DETEÇÃO E ESTIMAÇÃO Aula 19: Deteção Gaussiana – Parte 2.

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1 DETEÇÃO E ESTIMAÇÃO Aula 19: Deteção Gaussiana – Parte 2

2 Retrospectiva  Deteção Gaussiana geral  LRT quadrática  Casos especiais  Matrizes de covariância iguais para H0 e H1  Componentes independentes, variâncias iguais  Componentes independentes, variâncias diferentes  Componentes dependentes (caso geral)

3 Componentes independentes  Estatística suficiente  Simplicidade dos casos anteriores advém da matriz de covariância ser diagonal  Solução: transformação de variáveis para diagonalizar matriz

4 Componentes dependentes Mudanças no sistema de coordenadas Novas bases são ortogonais

5 Componentes dependentes  Novo sistema deve ser tal que componentes sejam independentes  Transformação de variáveis

6 Componentes dependentes  Logo  Condição necessária e suficiente

7 Componentes dependentes  Prova da suficiência  Prova da necessidade  Prova por contradição  Assuma o oposto do que você quer provar  Encontre um resultado absurdo

8 Componentes dependentes  Suprimindo o sub-índice

9 Componentes dependentes  Solução não-trivial existe se e somente se

10 Componentes dependentes  Propriedades  Como matriz de cov. é simétrica, autovalores são reais  Como matriz é PD, auto-valores são não-negativos Para cada autovalor, existe uma solução. É sempre possível escolher as soluções de forma que  Se autovalores são distintos, autovetores correspondentes são ortogonais

11 Componentes dependentes  Se uma raiz em particular tem multiplicidade M, os autovetores associados são linearmente independentes  Se definirmos podemos definir K como

12 Componentes dependentes  A matriz de autovetores é ortogonal  Se K é não-singular, então

13 Componentes dependentes  Mudança de coordenadas tal que observações são estatísticamente independentes

14 Componentes dependentes  Estatística suficiente  Distância entre as hipóteses

15 Implementação  Deteção por diagonalização

16 Implementação  Deteçao por branqueamento

17 Implementação  Deteção por correlação

18 Exemplo 3.3  Dados

19 Exemplo 3.3 – Solução  Autovalores  Autovetores

20 Exemplo 3.3 – Solução  Matriz de transformação

21 Exemplo 3.3 – Solução  Estatística suficiente  Distância