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Regressão linear simples
Variável independente, X Variável dependente, Y Temperatura do forno (0C) Resistência mecânica da cerâmica (MPa) Quantidade de aditivo (%) Octanagem da gasolina Renda (R$) Consumo (R$) Memória RAM do computador (Gb) Tempo de resposta do sistema (s) Área construída do imóvel (m2) Preço do imóvel (R$)
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Exemplo 11.2: Resultados de n = 6 ensaios experimentais:
X = % de aditivo Y = Índice de octanagem da gasolina X Y 1 80,5 2 81,6 3 82,1 4 83,7 5 83,9 6 85,0
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Exemplo 11.2:
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Regressão - Modelo Y = + Regressão Linear Simples Parâmetros
Predito por X, se- gundo uma função Efeito aleatório + Regressão Linear Simples Parâmetros
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Modelo de regressão linear simples
Em termos das variáveis: Em termos dos dados: Yi = + xi + i Suposições: os termos de erro (1, 2, ..., n) são variáveis aleatórias independentes; E{i} = 0; V{i} = 2; e i tem distribuição normal (i = 1, 2, ..., n).
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Método dos mínimos quadrados para estimar e
Minimizar em relação a e : yi xi i
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Método dos mínimos quadrados para estimar e
Resultado das derivadas parciais: Estimativa de : Estimativa de : Reta de regressão construída com os dados:
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Qualidade do ajuste Ajustou-se uma equação de regressão entre X e Y. E a qualidade do ajuste? análise de variância do modelo análise dos resíduos
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Reta de regressão e resíduos
Valores preditos: yi xi ei Resíduos:
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Análise de variância do modelo
Desvio em relação à média aritmética: yi xi ei di Desvio em relação à reta de regressão (resíduo da regressão):
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Somas de quadrados = + SQT variação total SQR variação explicada
pela equação de regressão SQE variação não explicada
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Somas de quadrados Coeficiente de determinação:
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Medida da qualidade do ajuste:
Coeficiente de determinação (R2) R2 = Variação total explicada = (yi - y)2 ^ Matematicamente, R é o quadrado do Coef. de Correlação de Pearson. 0 R2 1
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Exemplo 11.2: Interpretar.
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Análise de variância do modelo
Fonte de variação gl SQ QM Razão f Regressão 1 Erro n – 2 Total n – 1
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Teste de significância do modelo
H0: = e H1: 0 Distribuição de referência para a razão f : distribuição F com gl = 2 no numerador e gl = n – 2 no denominador (Tabela 6).
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Exemplo 11.2: gl SQ MQ Fonte de variação Razão f Regressão 1 13,73
13,729 156,26 Erro 4 0,35 0,088 Total 5 14,08
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Regressão Múltipla Predizer valores de uma variável dependente (Y) em função de variáveis independentes (X1, X2, ..., Xk). Conhecer o quanto variações de Xj (j = 1,...,k) podem afetar Y.
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Modelo de Regressão Múltipla
E{Y} = f(X1, X2, ..., Xk) Linear: E{Y} = 0 + 1X1 + 2X kXk onde Y, X1, ..., Xk podem representar as variáveis originais ou transformadas. Admite-se que X1, ..., Xk são variáveis matemáticas e Y é uma variável aleatória.
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Modelo de Regressão Múltipla
E{Y} = 0 + 1X1 + 2X kXk O coeficiente k representa a variação esperada de Y para cada unidade de variação em Xk (k = 1, 2, ..., k), considerando as outras variáveis independentes fixas. O primeiro objetivo é estimar os coeficientes: 0, 1, 2, ..., k.
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Modelo de Regressão Múltipla
AMOSTRA: variáveis obs. Y X1 X2 ... Xk 1 y1 x11 x x1k y2 x21 x x2k n yk xn1 xn2 ... xnk E{yi} = 0 + 1xi1 + 2xi kxik yi = 0 + 1xi1 + 2xi kxik + ei termo aleatório (erro)
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Modelo de Regressão Múltipla Suposições
yi = 0 + 1xi1 + 2xi kxik + ei termo aleatório (erro) Os erros (ei) são independentes e variam aleatoriamente segundo uma distribuição (normal) com média zero e variância constante. Suposição adicional: não deve haver correlações muito forte entre as variáveis independentes.
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Modelos lineares: Exemplo com regressãolinear simples
i xi yi yi = 0 +1xi + ei = 0 + e1 = 0 + e2 = 0 + e3 = 0 + e4 = 0 + e5
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Modelos lineares: Exemplo com regressão linear simples
Y = X + e1 e2 e3 e4 e5 e1 e2 e3 e4 e5 98 110 112 115 122 1 20 1 25 1 30 1 35 1 40 0 1 = +
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Modelos lineares: Exemplo com regressão linear múltipla
i x1i x2i yi
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Modelos lineares: Exemplo com regressão linear múltipla
Y = X e1 e2 e3 e4 e5 e1 e2 e3 e4 e5 0 1 2 98 110 112 115 122 + =
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Modelos lineares: Estimador de mínimos quadrados
Y = X + Estimador de mínimos quadrados de , isto é, o vetor b que minimiza a função L() = ’ = (Y - X)’(Y - X) : b = (b0, b1, ..., bk)’
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Regressão Múltipla Equação de regressão ajustada aos dados:
Valores preditos: Resíduos: (estimativa da) variância do erro:
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Regressão Múltipla: comparando modelos
Dado dois modelos p1 e p2 com n1 e n2 coeficientes com n2>n1. H0: o número maior de coeficientes de p2 só servem para ajustar o erro experimental Sob H0 e considerando as suposições do modelo, f tem distrib. F com g.l. n2-n1 (no num.) e (Nexp-n21) (no denom.)
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Medida do Ajuste (yi - y)2 Coeficiente de determinação (R2) R2 =
Variação total explicada = (yi - y)2 ^ 0 R2 1 Coef. de correlação múltiplo (R): coef. de correlação entre yi e
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Regressão Múltipla: teste sobre o modelo
E{Y} = 0 + 1X1 + 2X kXk H0: 1 = 2 = ... = k = 0 Sob H0 e considerando as suposições do modelo, f tem distrib. F com g.l. k (no num.) e (n-k-1) (no denom.)
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Teste de falta de ajuste
m = número de níveis de X; n = número de replicações; p = número de parâmetros do modelo Estatística do teste:
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Teste de falta de ajuste
m = número de níveis de X; n = número de replicações; p = número de parâmetros do modelo Estatística do teste:
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% Variação explicada: SQR/SQT
% Variação explićavel: (SQT-Sqep)/SQT
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Regressão Múltipla: teste sobre um particular coeficiente
E{Y} = 0 + 1X kXk kXk H0: j = 0 onde cjj é o k-ésimo elemento da diag. princ. da matriz C = (X’X)-1. Sob H0 e considerando as suposições do modelo, t tem distrib. t de student com g.l. = (n-k-1)
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Exemplo 2 Obter o melhor modelo (Taylor) para:
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Exemplo 2
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