A álgebra dos números de identificação

Apresentação em tema: "A álgebra dos números de identificação"— Transcrição da apresentação:

1 A álgebra dos números de identificação
~ Códigos detectores de erros ~ Universidade de Coimbra

2 Sistemas de identificação
Maio A álgebra dos números de identificação

3 Maio 2003 A álgebra dos números de identificação 1
Códigos de barras UPC / EAN Maio A álgebra dos números de identificação

4 Sistema ISBN (International Standard Book Number)
Maio A álgebra dos números de identificação

5 Maio 2003 A álgebra dos números de identificação 1
Bilhetes de Avião Maio A álgebra dos números de identificação

6 Maio 2003 A álgebra dos números de identificação 1
Sistema VIA VERDE Maio A álgebra dos números de identificação

7 Maio 2003 A álgebra dos números de identificação 1
e muitos mais exemplos ... cartões de crédito cheques, contas bancárias (NIB) NIF, passaportes correio expresso, vales postais revistas (ISSN) cartões de utilizador (bibliotecas, lojas, ...) cd’s, telemóveis, comunicações com satélites ... Maio A álgebra dos números de identificação

8 Maio 2003 A álgebra dos números de identificação 2
Códigos de barras Sistema European Article Number Algarismo de Controle Identifica o país Identifica o fabricante Identifica o produto Maio A álgebra dos números de identificação

9 Maio 2003 A álgebra dos números de identificação 2
Código de barras EAN ? a13 a12 a11 a10 a9 a8 a7 a6 a5 a4 a3 a2 a1 a1 é o algarismo em {0,1,2,3,4,5,6,7,8,9} tal que a13+3a12+a11+3a10+a a4+a3+3a2+a1 é divisível por 10 Maio A álgebra dos números de identificação

10 Maio 2003 A álgebra dos números de identificação 2
Código de barras EAN ? x x x x x x x1 x x x x x x3 ? + 7 = 103 3 10 Maio A álgebra dos números de identificação

11 Maio 2003 A álgebra dos números de identificação 3
Para que serve tal algarismo de controle? Maio A álgebra dos números de identificação

12 Maio 2003 A álgebra dos números de identificação 3
X3 3 + 7 = 10 Os testes de qualidade garantem: poderão ocorrer quando muito erros singulares (um algarismo errado) x3 3x(7-2) 15 = 25 Maio A álgebra dos números de identificação

13 Maio 2003 A álgebra dos números de identificação 3
ESSENCIAL: max. div. comum (3,10)=1 max. div. comum (1,10)=1 Maio A álgebra dos números de identificação

14 Maio 2003 A álgebra dos números de identificação 4
Sistema ISBN criado pelas editoras Maio A álgebra dos números de identificação

15 Maio 2003 A álgebra dos números de identificação 4
Erros mais comuns Tipo de erro Freq. Rel. Singular: a  b % Troca de algarismos adjacentes: ab  ba % Maio A álgebra dos números de identificação

16 Maio 2003 A álgebra dos números de identificação 4
Os códigos de barras não detectam todas as “trocas de algarismos adjacentes” porque m.d.c.(3-1,10)=2 EFICIÊNCIA  88,9% Maio A álgebra dos números de identificação

17 Maio 2003 A álgebra dos números de identificação 5
Sistema ISBN ? a10 a9 a8 a7 a6 a5 a4 a3 a2 a1 país editora n.º identificação alg. controle a1  {0,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10} tal que 10a10 +9a9 + 8a a3 + 2a2 + a1 é divisível por 11 Quando a1 =10 faz-se a1 = X Maio A álgebra dos números de identificação

18 Maio 2003 A álgebra dos números de identificação 5

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20 Maio 2003 A álgebra dos números de identificação 6
Sistema do BI foi COPIADO do ISBN n.º identificação alg. controle a10 a9 a8 a7 a6 a5 a4 a3 a2 a1 X10 x9 x8 x7 x6 x5 x4 x3 x2 x1 A soma tem que ser divisível por 11 Maio A álgebra dos números de identificação

21 Maio 2003 A álgebra dos números de identificação 6
Sistema do BI foi COPIADO do ISBN 8 8 ? x8 x7 x x5 x4 x3 x2 x1 ? 121 Maio A álgebra dos números de identificação

22 Maio 2003 A álgebra dos números de identificação 6
Sistema do BI foi COPIADO do ISBN mas, mal copiado! a1  {0,1,2,3,4,5,6,7,8,9}  {X} Disparate! a1 = 10 Maio A álgebra dos números de identificação

23 Maio 2003 A álgebra dos números de identificação 6
x8 x x x x x3 x x1 111 1 10 Maio A álgebra dos números de identificação

24 Maio 2003 A álgebra dos números de identificação 6
8 8 O sistema do BI não detecta todos os “erros singulares” !!! Maio A álgebra dos números de identificação

25 Maio 2003 A álgebra dos números de identificação 7
Sistema do número identif. fiscal (NIF) é igual ao do BI Disparate! Maio A álgebra dos números de identificação

26 Maio 2003 A álgebra dos números de identificação 8
Os matemáticos criaram métodos muito eficientes. Porque razão se continua a usar sistemas tão primitivos? Maio A álgebra dos números de identificação

27 Sistemas de identificação módulo m
an an a2 a1 pn an + pn-1 an p2 a2 + p1 a1 é divisível por m Tipo de erro Condições Singulares: ai  a’i mdc(pi,m)=1 Troca de algarismos: ai+1 ai  ai ai+1 mdc(pi+1-pi,m)=1 Maio A álgebra dos números de identificação

28 Maio 2003 A álgebra dos números de identificação 10
Generalização i : {0,1,...,m-1}  {0,1,...,m-1} ai pi ai  an an a2 a1 n(an) + n-1(an-1) 2(a2) + 1(a1) é divisível por m EFICIÊNCIA  97,8% m=10 Maio A álgebra dos números de identificação

29 Maio 2003 A álgebra dos números de identificação 11
Aritmética Modular Z10 ={0,1,2,...,9} a+b divisível por 10  a 10 b = 0 n(an) 10 n-1(an-1)  10 2(a2) 10 1(a1) = 0 Maio A álgebra dos números de identificação

30 Maio 2003 A álgebra dos números de identificação 12
Generalização (Z10 , 10) outros grupos (G,) an an a2 a1 n(an)  n-1(an-1)  ...  2(a2)  1(a1) = 0 Para cada m existe sempre um grupo com EFICIÊNCIA = 100% Maio A álgebra dos números de identificação

31 Maio 2003 A álgebra dos números de identificação 13
Grupo Diedral D5 grupo das simetrias de um pentágono regular 0 1 2 3 4 r1 r2 r3 r4 r5 r1  A A E A A A r2 1 2 3 4 5 6 7 8 9 1 2 3 4 5 6 7 8 9 r3 A B E B E D B E 2 3 4 r4 D C C B D D C C r5 0=0º 2=144º 3=216º 4=288º 1=72º Maio A álgebra dos números de identificação

32 Maio 2003 A álgebra dos números de identificação 14
MARCO ALEMÃO Maio A álgebra dos números de identificação

33 Maio 2003 A álgebra dos números de identificação 15

34 Maio 2003 A álgebra dos números de identificação 15
L 4 Finlândia M 5 Portugal N 6 Áustria P 8 Holanda R 1 Luxemburgo S 2 Itália T 3 Irlanda U 4 França V 5 Espanha X 7 Alemanha Y 8 Grécia Z 9 Bélgica Maio A álgebra dos números de identificação

35 Maio 2003 A álgebra dos números de identificação 15
? div. por 9 39 “noves fora” 3 ?=6 Maio A álgebra dos números de identificação

36 Maio 2003 A álgebra dos números de identificação 15

37 Maio 2003 A álgebra dos números de identificação FIM
Não detecta nenhuma troca!!! Não detecta os erros singulares 0  9 9  0 Disparate! Maio A álgebra dos números de identificação FIM