Tratamento e análise dos dados Inferência sobre a população

Apresentação em tema: "Tratamento e análise dos dados Inferência sobre a população"— Transcrição da apresentação:

1 Tratamento e análise dos dados Inferência sobre a população
Amostras Tratamento e análise dos dados População Amostra Estatística Um dos pilares dos estudos em Estatística é a amostragem. Populações (na fábrica, o engenheiro utiliza a palavra “lotes”) em geral são grandes demais para ser analisadas em grandes detalhes item por item. Em muitos casos a inspeção a 100% é uma regra da fábrica, mas na realidade este procedimento não funciona adequadamente. Imagine o operador que tem a responsabilidade de verificar o nível de preenchimento de um lote de garrafas de cerveja. O lote tem unidades. Depois de inspecionar apenas 100 garrafas, é muito provável que o operador já não está mais pensando em níveis de preenchimento, mas sim no próximo jogo do seu time de futebol, na próxima oportunidade de tomar uma cerveja, ou na próxima namorada. No final, inspeção a 100% tem custos elevados e resultados péssimos. A seleção de amostras de tamanho muito menor que a população enxuga os custos e paradoxalmente acaba representando melhor as características da população. Amostragem também é necessária quando a inspeção necessita da destruição do item amostrado Inferência sobre a população Amostra: quantidade de valores observados pertencentes ou representativos de uma população. População: lote de produtos/serviços ou período de tempo que se quer analisar.

2   s p Nomenclatura Parâmetros Estatísticas (população) (amostra)
Parâmetros: são as medidas descritivas da população, geralmente desconhecidas. Estatísticas: são as medidas descritivas calculadas em função dos elementos da amostra. Média Desvio padrão Proporção Parâmetros (população) Estatísticas (amostra)   s p Vamos relembrar e fixar estes parâmetros.

3 Curva normal e desvio padrão

4 Tipos de cartas de controle – Variáveis
As cartas de controle por variáveis são usadas para monitorar o processo quando a característica de interesse é mensurada em uma escala de intervalo ou de razão. Estes gráficos são geralmente utilizados em pares. Os gráficos R e S monitoram a variação de um processo, enquanto os gráficos X monitoram a média do processo. O gráfico que monitora a variabilidade deve ser examinado sempre em primeiro lugar, pois se ele indicar uma condição fora do controle a interpretação do gráfico para a média será enganosa. Variáveis Carta X / R Carta X / S Carta I / MR - ~ Médias e amplitudes Medianas e amplitudes Médias e desvio padrão Valores (indivíduos ) e amplitude móvel No final Os gráficos de controle por variáveis permitem o controle de uma única característica quantitativa a cada vez. Se houver mais de uma característica a ser controlada, será necessário aplicar um gráfico de controle para cada uma 46 delas. Para fins de controle, devem ser escolhidas as variáveis que causam rejeição ou retificação do produto, envolvendo custos substanciais.

5 Convenções n = tamanho da amostra k = número (quantidade) de amostras
x = média das médias das amostras (média global) _ s = desvio-padrão amostral médio R = amplitude amostral média A2, A3, D3, D4, etc. = fatores de correção

6 Gráfico de controle X/R Médias e amplitudes – Construção
Este gráfico é usado para acompanhar, controlar e analisar um processo com valores contínuos de qualidade do produto, como o comprimento, o peso ou a concentração. Tais valores fornecem grande quantidade de informações sobre o processo. O uso dos gráficos de controle X e R deve ocorrer sempre que uma característica da qualidade observada é expressa em unidades reais como peso em quilogramas, comprimento em centímetros, temperatura em graus celsius. Este gráfico é composto por dois gráficos que devem ser analisados em conjunto: X, que monitora as médias dos subgrupos R, que monitora a amplitude entre os subgrupos O tamanho de cada subgrupo (n) deve ser constante, sendo que sempre devemos ter 2 ou mais subgrupos. O gráfico X ~ funciona da mesma forma, a única diferença é que ao invés de se calcular a média das amostras, se utiliza a mediana.

7 Gráfico de controle X/S Médias e desvio padrão – Características
Estes gráficos são similares aos gráficos X-barra e R, embora o cálculo do desvio padrão da amostra (S) seja mais difícil do que o da amplitude (R). O uso dos gráficos de controle X e S deve ocorrer sempre que uma característica da qualidade observada é expressa em unidades reais como peso em quilogramas, comprimento em centímetros, temperatura em graus celsius. Este gráfico é composto por dois gráficos que devem ser analisados em conjunto: X, que monitora as médias dos subgrupos S, que monitora a variabilidade entre os subgrupos O tamanho de cada subgrupo (n) deve ser constante, sendo que sempre devemos ter 2 ou mais subgrupos. Quando são adotadas amostras maiores (n > 10), a amplitude já não é eficiente para avaliar a variabilidade do processo, e devemos usar S.

8 Gráfico de controle I/Rm Valores (indivíduos ) e amplitude móvel
Os gráficos de controle I/Rm monitoram dados contínuos quando somente uma unidade pode (ou faz sentido) ser obtida. Temos k subgrupos com tamanho de amostra igual a um (n = 1). No gráfico são plotadas as observações individuais x1, x2, ... ,xk. Analisamos dois gráficos: I, que monitora valores individuais Rm (amplitude móvel), que monitora a variabilidade LSCx = x + E2. Rm LMx = x LICx = x – E2. Rm LSCRm = D4. Rm LMRm = Rm LICRm = D4. Rm Começar por: Quando somente valores individuais estiverem disponíveis é necessário usarmos os gráficos do valor individual e amplitude móvel X e Rm, a amplitude móvel Rm é definida como sendo a diferença, em módulo, entre m valores individuais consecutivos. Finalizar por Os fatores E2, D4 e D3 são correções na fórmula devido a aproximação de mi e sigma por Valores individuais e Rm amplitudes móveis. O valor E2 é encontrado no slide 5, os valores de D4 e D3 são encontrados no slide 6 deste módulo e para o tamanho da amostra n<7 não existe o fator D3

9 Tabelas de fatores do CEP
~

10 Fórmulas para cartas de variáveis
Cartas da média e da amplitude Cartas da média e do desvio padrão Cartas da mediana e da amplitude Carta de individuais e amplitude móvel

11 Tipos de cartas de controle – Atributos
Existem duas situações em que se utilizam atributos: 1) Quando as medidas não são possíveis, como características inspecionadas visualmente (cor, brilho, arranhões e danos). 2) Quando as medidas são possíveis mas não são tomadas por questões econômicas, de tempo, ou de necessidades. Em outras palavras: quando o diâmetro de um furo pode ser medido com um micrômetro interno mas utiliza-se um calibre passa/não-passa para determinar a sua conformidade com as especificações. Carta p Proporção de não-conforme O termo “atributo”, refere-se àquela característica da qualidade que pode estar, ou não, conforme as especificações. É comum utilizar-se os termos “bom” e “defeituoso” no lugar de “conforme” e “não conforme”. No gráfico de controle por atributos um produto é classificado como possuindo ou não um atributo ou qualidade. Assim, o produto atende ou não a uma especificação. Os itens que não satisfazem a especificação são denominados defeituosos. Muitas vezes o interesse da Administração está na fração de unidades defeituosas em produção. Por outro lado, freqüentemente está-se interessado na evolução de uma característica quantitativa (diâmetro de um pino, por exemplo). Carta np Número de não-conforme Atributos Carta c Número de não- conformidades Dados discretos Carta u Média de não- conformidades

12 Tipos de cartas de controle – Atributos Classificação X Contagem
Pergunta: a amostra tem alguma defeito? SIM NÃO SIM SIM NÃO Atributos do tipo SIM/NÃO são analisados através de gráficos do tipo p ou np. Pergunta: quantos defeitos tem a amostra? Atributos que consistem na contagem de defeitos são analisados através de gráficos do tipo c ou u.

13 Convenções n = tamanho da amostra k = número (quantidade) de amostras
d = número de defeituosos p = fração defeituosa _ p = fração defeituosa média c = número de defeitos c = número médio de defeitos u = número de defeitos por unidade u = número médio de defeitos por unidade

14 Carta p – Proporção de não-conforme
A carta p é utilizada quando se deseja monitorar a proporção de peças não- conformes. As amostras coletadas deverão ser classificadas em conforme e não-conforme. Assim, antes de iniciar o processo de coleta inicial certifique-se que as pessoas envolvidas estão capacitadas no critério estabelecido e que o critério está claro. O tamanho das amostras pode ser variável. Quanto maior o tamanho da amostra, melhor – pois a probabilidade de peças não-conformes aparecer será maior. A fração defeituosa da amostra é a razão entre o número de defeituosos encontrado na amostra (d) e o tamanho da amostra (n) [p=d/n]. A distribuição da fração defeituosa é binomial, porém quando os tamanhos das amostras forem grandes o suficiente a distribuição pode ser aproximada para a curva normal. Começar por: O gráfico de controle p é muito versátil, podendo ser usado para controlar uma característica de qualidade, um grupo de características de qualidade de mesmo tipo ou o produto todo. Esse gráfico possui uma grande faixa de utilização e as vantagens de poder ser usado para uma grande diversidade de problemas, disponibilizar a informação normalmente sem custo adicional da coleta, e de forma a ser rapidamente correlacionada com os custos, proporcionar maior facilidade de entendimento por parte de pessoas não familiarizadas com outros gráficos, além de ser mais facilmente implantado que os demais. A proporção defeituosa consiste na razão entre o número de peças defeituosas em uma amostra e o número total de peças dessa mesma amostra. = > Jarra conforme Critérios: = > Jarra não-conforme, tem 2 não-conformidades Carta np – Número de itens não-conformes: Este gráfico é similar a carta p, com a diferença de que se deseja marcar o número de defeituosos na amostra.

15 Nº de defeituosos na amostra = 4
Carta c – Número de não-conformidades/Defeitos na amostra Características: Utiliza-se a carta c para monitorar a quantidade média de defeitos por amostra coletada. As amostras devem ter tamanho constante e geralmente abaixo de dez. Aplicamos geralmente onde, em função do histórico do processo, há a possibilidade de ocorrer vários tipos de defeitos de várias origens em um processo contínuo, ou então quando em uma única amostra podem haver várias ocorrências. Exemplo – carta c Amostras = 10 Nº de defeituosos na amostra = 4 Começar por Este gráfico é utilizado para avaliar o número de não conformidades, ou defeitos, em uma amostra. A utilização deste gráfico requer tamanho constante para as amostras observadas. Algumas aplicações são, por exemplo, controle de bolhas em garrafas e riscos em peças estampadas. A principal diferença com relação ao gráfico p, é que este último se utiliza da contagem de unidades defeituosas, não se preocupando com a quantidade de defeitos. Uma idéia desta diferença é se contam os defeitos e não os itens defeituosos. Vejam as jarras temos 3 jarras com defeituosas mas temos 4 defeitos. 2 1 4 3

16 Carta u – Número de não-conformidades/Defeitos na unidade de inspeção
Características: Utiliza-se a carta u para monitorar a quantidade de defeitos por unidade de inspeção. As amostras podem ter tamanho variado e geralmente ficam em no mínimo dez. Carta u Nº total de defeitos encontrados = 4 Unidade de inspeção = 10 Nº de defeitos/Unidade de inspeção = 4 / 10 = 0,4 Começar por: Este gráfico mede o número de não conformidades, ou defeitos, por unidade. Pode ser uma alternativa ao gráfico c, quando as amostras não têm o mesmo tamanho. Também pode ser usado quando a amostra é constituída de apenas uma unidade, mas que possuem muitos componentes que devem ser inspecionados, como um motor, por exemplo. 2 1 4 3

17 Fórmulas para cartas de atributos
Carta p - Proporção de peças não- conformes Carta np - Número de itens não-conformes Carta c - Número de não-conformidades na amostra Carta u – Nº de não-conformidades na unidade de inspeção

18 Capacidade do processo
Os limites μ ± 3σ são conhecidos como limites naturais de tolerância: LNST = μ + 3σ (limite natural superior de tolerância) LNIT = μ - 3σ (limite natural inferior de tolerância) O limite de 6σ sobre a distribuição de uma característica de qualidade do produto vem a ser a capacidade do produto, onde σ é o desvio padrão do processo otimizado e estável (sob controle): Capacidade do produto = 6σ Como o valor de σ é, em geral, desconhecido, para obter a capacidade do processo usa-se um estimador: σ = R / d2 Se n > 10 e foi feito o gráfico de controle x − s , o estimador de σ é: σ = √ Σ (x - x)² / n – 1 (onde n é o tamanho da amostra e x é a média das amostras) Começar por Utilizam-se 6 desvios padrões (6 sigma) de limite natural de dispersão do processo para as características de qualidade do produto. O desvio padrão significa a variação das características do processo para mais e para menos em torno da média, variações que ocorrem, basicamente, devido a: variações ambientais, variações de medição (ou medições incorretas), variações de método de trabalho, variações devidas ao trabalho do homem, variações de matéria prima, variações de máquinas e equipamentos. (onde R é a média das amplitudes das amostras e d2 é um valor que depende do tamanho da amostra (n ≤ 10))

19 d2 - fator para cálculo de capacidade de processo
n D3 D4 D c4 d2 ,267 0,709 0,798 1,128 ,574 0,524 0,886 1,693 ,282 0,446 0,921 2,059 ,114 0,403 0,940 2,326 ,004 0,375 0,952 2,534 7 0,076 1,924 0,353 0,959 2,704 8 0,136 1,864 0,338 0,965 2,847 9 0,184 1,816 0,325 0,969 2,970 10 0,223 1,777 0,314 0,973 3,078 Para cálculo da capacidade do processo vamos usar a constante d2 para aproximar o sigma da amostra ao sigma da população. Esta é a mesma tabela que usamos no módulo anterior FONTE: MONTGOMERY, D.C. Introduction to statistical quality control. 2 ed. New York, John Wiley, 1991.

20 Índice de Capacidade Potencial do Processo (Cp)
Não existe uma relação matemática ou estatística entre limite de controle e limite de especificação. Os limites de controle são definidos em função da variabilidade do processo e medido pelo desvio padrão. Os limites de especificação são estabelecidos no projeto pelos engenheiros, pela administração ou pelo cliente. A melhor forma de se verificar a adequação de um processo às necessidade da engenharia de produto é através do estudo de capacidade do processo ou da relação entre a capacidade do processo e a diferença entre os limites de especificação. Esta relação é conhecida como índice de capacidade potencial do processo - Cp. Cp: índice de capacidade potencial do processo, leva em consideração a dispersão do processo (curto prazo) em relação aos limites de especificação. Sendo: LSE = limite superior de especificação; LIS = limite inferior de especificação; 6σ = capacidade do processo.

21 Índice de Capacidade Nominal do Processo (Cpk)
Na prática, nem sempre o processo esta centrado na média, ou seja, pode-se chegar a conclusões erradas quanto a capacidade do processo. Se o processo não se encontrar centrado na média, Kane (1986) propôs a utilização do Índice de Performance (Cpk): Cpk: índice de capacidade nominal do processo, leva em consideração a dispersão do processo (curto prazo) e centragem do processo em relação aos limites de especificação.