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4 2 5 1 0011 0010 UNIVERSIDADE FEDERAL DE UBERLÂNDIA FACULDADE DE MATEMÁTICA PROJETO PIBEG Unidade Ajuste de curvas.

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1 4 2 5 1 0011 0010 UNIVERSIDADE FEDERAL DE UBERLÂNDIA FACULDADE DE MATEMÁTICA PROJETO PIBEG Unidade Ajuste de curvas

2 4 2 5 1 0011 0010 1 – Introdução 2 – Quadrados Mínimos (Caso discreto – Modelo linear) 3 – Quadrados Mínimos (Caso discreto – Modelo não linear) 3.1 – Teste de alinhamento 4 – Quadrados Mínimos (Caso contínuo) Sumário:

3 4 2 5 1 0011 0010 1 – Introdução

4 4 2 5 1 Obter uma função matemática que represente (ou que ajuste) estes dados, permite fazer simulações do processo, reduzindo assim repetições de experimentos que podem ter um custo alto. Em geral, experimentos em laboratório geram um conjunto de dados que devem ser analisados com o objetivo de determinar certas propriedades do processo em análise.

5 4 2 5 1 0011 0010 Nesta unidade será estudado uma das técnicas mais utilizadas para se ajustar dados, conhecida com Método dos Quadrados Mínimos (MQM).

6 4 2 5 1 0011 0010 2 – Quadrados Mínimos Caso discreto - Modelo linear

7 4 2 5 1 Seja uma tabela de pontos (x i, y i ), i = 0, 1,..., m, x i [a, b]. O problema de ajuste de curvas consiste em escolher n funções g 1, g 2,..., g n contínuas e linearmente independentes em [a, b] e obter n constantes,,..., n tais que: Este é um modelo linear porque a função (x) utilizada no ajuste dos pontos é linear nos parâmetros j, embora as funções g j (x) possam ser não-lineares (ex.: e x, 1 + x 2, ln(x) ). x k ) = g 1 (x k ) + g 2 (x k ) +...+ n g n (x k ) seja uma boa aproximação para os pontos y(x k ), ou seja, k y k.

8 4 2 5 1 0011 0010 A escolha das funções g j (x) pode ser feita observando o gráfico dos pontos tabelados, chamado de diagrama de dispersão, Através do qual podemos observar o tipo de curva que melhor se ajusta aos dados.

9 4 2 5 1 0011 0010 Exemplo 1: Considere a seguinte tabela de pontos. xkxk 0.10.20.50.70.80.91.11.231.351.51.71.8 ykyk 0.190.360.750.910.960.99 0.940.870.750.510.35 A análise do diagrama de dispersão mostra que a função que procuramos se comporta como uma parábola. Logo poderíamos escolher as funções g 1 (x) = 1, g 2 (x) = x e g 3 (x) = x 2, pois (x) = g 1 (x) + g 2 (x) + 3 g 3 (x) representa uma família de parábolas, e com a escolha adequada dos j teremos aquela que melhor se ajusta aos pontos.

10 4 2 5 1 0011 0010 Para obter a curva que melhor se ajusta a função tabelada a idéia é impor que o desvio em relação à função aproximada seja o menor possível, ou seja: d k = |y k – (x k )| (x) ykyk d1d1 d2d2 d3d3 dkdk

11 4 2 5 1 0011 0010 O Método dos Quadrados Mínimos consiste em escolher j de tal forma que a soma dos quadrados dos desvios seja mínima: isto é, encontrar os parâmetros j que minimizam a função:

12 4 2 5 1 0011 0010 A função F é uma função quadrática que satisfaz F( ) 0. Isto é, uma função limitada inferiormente e portanto tem um ponto de mínimo. O ponto crítico de F( ) é encontrado igualando seu gradiente a zero: Desta forma temos: [y k – 1 g 1 (x k ) - 2 g 2 (x k ) –... – n g n (x k )](-g j (x k )) = 0

13 4 2 5 1 0011 0010 A equação anterior pode ser reescrita como: Assim, para obter j temos que resolver o seguinte sistema: onde, g1(xk)g1(xk)g1(xk)g1(xk) g2(xk)g1(xk)g2(xk)g1(xk)gn(xk)g1(xk)gn(xk)g1(xk) y k g 1 (x k ) g1(xk)g2(xk)g1(xk)g2(xk)g2(xk)g2(xk)g2(xk)g2(xk)gn(xk)g2(xk)gn(xk)g2(xk)yk g2(xk)yk g2(xk) g1(xk)gn(xk)g1(xk)gn(xk)g2(xk)gn(xk)g2(xk)gn(xk)gn(xk)gn(xk)gn(xk)gn(xk)yk gn(xk)yk gn(xk) gi(xk)gj(xk)gi(xk)gj(xk) yk gi(xk)yk gi(xk) m k i m k ij b A 1 1 Observação

14 4 2 5 1 0011 0010 A matriz A é a matriz Hessiana de F( ), portanto se A for positiva definida, garante-se que o ponto crítico é ponto mínimo.

15 4 2 5 1 0011 0010 No exemplo anterior ajustamos os dados a uma parábola, mas outras funções bases poderiam ser usadas. Como exemplo, poderíamos pensar que os dados representam o primeiro meio período de uma função senoidal. A soma dos quadrados dos desvios em cada ponto tabelado fornece uma medida que pode ser usada como parâmetro de comparação entre ajustes diferentes. E neste caso poderíamos tomar (x) = 1 + sen( x). Afinal qual seria a melhor escolha?

16 4 2 5 1 0011 0010 Aplicando o Método dos Quadrados Mínimos para o caso da função senoidal, obtém-se:

17 4 2 5 1 0011 0010 Calculando a soma dos quadrados dos desvios para cada caso: Parábola: Portanto, para este caso, o melhor ajuste foi obtido usando a parábola. Senóide:

18 4 2 5 1 0011 0010 2.1 – Coeficiente de correlação (r) Fornece uma medida do percentual de pontos bem ajustados:. onde,

19 4 2 5 1 0011 0010 3 – Quadrados Mínimos Caso discreto - Modelo não linear

20 4 2 5 1 Existem casos, onde o diagrama de dispersão de uma função indica que os dados devem ser ajustados por uma função que não é linear com relação aos parâmetros j. Como exemplo, considere os seguintes dados: xkxk -0.500.511.52.02.53 ykyk 0.1570.2340.3500.5220.7781.1621.7332.5863.858 Observando o diagrama podemos considerar que os dados tem um comportamento exponencial, que nos sugere o seguinte ajuste:

21 4 2 5 1 0011 0010 Para aplicar o Método dos Quadrados Mínimos torna-se necessário efetuar uma linearização do problema. A linearização da função escolhida para ajustar os pontos anteriores deve ser feita da seguinte forma: Fazendo 1 = ln 1 e 2 = 2 o problema consiste em ajustar os dados de z pela reta: z(x) = 1 + 2 x

22 4 2 5 1 0011 0010 Para isso devemos construir uma nova tabela com os dados de z k = ln(y k ) = 1 + 2 x. xkxk -0.500.511.52.02.53 ykyk 0.1660.1890.2500.6000.8001.2001.8002.6403.700 z k = ln(y k )-1.796-1.666-1.386-0.511-0.2230.1820.5880.9711.308 Resolvendo o sistema anterior obtemos a seguinte solução: = -1.114 2 = 0.832

23 4 2 5 1 0011 0010 Desta forma os valores de j são dados por: Portanto temos:

24 4 2 5 1 0011 0010 Para calcular o coeficiente de correlação escrevemos a seguinte tabela: ykyk (y k – y ) 2 k (y k - k ) 2 0,1661,19800,14270,0005 0,1891,14820,21640,0007 0,251,02120,32800,0061 0,60,43630,49720,0106 0,80,21210,75370,0021 1,20,00371,14250,0033 1,80,29101,73200,0046 2,641,90292,62550,0002 3,75,95093,97990,0783 12,1644 0,1066

25 4 2 5 1 0011 0010 Linearização de algumas curvas: Curva Hiperbólica Curva Exponencial Curva Geométrica

26 4 2 5 1 0011 0010 Uma vez escolhida uma função não linear em 1, 2,..., n para ajustar uma função dada, uma forma de verificarmos se a escolha feita foi razoável é aplicarmos o teste de alinhamento, que consiste em: 3.1 – Teste de Alinhamento i) fazer a linearização da função não linear escolhida; ii) fazer o diagrama de dispersão dos novos dados; iii) se os pontos do diagrama (ii) estiverem alinhados, isto significará que a escolha da função foi adequada.

27 4 2 5 1 0011 0010 Exemplo 4: Considere a função dada pela tabela: xkxk -8-6-4-2024 ykyk 301096544 Qual das funções Em primeiro lugar devemos linearizar as funções: a)oub) ajustaria melhor os dados da tabela? xkxk -8-6-4-2024 z 1 =1/y k 0.030.100.110.170.200.25 xkxk -8-6-4-2024 z 2 =ln(y k ) 3.402.302.201.791.611.39 :obtemos, 1 )( De bxa xy

28 4 2 5 1 0011 0010 Fazendo o diagrama de dispersão para cada função: Vemos que os dados de z 1 = a + bx se aproximam mais de uma reta. Assim, devemos escolher para ajustar os dados.

29 4 2 5 1 0011 0010 4 – Quadrados Mínimos Caso contínuo

30 4 2 5 1 No caso contínuo temos uma função f(x) dada num intervalo [a, b] e não mais uma tabela de pontos. O procedimento é análogo ao caso discreto. Escolhidas as funções bases g j devemos determinar a função x k ) = g 1 (x k ) + g 2 (x k ) +... + n g n (x k ) de modo que o desvio seja mínimo, onde: Neste caso os j também são determinados pela resolução de um sistema, onde os elementos A ij são obtidos por intermédio do produto interno entre as funções g i (x) e g j (x). E os elementos b i pelo produto interno entre f(x) e g j (x), ou seja:


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