OTIMIZAÇÃO PARAMÉTRICA

OTIMIZAÇÃO PARAMÉTRICA
CAPÍTULO 5 OTIMIZAÇÃO PARAMÉTRICA 19 de julho de 2013

REVISÃO DE CAPÍTULOS ANTERIORES

ENGENHARIA DE PROCESSOS Aplicável aos 4 Cursos da Escola de Química
Seqüência de etapas responsáveis pela transformação de uma matéria prima num produto de interesse industrial. Conceito abrangente: inclui todas as transformações químicas espontâneas, por ação de catalisadores ou de microrganismos. Aplicável aos 4 Cursos da Escola de Química

ENGENHARIA DE PROCESSOS
Área da Engenharia Química dedicada ao Projeto de Processos Químicos

 1.1 PROJETO DE PROCESSOS QUÍMICOS O conjunto de ações desenvolvidas
Desde A decisão de se produzir um determinado produto químico Até Um plano bem definido para a construção e a operação da instalação industrial.   É um conjunto numeroso e diversificado de ações !!!

SELEÇÃO DA ROTA QUÍMICA
Esse conjunto compreende três sub-conjuntos que interagem: PROJETO SELEÇÃO DA ROTA QUÍMICA    ANÁLISE SÍNTESE (a) previsão do desempenho do processo. (b) avaliação do desempenho do processo. (a) escolha de um equipamento para cada tarefa. (b) definição da fluxograma do processo. 6

Investigar a disponibilidade das matérias primas
SELEÇÃO DA ROTA QUÍMICA Investigar mercado para o produto Investigar reagentes plausíveis Investigar a disponibilidade das matérias primas Definir as condições das reações e identificar os sub-produtos gerados SÍNTESE Estabelecer o número e o tipo dos reatores Definir o número e o tipo dos separadores Definir o número e o tipo de trocadores de calor Estabelecer malhas de controle Definir o fluxograma do processo ANÁLISE Calcular o consumo de utilidades Calcular a vazão das correntes intermediárias Calcular as dimensões dos equipamentos Calcular o consumo dos insumos Calcular o consumo de matéria prima Avaliar a lucratividade do processo

O PROJETO DE PROCESSOS É CARACTERIZADO PELA MULTIPLICIDADE DE SOLUÇÕES

MULTIPLICIDADE NA SÍNTESE
Equipamentos disponíveis para a geração do fluxograma de um processo RM Reator de mistura RT Reator tubular DS Coluna de destilação simples DE Coluna de destilação extrativa A Aquecedor R Resfriador T Trocador de Integração A Síntese consiste em combinar esses equipamentos formando todos os fluxogramas plausíveis em busca do melhor. Um problema com multiplicidade de soluções

Aqui, na Síntese, as soluções são fluxogramas

EXPLOSÃO COMBINATÓRIA !!!

MULTIPLICIDADE NA ANÁLISE
Cada par (x1,x2) é uma solução fisicamente viável rafinado x1 kgAB/kg A ? W1 kg B/h ? y1 kg AB/kg B ? extrato Q = kgA/h y2 kg AB/kg B ? W2 kg B/h ? x2 kgAB/kgA ? Q* = kgA/h xo*= 0,02 kg AB/kg A 1 2 alimentação Modelo 1. Q* (xo* - x1) - W1 y1 = 0 2. y1 - k x1 = 0 3. Q* (x1 - x2) - W2 y2 = 0 4. y2 - k x2 = 0 Balanço de Informação: V = 8, N = 4, C = 2, M = 0 G = 2 (otimização) Variáveis de Projeto: x1, x2

infinidade de soluções viáveis
MULTIPLICIDADE NA ANÁLISE Aqui, na Análise, as soluções são pares de valores x1,x2 infinidade de soluções viáveis

Multiplicidade de Soluções Solução Ótima Otimização
A multiplicidade de soluções de um problema conduz ao conceito de Otimização. Multiplicidade de Soluções Solução Ótima Exige a busca da  através de  Otimização

Otimização Tecnológica Otimização Estrutural Otimização Paramétrica
O Projeto de Processos pode ser identificado como um problema complexo de otimização Fonte da complexidade multiplicidade de soluções nos três níveis Nível Tecnológico: determinação da melhor rota química. Otimização Tecnológica Nível Estrutural (Síntese): determinação do fluxograma ótimo. Otimização Estrutural Nível Paramétrico (Análise): determinação das dimensões ótimas de equipamentos e correntes. Otimização Paramétrica ESTE CAPÍTULO !!!

INTELIGÊNCIA ARTIFICIAL
COMO RESOLVER? INTELIGÊNCIA ARTIFICIAL ÁRVORE DE ESTADOS

Busca Orientada por Árvore de Estados
Raiz Rota Química ? Fluxograma ? Dimensões ? P ? ? ? A+B P+C A,B P,C ?? D+E P+F D,E P,F ?? Nível Tecnológico Seleção de uma Rota Fluxograma ? Dimensões ? 1 P A B C x ? T D 2 P A B C x ? T P 3 D E F x ? M P F 4 D E x ? M Nível Estrutural Síntese de um Fluxograma Dimensões ? Lucro? L x 6 x o = 3 x* 8 L x x o = 4 x* L 10 x x o = 6 x* L x 7 x o = 5 x* Nível Paramétrico Análise do Fluxograma Dimensionamento dos Equipamentos e das Correntes. Lucro.

Solução do Problema de Projeto por Busca Orientada
Raiz Rota Química ? Fluxograma ? Dimensões ? P ? ? ? D+E P+F D,E P,F ?? Vantagem Varre todas as soluções sem repetições sem omitir a ótima Nível Tecnológico Seleção de uma Rota Fluxograma ? Dimensões ? ? P 3 D E F x Nível Estrutural Síntese de um Fluxograma Dimensões ? Lucro? Desvantagem Explosão Combinatória (outros métodos) L x 4 10 Nível Paramétrico Análise do Fluxograma Dimensionamento dos Equipamentos e das Correntes. Lucro. Solução Ótima: Reagentes: D,E. Fluxograma: 3. Valor de x: 4  demais dimensões.

INÍCIO DO CAPÍTULO 5

ORGANIZAÇÃO DA DISCIPLINA
INTRODUÇÃO À SÍNTESE DE PROCESSOS 8 6 SÍNTESE DE SISTEMAS DE SEPARAÇÃO 7 SÍNTESE SISTEMAS DE INTEGRAÇÃO ENERGÉTICA AVALIAÇÃO ECONÔMICA PRELIMINAR 4 ANÁLISE DE PROCESSOS 2 ESTRATÉGIAS DE CÁLCULO 3 ANÁLISE OTIMIZAÇÃO PARAMÉTRICA 5 FINALIDADE DO CAPÍTULO Apresentar (a) conceitos básicos de Otimização, (b) o método analítico (c) dois métodos numéricos simples (d) aplicações em processos químicos.

EQE 002 OTIMIZAÇÃO EM ENGENHARIA QUÍMICA
Estudo mais completo de Otimização EQE OTIMIZAÇÃO EM ENGENHARIA QUÍMICA

Relembrando o Processo Ilustrativo

Fluxograma do Processo
Dimensionamento: condições conhecidas + metas de projeto W6 T*6 W10 T*10 W13 T13 W11 T*11 W8 T*8 W*1 x*11 T*1 f11 f31 W7 T*7 W5 T*5 W3 x13 T3 f13 f23 W4 x*14 T4 f14 f24 W12 T*12 W14 T*14 W2 x12 T*2 f12 f32 EXTRATOR Extrato Rafinado EVAPORADOR CONDENSADOR RESFRIADOR MISTURADOR BOMBA 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 Vd Ae Ac Ar t* r* Alimentação Produto Vapor Benzeno Água W15 T15

Dimensionamento G = 0 (solução única)
INCÓGNITAS PARÂMETROS L AVALIAÇÃO ECONÔMICA Vd,Ae,Ac,Ar W4,W6,W8,W11,W14 MODELO FÍSICO VARIÁVEIS ESPECIFICADAS W1 x11,x14 T1,T2,T5,T6,T7,T8,T9,T10,T11,T12,T14, r, 

Resultado do Dimensionamento
W6 =8.615 kg/h T*6 = 150 oC W10 = kg/h T*10 = 80 oC W13 = kg/h T13 = 25 oC W11 = kg/h T*11 = 15 oC W8 = kg/h T*8 = 15 oC W*1 = kg/h x*11 = 0,002 T*1 = 25 oC f11 = 200 kg/h f31 = kg/h W7 = kg/h T*7 = 150 oC W5 = kg/h T*5 = 80 oC W3 = kg/h x13 = 0,002 T3 = 25 oC f13 = 120 kg/h f23 = kg/h W4 = kg/h x*14 = 0,1 T4 = 80 oC f14 = 120 kg/h f24 = kg/h W12 = kg/h T*12 = 30 oC W12 = kg/h T*12 = 30 oC W14 = kg/h T*14 = 25 oC W2 = kg/h x12 = 0,0008 T2 = 25 oC f12 = 80 kg/h f32 = kg/h EXTRATOR Extrato Rafinado EVAPORADOR CONDENSADOR RESFRIADOR MISTURADOR BOMBA 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 Vd = l *= 0,0833 h r* = 0,60 Ae = 124 m2 Ac = 119 m2 Ar = 361 m2 W15 = kg/h T13 = 25 oC Resultado do Dimensionamento

Omitindo r, T9 e T12 na lista de Metas de Projeto
Dimensionamento Omitindo r, T9 e T12 na lista de Metas de Projeto G > 0 Otimização W1 x11,x14 T1,T2,T5,T6,T7,T8,T10,T11,T14, t variáveis especificadas W4,W6,W8,W11,W14 MODELO FÍSICO Vd,Ae,Ac,Ar AVALIAÇÃO incógnitas ECONÔMICA r, T9, T12 ? PARÂMETROS r,T9,T12 L OTIMIZAÇÃO variáveis de projeto

Resultado da Otimização (r, T9, T12)
W6 =5.857 kg/h T*6 = 150 oC W10 = kg/h T*10 = 80 oC W13 = kg/h T13 = 25 oC W11 = kg/h T*11 = 15 oC W8 = kg/h T*8 = 15 oC W*1 = kg/h x*11 = 0,002 T*1 = 25 oC f11 = 200 kg/h f31 = kg/h W7 = kg/h T*7 = 150 oC W5 = kg/h T*5 = 80 oC W3 = kg/h x13 = 0,004 T3 = 25 oC f13 = 101 kg/h f23 = kg/h W4 = kg/h x*14 = 0,1 T4 = 80 oC f14 = 101 kg/h f24 = 911 kg/h W12 = kg/h T*12 = 27 oC W9 = kg/h T*9 = 44 oC W14 = 911 kg/h T*14 = 25 oC W2 = kg/h x12 = 0,001 T2 = 25 oC f12 = 98 kg/h f32 = kg/h EXTRATOR Extrato Rafinado EVAPORADOR CONDENSADOR RESFRIADOR MISTURADOR BOMBA 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 Vd = l *= 0,0833 h r = 0,506 Ae = 84 m2 Ac = 95 m2 Ar = 238 m2 W15 = kg/h T13 = 25 oC Resultado da Otimização (r, T9, T12)

Correspondência dos Capítulos com os Módulos Computacionais
Resumo da Análise de Processos Correspondência dos Capítulos com os Módulos Computacionais AVALIAÇÃO ECONÔMICA 4 ESTRATÉGIAS DE CÁLCULO 3 INTRODUÇÃO À ANÁLISE DE PROCESSOS 2 OTIMIZAÇÃO 5    MODELO ECONÔMICO Variáveis Especificadas Variáveis de Projeto Parâmetros Econômicos Parâmetros Físicos MODELO FÍSICO Dimensões Calculadas Lucro OTIMIZAÇÃO

Dimensionar Extrator Simular Extrator Dimensionar Evaporador Simular Evaporador Dimensionar Condensador Simular Condensador Resolver Problema Dimensionar Resfriador Simular Resfriador Dimensionar Misturador Simular Misturador Dimensionar Processo Simular Processo Otimizar Processo Calcular Lucro

FIM DA REVISÃO

5. OTIMIZAÇÃO PARAMÉTRICA
5.1 Conceito de Otimização 5.2 Elementos Comuns em Problemas de Otimização 5.2.1 Variáveis de Decisão (Manipuladas) 5.2.2 Critério 5.2.3 Função Objetivo 5.2.4 Restrições 5.2.5 Região Viável 5.3 Localização da Solução Ótima 5.4 Problemas e Métodos de Otimização 5.5 Método Analítico: problemas univariáveis e multivariáveis. 5.6 Métodos Numéricos: problemas univariáveis e multivariáveis.

OTIMIZAÇÃO Ação de buscar a solução ótima de um problema
Palavra com dois significados: Ação de buscar a solução ótima de um problema Campo da Matemática dedicado ao desenvolvimento de métodos de busca da solução ótima de um problema

Todo problema de Otimização encerra um conflito.
Comentário Todo problema de Otimização encerra um conflito. A solução ótima é o ponto de equilíbrio entre os fatores conflitantes

A vazão ótima é o ponto de equilíbrio entre os fatores conflitantes
W kg B/h ? Q = kgA/h rafinado y kg AB/kg B xo= 0,02 kg AB/kg A (extrato) x kgB/kgA EXTRATOR B: benzeno (solvente) A : água AB: ácido benzóico (soluto) Exemplo No extrator, a vazão de solvente afeta o Lucro de forma conflitante. Com o aumento da vazão: 10 20 30 40 50 60 - aumenta a recuperação de soluto. Logo, aumenta a Receita. R - aumenta o consumo de solvente. Logo, aumenta o Custo operacional. C L,R,C $/a L = R - C Vazão ótima  Lucro máximo Lo=15,6 Wo = 1.973,6 1000 2000 3000 4000 5000 6000 W kg/h Até à vazão ótima, a Receita cresce mais rapidamente e o Lucro aumenta. Após a vazão ótima, o Custo cresce mais rapidamente e o Lucro diminui. A vazão ótima é o ponto de equilíbrio entre os fatores conflitantes

ORIGEM DO PROBLEMA DE OTIMIZAÇÃO
Do Capítulo 2: na resolução de qualquer problema: Graus de Liberdade G = V - N - E V : número de variáveis N : número de equações E: número de variáveis especificadas (E = C + M) C = condições conhecidas M = metas de projeto Em problemas de dimensionamento, ocorre uma das três situações: - metas estritamente suficientes  G = solução única y x - metas insuficientes  G > 0 infinidade de soluções viáveis y x coincidentes - metas inconsistentes ou em excesso  G  0 solução impossível y x paralelas Solução ótima?

Exemplo simples: dimensionamento de um extrator
(a) Dimensionamento com x = 0,01 kgAB/kgA como meta Modelo Matemático: 1. Q (xo - x) - W y = 0 2. y - k x = 0 W kg B/h ? Q = kgA/h rafinado y kg AB/kg B xo= 0,02 kg AB/kg A extrato x = 0,01 kgAB/kgA EXTRATOR B: benzeno (solvente) A : água AB: ácido benzóico (soluto) Balanço de Informação: V = 5, N = 2, C = 2, M = 1 (solução única) G = 0 y = 0,04; W = kg/h y x

(b) Dimensionamento com x = 0,01 kgAB/kgA e y = 0,03 kgAB/kgB como metas.
W kg B/h ? Q = kgA/h rafinado y = 0,03 kg AB/kg B xo= 0,02 kg AB/kg A extrato x = 0,01 kgAB/kgA EXTRATOR B: benzeno (solvente) A : água AB: ácido benzóico (soluto) Modelo Matemático: 1. Q (xo - x) - W y = 0 2. y - k x = 0 Identidade! Balanço de Informação: V = 5, N = 2, C = 2, M = 2 G = - 1 (metas em excesso) Metas incompatíveis na (Eq.2): o valor de y compatível com x = 0,01 é 0,04. y x paralelas solução impossível!

Insuficiência de metas gera Graus de Liberdade  Otimização
(c) Dimensionamento com insuficiência de metas W kg B/h ? Q = kgA/h rafinado y kg AB/kg B xo= 0,02 kg AB/kg A extrato x kgB/kgA EXTRATOR B: benzeno (solvente) A : água AB: ácido benzóico (soluto) Modelo Matemático: 1. Q (xo - x) - W y = 0 2. y - k x = 0 Balanço de Informação: V = 5, N = 2, C = 2, M = 0 G = 1 (infinidade de soluções) Solução ótima? y x coincidentes Insuficiência de metas gera Graus de Liberdade  Otimização

Insuficiência de metas gera graus de liberdade
EM RESUMO Insuficiência de metas gera graus de liberdade Graus de liberdade geram multiplicidade de soluções A multiplicidade de soluções exige a busca da solução ótima A busca de solução ótima se dá por um processo de otimização

5.1 Conceito de Otimização 5.2.1 Variáveis de Decisão (Manipuladas) 5.2.2 Critério 5.2.3 Função Objetivo 5.2.4 Restrições 5.2.5 Região Viável 5.3 Localização da Solução Ótima 5.4 Problemas e Métodos de Otimização 5.5 Método Analítico: problemas univariáveis e multivariáveis. 5.6 Métodos Numéricos: problemas univariáveis e multivariáveis. 5.2 Elementos Comuns em Problemas de Otimização

5.2 ELEMENTOS COMUNS EM PROBLEMAS DE OTIMIZAÇÃO
Todo problema de otimização exibe os seguintes elementos, qualquer que seja a sua área de aplicação. 5.2.1 Variáveis de Decisão (ou Variáveis Manipuladas) 5.2.2 Critério 5.2.3 Função Objetivo 5.2.4 Restrições 5.2.5 Região Viável

Todo problema de otimização exibe os seguintes elementos qualquer que seja a sua área de aplicação. 5.2.1 Variáveis de Decisão (ou Variáveis Manipuladas) 5.2.2 Critério 5.2.3 Função Objetivo 5.2.4 Restrições 5.2.5 Região Viável

5.2.1 Variáveis de Decisão (ou Variáveis Manipuladas)
São as variáveis manipuladas pelo método de otimização durante a busca da solução ótima. Na Engenharia de Processos são chamadas de Variáveis de Projeto. INCÓGNITAS L AVALIAÇÃO ECONÔMICA V d ,A e c r VARIÁVEIS DE PROJETO r,T 9 ,T 12 OTIMIZAÇÃO W 4 ,W 6 8 11 14 MODELO FÍSICO VARIÁVEIS ESPECIFICADAS 1 x ,x T 2 5 7 10 , t Resultam da liberdade conferida ao projetista pela insuficiência de metas de projeto O módulo de Otimização arbitra sucessivos valores das variáveis de projeto até o Lucro alcançar o seu valor máximo.

Sistema consistente indeterminado (infinidade de soluções)
x1 x2 x3 x4c x5c x6m x7 1 2 3 V = 7 C = 2 y x coincidentes E = 3 N = 3 M = 1 G = V – E – N = = 1 Metas insuficientes, incógnitas em excesso Sistema consistente indeterminado (infinidade de soluções) Há que se escolher uma solução

x1 x2 x3 x4c x5c x6m x7 1 2 3 x7p G = V – E – N = = 1 Para se obter uma das soluções, é preciso especificar uma das 4 incógnitas. o projetista tem a liberdade de escolher essa incógnita. Por exemplo: x7 (variável de projeto). O critério de escolha se baseia na minimização do esforço computacional e foi abordado no Capítulo 3 (Algoritmo de Ordenação de Equações).

Sem imposições, o projetista também tem a
liberdade de escolher o valor da variável de projeto. A cada valor de x7p corresponde uma solução viável x1, x2, x3 e um valor para o Lucro. Se a variável for contínua, haverá uma infinidade de soluções viáveis (indeterminado). x4c x5c x6m x7p 1 2 3 x1 x2 x3 Ele deve escolher o valor que corresponde ao Lucro Máximo (solução ótima). x 7 m 0,0 0,2 0,4 0,6 0,8 1,0 L p 100 200 300 400 500 Qualquer outro valor atribuído como meta produziria uma solução pior do que a ótima.

Ou seja, em problemas indeterminados, o projetista tem a oportunidade de apresentar a Solução Ótima ! x1 x2 x3 x4c x5c x6m x7p 1 2 3 y x coincidentes

As variáveis de projeto são escolhidas dentre as não-especificadas.
W kg B/h Q = kgA/h rafinado y kg AB/kg B xo= 0,02 kg AB/kg A extrato x kgB/kgA Exemplo: otimização do extrator Modelo Matemático 1. Q (xo - x) - W y = 0 2. y - k x = 0 Balanço de Informação V = 5, N = 2, C = 2, G = 1 (candidatas: x, y, W) W? x? y?

A solução ótima independe da variável de projeto escolhida
Variável de Projeto: W 1. Q (xo - x) - W y = 0 2. y - k x = 0 Variável de Projeto: x 1. Q (xo - x) - W y = 0 2. y - k x = 0 xo* 1 y x W 2 Q* xo* 1 y x W 2 Q* Wo = 1.972,3 xo = 0, yo = 0,04472 Lo = 15,6 $/h xo = 0, yo = 0,04472 Wo = 1.972,3 Lo = 15,6 $/h  0,006 0,008 0,010 0,012 0,014 0,016 0,018 0,020 10 20 30 40 50 60 L,R,C $/a x kgAB/kg A L C R xo = 0, 01118 Lo = 15,6 R C 10 20 30 40 50 60 L,R,C $/a Lo=15,6 1000 2000 3000 4000 5000 6000 W kg/h Wo = 1.973,6 L = R - C

O Algoritmo de Ordenação de Equações conduz à escolha acertada
Mas a escolha afeta o esforço computacional envolvido na otimização Variável de Projeto: W 1. Q (xo - x) - W y = 0 2. y - k x = 0 Variável de Projeto: x 1. Q (xo - x) - W y = 0 2. y - k x = 0 xo* 1 y x W 2 Q* xo* 1 y x W 2 Q* Escolha infeliz ! Sequência de cálculo cíclica Otimização com cálculo iterativo Escolha feliz ! Ciclo aberto por x (o mesmo p/ y) Sequência de cálculo acíclica: 2. y = k x 1. W = Q (xo - x)/y O Algoritmo de Ordenação de Equações conduz à escolha acertada

São os elementos presentes em qualquer problema de otimização, independentemente da área de aplicação. 5.2.1 Variáveis de Decisão (Manipuladas) 5.2.2 Função Objetivo 5.2.3 Restrições 5.2.4 Região Viável 5.2.2 Critério Devem ser identificados e analisados antes de se iniciar a resolução do problema

Minimização do Custo (produção fixa  Receita constante)
5.2.2 Critério A busca da solução ótima tem que ser norteada por um critério. O critério mais comum é econômico 0,0 0,2 0,4 0,6 0,8 1,0 L 100 200 300 400 500 Maximização do Lucro x7o 0,0 0,2 0,4 0,6 0,8 1,0 L 100 200 300 400 500 R C Minimização do Custo (produção fixa  Receita constante) x7o

Outros critérios adotados: segurança e controlabilidade.
A solução ótima segundo um critério pode não ser a ótima segundo um outro critério. Por exemplo: a solução mais econômica pode não ser a mais segura. E vice-versa. Dois ou mais critérios podem ser utilizados simultaneamente com pesos diferentes (otimização com objetivos múltiplos)

São os elementos presentes em qualquer problema de otimização, independentemente da área de aplicação. 5.2.1 Variáveis de Decisão (Manipuladas) 5.2.2 Critério 5.2.5 Restrições 5.2.5 Região Viável 5.2.3 Função Objetivo

5.2.3 Função Objetivo É a expressão matemática do critério de otimização descrita em termos das variáveis físicas do problema. Pode assumir formas das mais simples às mais complexas. A sua caracterização é fundamental para a resolução do problema de otimização. Pode ser classificada quanto à: (a) Continuidade: contínua, contínua com descontinuidade na derivada, descontínua ou discreta. (b) Modalidade: unimodal, multimodal. (c ) Convexidade: côncava ou convexa.

5.2.3 Função Objetivo (a) Continuidade Função Contínua
Função Contínua com descontinuidade na derivada Função Descontínua Função Discreta Os parâmetros da função dependem da faixa de x A função só existe para valores inteiros de x

Função Unimodal em 2 Dimensões Função Unimodal em 1 Dimensão
5.2.3 Função Objetivo (b) Modalidade Função Unimodal em 2 Dimensões Função Unimodal em 1 Dimensão

Incerteza quanto ao ótimo global
5.2.3 Função Objetivo (b) Modalidade B: mínimo local F: mínimo global C: ponto de sela C, E: máximos locais A: máximo global B, D: mínimos locais F: mínimo global Função Bimodal em 2 Dimensões Função Bimodal em 1 Dimensão Incerteza quanto ao ótimo global

x1 x2 0  a  1 (1-a)x1+ ax2 5.2.3 Função Objetivo
(c ) Convexidade (funções univariáveis) y y[(1-a) x1 + a x2] 0,5 0,4 (1-a) y(x1) + a y(x2) 0,3 0,2 0,1 0,0 0,0 0,2 0,4 0,6 0,8 1,0 x1 x2 0  a  1 (1-a)x1+ ax2 x Função côncava: o valor dado pela função é superior ao dado pela reta y[(1-a) x1 + a x2] > (1-a) y(x1) + a y(x2)

limite inferior para o máximo
5.2.3 Função Objetivo (c ) Convexidade (funções univariáveis) y y[(1-a) x1 + a x2] 0,5 0,4 (1-a) y(x1) + a y(x2) limite inferior para o máximo 0,3 0,2 0,1 0,0 0,0 0,2 0,4 0,6 0,8 1,0 x1 x2 0  a  1 (1-a)x1+ ax2 x

limite superior para o mínimo
5.2.3 Função Objetivo (c ) Convexidade (funções univariáveis) y 0,5 0,4 0,3 (1-a) y(x1) + a y(x2) limite superior para o mínimo 0,2 0,1 y[(1-a) x1 + a x2] 0,0 0,0 0,2 0,4 0,6 0,8 1,0 x2 x1 x 0  a  1 (1-a)x1+ ax2 Função convexa: o valor dado pela função é inferior ao dado pela reta: y[(1-a) x1 + a x2] < (1-a) y(x1) + a y(x2)

Concavidade (negativa) e Convexidade (positiva) de funções univariáveis podem ser determinadas pelo sinal da segunda derivada da função no ponto extremo.

Valores Característicos Equação Característica
5.2.3 Função Objetivo (c ) Convexidade (funções multivariáveis) Para funções multivariáveis, a convexidade encontra-se relacionada aos seus Valores Característicos que são as raízes da sua Equação Característica

Para uma função qualquer de duas variáveis
Matriz Hessiana: Equação Característica: 2 – (f11 + f22)  + (f11f22 – f12f22) = 0 Os Valores Característicos são as raízes desta equação.

Assumem formas diversas em função dos valores dos coeficientes
5.2.3 Função Objetivo (c ) Convexidade (funções multivariáveis) Ilustração com Funções Quadráticas (simetria) Assumem formas diversas em função dos valores dos coeficientes

1 > 0 : 2 > 0 1 < 0 : 2 < 0 1 < 0 : 2 < 0
estritamente convexa convexa estritamente côncava côncava ponto de sela  1 , 2 H ( x ) f ( > 0 , > 0 positiva definida = 0 positiva semi-definida < 0, < 0 negativa definida negativa semi-definida indefinida 1 > 0 : 2 > 0 1 < 0 : 2 < 0 1 < 0 : 2 < 0 1 > 0 : 2 = 0 1 < 0 : 2 = 0

UMA FUNÇÃO NÃO-QUADRÁTICA

Dimensionamento de 2 extratores em série
rafinado x1 kgAB/kg A ? W1 kg B/h ? y1 kg AB/kg B ? extrato Q = kgA/h y2 kg AB/kg B ? W2 kg B/h ? x2 kgAB/kgA ? Q* = kgA/h xo*= 0,02 kg AB/kg A 1 2 alimentação Modelo Físico: 1. Q* (xo* - x1) - W1 y1 = 0 2. y1 - k x1 = 0 3. Q* (x1 - x2) - W2 y2 = 0 4. y2 - k x2 = 0 Balanço de Informação: V = 8, N = 4, C = 2, M = 0 G = 2 (otimização)

Exemplo de Função Não-Quadrática (Lucro de 2 extratores em série)
1 x d cx b a L - =

5.2.3 Função Objetivo (b) Modalidade Função Bimodal em 2 Dimensões Ponto A: x1 = -1 : x2 = 1 : f = 0 1 = 10,6 : 2 = 3,4 Ponto B: x1 = 2 : x2 = 4 : f = 1.5 1 = 37 : 2 = 1 Ponto C : x1 = 0,6 : x2 = 1,4 : f = 3,3 1 = 7 : 2 = -2,3

São os elementos presentes em qualquer problema de otimização, independentemente da área de aplicação. 5.2.1 Variáveis de Decisão 5.2.2 Critério 5.2.3 Função Objetivo 5.2.5 Região Viável 5.2.4 Restrições

5.2.3 Restrições São os limites impostos pelas leis naturais às variáveis do processo. Há dois tipos de restrições: (a) restrições de igualdade : h(x) = 0 São as equações do próprio modelo matemático. (b) restrições de desigualdade: g (x)  0 São os limites impostos às Variáveis de Projeto

Enunciado Formal de um Problema de Otimização
Exemplo: otimização do extrator Min f(x) Função Objetivo x Variável de Projeto s.a.: g(x)  0 Restrições de desigualdade h(x) = 0 Restrições de Igualdade Max L(x) = R - C s.a.: g(x) = x - xo  0 h1 (x) = Q (xo - x) - W y = 0 h2 (x) = y - k x = 0 W kg B/h Q = kgA/h rafinado y kg AB/kg B xo= 0,02 kg AB/kg A extrato x kgB/kgA

A presença de restrições pode alterar a solução de um problema

(a) Restrições de Igualdade (solução sobre a curva)
g2(x) = x1  0 g3(x) = x2  0 Solução Irrestrita: A Solução Restrita : B

Solução Irrestrita: A Solução Restrita : B C é um máximo local g2(x) = x1  0 g3(x) = x2  0

Solução Irrestrita: A Solução Restrita : B (restrições compatíveis) g2(x) = x1  0 g3(x) = x2  0

Solução irrestrita: A Solução restrita: impossível ( restrições incompatíveis) g2(x) = x1  0 g3(x) = x2  0

(b) Restrições de Desigualdade (fronteira e interior de regiões)
0,0 0,5 1,0 1,5 2,0 x2 1.0 0,8 0,6 0,4 B A g x 1 2 25 ( ) , = + -  Solução irrestrita: A Solução restrita : B g2(x) = x1  0 g3(x) = x2  0

g x 1 2 25 ( ) , = + -  Solução irrestrita: A Solução restrita : A
0,0 0,5 1,0 1,5 2,0 x2 x1 1.0 0,8 0,6 0,4 B A g x 1 2 25 ( ) , = + -  Solução irrestrita: A Solução restrita : A g2(x) = x1  0 g3(x) = x2  0

0,0 0,5 1,0 1,5 2,0 x2 x1 0,4 0,6 0,8 A g (x) 2 1 B Solução irrestrita : A Solução restrita : B g3(x) = x1  0 g4(x) = x2  0

0,0 0,5 1,0 1,5 2,0 x2 x1 0,4 0,6 0,8 A g (x) 1 2 C Solução irrestrita: A Solução restrita : C g3(x) = x1  0 g4(x) = x2  0

0,0 0,5 1,0 1,5 2,0 x2 x1 0,4 0,6 0,8 A g (x) 1 2 Solução irrestrita: A Solução restrita : A g3(x) = x1  0 g4(x) = x2  0

0,0 0,5 1,0 1,5 2,0 x2 x1 0,4 0,6 0,8 A g (x) 1 2 Solução impossível Restrições incompatíveis g3(x) = x1  0 g4(x) = x2  0

São os elementos presentes em qualquer problema de otimização, independentemente da área de aplicação. 5.2.1 Variáveis de Decisão (Manipuladas) 5.2.2 Critério 5.2.3 Função Objetivo 5.2.4 Restrições 5.2.5 Região Viável

Exemplo: encontrar o aluno de maior CR neste piso, nesta sala
5.2.4 Região Viável Região do espaço delimitada pelas restrições de igualdade e de desigualdade à qual se restringe a busca da solução ótima. h(x) = 0 g(x)  0 x1 x2 x3 Max f(x) s.a.: h(x) = 0 g(x)  0 Busca restrita ao interior da elipse (restrição de desigualdade g(x)  0) que se encontra sobre o plano (restrição de igualdade h(x) = 0) Exemplo: encontrar o aluno de maior CR neste piso, nesta sala

A convexidade garante a convergência dos métodos de otimização
5.2.4 Região Viável Convexidade 0,0 0,5 1,0 1,5 2,0 x 2 1 g (x) 3 A B Região Convexa Qualquer par de pontos pode ser unido por uma reta totalmente contida na região. A convexidade garante a convergência dos métodos de otimização

É o maior desafio da otimização
5.2.4 Região Viável Convexidade 2 1 g (x) x (x 2) 4  = + - 0,0 0,5 1,0 1,5 2,0 x 2 1 g (x) 3 B A Região Não - Convexa A reta que une A e B não permanece contida na região A não-convexidade não garante a convergência dos métodos de otimização É o maior desafio da otimização

Restrições podem ser lineares: x1 – 0,02  0 x2 – x1  0

5.1 Conceito de Otimização 5.2 Elementos Comuns em Problemas de Otimização 5.2.1 Variáveis de Decisão (Manipuladas) 5.2.2 Critério 5.2.3 Função Objetivo 5.2.4 Restrições 5.2.5 Região Viável 5.4 Problemas e Métodos de Otimização 5.5 Método Analítico: problemas univariáveis e multivariáveis. 5.6 Métodos Numéricos: problemas univariáveis e multivariáveis. 5.3 Localização da Solução Ótima

Máximos (M) e Mínimos (m) locais e globais
5.3 Localização da Solução Ótima Localização de valores extremos na faixa x1  x  x2 5 10 15 20 1 2 3 4 x f(x) m M x1 x2 Pontos estacionários, descontinuidades das derivadas e fronteiras do intervalo. Máximos (M) e Mínimos (m) locais e globais

5.1 Conceito de Otimização 5.2 Elementos Comuns em Problemas de Otimização 5.2.1 Variáveis de Decisão (Manipuladas) 5.2.2 Critério 5.2.3 Função Objetivo 5.2.4 Restrições 5.2.5 Região Viável 5.3 Localização da Solução Ótima 5.5 Método Analítico: problemas univariáveis e multivariáveis. 5.6 Métodos Numéricos: problemas univariáveis e multivariáveis. 5.4 Problemas e Métodos de Otimização

5.4 PROBLEMAS E MÉTODOS DE OTIMIZAÇÃO
À luz dos conceitos apresentados os problemas de otimização podem ser classificados: (a) Quanto ao número de variáveis: - Univariáveis ou Multivariáveis (b) Quanto à presença de restrições: - Irrestritos ou Restritos Os métodos de resolução podem ser classificados: (a) Quanto à natureza: - Analítico: localiza os pontos estacionários pelo cálculo das derivadas da função objetivo. - Numéricos: buscam os pontos estacionários por tentativas. (b) Quanto ao tipo de informação utilizada: - Diretos: utilizam apenas o valor da função objetivo. - Indiretos: utilizam, também, os valores das suas derivadas.

5.1 Conceito de Otimização 5.2 Elementos Comuns em Problemas de Otimização 5.2.1 Variáveis de Decisão (Manipuladas) 5.2.2 Critério 5.2.3 Função Objetivo 5.2.4 Restrições 5.2.5 Região Viável 5.3 Localização da Solução Ótima 5.4 Problemas e Métodos de Otimização 5.6 Métodos Numéricos: problemas univariáveis e multivariáveis 5.5 Método Analítico: problemas univariáveis e multivariáveis.

ATENÇÃO PARA O ROTEIRO DA RESOLUÇÃO DO PROBLEMA

Exemplo: dimensionamento do extrator
5.5 MÉTODO ANALÍTICO Problemas univariáveis Exemplo: dimensionamento do extrator W kg B/h Q = kgA/h rafinado y kg AB/kg B xo= 0,02 kg AB/kg A extrato x kgB/kgA Modelo Matemático: 1. Q (xo - x) - W y = 0 2. y - k x = 0 (k = 4) Balanço de Informação: V = 5, N = 2, C = 2, M = 0 G = 1 (otimização) Avaliação Econômica: L = R - C R = pAB W y C = pB W pAB = 0,4 $/kgAB : pB = 0,01 $/kgB

Restrições de Igualdade !!!
Sequência de Cálculo x y W 1 * * * 2 * * x y W 1 x x o 2 x o Variável de Projeto : x  Equações ordenadas 2. y = k x 1. W = Q (xo - x)/y Restrições de Igualdade !!!

Função Objetivo: L = R - C = pAB W y - pB W
Incorporando as Restrições de Igualdade ordenadas à Função Objetivo (viável em problemas simples) x 2. y = k x 1. W = Q (xo - x)/y L = pAB W y - pB W y, W L L = a - b x - c/x x L a = Q (pAB xo + pB / k) = 105 b = pAB Q = c = pB Q xo / k = 0,5

Busca do ponto estacionário:
L = a - b x - c/x 60 Busca do ponto estacionário: x b dL dx c o = - + 2 01118 , 50 R Solução completa do problema: 40 yo = 0,04472 kg AB/kg B; Wo = 1.972,3 kgB/h; Ro = 35,3 $/h; Co = 19,7 $/h; Lo = 15,6 $/h C L,R,C 30 $/a 20 L o = 15,6 L 10 x o =0, 01118 0,006 0,008 0,010 0,012 0,014 0,016 0,018 0,020 0,022 x kgAB/kg A

5.5 MÉTODO ANALÍTICO 5.5.2 Problemas multivariáveis
Exemplo: dimensionamento de 2 extratores em série 1 2 Q = kgA/h x = 0,02 kgAB/kgA o W kgB/h y kgAB/kgB x kgAB/kgA Modelo Matemático 1. Q(xo - x1) - W1 y1 = 0 2. y1 - k x1 = 0 3. Q(x1 -x2) - W2 y2 = 0 4. y2 - k x2 = 0 Avaliação Econômica L = R - C R = pAB (W1 y1 + W2 y2 ) C = pB (W1 + W2) pAB = 0,4 $/kgAB : pB = 0,01 $/kgB Balanço de Informação: V = 8; N = 4; C = 2; G = 2 (otimização)

5.5 MÉTODO ANALÍTICO 5.5.2 Problemas multivariáveis
W1 x1 y1 W2 x2 y * * * * * * * * * * * Modelo Matemático 1. Q (xo - x1) - W1 y1 = 0 2. y1 - k x1 = 0 3. Q(x1 -x2) - W2 y2 = 0 4. y2 - k x2 = 0 Ordenação W1 x1 y1 W2 x2 y o x x x o x o x x x o Equações Ordenadas 2. y1 = k x1 4. y2 = k x2 3. W2 = Q (x1 – x2)/ y2 1. W1 = Q (xo - x1)/ y1 Variáveis de Projeto: x1 e x2

Incorporando as Restrições de Igualdade à Função Objetivo L
2. y1 = k x1 4. y2 = k x2 3. W2 = Q (x1 – x2)/ y2 1. W1 = Q (xo - x1)/ y1 L = R – C R = pAB (W1 y1 + W2 y2 ) C = pB (W1 + W2) L = a – b/x1– cx2 – d x1/x2 Buscando o ponto estacionário: L/x1 = b/x12 – d/x2 = 0 x1o = (b2/cd)1/3 = 0,01357 x2o = (d/b) x12 = 0,00921 L/x2 = - c + dx1/x22 = 0 Solução completa: y1o = 0,05428 kgAB/kgB; W1o = kgB/h y2o = 0,03684 kgAB/kgB; W2o = kgB/h Co = 23,68 $/h; Ro = 43,15 $/h; Lo = 19,47 $/h

ALERTA!

DIMENSIONAMENTO ÓTIMO
1 2 Q = kgA/h xo = 0,02 kgAB/kgA W1 = kgB/h W2 = kgB/h x1 = 0, kgAB/kgA x2 = 0, kgAB/kgA y1 = 0,05428 kgAB/kgA y2 = 0,03824 kgAB/kgA Examinando a contribuição de cada estágio à solução ótima Estágio Total Soluto Rec. kg/h , , ,90 Solv. Cons. kg/h Lucro $/a , , ,48

0,020 0,018 4,0 2,0 8,0 0,016 6,0 0,014 10 16 14 0,012 X 19,5 18 0,010 0,00921 2 0,008 0,006 12 0,004 0,01357 0,002 0,005 0,010 0,015 0,020 0,025 0,030 0,035 X 1

DIMENSIONAMENTO COM G = 0
Q* = kgA/h xo*= 0,02 kg AB/kg A rafinado x1 * = 0,015 kgAB/kgA W1 kg B/h ? y1 kg AB/kg B ? extrato W1 kg B/h Q * = kgA/h y2 kg AB/kg B ? W2 kg B/h x2 * = 0,008 kgAB/kg A W2 kg B/h ? 1 2 alimentação Modelo Físico 1. Q* (xo* - x1 *) - W1 y1 = 0 2. y1 - k x1 * = 0 3. Q * (x1 * - x2 *) - W2 y2 = 0 4. y2 - k x2 * = 0 Balanço de Informação V = 8, N = 4, C = 2, M = 2 G = 0 (solução única)

Dimensionamento: x1* = 0,015 e x2* = 0,008
2,0 4,0 6,0 8,0 10 12 14 16 18 0,005 0,010 0,015 0,020 0,025 0,030 0,035 0,002 0,004 0,006 0,008 0,012 0,014 0,016 0,018 X 2 1 17,8 19,5

OTIMIZAÇÃO SIMULTÂNEA x SEQUENCIAL
O Método Analítico foi aplicado às duas variáveis de projeto simultaneamente, surgindo um sistema de duas equações que foi resolvido. Alternativamente, pode-se pensar em decompor o problema em dois sub-problemas univariáveis: otimizar o primeiro estágio utilizar o valor ótimo x1o na otimização do segundo.

( ) ( ) imposição! L p kx a b c k 105 4. 000 5 0111803 15 56 = - + . ,
Q * x o W y ( ) L p kx a b c k ab 105 4. 000 5 15 56 = - + . , $ / Q * x W y 2 1 ( ) L p kx a b c k ab o 69 72 4 000 2795 008359 84 = - + , . $ / imposição! Solução ótima do Estágio 1 Solução ótima do Estágio 2

O segundo estágio foi otimizado para x1 = 0,01118
2 Q = kgA/h xo = 0,02 kgAB/kgA W1 = kgB/h W2 = 843 kgB/h y1 = 0,04472 kgAB/kgA y2 = 0,03344 kgAB/kgA x2 = 0, kgAB/kgA x1 = 0, kgAB/kgA Resultando: Estágio Total Soluto Rec. kg/h , , ,41 Solv. Cons. kg/h Lucro $/a , , ,40

A busca de x2o ficou restrita a x1 – 0,01118 = 0
Obviamente, não é a solução ótima

Comparando as duas soluções...

A solução ótima é aquela obtida pela otimização simultânea
Solução Simultânea Estágio Total Soluto Rec. kg/h , , ,90 Solv. Cons. kg/h Lucro $/a , , ,48 Solução Seqüencial Estágio Total Soluto Rec. kg/h , , ,41 Solv. Cons. kg/h Lucro $/a , , ,40 Na solução seqüencial, o primeiro estágio consome mais solvente e recupera mais soluto. Mas o faz ignorando o segundo estágio que consome menos solvente mas recupera menos soluto. A solução ótima é aquela obtida pela otimização simultânea

Problemas Restritos [hi(x) , gi(x)]
Método dos Multiplicadores de Lagrange 1. Formar o Lagrangeano do problema: L(x, , ) = f(x) +  i hi (x) +  j [gj(x) - j2] i : multiplicadores de Lagrange i : variável de folga (distância de um ponto interior à fronteira da restrição; transforma desigualdade em igualdade) 2. Localizar os pontos estacionários do Lagrangeano. 3. Analisar as soluções obtidas à luz das restrições.

Exemplo:. Min f(x) = (x1 – 1)2 + (x2 – 1)2. s. a
Exemplo: Min f(x) = (x1 – 1)2 + (x2 – 1) s.a.: g1 (x) = x12 + x22 – 0,25  g2 (x) = x1  g3 (x) = x2  0 0,5 restrição curvas de nível da função objetivo 1 x1 x2

Exemplo:. Min f (x) = (x1 – 1)2 + (x2 – 1)2. s. a
Exemplo: Min f (x) = (x1 – 1)2 + (x2 – 1) s.a.: g1 (x) = x12 + x22 – 0,25  g2 (x) = x1  g3 (x) = x2  0 Formar o Lagrangeano: Considerar apenas g1(x) e depois eliminar valores negativos de x1 e x2 L (x, , ) = f(x) +  i hi (x) +  j [gj(x) - j2] L (x, , ) = (x1 – 1)2 + (x2 – 1)2 +  [x12 + x22 – 0,25 - 2]

x L (x, , ) = (x1 – 1)2 + (x2 – 1)2 +  [x12 + x22 – 0,25 -  2]
L / x1 = 2 x1 –  x1 = 0  x1 = 1/(1 + ) (1) L / x2 = 2 x2 –  x2 = 0  x2 = 1/(1 + ) (2) L /  = x12 + x22 – 0,25 -  2 = (3) L /   = 2   = (4) A Eq. (4) é satisfeita para:  = 0 (solução irrestrita): (1)  x1 = 1 ; (2)  x2 = 1  = 0 (folga zero, fronteira da região): (1) e (2) em (3)  x1 = x2 = 0,35 restrição x 1 2 curvas de nível da função objetivo 0,5

5.1 Conceito de Otimização 5.2 Elementos Comuns em Problemas de Otimização 5.2.1 Variáveis de Decisão (Manipuladas) 5.2.2 Critério 5.2.3 Função Objetivo 5.2.4 Restrições 5.2.5 Região Viável 5.3 Localização da Solução Ótima 5.4 Problemas e Métodos de Otimização 5.5 Método Analítico: problemas univariáveis e multivariáveis. 5.6 Métodos Numéricos: problemas univariáveis e multivariáveis

5.6 MÉTODOS NUMÉRICOS São métodos de busca por tentativas.
Os métodos podem ser: - Diretos: orientam as tentativas com base apenas no valor da Função Objetivo. Indiretos: utilizam, também, o valor da derivada da Função Objetivo (com mais informação, o número de tentantivas é menor; mas o esforço computacional é maior). Os pesquisadores buscam desenvolver métodos que atendam às seguintes propriedades: - Eficiência: resolver o mesmo problema com menor esforço. - Robustez: resolver uma variedade maior de problemas.

5.6.1 Problemas Univariáveis
5.6. MÉTODOS NUMÉRICOS 5.6.1 Problemas Univariáveis Motivação para o uso de métodos numéricos Dimensionamento de um trocador de calor W1 = kg/h T1 = 100 oC T2 = 50 oC W3 kg/h ? T4 oC A m2 ? T3= 15 oC

CT = Ccap + Cutil Cutil = (8.500)(5x10-5)W3 Modelo Avaliação Econômica
FLUXOGRAMA W1 = kg/h T1 = 100 oC T2 = 50 oC W3 kg/h ? T4 oC A m2 ? T3= 15 oC Modelo Avaliação Econômica CT = Ccap + Cutil Cutil = (8.500)(5x10-5)W3 Balanço de Informação: V = 9; N = 4; C = 3; M = 1; G = 1 (otimização) 123

Incorporando o modelo ordenado à Função Objetivo
Avaliação Econômica CT = Ccap + Cutil Cutil = (8.500)(5x10-5)W3 Variável de Projeto: T4 Incorporando o modelo ordenado à Função Objetivo 124

Limites de T4: 15 e 100, com uma descontinuidade em 65.
W1 = kg/h T1 = 100 oC T2 = 50 oC W3 kg/h ? T4 oC A m2 ? T3= 15 oC Limites de T4: 15 e 100, com uma descontinuidade em 65.

MÉTODOS DE ESTREITAMENTO DO INTERVALO VIÁVEL
Hipótese: a Função Objetivo é unimodal (a) a Função Objetivo é calculada em determinados pontos do intervalo viável. (b) a partir dos valores calculados e da suposição de unimodalidade, elimina-se a parte do intervalo em que o ponto extremo não pode estar (o intervalo viável, de incerteza, é reduzido). (c) o intervalo viável vai sendo estreitado sucessivamente a cada iteração até se tornar menor do que uma tolerância pré-estabelecida Então, qualquer ponto no interior do intervalo pode ser considerado como solução do problema. Os métodos diferem quanto ao número e ao critério de colocação dos pontos.

Exemplos (Problemas de Máximo)
Dois experimentos por ciclo intervalos eliminados Três experimentos por ciclo intervalos eliminados

Casos de eliminação de 50% do intervalo

Onde posicionar xi e xs? Qual é esta fração?
MÉTODO DA SEÇÃO ÁUREA Em cada iteração, um dos intervalos é eliminado com base no valor da Função Objetivo calculada em apenas dois pontos. Esses pontos (xi e xs) são estrategicamente posicionados de modo a: (a) exibir uma simetria em relação aos limites do intervalo (Li e Ls) (b) eliminar sempre a mesma fração do intervalo vigente. Fi Fs Ls Li xi xs Onde posicionar xi e xs? Qual é esta fração?

Seja um retângulo de lado maior 1 e lado menor 
Esta fração advém da razão dos lados do Retângulo Áureo (aquele esteticamente perfeito, segundo os gregos) Seja um retângulo de lado maior 1 e lado menor  1 e A razão dos seus lados é  /1 = 

sobra um retângulo cuja razão dos lados é (1 -  ) / 
Removendo-se um quadrado, 1- e e 1 sobra um retângulo cuja razão dos lados é (1 -  ) / 

Esta é a Razão Áurea dos lados de um retângulo
O Retângulo Áureo é aquele cuja razão dos lados permanece a mesma ao se remover quadrados sucessivos 1 e 1- Esta é a Razão Áurea dos lados de um retângulo

Retângulo Áureo 1 0,618 0,382 0,618 / 1 = 0,382 / 0,618 = 0,618 Assim, a cada remoção de um quadrado o lado maior do retângulo perde 38,2% do seu comprimento ficando reduzido a 61,8% do comprimento anterior.

Retângulo Áureo 1 0,618 0,382 0,618 / 1 = 0,382 / 0,618 = 0,618 Após a remoção de N quadrados, o lado maior do retângulo estará reduzido a 0,618N do comprimento original. Após a remoção de 10 quadrados, o lado maior do retângulo estará reduzido a 0,0081 do comprimento original, ou seja, a menos de 1% do comprimento original.

Isto é obtido dividindo o intervalo de busca na razão áurea
MÉTODO DA SEÇÃO ÁUREA Em cada iteração, um dos intervalos é eliminado com base no valor da Função Objetivo calculada em apenas dois pontos. Esses pontos (xi e xs) são estrategicamente posicionados de modo a: (a) exibir uma simetria em relação aos limites do intervalo (Li e Ls) (b) eliminar sempre a mesma fração do intervalo vigente. Isto é obtido dividindo o intervalo de busca na razão áurea Fi Fs Ls Li xi xs 0,618   = Ls – Li xi = Li + 0,382  xs = Ls - 0,382  0,382  0,382  

Algoritmo da Seção Áurea
Iniciar Repetir Eliminar Região Atualizar Delta Se Convergiu Então Finalizar Colocar Novo Ponto Convergiu Delta  Tolerância

Se Convergiu Então Finalizar Colocar Novo Ponto Fi
Iniciar Repetir Eliminar Região Atualizar Delta Se Convergiu Então Finalizar Colocar Novo Ponto Fi Ls Li xi xs xi Fs Ls Li xs Problema de Mínimo Eliminação de Região Problema de Máximo Eliminação de Região Inicialização  = Ls – Li xi = Li + 0,382  xs = Ls - 0,382  Fi Fs Ls Li xi xs 0,382   0,618  Atualiza  Tolerância ? Novo Ponto xi  Li xs  xi Fs  Fi Atualiza  Tolerância ? Novo Ponto xs  Ls xi  xs Fi  Fs Fi Fs Ls Li xi xs Fi Ls Li xi xs Fs

Dimensionamento de um trocador de calor
EXEMPLO Dimensionamento de um trocador de calor W1 = kg/h T1 = 100 oC T2 = 50 oC W3 kg/h ? T4 oC A m2 ? T3= 15 oC Cp1 = 1,35 kcal/kg oC Cp3 = 1,00 kcal/kg oC U = 0,75 kcal / m2 oC

Balanço de Informação: V = 9; N = 4; C = 3; M = 1; G = 1 (otimização)

Limites de T4: 15 e 100, com uma descontinuidade em 65 (T4 = 1)
W1 = kg/h T1 = 100 oC T2 = 50 oC W3 kg/h ? T4 oC A m2 ? T3= 15 oC Limites de T4: 15 e 100, com uma descontinuidade em 65 (T4 = 1)

PROGRAMA Áurea.bas e Áurea.xls
Iniciar Repetir Eliminar Região Atualizar Delta Se Convergiu Então Finalizar Colocar Novo Ponto

Iniciar Repetir Eliminar Região Atualizar Delta 9.568 6.287 Se Convergiu Então Finalizar Colocar Novo Ponto 5.339 xi 47,47 xs 67,53 xs 79,93 15 Li 100 Ls Li xi i s N L x F  2 15 47,47 9.568 67,53 6.287 100 85 67,53 6.287 3 47,47 100 52,53 79,93 5.339 4 67,53 79,93 5.339 100 32,47

VER PROGRAMA AUREA.XLS

Minimização do Custo do Trocador de Calor
Tolerância: 1,8 oC (1% do intervalo inicial) i s N L x F  2 15 47,47 6776,632 67,53 5073,825 100 85 67,53 5073,825 3 47,47 79,93 4510,13 100 52,53 87,59 4293,36 4 67,53 79,93 4510,13 100 32,47 87,59 4293,36 5 79,93 92,33 4222,96 100 20,07 95,26 4224,39 6 87,59 92,33 4222,96 100 20,42 92,33 4222,96 7 87,59 90,52 4242,09 95,26 12,40 92,33 4222,96 8 90,52 93,45 4217,68 95,26 7,66 93,45 4217,68 9 92,33 94,14 4217,63 95,26 4,74 94,57 4219,10 10 93,45 94,14 4217,63 95,26 2,93 11 93,45 94,14 4217,63 94,57 1,81 93,88 4217,32 93,45 94,14 1,11 93,88 4217,32 T4o = 93,88  Ao = 17 ft2  W3o = lb/h

FUNÇÕES MULTIMODAIS

5.6. MÉTODOS NUMÉRICOS 5.6.2 Problemas Multivariáveis Alguns métodos diretos: - Busca Aleatória - Busca por Malhas - Busca Secionada - Simplex - Hooke & Jeeves Procedimento Geral: (a) seleção de um ponto inicial (base). (b) exploração da vizinhança da base para inferir uma direção de busca. (c ) progressão na direção de busca até decisão em contrário. (d) finalização Os métodos diferem quanto à forma de executar a exploração e a progressão.

Método de Hooke & Jeeves
ALGORITMO Estabelecer um incremento e uma tolerância para cada variável Escolher uma Base Repetir Explorar a vizinhança da Base (em busca da direção provável do ótimo) Se houve Sucesso em alguma direção Então: Progredir (na direção provável) até haver um Insucesso Senão (estamos nas proximidades do ótimo): Se Chegou ao Ótimo Então: Finalizar Senão: reduzir os incrementos Explorar, Progredir e Chegou ao Ótimo: ver em seguida

ALGORITMO Estabelecer um incremento e uma tolerância para cada variável Escolher uma Base Repetir Explorar a vizinhança da Base (em busca da direção provável do ótimo) Incremento: a busca deve ser grosseira, porém rápida no início e lenta e minuciosa nas proximidades do ótimo. O incremento inicial pode ser 2 vezes a tolerância, ou mais, para ser reduzido à metade à medida que se aproxima do ótimo. Tolerância: o menor intervalo de incerteza admissível para cada variável Base: o centro da região de busca (na falta de maiores informações).

? + 2 ? - 1 ? + 1 Base ? - 2 Exploração
Testar a Função Objetivo em cada sentido (incrementos + i e - i) de cada direção (xi) ao redor da Base. Do resultado, depreender a direção provável do ótimo ? + 2 ? - 1 ? + 1 Base ? - 2 A Exploração não pode ser interrompida sem que todas as direções tenham sido testadas.

Funções unimodais: o sucesso num sentido dispensa o teste no outro.
Exploração Funções unimodais: o sucesso num sentido dispensa o teste no outro. S: Sucesso I: Insucesso S + 2 0,0 0,2 0,4 0,6 0,8 1,0 0,1 0,3 0,5 y x S - 1 Sucesso Base I - 2 desnecessário buscando máximo

Exploração O Sucesso numa tentativa justifica a mudança da Base para a nova posição. A Exploração continua a partir desta melhor posição. S + 2 S - 1 Base I - 2

Seguem-se todos os resultados possíveis da Exploração

x2 Direção x1 Unimodalidade: dispensa + 1 Direção x2 Unimodalidade: dispensa + 2 Sucesso: deslocar a Base - 1 10 Base 15 - 2 18 Sucesso: deslocar a Base Direção provável do ótimo x1

x2 Direção provável do ótimo Direção x1 Unimodalidade: dispensa + 1 18 Sucesso: deslocar a Base Direção x2 + 2 Sucesso: deslocar a Base - 1 10 Base 15 - 2 12 Insucesso: permanecer na Base x1

Direção x1 x2 Unimodalidade: dispensa + 1 Direção x2 13 Insucesso: permanecer na Base + 2 Direção provável do ótimo Sucesso: deslocar a Base - 1 10 Base 15 - 2 12 Insucesso: permanecer na Base x1

x2 Direção x1 Direção x2 Unimodalidade: dispensa + 2 Sucesso: deslocar a Base - 1 +1 10 Base 15 7 Insucesso: permanecer na Base - 2 Sucesso: deslocar a Base 18 Direção provável do ótimo x1

Direção provável do ótimo
x2 Direção x1 Sucesso: deslocar a Base 18 Direção x2 + 2 - 1 +1 Sucesso: deslocar a Base 10 Base 15 7 Insucesso: permanecer na Base - 2 12 Insucesso: permanecer na Base x1

x2 Direção x1 Insucesso: permanecer na Base 11 Direção x2 + 2 Sucesso: deslocar a Base - 1 +1 10 Base 15 7 Insucesso: permanecer na Base - 2 Direção provável do ótimo Insucesso: permanecer na Base 12 x1

x2 Direção x1 Direção x2 Unimodalidade: dispensa + 2 10 Base - 1 +1 Insucesso: permanecer na Base 7 8 Insucesso: permanecer na Base - 2 Sucesso: deslocar a Base 15 Direção provável do ótimo x1

Direção provável do ótimo
x2 Direção x1 Sucesso: deslocar a Base 15 Direção x2 + 2 - 1 +1 Insucesso: permanecer na Base Insucesso: permanecer na Base 7 10 8 Base - 2 Insucesso: permanecer na Base 9 x1

x2 Direção x1 Insucesso: permanecer na Base 5 Direção x2 + 2 - 1 +1 Insucesso: permanecer na Base Insucesso: permanecer na Base 7 10 8 Base - 2 Insucesso: permanecer na Base 9 A Base deve estar próxima do ótimo ! x1

ALGORITMO Estabelecer um incremento e uma tolerância para cada variável Escolher uma Base Repetir Explorar a vizinhança da Base (em busca da direção provável do ótimo) Se houve Sucesso em alguma direção Então: Progredir (na direção provável) até haver um Insucesso Senão (proximidade do ótimo): Senão: reduzir os incrementos Se Chegou ao Ótimo Então: Finalizar

Senão: reduzir os incrementos Se Chegou ao Ótimo Então: Finalizar
A Base estará suficientemente próxima para ser declarada como o ótimo? Se todos os incrementos estiverem menores do que as tolerâncias, SIM!: Finalizar Se algum deles estiver maior, então este deve ser reduzido à metade. Inicia-se uma nova Exploração à volta da Base com os novos incrementos

Senão: reduzir os incrementos Se Chegou ao Ótimo Então: Finalizar x2
9 - 1 7 - 2 +1 10 Base + 2 5 8 + 1 - 1 + 2 - 2 1 > 1 e 2 > 2 ainda não chegou ao ótimo Reduzir os incrementos 1 = 1 /2 , 2 = 2 /2 x1

Senão: reduzir os incrementos Se Chegou ao Ótimo Então: Finalizar x2
9 - 1 7 - 2 +1 10 Base + 2 5 8 - 1 + 1 + 2 - 2 1 > 1 e 2 > 2 ainda não chegou ao ótimo Reduzir os incrementos 1 = 1 /2 , 2 = 2 /2 x1

a Base pode ser considerada o Ponto Ótimo
Se Chegou ao Ótimo Então: Finalizar x2 + 1 - 2 + 2 8 - 1 7 - 2 +1 10 Base + 2 9 5 1 < 1 e 2 < 2 a Base pode ser considerada o Ponto Ótimo x1

ALGORITMO Estabelecer um incremento e uma tolerância para cada variável Escolher uma Base Repetir Explorar a vizinhança da Base (em busca da direção provável do ótimo) Se houve Sucesso em alguma direção Então: Progredir (na direção provável) até haver um Insucesso Senão: (proximidade do ótimo) Se Chegou ao Ótimo Então: Finalizar Senão: reduzir os incrementos

Progredir até ocorrer um Insucesso
Método de Hooke & Jeeves : Fase de Progressão Progredir até ocorrer um Insucesso x2 Insucesso! Permanecer na Base (25) Sucesso! Mover a Base. Continuar a Progressão 22 + 2 +1 25 Exploração a partir da Base (25) com 1 e 2 . + 2 +1 15 +1 + 2 18 Resultado da Exploração 10 Base x1

Progredir com duplo incremento até ocorrer um Insucesso
Método de Hooke & Jeeves : Fase de Progressão 22 Insucesso! Permanecer na Base (25) Progredir com duplo incremento até ocorrer um Insucesso x2 + 2 2 +2 1 Sucesso! Mover a Base. Continuar a Progressão 25 Exploração a partir da Base (25) com 1 e 2 . + 2 2 +2 1 15 +1 10 Base + 2 18 Resultado da Exploração x1

Funções Unimodais O método converge sempre para o único extremo independentemente da base inicial. Os incrementos iniciais afetam apenas o número de tentativas.

Funções Multimodais O método pode convergir para extremos locais diferentes dependendo da base inicial e dos incrementos iniciais selecionados. (a) partindo de bases iniciais diferentes pode-se alcançar extremos locais diferentes com os mesmos incrementos iniciais. (b) partindo de uma mesma base inicial pode-se alcançar extremos locais diferentes com incrementos iniciais diferentes f (x) = (x12 + x2 – 11)2 + (x22 + x1 – 7)2

ALGORITMO Estabelecer um incremento e uma tolerância para cada variável Escolher uma Base Repetir Explorar a vizinhança da Base (em busca da direção provável do ótimo) Se houve Sucesso em alguma direção Então: Progredir (na direção provável) até haver um Insucesso Senão: (proximidade do ótimo) Se Chegou ao Ótimo Então: Finalizar Senão: reduzir os incrementos

'HJ JUL90-23MAI96 'Executa o Método de Hooke & Jeeves. ' ' Programa Principal EscolherUmaBase DO ExplorarAsVizinhancasDaBase '(Buscando a direção provável do ótimo). IF HouveSucessoEmAlgumaDirecao THEN ProgredirAteUmInsucesso '(Na direção provável do ótimo). ELSE IF ChegouAoOtimo THEN EXIT DO ELSE ReduzirTodosOsIncrementos END IF LOOP Finalizar

DIMENSIONAMENTO POR SIMULAÇÕES SUCESSIVAS
EMPREGADO POR “SOFTWARES” COMERCIAIS Empregam, para dimensionamento, os módulos ordenados para simulação. Mas exige um procedimento de otimização: função objetivo (a ser minimizada): diferença, em valor absoluto, entre os valores obtidos para as variáveis de saída e os valores estipulados como metas variáveis de projeto: as dimensões dos equipamentos

Exemplo: Extrator FO = |x – 0,008| Normal W = 3.750 kgB/h Ts oC
T oC W = kgB/h rafinado y = 0,032kg AB/kg B r = 0,60 extrato Q* = kgA/h xo*= 0,02 kg AB/kg A To oC Ts oC x* = 0,008 kgAB/kg A alimentação solvente Simulações Sucessivas T oC W = ??? kgB/h rafinado y = kg AB/kg B extrato W = kgB/h Q* = kgA/h xo*= 0,02 kg AB/kg A To oC Ts oC x = ??? kgAB/kg A alimentação solvente FO = |x – 0,008|

Por Seção Áurea, 0 < W < 1.000  W = 3.750
Exemplo: Extrator T oC W = ??? kgB/h rafinado y = kg AB/kg B extrato W = kgB/h Q* = kgA/h xo*= 0,02 kg AB/kg A To oC Ts oC x = ??? kgAB/kg A alimentação solvente FO = |x – 0,008| Simulações Sucessivas 1. Q (xo – x) – W y = 0 2. y – k x = 0 x = Q xo / (Q + k W ) Por Seção Áurea, 0 < W <  W = 3.750

Exemplo: Trocador de Calor
T1* = 80 oC W1* = kg/h A = 265,6 m2 T 2* = 25 oC W3 = kg/h T3* = 15 oC T4* = 30 oC Normal Simulações Sucessivas T1* = 80 oC W1* = kg/h A ?? T 2* ??? W3 ?? T3* = 15 oC T4* = ??? Q 1.T2 = T1 – Q / W1Cp1 2. T4 = T3 + Q / W3Cp3 4. d = Q – U A d = 0 Ciclo!

Substituindo 4, 2 e 1 em 3, resulta: a = T1 – T3 b = U A [ 1 / W1 Cp1 – 1 / W3 Cp3] 3’. Q = a (eb – 1) / [ eb / W1 Cp1 – 1 / W3 Cp3] 1.T2 = T1 – Q / W1Cp1 2. T4 = T3 + Q / W3Cp3 4. d = ... Simulações Sucessivas T1* = 80 oC W1* = kg/h A ?? T 2* ??? W3 ?? T3* = 15 oC T4* = ??? Q 1.T2 = T1 – Q / W1Cp1 2. T4 = T3 + Q / W3Cp3 4. d = Q – U A d = 0 Ciclo!

a = T1 – T3 b = U A [ 1 / W1 Cp1 – 1 / W3 Cp3] 3’. Q = a (eb – 1) / [ eb / W1 Cp1 – 1 / W3 Cp3] 1.T2 = T1 – Q / W1Cp1 2. T4 = T3 + Q / W3Cp3 4. d = ... Otimização T1* = 80 oC W1* = kg/h A ?? T 2* ??? W3 ?? T3* = 15 oC T4* = ??? Por Hooke&Jeeves 0 < A < < W3 < FO = |T2 – 25| + |T4 – 30|

REVISÃO DE SEÇÃO ÁUREA

MÉTODOS DE ESTREITAMENTO DO INTERVALO VIÁVEL
Hipótese: a Função Objetivo é unimodal (a) a Função Objetivo é calculada em determinados pontos do intervalo viável. (b) a partir dos valores calculados e da suposição de unimodalidade, elimina-se a parte do intervalo em que o ponto extremo não pode estar (o intervalo viável, de incerteza, é reduzido).

Exemplos (Problemas de Máximo)
Dois experimentos por ciclo intervalos eliminados Três experimentos por ciclo intervalos eliminados

Casos de eliminação de 50% do intervalo

(c) o intervalo viável vai sendo estreitado sucessivamente a cada
iteração até se tornar menor do que uma tolerância pré-estabelecida Então, qualquer ponto no interior do intervalo pode ser considerado como solução do problema. Os métodos diferem quanto ao número e ao critério de colocação dos pontos.

Onde posicionar xi e xs? Qual é esta fração?
MÉTODO DA SEÇÃO ÁUREA Em cada iteração, um dos intervalos é eliminado com base no valor da Função Objetivo calculada em apenas dois pontos. Esses pontos (xi e xs) são estrategicamente posicionados de modo a: (a) exibir simetria em relação aos limites do intervalo (Li e Ls) (b) permitir a eliminação da mesma fração do intervalo vigente em todas as iterações.. Fi Fs Ls Li xi xs Onde posicionar xi e xs? Qual é esta fração?