Estimação e Intervalo de Confiança. Estimação Frequentemente necessitamos, por meio das amostras, conhecer informações gerais da população. A estimação.

Apresentação em tema: "Estimação e Intervalo de Confiança. Estimação Frequentemente necessitamos, por meio das amostras, conhecer informações gerais da população. A estimação."— Transcrição da apresentação:

1 Estimação e Intervalo de Confiança

2 Estimação Frequentemente necessitamos, por meio das amostras, conhecer informações gerais da população. A estimação é o processo que consiste no uso de dados da amostra (dados amostrais) para estimar valores de parâmetros populacionais desconhecidos, tais como média, desvio padrão, proporções etc.

3 Estimação População Amostra Média Desvio Padrão Amostra Média Desvio Padrão

4 Estimativas Pontuais e Intervalares Chamamos de estimador a quantidade calculada em função dos elementos da amostra, que será usada no processo de estimação do parâmetro desejado. – O estimador é, como vemos, uma estatística. Será, portanto, uma variável aleatória caracterizada por uma distribuição de probabilidade e seus respectivos parâmetros próprios. Chamaremos de estimativa a cada valor particular assumido por um estimador.

5 Estimativa Pontual É quando fazemos uma única estimativa (um valor) para um determinado parâmetro populacional. Vejamos os exemplos:

6 Estimativa Intervalar É quando fazemos uma estimativa de um intervalo de valores possíveis, no qual se admite esteja o parâmetro populacional. Neste tipo de estimativa temos um intervalo de valores em torno do parâmetro amostral, no qual julgamos, com um risco conhecido de erro, estar o parâmetro da população. A esse intervalo chamamos intervalo de confiança

7 Estimativa de Médias de uma População Para efetuar a Estimativa de Médias de uma População utiliza-se desvio padrão da distribuição que constitui a amostra (distribuição amostral), deve-se levar em consideração se o desvio padrão da população é ou não conhecido.

8 Para desvio padrão populacional conhecido temos: Estimativa Intervalar da média

9

10 Salientamos que a estimativa intervalar da média populacional baseia-se na hipótese de que a distribuição das médias amostrais é normal, daí usarmos a nova variável z. Para grandes amostras (quando n é maior que 30) esta premissa é garantida pelo Teorema do Limite Central; Para amostras de 30 ou menos elementos, é importante saber que a população submetida à amostragem distribuição-t (Student)

11 Teorema do Limite As médias das amostras apresentam uma distribuição normal, desde que sejam independentes Média das médias converge para a média da população µ Desvio padrão é

12 Usando a tabela z z < 0,21 Z < -1,2 P(Z≤ 1,23) = 0,890651 P(Z< 1,02) = 0,153864 P(Z> 1,45) = 0,073529 P (-1,03 < Z < 1,02) = 0,846136 - 0,151505

13 A tabela (µ = 0, σ =1) µ = 15, σ =7 P(X<13) Z = (X - µ) / σ Z = (13 – 15)/7 = 0,29 0,385908

14 Cálculo do Intervalo de Confiança Considerando que uma amostra de cem elementos extraída de uma população aproximadamente normal, cujo desvio padrão é igual a 2, forneceu média de 35,6 ( ), construir intervalos de confiança de 90%, 95% e 99% para a média dessa população.

15 Exemplo 0,5 90 -> 0,45 95 -> 0,475 99 -> 0,495

16

17 Erro admitido num intervalo (erro de estimação) É a diferença entre a média da amostra e a verdadeira média da população. Como o intervalo de confiança tem centro na média da amostra, o erro máximo provável que está sendo admitido é igual à metade da amplitude do intervalo. O erro de estimação pode ser descrito pela relação: Percebemos que quando aumentamos este erro potencial aumenta. Podemos concluir também que maiores amostras (aumenta n) possuem um potencial de erro menor.

18 Distribuição t de Student Para pequenas amostras a distribuição normal apresenta valores menos precisos, o que nos leva a utilizar um modelo melhor.

19 Distribuição t de Student Existe um valor de t para cada tamanho de amostra, sendo que à medida que a amostra (n) cresce, a distribuição t de Student se aproxima da distribuição normal. Para calcular o valor de t a ser usado é necessário ter: – Um nível de confiança desejado: – Qual o número de graus de liberdade a ser utilizado:

20 Exemplo Sabendo-se que uma amostra tem 25 elementos, que a sua média 150 e desvio padrão igual a 10. Represente um intervalo de confiança em nível de 90%. Como a amostra é menor que 30 elementos, então iremos usar a distribuição t de Student. Se desejamos um intervalo de confiança de 90%, temos:

21 Valor de t Para trabalharmos com a tabela, encontramos o número de graus de liberdade, que é: (n-1), logo (25-1)=24. Tabela (24,095)=1,711

22 Valor de t

23 Determinação do Tamanho da Amostra O tamanho da amostra depende de 3 fatores, conforme abaixo: – O grau de confiança desejado (z); – Quantidade de dispersão entre os valores individuais da população ( ); – Erro tolerável ou admitido (e). Formula

24 Exemplo Qual o tamanho de amostra necessária para se estimar a média de uma população infinita cujo desvio padrão é igual a 4, com 98% de confiança e erro de 0,5?