Ronaldo Campelo Manoel Oriosvaldo de Moura

Apresentação em tema: "Ronaldo Campelo Manoel Oriosvaldo de Moura"— Transcrição da apresentação:

1 Ronaldo Campelo Manoel Oriosvaldo de Moura
Grandezas e Medidas Ronaldo Campelo Manoel Oriosvaldo de Moura

2 Você mediu hoje?

3 MEDIR Por quê? O quê? Como? necessidade grandeza processo

4 “[…] toda a gente, nas mais variadas circunstâncias, qualquer que seja a sua profissão, tem necessidade de medir” (Bento de Jesus Caraça)

5 I) A operação da medida O que é medir?
É a comparação de duas grandezas da mesma espécie: dois comprimentos, dois pesos, dois volumes, etc. Exemplo: Para compararmos os comprimentos dos segmentos de reta AB e CD, faremos o seguinte: A B C D Assim, como resultado da comparação dizemos que o comprimento de AB é maior que CD, ou o comprimento de CD é menor que o de AB. Porém, este simples resultado – comprimento maior que ou menor que, não é suficiente na maioria dos casos.

6 O que buscamos em geral é uma resposta a pergunta:
Quantas vezes cabe um comprimento no outro? “Se não houver um termo de comparação único para todas as grandezas de uma mesma espécie, tornam-se, se não impossíveis, pelo menos extremamente complicadas as operações de troca que a vida social de hoje exige” Assim, é preciso: i) Estabelecer um padrão de comparação para todas as grandezas de mesma espécie, tal padrão é a unidade de medida; ii) Responder à pergunta – quantas vezes? – acima posta, o que se faz dando um número que exprima o resultado da comparação com a unidade. Assim, esse número chama-se a medida da grandeza em relação a essa unidade.

7 Exemplo: Vamos considerar dois segmentos de reta AB e CD, onde o resultado da comparação nos diz que no segmento CD cabe três vezes o segmento AB. C D A B Há no problema da media três fases e três aspectos distintos: 1 - Escolha da unidade; 2 - Comparação com a unidade; 3 - Expressão do resultado dessa comparação por um número.

8 II) Interdependência dos aspectos
A escolha da unidade e a expressão do resultado por um número estão interligados e cada um condiciona o outro. ESCOLHA DA UNIDADE Caráter prático Economia Comodidade Em princípio a unidade pode escolher-se como quiser, mas, na prática o número que há de vir a obter-se como resultado da medição condiciona a escolha da unidade. Isso depende da natureza das medições a serem feitas; uma mesma grandeza tem, portanto, tantas medidas quantas unidade com que a medição se faça.

9 III) A operação da medida e o contexto social - construção social da medida.
A necessidade em medir surge pelas relações: * de base econômica: calcular a quantidade de sementes a semear, tempo que a terra leva a lavrar; * de indivíduo para indivíduo com base na terra possuída:determinação aproximada da área. * indivíduo e Estado: o imposto depende da área da propriedade.

10 IV) Como nasceu a medida
Heródoto ao fazer a história dos egípcios no livro II (Euterpe) das suas histórias, refere-se deste modo às origens da geometria: Disseram-me que este rei (Sesóstris) tinha repartido todo o Egito entre os egípcios, e que tinha dado a cada um uma porção igual e retangular de terra, com a obrigação de pagar por ano um certo tributo. Que se a porção de algum fosse diminuída pelo rio (Nilo), ele fosse procurar o rei e lhe expusesse o que tinha acontecido à sua terra. Que ao mesmo tempo o rei enviava medidores ao local e fazia medir a terra, a fim de saber de quanto ela estava diminuída e de só fazer pagar o tributo conforme o que tivesse ficado de terra.

11 V) Subdivisão da unidade
Considere o segmento AB medindo com a unidade CD=m, mede 4. Se dividirmos CD em três partes iguais e tomarmos para a nova unidade o segmento m’ = CE, Temos que considerar dois aspectos do problema: 1 - A medida de AB tomando como unidade m’=CE é 12, 2- Quanto à medida AB com a unidade m =CD, tanto vale dizer que AB vale quatro unidades m, como dizer que AB vale 12 das terças partes m’=CE de m. Portanto, o resultado da medição com a unidade u tanto pode ser expresso pelo número 4 como pela razão dos dois números 12 e 3, isto é, pelo quociente 12:3, ou 12/3 . A B C D E

12 VI) Um caso, frequente, em que é necessário a subdivisão
Como fazer para exprimir ainda numericamente a medição de AB com a mesma unidade CD? (OBS: aplicada a unidade sobre AB, sobra uma porção PB inferior a unidade) Assim, dividimos CD num número de partes iguais suficientes para que cada uma delas caiba um número inteiro de vezes em AB, no caso da figura, dividimos CD em três partes iguais e a nova unidade coube onze vezes em AB. Então: 1) A medida de AB em relação à nova unidade é 11. (11d) 2) Que pode dizer-se da medida AB em relação à antiga unidade CD? Se quisermos seguir o caminho anterior - princípio de economia - dizemos que essa medida é dada pela razão dos dois números 11 e 3. Mas essa razão não existe em números inteiros, visto que 11 não é divisível por 3. A B P C D d

13 VII) O dilema Uma das duas:
1) Ou renunciamos a exprimir numericamente a medição de AB com a unidade CD, o que, além de incomodo, levanta novas questões - se podemos exprimir a medida em relação à nova unidade e não em relação a antiga, será porque aquela terá algum privilégio especial? Qual? Porque? 2) Ou desejamos poder exprimir sempre a medida por um número - princípio de extensão - e então temos que reconhecer que o instrumento numérico até aqui conhecido - o conjunto dos números inteiros - é insuficiente para tal e há que completá-lo aperfeiçoá-los nesse sentido. Como? (p.34).

14 VIII) O aspecto aritmético da dificuldade
Onde reside a dificuldade do ponto de vista aritmético? A dificuldade está apenas, em que no segundo exemplo o número 11 não é divisível por 3 - existia a razão 12:3 e não existe a razão 11:3. Em geral sempre que, feita a subdivisão da unidade em n partes, iguais, uma dessas partes caiba m vezes na grandeza a medir, a dificuldade surge sempre que, e só quando, m não seja divisível por n, isto é, no caso da impossibilidade da divisão. Se queremos resolver a dificuldade, devemos criar um novo campo numérico, de modo a reduzir essa impossibilidade.

15 IX) Os moldes da criação do novo campo numérico
1) O princípio de extensão: leva-nos a criar novos números por meio dos quais se possa exprimir a medida dos segmentos nos casos apresentados. 2) A dificuldade na impossibilidade da divisão (exata) em números inteiros, quando o dividendo não é múltiplo do divisor. 3)Se queremos obedecer ao princípio de economia devemos fazer a construção de modo tal que: a) com os novos números sejam abrangidas todas as hipóteses de medição. b) os novos números se reduzam aos números inteiros sempre que o caso da medição a fazer seja análogo ao da figura do ítem 5.

16 X) O novo campo numérico
Definição: Sejam os dois seguimentos de reta AB e CD, em que cada um dos quais se contém um número inteiro de vezes o segmento u - AB contém m vezes e CD contém n vezes o segmento u. m A _ _ _ _ _ _ _ _ B C _ _ _ u _ D n Diz-se, por definição, que a medida do segmento AB, tomando CD como unidade é o número m, e escreve-se 1) AB: m . CD n n

17 X) O novo campo numérico
Quaisquer que sejam os números inteiros m e n (n não nulo) se m for divisível por n, o número m n coincide com o número inteiro que é quociente da divisão; se m não for divisível por n , o número m/n diz-se fracionário. O número m/n, diz-se em qualquer hipótese, racional -ao número m chama-se numerador e ao número n denominador. E particular, da igualdade resulta que: 1) n=n visto que, se AB=n.CD, é também AB= n. CD e que, 2) n =1 porque as igualdades AB=AB e AB = n .AB são n equivalentes.

18 O que mais necessitamos medir?
NECESSIDADE DE MEDIR Cobrar impostos proporcionais a propriedade privada A terra O que mais necessitamos medir?

19 Se vocês se encontrassem nas condições dos egípcios, como mediriam as terras?

20 NECESSIDADE DE MEDIR Para resolver um problema
Para comunicar (negociar significados) Criação social da unidade artificial Criação de instrumentos (tecnologia)

21 O que medimos? Grandeza é uma qualidade capaz de apresentar uma variação quantitativa. Quais dessas qualidades nós medimos? alegria cor superfície amor textura inteligência altura som água velocidade tempo luz

22 Qual a diferença da natureza dos objetos que medimos em relação aos que contamos?

23 Grandezas discretas/contínuas
Quais dos elementos se apresentam em quantidades discretas e quais se apresentam em quantidades contínuas? água estrelas alegria som vírus areia açúcar feijão eletricidade saudade idade chuva

24 Grandezas discretas/contínuas e a medida
Apreensão do objeto/fenômeno e a construção da medida Senso de grandeza numeralização

25 MEDINDO COMPRIMENTO unidade

26 Subdivisão da unidade unidade Como representar essa medida?

27 A FRAÇÃO O comprimento medido é 4 unidades mais 2 partes da unidade subdividida em 5 partes (subunidade). 4 unidades = 20 subunidades temos 22 subunidades Como a unidade foi subdividida em 5 partes a subunidade aqui é 1/5 da unidade O comprimento medido é 22/5 da unidade

28 Medir Comparar duas grandezas de mesma espécie
Escolher uma unidade para comparar Medida é o número que exprime essa comparação

29 Todo comprimento pode ser medido?

30 Referências LIMA, L. A fração: A repartição da terra – SP, CIARTE/CEVEC, 1998. CATALANI, E. M. T. A inter-relação forma e conteúdo no desenvolvimento conceitual de fração. Campinas, Dissertação (Mestrado em Educação) - Faculdade de Educação, Universidade Estadual de Campinas. CARAÇA,B.J. Conceitos fundamentais da Matemática. Lisboa: Tipografia Matemática Ltda,1998.

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