenas 37% da primeira prestação.
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Preços correntes e constantes
Ex ii) Supondo as mesmas entregas, determine um plano de reforma que mantenha o poder aquisitivo (igual em termos reais).
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Preços correntes e constantes
Posso fazer a análise a “preços correntes” aumentando as prestações na taxa de inflação prevista Ou a “preços constantes” retirando a taxa de inflação da taxa de juro nominal Este “nominal” não é o mesmo conceito de quando falamos de capitalização
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Preços correntes e constantes
Fazemos a análise a preços reais retirando a taxa de inflação da taxa de juro nominal. A taxa de juro real mensal é %= ((1+3%)/(1+2%))^(1/12)-1.
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Preços correntes e constantes
A “preços correntes”, uso o Excel:
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Preços correntes e constantes
B3: =$E$1*(1+$E$4)^A3; C3: =B3*(1+$E$5)^-A3 e depois copiamos em coluna; C603: =Soma(C2:C602) e usamos a ferramenta “Atingir objectivo”, definir a célula C603 para o valor 0 por alteração da célula E1
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Preços correntes e constantes
Eu ter retirado a taxa de inflação à taxa de juro nominal (“preços constantes”) deu o mesmo resultado
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Compatibilização de tramos da série com diferentes bases
Com o acesso a fontes diferentes de informação e com o decorrer do tempo, as séries de preços mudam de base. Nessa alturas, o índice sofre uma quebra porque salta do valor do antigo tramo da série para 100 e são alterados os pesos relativos dos grupos agregados no índice (a representatividade de cada grupo no índice).
182
Compatibilização de tramos da série com diferentes bases
Quando é preciso utilizar o número índice ao longo de todos os períodos, torna-se necessário compatibilizar os vários tramos da série à mesma base. A redução não é uma mudança para a mesma base porque não se tem em consideração que existem alterações dos ponderadores mas permite fazer uma transição suave entre os vários tramos da série. 182
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Compatibilização de tramos da série com diferentes bases
No sentido de tornar possível a compatibilização dos tramos, estes sobrepõem-se (pelo menos) durante um período. Temos que usar os períodos de sobreposição para calcular o valor do “salto” em termos relativo entre as séries e reduzi-lo a zero. Vejamos um exemplo de uma mudança de base. 183
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Compatibilização de tramos da série com diferentes bases
184
185
Compatibilização de tramos da série com diferentes bases
Ex A série do IPC do banco mundial WB2008 (base o ano 2000) vale 4.00 para 1974 e vale para 2002, e a série do INE (base o ano 2002) vale para 2009 (media até abril), compare, em termos reais, o salário mínimo de 1974 (16.46€/mês) com o SM actual (450.00€/mês). 185
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Compatibilização de tramos da série com diferentes bases
R. Há uma salto em 2002 entre as séries pelo que o valor da série do INE compatibilizado ao da série do Banco Mundial será 108.10/100 = O valor a preços de 2009 dos 16.46€/mês será 16.46125.60/4.00 = €/mês. 186
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Análise de investimentos
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Análise de investimentos
um investimento é uma entrega de recursos em períodos mais próximos do presente que permite ter recebimentos mais afastados para o futuro
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Análise de investimentos
Teremos uma contabilização das entregas e dos recebimentos com referência a um mesmo instante de tempo. Será necessário capitalizar uns valores e descontar outros
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Análise de investimentos
Sendo que a análise é financeira, interessa saber as entregas e os recebimentos em dinheiro (i.e., saber o cash flow)
191
Valor actual líquido No Valor Actual
Agregar todas as parcelas ao instante presente, descontadas ao presente É Liquido porque se amortiza o Capital
192
Valor actual líquido Apesar de não haver um horizonte temporal de encerramento O risco aconselha a usarmos um horizonte temporal limitado. 5 anos 10 anos 25 anos 50 anos
193
Valor actual líquido Ex Sobre um investimento são previstas as seguintes entregas e recebimentos (mil €): i) Somando as entregas e os recebimentos qual o saldo do investimento?
194
Valor actual líquido O saldo seria 175 mil€
ii) Determine, para uma taxa de remuneração do capital de 10%, qual será o Valor Actual Líquido deste investimento
195
Valor actual líquido O VAL seria de apenas 2921€
B5: =B4-B3; B6: =B5*(1+$B$1)^-B2 e depois copiar em linha; B7: =Soma(B6:L6).
196
Valor actual líquido A taxa de juro usada é elevada porque
os recebimentos são incertos as entregas são certas A taxa de juro contém o risco do negócio o VAL do investimento é comparável a um activo sem risco (e.g., depósito a prazo). Para investimentos diferente, a taxa de juro será diferente.
197
Taxa interna de rentabilidade
Quantifica a taxa que torna o VAL igual a zero. Estando o modelo implementado no Excel, determina-se a TIR facilmente com a ferramenta “Atingir objectivo”.
198
Taxa interna de rentabilidade
199
Exercício de recapitulação
200
Exercício -1 Suponha que empresto 1000€.
A inflação (prevista) é de 2.5% / ano O juro real (acordado) é de 2.0% / ano O risco de não cobrança é de 7.0% / ano i) Quanto devo pedir de taxa de juro?
201
Exercício -1 A taxa de juro seria de10.41%:
i = ( ) x ( ) / (1 – 0.07) i =11.869% ii) Se acordar receber os 1000€ em 12 prestações trimestrais caindo a primeira depois de decorridos 2 anos do empréstimo, de quanto deve ser a prestação?
202
Exercício -1 A renda é antecipada E começa daqui a dois anos
A taxa de juro trimestral é ( ) = %
203
Exercício -1
204
Exercício -1
205
Exercício -2 Emprestando 25M€, a 5 anos à taxa de 4% / ano. A meio do prazo, recebo 5 M€. Qual o capital final que vou receber?
206
Exercício -2 O capital final a receber será de
25000.(1 + 4%) (1 + 4%)2.5 = = 24901,22€. [25000.(1 + 4%) ] .(1 + 4%)2.5 =
207
Exercício -3 Vou receber 1000€ daqui a 10 anos. Para uma taxa de juro de 4€/ano, qual o valor actual dessa soma?
208
Exercício -3 R. O valor dos 1000€ no presente resolve:
209
Exercício -4 Um indivíduo deposita, durante 40 anos, 100€/mês para receber uma reforma mensal durante 15 anos. Supondo que a taxa de juro é de 4% ao ano e a inflação de 2.5%, determine o valor da reforma a preços correntes e a preços constantes de agora.
210
Exercício -4 Vou somar quatro rendas perpétuas ou duas de duração limitada:
211
Exercício -4 A preços correntes, i = 0,374%/mês R = 854.67€ /mês
A preços reais, i = [(1+4%)/(1+2.5%)]1/12 -1 i = 0,0125%/mês R = €/mês
212
Exercício -5 Num investimento de 1000€ prevê-se que as vendas aumentem 25% ao ano e que o custo das vendas sejam 60%. As amortizações são constantes a 5 anos Calcule o VAL e a TIR
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Exercício -5
214
Exercício -5
215
Exercício -5 D6: =C6*(1+$B$1) C7: =C6*$B$2 C8: =C6-C7 C9: =$B$3/5
B15: =SOMA(B14:G14)
216
Exercício -5 Aplico agora o modelo para determinar a TIR
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