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Evidência e Credibilidade: Teste Bayesiano de significância para Hipóteses precisas.

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Apresentação em tema: "Evidência e Credibilidade: Teste Bayesiano de significância para Hipóteses precisas."— Transcrição da apresentação:

1 Evidência e Credibilidade: Teste Bayesiano de significância para Hipóteses precisas

2 Objetivo Definições Cálculo do teste Exemplo Comentários Bibliografia

3 Objetivo Apresentar uma medida de evidência bayesiana (bayesiana porque trabalha com priores e posteriores) para hipótese nula precisa. A intenção é dar uma alternativa bayesiana para testes de significância.

4 Definições Hipóteses precisas: Temos uma hipótese precisa quando H o (que chamamos de hipótes nula) apresenta um valor fixo. Exemplo: H o : = 0.3 vs H 1 : 0.3, (onde representa a média de uma população) P-valor: medida de evidência dos dados,dado que a hipótese nula é verdadeira Probabilidade posteriori: probabilidade condicional de (parâmetro da distribuição) depois que observamos os dados.

5 Definições Fator de Bayes: O fator de Bayes consiste na divisão entre a razão das densidades posteriores de 0 e 1 pela razão das priores 0 e 1.Essa medida é usada em favor da hipótese nula, como veremos abaixo: B= ( 0 /x)/ ( 1 /x) 0 / 1

6 Definições Confiabilidade de um conjunto: Seja C um subconjunto de tal que, C= : ( /x) K( ),onde K( ) é a maior constante tal que, P(C/x) 1- P(C/x)= c ( /x)d,caso contínuo e = ( /x), caso discreto C P(C/x) é a medida de confiabilidade do conjunto C.

7 Definições Medida de evidência bayesiana - Ev (H) É uma medida de evidência dos dados a favor da hipótese nula, ou seja, quanto podemos acreditar que a hipótese nula proposta pelo teste é verdadeira. Ev (H)=1 – K*

8 Cálculo de Ev (H) Definimos o teste de hipótese: H o : = 0 vs H 1 : 0, 0 R n, - representa a média de uma população X - espaço paramétrico Observamos uma amostra aleátoria de tamanho n da população X = (x 1, x 2,......, x n ) Consideramos como uma variável aleatória e definimos uma priori para que chamamos de 0

9 Cálculo de Ev (H) Depois de observar os dados calculamos a função densidade posteriori, ( /x).Discutiremos nesse trabalho testes de hipótese precisa sob absoluta continuidade do modelo de probabilidade posteriore. Definimos um conjunto T como sendo um subconjunto do espaço paramétrico,cuja a densidade posteriori é maior que.

10 Cálculo de Ev (H) Calculamos a confiabilidade de T : K*= T ( /x), (integramos em todo cuja posteriore é maior que ) Calculamos f* (f*=f( *) ) que é o máximo da densidade posteriore sob a hipótese nula, ou seja, encontramos o * que maximiza a posteriore de, o valor f* será o definido anteriormente.

11 Cálculo de Ev (H) Temos então o nosso T como o conjunto tangente à hipótese nula,cuja confiabilidade é K*, ou seja, temos o conjunto dos s, cuja posteriore é maior que f*=. Calculamos Ev (H)=1- K* e podemos concluir que : se temos T com alta probabilidade, significa uma baixa probabilidade para a região da hipótese nula.

12 Cálculo computacional de Ev (H) Calculamos a medida de evidência em dois passos: 1. Calculamos * que maximiza a posteriori sob a hipótese nula. 2. Calculamos K*= ( /x), onde ( /x) é igual a zero para todo, cuja ( /x) f( *) ou.

13 Exemplo Mostraremos um teste de proporção: Seja uma variável aleatória X com distribuição binomial (20, ), seja S o número de sucessos observados. O espaço paramétrico será = 0 1 Usaremos como priori Pr =p =0.5 e a densidade Uniforme para sob a hipótese alternativa. Teste : H 0 : = 0.5 vs H 1 : 0.5 Avaliaremos a medida de evidência apresentada no trabalho, o fator de Bayes, p-valor e PP(probabilidade posteriori de H 0 )

14 Exemplo Tabela de resultados:

15 Comentários A Medida de evidência em relação a Hipótese nula Ev(H) traz grandes vantagens por ter ser cálculo baseado nos dados da amostra, ou seja, dados observados, porém devemos levar em consideração a definição da priori dos parâmetros que deve ser adequada. O p-valor tem a restrição de supor que a hipótese nula é verdadeira e não temos garantias para esta suposição.

16 Comentários O valor da probailidade posteriori está diretamente ligada a priori definida para o parâmetro, tendo como vantagem ser uma medida calculada depois de observar os dados. O fator de Bayes quando definimos uma priori igual a 1 pode ser considerada como uma razão de verossimilhanças que é bem aceito pela teoria frequentista,caso contrário precisamos definir prioris adequadas.

17 Bibliografia James O. Berger: Statistical Decision Theory and Bayesian Analysis. Carlos alberto de Bragança Pereira and Julio Michael Ster: Evidence and Credibility-Full Bayesian Significance Test for Precise. José M Bernardo and Raúl Rueda: Hypotheses Bayesian Hypothesis testing.


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