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Renato Assunção DCC, UFMG. Derivada numerica Lembre da definição de derivada Como no caso da integral, a definição e uma operação de limite quando h 0.

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1 Renato Assunção DCC, UFMG

2 Derivada numerica Lembre da definição de derivada Como no caso da integral, a definição e uma operação de limite quando h 0 Uma estimativa simples e então tomar h 0 e usar a aproximação Este e chamado o método das diferença sucessiva (forward difference method)

3 Precisão da diferença sucessiva Se f e diferenciavel duas vezes, podemos escrever sua expansao de Taylor de 2ª ordem: Onde ε (x, x+h) Entao Portanto, o erro de D h f e

4 Exemplo Considere a função e calcule Pelo método da diferença sucessiva: Por outro lado, sabemos do calculo que f (x)=1/(1+x 2 ) e portanto

5 Um método mais preciso Considere as seguintes DUAS expansões de Taylor: Isolando f (x) encontramos: Isto produz o método da diferença simétrica

6 Diferença simétrica Este método e uma media dos métodos de diferença sucessiva e diferença retroativa. Qual a precisão desta media? Como e O método da diferença simétrica tem um erro de aproximação igual a

7 Extrapolação de Richardson Extrapolação de Richardson pode ser usada para melhorar qualquer método numérico que tenha a ordem de grandeza de seu erro conhecida. Podemos usa-la para melhorar: Diferença sucessiva (O(h)) Diferença simétrica (O(h 2 )) Nos podemos ser bastante específicos sobre o impacto da extrapolação de Richardson nestes dois casos.

8 Se nos tivéssemos tomado a expansão completa de Taylor quando derivamos o método das diferenças simétricas teríamos: ou onde k 2, k 4,.. são constantes independentes de h.

9 Agora podemos olhar a precisao da extrapolacao de Richardson para diferencas simetricas (p=2): 4/3 D h/2 – 1/3 D h Do slide anterior: Multiplicando pelos fatores apropriados temos Substituindo (2) em (1) temos Assim, diferenças simétricas com extrapolação de Richardson tem erro O(h 4 )

10 Estimando a derivada segunda Vamos considerar de novo as duas expansões de Taylor: Isolando f(x) encontramos E assim temos a aproximação

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12 Calculo diferencial e integral Newton e Leibniz inventaram o calculo diferencial e integral por volta de O objetivo era ter ferramentas matemáticas apropriadas para lidar com o movimento e mudanças no tempo. Entender, modelar e predizer o movimento dos corpos celestes era um dos maiores objetivos da ciência naqueles tempos. Para os homens daquele tempo, compreender o movimento dos céus era ouvir a voz de Deus.

13 Calculo diferencial e integral Logo depois ocorre uma explosão cientifica revolucionaria: Os irmãos Bernoulli, Euler, Lagrange, Laplace, etc. A ciência e engenharia modernas nascem, vicejam, crescem e criam o que temos hoje em dia. Derivadas e integrais aparecem em todos os modelos científicos para descrever a natureza se um processo de mudança estiver envolvido no fenômeno estudado. A mais famosa lei da fisica, a 3ª lei de Newton, envolve uma segunda derivada: F = m * d 2 y(t)/dt 2

14 Um passo alem: Equações diferenciais Equação não linear usual: achar os valores de t para os quais a igualdade f(t)=0 e valida Equação diferencial ordinária: achar as funções y(t) para as quais a igualdade g(t, y(t), y(t)) = 0 PARA TODO t Por exemplo: achar y(t) tal que seja valida a equação y(t)–3y(t) = 0 OU SEJA y(t) = 3y(t). Isto e, queremos achar as todas as funções y(t) tais que a sua função derivada y(t) seja igual a 3 vezes a própria função y(t).

15 EDO de 1ª ordem Achar y(t) tal que y(t) = 3y(t) Geometricamente: Desenhe o gráfico da função y(t) Calcule a inclinação da reta tangente y(t) em cada ponto t A inclinação deve ser igual a 3 vezes o valor da função y(t) Existe alguma função que satisfaz esta condição? Se existem, e possível encontra-las? Técnicas de solução ANALITICA de EDO: solução exata

16 EDO de 1ª ordem Achar y(t) tal que y(t) = 3y(t) Que tal y(t) = t 2 ?? Neste caso, y(t) = 2 t t 2 = y(t) Que tal y(t) = cos(t) ? Neste caso, y(t) = -sen(t) cos(t) = y(t) OU ainda y(t) = log(t) ?? y(t) = 1/t que não e a própria função y(t)=log(t)

17 EDO de 1ª ordem Achar y(t) tal que y(t) = 3y(t) Que tal y(t) = e 3t ?? De fato, para esta função, temos y(t) = 3 e 3t = 3 y(t) e uma solução da equação diferencial. Existe alguma outra função que também seja solução? Sim: todas as funções da forma y(t) = c e 3t onde c R também e uma solução. Existem outras? Não, estas são todas, não existem mais funções para as quais temos y(t) = 3 y(t) PARA TODO t

18 EDO 1ª ordem com valor inicial Achar y(t) tal que y(t) = 3y(t) E ALEM DISSO, y(0) = 2 Agora, colocamos uma restrição adicional, uma condição sobre o valor inicial da função y(t). No tempo t=0, a função deve valer y(0)=2 Como todas as soluções de y(t) = 3y(t) são da forma y(t) = c e 3t temos de encontrar alguma que satisfaça a condição inicial. 2 = y(0) = c e 3*0 = c.1 y(t) = 2 e 3t

19 Notação: ordinária? Equações diferenciais: ok Mas por que Equações diferenciais ORDINÁRIAS? Existem Equações diferenciais EXTRAORDINÁRIAS? Não. O palavra ordinária e usada para diferenciar das equações diferenciais PARCIAIS. Parciais: equações que envolvem funções de mais de uma variável e suas derivadas parciais. Exemplo: Equação de difusão do calor numa barra de densidade homogênea. Seja u(t,x) a temperatura no ponto x no tempo t Então onde c depende do material

20 EDO de 1ª ordem Equações diferenciais ordinárias de 1ª ordem são equações envolvendo apenas a derivada y(t) e a funcao y(t) e possivelmente outras funções FIXAS e conhecidas (tais como sin(t) ou exp(t)). Por exemplo: y(t) = p(t) * y(t) + g(t) Casos particulares: y(t) = 3 * y(t) + sin(t) y(t) = (3*t 2 + 2t -1) * y(t) + sin(t)

21 EDO de ordem n EDO ordem n são equações envolvendo : As derivadas y n (t), y n-1 (t),..., y(t) a função y(t) e possivelmente outras funções FIXAS e conhecidas (tais como sin(t) ou exp(t)). Por exemplo, uma EDO de 2ª ordem: y(t) = sin(t) * y(t) + y(t) + 3t Qual a (ou as) FUNCAO y(t) tal que a sua FUNCAO derivada segunda y(t) obedece a equação acima? Mas isto e so um exercício de matemáticos sem ter o que fazer, certo?

22 Exemplos de EDOs famosas Decaimento radioativo: proporção carbono- 14/carbono-12 presente na matéria orgânica viva é constante. No entanto, na matéria orgânica morta a quantidade de 14C diminui com o tempo, a uma taxa proporcional à quantidade existente. Se designarmos essa quantidade por Q, teremos: Q(t) = -c Q(t) onde c > 0 e uma constante

23 Exemplos de EDOs famosas Corpo em queda livre com atrito devido a resistência do ar: Mv(t) = mg – k v(t) ou v(t) + k/m v(t) – g = 0 Engenharia Química: balanço de massa ou volume ou energia num reator químico. O volume de líquido num tanque e a concentração de uma solução A mudam com o tempo. Entra e sai líquido a taxas constantes e diferentes. Os líquidos possuem concentrações de A diferentes. Descrever a concentração de A em cada instante : terminamos em uma EDOs

24 Exemplos de EDOs famosas Oscilador harmônico amortecido: y(t) + a y(t) + b y(t) = 0 Para descrever a física do átomo de hidrogênio: Legendre: (1-t 2 )y(t) – 2 t y(t) + k(k+1) y(t) = 0 Para descrever o comprimento de onda no átomo de hidrogênio: Laguerre: t y(t) + (1-t) y(t) + k y(t) = 0 Membranas vibratórias: Bessel : t 2 y(t) + t y(t) + (t 2 – k 2 ) y(t) = 0 Mecânica quântica: Hermite: y(t) – 2 t y(t) + 2 k y(t) = 0 Arco-íris y(t) + t y(t) = 0

25 EDO linear de 1ª ordem Suponha que y(t) = a(t) * y(t) + b(t) Solução: Com o fator integrante Se y(t) = - y 2 (t) EDO NÃO-LINEAR. Esta EDO particular pode ser resolvida pelo método de separação de variáveis.

26 EDO de 1ª ordem Vamos considerar problemas do seguinte tipo: Existe alguma solução? Quando ela e única? TEOREMA:

27 Métodos numéricos: Euler Nosso problema de EDO de 1ª ordem: Euler e o método mais simples. Acha uma aproximação para a solução y(t) num intervalo [t 0, t N ] Divide o intervalo em N subintervalos de comprimentos iguais: t 0, t 1,..., t N onde t k =t 0 + k * h com h=(t N -t 0 )/N Se h e pequeno, temos

28 Método de Euler Nosso problema de EDO de 1ª ordem: t 0, t 1,..., t N onde t k =t 0 + k * h com h=(t N -t 0 )/N Se h e pequeno, temos Algoritmo: Temos uma aproximação y 0, y 1, y 2,..., y N para y(t)

29 29 Método de Euler – 1ª iteracao Passo h t y(t) (t 0, y 0 ) Valor de y(t 0 + h) Slope Interpretação gráfica: primeiro passo do método de Euler Valor aproximado y 1 t0t0 t1t1

30 30 Método de Euler – 2ª iteração Tamanho do passo h Valor verdadeiro y(x 2 ) y 2 Valor aproximado y1y1 t y(t) t1t1 t2t2 Segunda iteração do método de Euler Note que y 2 e o Valor em x 2 de uma reta que passa por (t 1, y 1 ) e que tem inclinação f(t 1,y 1 ).

31 31 Método de Euler – 2ª iteração Tamanho do passo h Valor verdadeiro y(t 2 ) y 2 Valor aproximado y1y1 t y(t) t1t1 t2t2 NÃO ESTAMOS USANDO y * 2 = y(t 1 ) + f(t 1, y(t 1 ))h uma reta passando por y(t 1 ) e com inclinação f(t 1,y(t 1 )) pois NOS NÃO TEMOS y(t 1 ) Na 1ª iteração obtivemos uma aproximação y 1 para y(t 1 )

32 32 Método de Euler – iteração i Tamanho do passo h Valor verdadeiro y(t i+1 ) y i+1, Valor aproximado yiyi t y titi t i+1 Passo genérico do método de Euler

33 Erros em Euler Assim, na n-ésima iteração, gostaríamos de aproximar y n+1 pelo valor em t n+1 = t n +h da reta tangente a y(t) no ponto (t n, y(t n )) Entretanto, NÃO TEMOS y(t n ) mas somente uma aproximação y n Assim, temos dois erros acumulando-se em cada iteração do método de Euler. Existe um erro em aproximar y(t n ) por y n, a n-ésima iteração Além disso, gostaríamos de ter f(t n,y(t n )) mas usamos f(t n,y n )

34 34 Exemplo Uma esfera possui temperatura de 1200K (ou 920 o C ) e comeca a resfriar a temperatura ambiente de 300K (ou 27 o C). Assumindo que o calor e dissipado sem interferência, a equação diferencial que reflete a temperatura (t) da esfera no tempo t deve satisfazer a seguinte EDO Encontrar a temperatura em t=480 segundos usando o método de Euler. Assuma um passo de tamanho h=240 segundos

35 35 Solução Primeira iteração: e a temperatura aproximada em

36 36 Solução - continuação Para Iteração 2: e a temperatura aproximada em

37 37 Solução – continuação A solução exata da EDO e dada pela raiz da equação não-linear A solução (480) desta equação não-linear em t=480 segundos e Bem diferente da aproximação:

38 38 Comparação das soluções exata e numérica Euler

39 Step, h (480) EtEt |є t |% Efeito do tamanho do passo h Temperatura aos 480 segundos como uma função do passo h (valor exato)

40 40 Comparação com resultado exato Apenas h=480, 240 e 120

41 41 Efeito do tamanho do passo h em Euler Valor exato

42 Mais um exemplo Considere a EDO Como x 0 =0 então x n =nh Iteração: Usando h=0.1 e E comparando com a solução exata temos a tabela ao lado

43 43 Erros no método de Euler Vimos que o método de Euler PODE ter erros grandes. Para entender a ordem de grandeza desses erros, vamos fazer a expansão de Taylor em torno de x i Os dois primeiros termos da serie de Taylor e o método de Euler O erro na aproximação e dado por Isto e:

44 Runge - Kutta Euler fez a seguinte aproximação Que tal usar uma aproximação melhor para a integral? Por exemplo, podemos usar a regra do trapézio: Neste caso, teremos então a aproximação E o algoritmo

45 Runge-Kutta Encontramos a equação de iteração: Existe um problema no entanto: y n+1 aparece dos dois lados da equação acima. Não conseguimos isolar y n+1. Uma possibilidade e substituir y n+1 NO LADO DIREITO por sua aproximação baseada em Euler: y n+1 = y n + f(t n,y n )h Este e o metodo de Runge-Kutta de 2ª ordem

46 Runge Kutta de 2ª ordem Equação de iteração: ou simplesmente onde Assim, este e um método de Euler com inclinação (s 1 +s 2 )/2

47 Runge – Kutta de 2ª ordem E possível uma interpretação gráfica-geométrica deste método de Runge-Kutta. Temos com Isto corresponde ao seguinte esquema em dois passos: Tome um passo preliminar de Euler com inclinação s 1 em t n : Com isto, obtenha uma segunda inclinação s 2 em t n +h A atualização de Euler realmente dada usa a média das inclinações s 1 em t n e s 2 em t n +h

48 Um segundo método de Runge-Kutta O método de Runge-Kutta que acabamos de estudar começou aproximando uma integral pela regra do trapézio: Podemos usar alguma outra regra: Simpson ou midpoint Vamos usar midpoint: Neste caso Note que y(t+h/2) no lado direito não e conhecido. Vamos usar Euler de novo para este valor.

49 2º. Método de Runge - Kutta Temos a aproximação Usamos a aproximação de Euler para o termo y(t n +h/2): y(t n +h/2) y(t n )+h/2 * f(t n, y n ) Substituindo a iteração para y n+1 temos Este método e conhecido como método de Euler modificado ou método do ponto médio

50 2º metodo de Runge-Kutta Também podemos ver este novo método de Runge- Kutta como um processo em dois estágios. Escrevemos como onde

51 2º metodo de Runge-Kutta Também podemos ver este novo método de Runge- Kutta como um processo em dois estágios. Tome um passo de Euler mas apenas com metade do comprimento do intervalo h/2 Isto corresponde ao tempo t n +h/2 = t n+1/2 A seguir, de mais um passo de Euler de comprimento h usando a inclinação no ponto médio (t n+1/2, y n+1/2 )

52 Resumo dos 2 métodos de R-K Primeiro: o método clássico de 2ª ordem de R-K (ou método de Euler melhorado) y n+1 = y n + h (s 1 +s 2 )/2 com Segundo: Método de Euler modificado (método do ponto médio) y n+1 = y n + h s 2 com O que eles tem em comum?

53 Comparando os dois R-K Os dois métodos usam dois estágios intermediários s 1 e s 2 para obter uma iteração. Os estágios correspondem a diferentes estimativas para a inclinação da solução. No método clássico de RK (Euler melhorado) nós damos um passo completo y n+1 = y n + h (s 1 +s 2 )/2 tomando a media das inclinações s 1 em t n e s 2 em t n +h No método de Euler modificado (ponto médio), nós usamos s 1 em t n para dar um meio-passo ate t n +h/2. A seguir, calculamos s 2, a estimativa da inclinação no ponto médio, e então tomamos o passo completo y n+1 = y n + h s 2

54 Exemplo Considere a EDO Euler modificado: y n+1 =y n +hs 2 Temos s 1 =x 2 n + y 2 n e s 2 =(x n +h/2) 2 +(y n +s 1 /2) 2 Exemplo numérico na tabela ao lado

55 Runge-Kutta 2ª ordem geral Podemos imaginar varias outras maneiras alternativas de calcular s 1 e s 2. O método geral de Runge-Kutta de 2ª ordem e da forma onde com (esta notação vem de uma teoria mais avançada ligada a métodos implícitos) Clássico RK (Euler melhorado): Euler modificado (ponto médio): γ 1 =0, γ 2 =1 e α 2 = β 21 =1/2

56 Tabela de Butcher E costume arranjar os coeficientes α i, β ij e γ i em uma tabela chamada tabela de Butcher Onde α 2 = β 21 Para o método ser de segunda ordem e ter certas propriedades desejáveis impomos também as condições

57 Tabela de Butcher RK Clássico (Euler melhorado) RK : Euler modificado (ponto médio) RK: Método de Heun α 2 = β 21 Método de Ralston 000 α 2 =3/4β 21 =3/40 Γ 1 =1/3Γ 2 =2/3

58 58 Exemplo Uma esfera possui temperatura de 1200K (ou 920 o C ) e comeca a resfriar a temperatura ambiente de 300K (ou 27 o C). Assumindo que o calor e dissipado sem interferência, a equação diferencial que reflete a temperatura (t) da esfera no tempo t deve satisfazer a seguinte EDO Encontrar a temperatura em t=480 segundos usando o método EULER MELHORADO (ou metodo classico de Runge-Kutta de segunda ordem) Assuma um passo de tamanho h=240 segundos

59 59 Solução Iteração 1:

60 60 Solução - continuação Iteração 2:

61 61 Solução - continuação A solução exata da EDO e dada pela solução de uma equação não -linear: A solução para esta equação não-linear em t=480 segundos e

62 62 Comparação com resultado exatos Euler melhorado (ponto médio) para diferentes valores de h

63 63 Efeito do tamanho do passo h Temperatura em t=480 segundos como uma funcao do tamanho do passo h Passo h (480) Erro = E t |є t |% (exact)

64 64 Efeito do tamanho do passo h

65 Passo h (480) Euler Euler Melhorado Ponto Medio Ralston Comparação de Euler e RK de 2a ordem (exato)

66 66 Passo h Euler Euler Modificado Ponto Médio Ralston (exato) Comparação de Euler e RK de 2a ordem

67 67 Comparação de Euler e RK de 2a ordem Modificado Ponto Medio

68 Runge-Kutta de 4ª ordem E o mais famoso método de Runge-Kutta com E tabela de Butcher

69 Para a prova Memorizar apenas os dois métodos mais simples de Runge-Kutta: Euler melhorado (RK clássico de 2ª ordem) Euler modificado (ponto médio)


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