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Mini-curso mlge 1. Programa 2. Objectivo 3. MLG vars. contínuas 3. Selecção do MLG 4. MLG Normal 5. MLG Gama 6. Diferenças 7. Construção 8. GOF 9. Interpretação.

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1 mini-curso mlge 1. Programa 2. Objectivo 3. MLG vars. contínuas 3. Selecção do MLG 4. MLG Normal 5. MLG Gama 6. Diferenças 7. Construção 8. GOF 9. Interpretação 10. Exemplo 11. MLG exótico 12. Bibliografia Programa: 1. Introdução aos MLG 2. Regressão Logística 3. MLG aplicados a variáveis resposta com distribuição contínua 4. MLG aplicados a dados de contagens 5. Análise de variância (ANOVA) com MLG 3. MLG vars. contínuas 1. Programa

2 mini-curso mlge 1. Programa 2. Objectivo 3. MLG vars. contínuas 3. Selecção do MLG 4. MLG Normal 5. MLG Gama 6. Diferenças 7. Construção 8. GOF 9. Interpretação 10. Exemplo 11. MLG exótico 12. Bibliografia Objectivo dos Modelos para Variáveis Contínuas Encontrar um modelo adequado e parcimonioso que permita descrever a relação entre uma variável aleatória contínua Y e um conjunto de variáveis não-aleatórias preditoras X 1, X 2, …, X p MLG NormalMLG GamaMLG Gaussiana Inversa Modelos disponíveis 2. Objectivos

3 mini-curso mlge 1. Programa 2. Objectivo 3. MLG vars. contínuas 3. Selecção do MLG 4. MLG Normal 5. MLG Gama 6. Diferenças 7. Construção 8. GOF 9. Interpretação 10. Exemplo 11. MLG exótico 12. Bibliografia MLG Normal Selecção do MLG mais adequado Pode ser utilizado quando a variável resposta Y possui distribuição Normal com variância constante em torno do valor médio. MLG Gama Pode ser utilizado quando a variável resposta Y possui distribuição Gama, pelo que a sua variância deverá aumentar à medida que o valor médio aumenta. Uma variável com distribuição Gama só toma valores positivos. 3. Selecção do MLG

4 mini-curso mlge 1. Programa 2. Objectivo 3. MLG vars. contínuas 3. Selecção do MLG 4. MLG Normal 5. MLG Gama 6. Diferenças 7. Construção 8. GOF 9. Interpretação 10. Exemplo 11. MLG exótico 12. Bibliografia Introdução ao MLG Normal 4. MLG Normal

5 mini-curso mlge 1. Programa 2. Objectivo 3. MLG vars. contínuas 3. Selecção do MLG 4. MLG Normal 5. MLG Gama 6. Diferenças 7. Construção 8. GOF 9. Interpretação 10. Exemplo 11. MLG exótico 12. Bibliografia Introdução ao MLG Normal 1) A Distribuição Normal (Gaussiana) pertence à família exponencial O Modelo Normal é um MLG Fórmula geral das distribuições pertencentes à família exponencial: f.d.p a( ) b( ) c(y, ) 4. MLG Normal

6 mini-curso mlge 1. Programa 2. Objectivo 3. MLG vars. contínuas 3. Selecção do MLG 4. MLG Normal 5. MLG Gama 6. Diferenças 7. Construção 8. GOF 9. Interpretação 10. Exemplo 11. MLG exótico 12. Bibliografia 2) A função de ligação é monótona e diferenciável Introdução ao MLG Normal O Modelo Normal é um MLG Função de ligação Identidade, monótona crescente e diferenciável em IR g( ) 4. MLG Normal

7 mini-curso mlge 1. Programa 2. Objectivo 3. MLG vars. contínuas 3. Selecção do MLG 4. MLG Normal 5. MLG Gama 6. Diferenças 7. Construção 8. GOF 9. Interpretação 10. Exemplo 11. MLG exótico 12. Bibliografia Introdução ao MLG Normal Estimação dos parâmetros pelo Método da Máxima Verosimilhança Sendo A maximização da função verosimilhança passa por minimizar a soma dos quadrados dos resíduos, que era precisamente o objectivo do Modelo Linear clássico. Soma dos quadrados dos resíduos resultantes do ajustamento do modelo Os estimadores de 0, 1, … p de mínimos quadrados coincidem com os estimadores de máxima verosimilhança, i.e., o Modelo Linear clássico e o MLG Normal produzem os mesmos resultados. 4. MLG Normal

8 mini-curso mlge 1. Programa 2. Objectivo 3. MLG vars. contínuas 3. Selecção do MLG 4. MLG Normal 5. MLG Gama 6. Diferenças 7. Construção 8. GOF 9. Interpretação 10. Exemplo 11. MLG exótico 12. Bibliografia Derivadas parciais das parcelas da log-verosimilhança (necessárias para o algoritmo IRLS) Introdução ao MLG Normal Estimação dos parâmetros pelo Método da Máxima Verosimilhança Estimador de : 4. MLG Normal

9 mini-curso mlge 1. Programa 2. Objectivo 3. MLG vars. contínuas 3. Selecção do MLG 4. MLG Normal 5. MLG Gama 6. Diferenças 7. Construção 8. GOF 9. Interpretação 10. Exemplo 11. MLG exótico 12. Bibliografia Introdução ao MLG Gama 5. MLG Gama

10 mini-curso mlge 1. Programa 2. Objectivo 3. MLG vars. contínuas 3. Selecção do MLG 4. MLG Normal 5. MLG Gama 6. Diferenças 7. Construção 8. GOF 9. Interpretação 10. Exemplo 11. MLG exótico 12. Bibliografia Introdução ao MLG Gama O Modelo Gama é um MLG 1) A Distribuição Gama pertence à família exponencial Fórmula geral das distribuições pertencentes à família exponencial: f.d.p a( ) b( ) c(y, ) Nota: No R, = a.s, sendo a o shape parameter e s o scale parameter 5. MLG Gama

11 mini-curso mlge 1. Programa 2. Objectivo 3. MLG vars. contínuas 3. Selecção do MLG 4. MLG Normal 5. MLG Gama 6. Diferenças 7. Construção 8. GOF 9. Interpretação 10. Exemplo 11. MLG exótico 12. Bibliografia Introdução ao MLG Gama 2) A função de ligação é monótona e diferenciável Função de ligação Identidade, monótona crescente e diferenciável em IR O Modelo Gama é um MLG Função de ligação Inversa, monótona decrescente e diferenciável em IR + Função de ligação Logarítmica, monótona crescente e diferenciável em IR + 5. MLG Gama

12 mini-curso mlge 1. Programa 2. Objectivo 3. MLG vars. contínuas 3. Selecção do MLG 4. MLG Normal 5. MLG Gama 6. Diferenças 7. Construção 8. GOF 9. Interpretação 10. Exemplo 11. MLG exótico 12. Bibliografia Introdução ao MLG Gama Estimação dos parâmetros pelo Método da Máxima Verosimilhança Para o MLG Gama com função de ligação inversa, as derivadas parciais das parcelas da log-verosimilhança (necessárias para o algoritmo IRLS) são Estimador de : 5. MLG Gama

13 mini-curso mlge 1. Programa 2. Objectivo 3. MLG vars. contínuas 3. Selecção do MLG 4. MLG Normal 5. MLG Gama 6. Diferenças 7. Construção 8. GOF 9. Interpretação 10. Exemplo 11. MLG exótico 12. Bibliografia Diferenças entre os MLG Normal e Gama Variável preditora X Y No MLG Normal a) Y pode tomar valores 0. b) A relação entre X e Y é linear (se não for transforma-se X). c) A variabilidade de Y em torno do valor esperado pelo modelo (indicado pela recta) é constante (homocedasticidade). 6. Diferenças

14 mini-curso mlge 1. Programa 2. Objectivo 3. MLG vars. contínuas 3. Selecção do MLG 4. MLG Normal 5. MLG Gama 6. Diferenças 7. Construção 8. GOF 9. Interpretação 10. Exemplo 11. MLG exótico 12. Bibliografia No MLG Gama a) Y só toma valores positivos. b) A relação entre Y e X pode ser linear ou curvilínea (a forma da curvatura indicia a função de ligação a utilizar). c) A variabilidade de Y em torno do valor esperado pelo modelo aumenta juntamente com este último. Diferenças entre os MLG Normal e Gama Variável preditora X Y Inversa Logarítmica Identidade X Y 6. Diferenças

15 mini-curso mlge 1. Programa 2. Objectivo 3. MLG vars. contínuas 3. Selecção do MLG 4. MLG Normal 5. MLG Gama 6. Diferenças 7. Construção 8. GOF 9. Interpretação 10. Exemplo 11. MLG exótico 12. Bibliografia Construção de um MLG para uma variável contínua Passos na modelação Frequentemente, desconhece-se a priori qual é a distribuição da variável Y que se pretende estudar, pelo que a selecção do tipo de MLG faz-se com base nos dados recolhidos. ATENÇÃO Como o valor médio de Y varia dentro de uma amostra recolhida, não é possível seleccionar o tipo de modelo mais adequado a partir de um histograma baseado nas observações de Y (Kéry e Hatfield, 2003). 1. Recolha de uma amostra composta por observações da variável resposta (contínua) e de candidatas a variáveis preditoras. 2. Análise exploratória univariada 3. Escolha do tipo de MLG (Gama ou Normal) e da função de ligação a utilizar 7. Construção

16 mini-curso mlge 1. Programa 2. Objectivo 3. MLG vars. contínuas 3. Selecção do MLG 4. MLG Normal 5. MLG Gama 6. Diferenças 7. Construção 8. GOF 9. Interpretação 10. Exemplo 11. MLG exótico 12. Bibliografia Exemplo (exemplo3.txt): > ex3<-read.table("C:\\exemplo3.txt",sep=",") > names(ex3) <- c(Y,X) > hist(ex3$Y, col=blue) Medidas geralmente utilizadas: logaritmização ou aplicação de um MLG Gama (ex. Góni et al., 1999). Construção de um MLG para uma variável contínua 7. Construção

17 mini-curso mlge 1. Programa 2. Objectivo 3. MLG vars. contínuas 3. Selecção do MLG 4. MLG Normal 5. MLG Gama 6. Diferenças 7. Construção 8. GOF 9. Interpretação 10. Exemplo 11. MLG exótico 12. Bibliografia Exemplo (exemplo3.txt): Análise da variabilidade de Y para cada valor da variável preditora X: > plot(ex3$X,ex3$Y,cex=.5) Observações: A média de Y é maior para maiores valores de X; a relação parece ser linear. A variabilidade de Y em torno da média parece ser constante, não dependendo por isso do valor desta. O MLG Normal Y = X pode ser adequado Construção de um MLG para uma variável contínua 7. Construção

18 mini-curso mlge 1. Programa 2. Objectivo 3. MLG vars. contínuas 3. Selecção do MLG 4. MLG Normal 5. MLG Gama 6. Diferenças 7. Construção 8. GOF 9. Interpretação 10. Exemplo 11. MLG exótico 12. Bibliografia Exemplo (exemplo3.txt): > k<-glm(ex3$Y~ex3$X,family=gaussian) > hist(k$residuals) > qqnorm(k$residuals) > plot(1:1000,k$residuals) > plot(ex3$X,k$residuals) Construção de um MLG para uma variável contínua Sobre qq-plots 7. Construção

19 mini-curso mlge 1. Programa 2. Objectivo 3. MLG vars. contínuas 3. Selecção do MLG 4. MLG Normal 5. MLG Gama 6. Diferenças 7. Construção 8. GOF 9. Interpretação 10. Exemplo 11. MLG exótico 12. Bibliografia Construção de um MLG para uma variável contínua Outros exemplos: >a<-c(rnorm(1000,mean=5,sd=1), rnorm(1000,10,1),rnorm(1000,15,1)) >hist(a, col=blue) >a<-c(rnorm(1000,5,sd=1),rnorm(1000,7.5,1), rnorm(1000,10,1),rnorm(1000,12.5,1)) >hist(a, col=blue) 7. Construção

20 mini-curso mlge 1. Programa 2. Objectivo 3. MLG vars. contínuas 3. Selecção do MLG 4. MLG Normal 5. MLG Gama 6. Diferenças 7. Construção 8. GOF 9. Interpretação 10. Exemplo 11. MLG exótico 12. Bibliografia Construção de um MLG para uma variável contínua Contra-exemplo (exemplo3b.txt): > ex3b<-read.table("C:\\exemplo3b.txt",sep=",") > names(ex3b) <- c(Y,X) > hist(ex3b$Y, col=blue) > plot(ex3b$X,ex3b$Y) 7. Construção

21 mini-curso mlge 1. Programa 2. Objectivo 3. MLG vars. contínuas 3. Selecção do MLG 4. MLG Normal 5. MLG Gama 6. Diferenças 7. Construção 8. GOF 9. Interpretação 10. Exemplo 11. MLG exótico 12. Bibliografia Conclusão Para a modelação de variáveis resposta contínuas, a escolha do tipo de MLG (Gama ou Normal) faz-se pela: 1. Análise da variância de Y para diferentes combinações das variáveis preditoras. 2. Análise dos resultados do ajustamento de MLG preliminares com Y~Gama e Y~Normal. Construção de um MLG para uma variável contínua 7. Construção

22 mini-curso mlge 1. Programa 2. Objectivo 3. MLG vars. contínuas 3. Selecção do MLG 4. MLG Normal 5. MLG Gama 6. Diferenças 7. Construção 8. GOF 9. Interpretação 10. Exemplo 11. MLG exótico 12. Bibliografia Construção de um MLG para uma variável contínua 1. Recolha de uma amostra composta por observações da variável resposta (contínua) e de candidatas a variáveis preditoras. 2. Análise exploratória univariada 3. Escolha do tipo de MLG (Gama ou Normal) e da função de ligação a utilizar 3. Construção do modelo inicial (exclusão sequencial de preditores não-significativos) 5. Afinação do modelo inicial (teste à linearidade dos preditores) 6. Finalização do modelo (inclusão de interacções) Passos na modelação 7. Construção

23 mini-curso mlge 1. Programa 2. Objectivo 3. MLG vars. contínuas 3. Selecção do MLG 4. MLG Normal 5. MLG Gama 6. Diferenças 7. Construção 8. GOF 9. Interpretação 10. Exemplo 11. MLG exótico 12. Bibliografia Avaliação da Qualidade de Ajustamento (goodness of fit) Análise Global do Ajustamento 1. Função de Desvio H 0 : O Modelo Obtido não é significativamente pior que o Modelo Saturado. Se então o modelo é considerado inadequado. > qchisq (0.95, 198) [1] > glm(ex3b$Y~ex3b$X,family=Gamma(link=log))$deviance [1] > glm(ex3b$Y~ex3b$X,family=Gamma(link=identity))$deviance [1] > glm(ex3b$Y~ex3b$X,family=Gamma(link=inverse))$deviance [1] Exemplo: exemplo3b (MLG Gama com 1 preditor, n = 200) > 1-pchisq(glm(ex3b$Y~ex3b$X,family=Gamma(link=log))$deviance,198) [1] 1 8. GOF

24 mini-curso mlge 1. Programa 2. Objectivo 3. MLG vars. contínuas 3. Selecção do MLG 4. MLG Normal 5. MLG Gama 6. Diferenças 7. Construção 8. GOF 9. Interpretação 10. Exemplo 11. MLG exótico 12. Bibliografia 2. Estatística de Pearson generalizada Se então o modelo é considerado inadequado. Turkman e Silva (2000, pg. 75) advertem que a distribuição dos resíduos de Pearson é bastante assimétrica para modelos não-Normais. H 0 : O Modelo obtido não é significativamente pior que o Modelo Saturado. Avaliação da Qualidade de Ajustamento (goodness of fit) Análise Global do Ajustamento > m<-glm(ex3b$Y~ex3b$X,family=Gamma(link=log)) > resP<-(ex3b$Y-m$fitted.values)/m$fitted.values > sum(resP^2) [1] > chisq(sum(resP^2),198) [1] 1 Previsões do modelo 8. GOF

25 mini-curso mlge 1. Programa 2. Objectivo 3. MLG vars. contínuas 3. Selecção do MLG 4. MLG Normal 5. MLG Gama 6. Diferenças 7. Construção 8. GOF 9. Interpretação 10. Exemplo 11. MLG exótico 12. Bibliografia 3. R 2 e Pseudo R 2 Avaliação da Qualidade de Ajustamento (goodness of fit) Análise Global do Ajustamento No Modelo Linear Clássico o R 2 é amplamente utilizado como medida da qualidade de ajustamento. Porém, a aplicação desta medida em modelos não-lineares produz valores que não pertencem ao intervalo [0,1] ou diminuem à medida que se incluem variáveis preditoras no modelo (Cameron e Windmeijer, 1996). Como alternativa existem várias medidas análogas ao R 2 (Pseudo R 2 ), com utilidade discutível. ATENÇÃO As medidas globais de ajustamento não dispensam a análise dos resíduos individuais. Em particular, valores elevados de R 2 nem sempre indicam um bom ajustamento. 8. GOF

26 mini-curso mlge 1. Programa 2. Objectivo 3. MLG vars. contínuas 3. Selecção do MLG 4. MLG Normal 5. MLG Gama 6. Diferenças 7. Construção 8. GOF 9. Interpretação 10. Exemplo 11. MLG exótico 12. Bibliografia Avaliação da Qualidade de Ajustamento (goodness of fit) Exemplo (MLG Normal): Y R 2 =0.90R 2 =0.30 X X Histogramas dos resíduos para -2< X< 0 Distribuição assimétrica em torno de 0, sem média nula Distribuição aproximadamente simétrica em torno de 0, com média nula Y 8. GOF

27 mini-curso mlge 1. Programa 2. Objectivo 3. MLG vars. contínuas 3. Selecção do MLG 4. MLG Normal 5. MLG Gama 6. Diferenças 7. Construção 8. GOF 9. Interpretação 10. Exemplo 11. MLG exótico 12. Bibliografia Análise de Resíduos 1. Resíduos do Desvio MLG Normal: MLG Gama: > resD<-sign(ex3b$Y-m$fitted.values)*(2*(log(m$fitted.values/ex3b$Y) +(ex3b$Y-m$fitted.values)/m$fitted.values))^0.5 > hist(resD) > qqnorm(resD) > qqline(resD) Avaliação da Qualidade de Ajustamento (goodness of fit) 8. GOF

28 mini-curso mlge 1. Programa 2. Objectivo 3. MLG vars. contínuas 3. Selecção do MLG 4. MLG Normal 5. MLG Gama 6. Diferenças 7. Construção 8. GOF 9. Interpretação 10. Exemplo 11. MLG exótico 12. Bibliografia 2. Resíduos de Pearson > hist(resP) > qqnorm(resP) > qqline (resP) Análise de Resíduos Avaliação da Qualidade de Ajustamento (goodness of fit) 8. GOF

29 mini-curso mlge 1. Programa 2. Objectivo 3. MLG vars. contínuas 3. Selecção do MLG 4. MLG Normal 5. MLG Gama 6. Diferenças 7. Construção 8. GOF 9. Interpretação 10. Exemplo 11. MLG exótico 12. Bibliografia Análise de Resíduos 3. Quantile residuals (Dunn e Smyth, 1996) > library(statmod) > m<-glm(ex3b$Y~ex3b$X,family=Gamma(link=log)) > hist(qres.gamma(m,dispersion=0.34)) > qqnorm(qres.gamma(m,dispersion=0.34)) > qqline(qres.gamma(m,dispersion=0.34)) Primeira utilização (instalar STATMOD.ZIP) Avaliação da Qualidade de Ajustamento (goodness of fit) 8. GOF

30 mini-curso mlge 1. Programa 2. Objectivo 3. MLG vars. contínuas 3. Selecção do MLG 4. MLG Normal 5. MLG Gama 6. Diferenças 7. Construção 8. GOF 9. Interpretação 10. Exemplo 11. MLG exótico 12. Bibliografia Neste MLG é necessário ter em conta a função de ligação utilizada. As estimativas dos coeficientes variam em amplitude e sinal consoante a f.l. utilizada. Interpretação do Modelo Obtido MLG Gama MLG Normal As estimativas dos coeficientes são idênticas ao Modelo Linear clássico. A interpretação dos resultados não apresenta dificuldades. 1) Função de ligação identidade: Ao valor esperado adicionam-se 1 unidades. A função de ligação identidade leva-nos a admitir que as variáveis preditoras interagem de uma forma aditiva. 9. Interpretação

31 mini-curso mlge 1. Programa 2. Objectivo 3. MLG vars. contínuas 3. Selecção do MLG 4. MLG Normal 5. MLG Gama 6. Diferenças 7. Construção 8. GOF 9. Interpretação 10. Exemplo 11. MLG exótico 12. Bibliografia 2) Função de ligação logarítmica: O valor esperado pelo modelo factoriza exp( 1 ) unidades: MLG Gama Interpretação do Modelo Obtido A função de ligação logarítmica leva-nos a admitir que as variáveis preditoras interagem de uma forma multiplicativa. 9. Interpretação

32 mini-curso mlge 1. Programa 2. Objectivo 3. MLG vars. contínuas 3. Selecção do MLG 4. MLG Normal 5. MLG Gama 6. Diferenças 7. Construção 8. GOF 9. Interpretação 10. Exemplo 11. MLG exótico 12. Bibliografia 3) Função de ligação inversa: MLG Gama Ao contrário do que sucede nas duas outras funções de ligação, em que o sinal da variação do valor esperado é igual ao sinal do coeficiente, neste caso o sinal é oposto. Interpretação do Modelo Obtido 9. Interpretação

33 mini-curso mlge 1. Programa 2. Objectivo 3. MLG vars. contínuas 3. Selecção do MLG 4. MLG Normal 5. MLG Gama 6. Diferenças 7. Construção 8. GOF 9. Interpretação 10. Exemplo 11. MLG exótico 12. Bibliografia Interpretação do Modelo Obtido > glm(ex3b$Y~ex3b$X,family=Gamma(link=identity))$coefficients (Intercept) ex3b$X > glm(ex3b$Y~ex3b$X,family=Gamma(link=log))$coefficients (Intercept) ex3b$X > glm(ex3b$Y~ex3b$X,family=Gamma(link=inverse))$coefficients (Intercept) ex3b$X O sinal é negativo porque a associação entre o valor esperado e o preditor é positiva 9. Interpretação

34 mini-curso mlge 1. Programa 2. Objectivo 3. MLG vars. contínuas 3. Selecção do MLG 4. MLG Normal 5. MLG Gama 6. Diferenças 7. Construção 8. GOF 9. Interpretação 10. Exemplo 11. MLG exótico 12. Bibliografia Exemplo de uma aplicação do MLG Gama (PDF) Exemplo: Negro.pdf 10. Exemplo

35 mini-curso mlge 1. Programa 2. Objectivo 3. MLG vars. contínuas 3. Selecção do MLG 4. MLG Normal 5. MLG Gama 6. Diferenças 7. Construção 8. GOF 9. Interpretação 10. Exemplo 11. MLG exótico 12. Bibliografia Exemplo de uma aplicação do MLG Gama (PDF) Exemplo: Negro.pdf Objecto de estudo: carotenóides – pigmentos que são alvo de intensa pesquisa pelos biólogos evolucionistas, dado que são responsáveis pela coloração de ornamentos dos animais. Além desta função, os carotenóides também agem como antioxidantes que auxiliam o sistema imunitário. Os vertebrados só obtêm carotenóides através da dieta. Objectivo: ampliar o conhecimento do uso dos carotenóides nas aves, pelo estudo da sua concentração no tecido adiposo do ganso-bravo (sin.: ganso-comum-ocidental) Anser anser (neste caso os carotenóides configuram apenas a coloração do bico). Pesquisaram-se variações nesta concentração associadas ao sexo, à idade, ao fat- score e à espessura da camada adiposa. Metodologia: Ajustamento de dois GLMs gama (função de ligação logarítmica), um para a zona do peito e outro para a zona da barriga; construção do modelo pelo processo forward stepwise (adição sequencial com possibilidade de remoção) 10. Exemplo

36 mini-curso mlge 1. Programa 2. Objectivo 3. MLG vars. contínuas 3. Selecção do MLG 4. MLG Normal 5. MLG Gama 6. Diferenças 7. Construção 8. GOF 9. Interpretação 10. Exemplo 11. MLG exótico 12. Bibliografia Exemplo de uma aplicação do MLG Gama (PDF) Exemplo: Negro.pdf Resultados Falta informação sobre o coeficiente Exemplo

37 mini-curso mlge 1. Programa 2. Objectivo 3. MLG vars. contínuas 3. Selecção do MLG 4. MLG Normal 5. MLG Gama 6. Diferenças 7. Construção 8. GOF 9. Interpretação 10. Exemplo 11. MLG exótico 12. Bibliografia Um MLG exótico Questão: A probabilidade de ocorrência do polvo-comum parece ser maior nas zonas de substrato rochoso. Os polvos maiores encontram-se geralmente a maior profundidade. Definição da variável resposta: Seja B a variável que define a biomassa média (kg) das capturas realizadas em cada um dos pontos representados na figura. Nestes pontos registou-se também a profundidade e a percentagem de substrato coberto por rocha (polvo.txt contém dados fictícios). Octopus vulgaris Como se distribui a biomassa de Octopus vulgaris na costa algarvia e a que factores ambientais responde? Pistas: 11. MLG exótico

38 mini-curso mlge 1. Programa 2. Objectivo 3. MLG vars. contínuas 3. Selecção do MLG 4. MLG Normal 5. MLG Gama 6. Diferenças 7. Construção 8. GOF 9. Interpretação 10. Exemplo 11. MLG exótico 12. Bibliografia B é uma variável contínua não-negativa; em mais de 200 locais, B=0 (não foram capturados polvos). Como modelar? B=0 Um MLG exótico Distribuição amostral de B 11. MLG exótico

39 mini-curso mlge 1. Programa 2. Objectivo 3. MLG vars. contínuas 3. Selecção do MLG 4. MLG Normal 5. MLG Gama 6. Diferenças 7. Construção 8. GOF 9. Interpretação 10. Exemplo 11. MLG exótico 12. Bibliografia Um MLG exótico Admitindo que o peso dos indivíduos capturados segue a distribuição Gama, a função de densidade probabilística de B pode ser escrita da seguinte forma: Onde f (y|, ) é a f.d.p. de uma variável aleatória com distribuição Gama (, ), é a probabilidade de captura de polvos e Função de verosimilhança Produtório que depende apenas de Produtório que depende apenas de e Função de verosimilhança de n variáveis aleatórias com distribuição Bernoulli Função de verosimilhança de n variáveis aleatórias com distribuição Gama 11. MLG exótico

40 mini-curso mlge 1. Programa 2. Objectivo 3. MLG vars. contínuas 3. Selecção do MLG 4. MLG Normal 5. MLG Gama 6. Diferenças 7. Construção 8. GOF 9. Interpretação 10. Exemplo 11. MLG exótico 12. Bibliografia Ou seja, para encontrarmos as estimativas de máxima verosimilhança dos coeficientes 0, 1, 0 e 1 presentes nas expressões: onde R designa a % de substrato rochoso e P a profundidade (g 1 e g 2 são funções de ligação) podemos maximizar separadamentee através de um Modelo de Regressão Logística (ou um MLG clog-log ou um MLG probit) e um MLG Gama. Um MLG exótico 11. MLG exótico

41 mini-curso mlge 1. Programa 2. Objectivo 3. MLG vars. contínuas 3. Selecção do MLG 4. MLG Normal 5. MLG Gama 6. Diferenças 7. Construção 8. GOF 9. Interpretação 10. Exemplo 11. MLG exótico 12. Bibliografia Um MLG exótico 1) Modela-se a probabilidade de captura de O. vulgaris por meio de um Modelo de Regressão Logística (a informação sobre o peso dos indivíduos é descartada; os locais onde se capturaram polvos codificam-se como 1s), tendo como variável preditora a percentagem de substrato rochoso. 2) Modela-se o peso médio dos polvos capturados por meio de um MLG Gama (os locais em que não foram capturados polvos são descartados), tendo como variável preditora a profundidade. Metodologia 3) Obtêm-se estimativas de biomassa de O. vulgaris pela multiplicação dos valores esperados produzidos pelos dois modelos. Sobre este assunto Ye et al. (2001) – modelação de pescas (MLG gama com zeros) Feuerverger (1979) – modelação de dados de precipitação Tu (2002) – discussão geral sobre modelação de variáveis com muitos zeros Exercício Modelar a biomassa de O. vulgaris em função da % de substrato rochoso e da profundidade. Soluções: 0 =-1.4, 1 =3.8, 0 = 1.22, 1 = (log link) 11. MLG exótico

42 mini-curso mlge 1. Programa 2. Objectivo 3. MLG vars. contínuas 3. Selecção do MLG 4. MLG Normal 5. MLG Gama 6. Diferenças 7. Construção 8. GOF 9. Interpretação 10. Exemplo 11. MLG exótico 12. Bibliografia Bibliografia Cameron, A.C., Windmeijer, F.A.G., An R-squared measure of goodness of fit for some common nonlinear regression models. Journal of Econometrics 77(2): Dunn, P.K., Smyth, G.K., Randomized quantile residuals. Journal of Computational and Graphical Statistics 5: Feuerverger, A., On some methods of analysis for weather experiments. Biometrika 66(3): Góni, R., et al., Application of generalized linear modelling to catch rate analysis of Western Mediterranean fisheries: the Castellón trawl fleed as a case study. Fisheries Research 42: Kéry, M., Hatfield, J.S., Normality of raw data in general linear models: the most widespread myth in statistics. Bulletin of the Ecological Society of America 84(2): Negro, J.J., et al., Fat stores in birds: na overlooked sink for carotenoid pigments? Functional Ecology 15: Tu, W., Zero-inflated data. In: El-Shaarawi, A.H., Piegorsch, W.W., Encyclopedia of environmetrics. John Wiley & Sons, Ltd, Chichester. Ye, Y., et al., Use of generalized linear models to analyze catch rates having zero values: the Kuwait driftnet fishery. Fisheries Research 53: Survival.PDFContinuous.PDFVenables.PDF PDF


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