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GEOMETERS SKETCHPAD O que é o Geometer´s Sketchpad? Isometria Rotações no Plano Reflexões no Plano Exercício.

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1 GEOMETERS SKETCHPAD O que é o Geometer´s Sketchpad? Isometria Rotações no Plano Reflexões no Plano Exercício

2 O Que é o Geometer´s Sletchpad ? Um dos ambientes computacionais que possibilita a exploração e desenvolvimento de noções de conceitos geométricos é o Geometers Sketchpad, que explora triângulos, quadriláteros, círculo, entre outras figuras geométricas. O estudante, utilizando esse programa, pode explorar Geometria Analítica da mesma maneira dinâmica que explora outras abordagens da Geometria. Pode ainda realizar cálculos baseados nos parâmetros de equações e colocar qualquer cálculo ou equação em um sistema de cooedenadas. Geometers Sketchpad foi desenvolvido sob a direção do Dr. Eugene Klotz, no Swarthmore College e Dr. Doris Schattschneider, no Moravian College, na Pensilvânia como parte do projeto Visual Geometry, financiado pela National Science Foundation (NSF). Em adição à produção desse software, O Visual Geometry Project também produziu o Stella Octangula eo Platonic Solids (materiais manipulativos). Esse software foi lançado no primeiro semestre de (Miskulin)

3 Isometria O QUE É ISOMETRIA? As transformações que trataremos nesse trabalho são as isometrias, ou seja, aquelas que preservam distâncias. Mais precisamente, T é uma isometria quando: d [T(A), T(B)] = d(A,B) para quaisquer pontos A e B do plano. No que se segue veremos dois exemplos de isometrias. Agora vamos estabelecer algumas propriedades fundamentais a esse tipo de transformações: Toda isometria T: é injetiva A imagem de uma reta r por uma isometria T é uma reta r 1 = T(r) Toda isometria preserva paralelismo Uma isometria preserva quaisquer ângulos TIPOS DE ISOMETRIA As isometrias no plano são a rotação, a translação, rotação e translação, a reflexão e a translação refletida. Mas especificamente nesse trabalho daremos ênfase à Rotação, pois o assunto é muito extenso.

4 Rotações no Plano A rotação no plano é realizada pela revolução no plano ao redor de um ponto dado (o centro de rotação) por um ângulo dado. Conseqüentemente isso pega duas partes dos dados para descrever a rotação no R 2 completa, um ponto e um ângulo. No sentido horário as rotações varrem ângulos negativos, e no sentido anti-horário varrem ângulos positivos. Seja OXY um sistema de eixos ortogonais no plano. A rotação de centro O e ângulo transforma o ponto P(x,y) no ponto P 1 = (x 1, y 1 ) com: x 1 = x.cos - y.sen, y 1 = x.sen + y.cos.

5 Com efeito, essa rotação leva o vetor unitário e 1 do eixo OX no vetor f 1 =cos.e 1 +sen.e 2 e leva o vetor unitário e 2 do eixo OY no vetor f 2, que se obtém de f 1 por uma rotação de 90º, logo f 2 =- sen.e 1 +cos.e 2. Temos: OP = x.e 1 + y.e2 e OP 1 = x 1.e 1 + y 1.e 2 = x.f 1 + y.f 2 Pois no sistema de eixos ortogonais OX 1 Y 1, cujos vetores unitários são f 1 e f 2, o ponto P 1 tem as mesmas coordenadas (x,y) que P tem no sistema OXY. Então: x 1 = OP 1, e 1 = x.f 1 + y.f 2, e 2 = x f 1, e 1 + y f 2, e 1 = x.cos - y.sen y 1 = OP 1, e 2 = x.f 1 + y.f 2, e 2 = x f 1, e 2 + y f 2, e 2 = x.sen - y.cos Em particular, uma rotação de 180º em torno do ponto O leva o ponto P = (x,y) no ponto P 1 = (-x, -y). Neste caso, seja qual for o ponto P do plano, a origem O é o ponto médio do segmento PP 1. Às vezes se diz que P 1 = (-x, -y) é o simétrico do ponto P = (x,y) em relação ao ponto O. A rotação de 180º em torno de O coincide portanto com a simetria central de centro O. O produto de duas reflexões em retas, f e g, que se interceptam no ponto F, sob o ângulo orientado (ou respectivamente), é uma rotação (F, ) onde = 2 = 2. Com o resultado anterior, acabamos de determinar todas as isometrias próprias. Resumindo temos: Toda isometria própria é uma translação ou uma rotação. Depois desse resultado importante, vamos dedicar o resto do parágrafo à exemplos de aplicação das rotações.

6 Reflexões no Plano O ponto P 1 chama-se simétrico do ponto P em relação à reta r quando r é mediatriz do segmento PP 1. Se P pertencer a r, diremos que seu simétrico em relação à r é ele próprio. Evidentemente, se P 1 é o simétrico de P relativamente a r então, reciprocamente, P é o simétrico de P 1 relativamente à mesma reta r. Na prática, obtém-se o simétrico de um ponto em relação a uma reta dobrando ao longo dessa reta a folha de papel onde está gravado o ponto. A reflexão em torno da reta r é a transformação T que faz corresponder a cada ponto P do plano o ponto P 1 = T(P), simétrico de P em relação a r. O ponto P 1 e o triângulo A 1 B 1 C 1 são respectivamente as imagens do ponto P e do triângulo ABC pela reflexão em torno da reta r. Tomando um sistema de eixos ortogonais OXY no qual o eixo OX coincida com a reta r em torno da qual se dá a reflexão T, para cada ponto P = (x, y) tem-se T(P) = P 1 = (x, -y). Daí resulta que toda reflexão é uma isometria pois se P = (x, y) mostra também que a reflexão T inverte a orientação do plano, pois deixa o eixo OX fixo e inverte a orientação de OY. Em termos dos vetores unitários dos eixos, T transforma e 1 em si mesmo e e 2 em –e 2. Evidentemente, o sentido de rotação de e 1 para –e 2 é oposto ao sentido de e 1 para e 2.

7 Exercício Utilizando Software Geometers Sketchpad vamos fazer uma figura utilizando os tipos de isometrias explicadas anteriormente, ou seja, vamos utilizar as rotacões e reflexões no plano para obter a figura desejada. Passo 1) Desenhar um ângulo com 36º e preencher. Passo 2) Utilizando o recurso Mirror refletimos essa figura ao redor da reta r

8 Passo 3) Utilizando o recurso Rotate, fazemos uma rotação da figura obtida no passo 2, com um ângulo de 72º. Repetimos esse procedimento 4 vezes e obtemos a figura abaixo:


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