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ISOMETRIAS 9º ano Simetria: Que significado? Serão as mãos simétricas? Será a nossa cara simétrica? Serão os bonecos simétricos?

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Apresentação em tema: "ISOMETRIAS 9º ano Simetria: Que significado? Serão as mãos simétricas? Será a nossa cara simétrica? Serão os bonecos simétricos?"— Transcrição da apresentação:

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2 ISOMETRIAS 9º ano

3 Simetria: Que significado? Serão as mãos simétricas? Será a nossa cara simétrica? Serão os bonecos simétricos?

4 Simetria: Que significado? A noção de simetria, sendo essencial em Matemática, não é exclusiva deste campo Simetria é uma ideia que o homem tem usado ao longo dos tempos para tentar compreender e criar ordem, beleza e perfeição. (Serra, 1993, p. 304, cit. Weyl) A noção de simetria é deveras importante em Matemática, nas artes visuais e em diversas ciências como a Cristalografia e a Física. (Oliveira, 1997, p. 70) Em geometria, simetria define-se em termos de isometrias Quando a imagem de uma figura, através de uma isometria diferente da identidade, coincide com a figura original, então a figura tem simetria. (Serra, 1993)

5 Isometrias Não isometrias TranslaçõesRotaçõesReflexões Homotetias

6 Isometria Definição: Isometria: Transformação geométrica que preserva as distâncias; as figuras do plano são transformadas noutras geometricamente iguais. Quatro tipos fundamentais de isometrias: Rotação Translação Reflexão Reflexão deslizante

7 Translação Numa translação todos os pontos de uma figura se deslocam na mesma direção, no mesmo sentido e a mesma distância. Translação Translação associada ao vector

8 Na Fisica as forças representam-se por vetores. Resistência do ar Gravidade Um vetor é um ser matemático que se define por uma direção, um sentido e um comprimento.

9 Uma reta define uma direção e todas as que lhe são paralelas têm a mesma direção. Direção horizontal Direção vertical

10 Aqui, a direção horizontal tem,em A, o sentido da esquerda para a direita e, em B, o sentido da direita para a esquerda. Para cada direção existem dois sentidos. A B

11 Na figura estão representados 6 vetores. a d c e b f AB AB = f Como os vetores a e e têm a mesma direção, mesmo sentido e o mesmo comprimento, são representações do mesmo vetor. Os restantes vetores diferem na direção, no sentido e/ou no comprimento.

12 A figura 3 foi obtida da figura 2 pela translação T b. A figura 3 foi obtida da figura 2 pela translação T b. Fig. 1 Fig. 2 Fig. 3 a b A figura 2 foi obtida da figura 1 pela translação T a. A figura 2 foi obtida da figura 1 pela translação T a.

13 Composição de Translações Fig. 1 Fig. 2 Fig. 3 Assim, podemos dizer que a figura 3 foi obtida da figura 1 pela translação composta T b após T a. Assim, podemos dizer que a figura 3 foi obtida da figura 1 pela translação composta T b após T a. T b após T a escreve-se T b T a. T b após T a escreve-se T b T a. a b

14 ...que consiste em construir um paralelogramo em que os lados são representações dos vetores e o vetor soma é a sua diagonal. A soma de dois vetores é um vetor que pode ser obtido através da regra do paralelogramo... a b c = a + b

15 Translação associada ao vector é uma transformação geométrica em que cada ponto O do plano é transformado num outro ponto O (imagem de O) em que O = O + Translação F Translação da figura F associada ao vector Translação

16 Cada ponto de uma figura e a sua imagem estão sobre uma reta perpendicular ao eixo de reflexão e a igual distância desse eixo. É como se o peixe e a estrela se estivessem a ver ao espelho... Reflexão Os eixos de reflexão podem, ou não ter pontos em comum com a(s) figura(s) eixo de reflexão Reflexão

17 Reflexão de eixo s é a transformação geométrica que faz corresponder a cada ponto O do plano o ponto O (imagem de O) de tal modo que: a recta s é perpendicular a [O O] e passa pelo ponto médio de [O O] (ou s é a mediatriz de [O O]; se O pertence a s, a sua imagem coincide com O. Reflexão Reflexão da figura F de de eixo s s F Reflexão

18 Reflexão deslizante A composição de uma reflexão com uma translação associada a um vetor paralelo ao eixo de reflexão designa-se por reflexão deslizante. O imagem de O através da reflexão deslizante associada a s e ao vector s F Reflexão deslizante

19 Rotação 75º. O Rotação O peixe da esquerda rodou no sentido contrário aos ponteiros do relógio (sentido positivo), descrevendo um ângulo de vértice O e amplitude 75 graus. Rotação de centro O e amplitude 75 0

20 Rotação.O 75 0.O O 75º. Centro de rotação: pode ser um ponto da figura (meia volta) Centro de rotação: pode ser um ponto que não pertence à figura.O Rotação

21 Rotação de centro O e amplitude α é uma transformação geométrica tal que: qualquer que seja o ponto P do plano, a distância de O a P é igual à distância de O à imagem de P (P ); a amplitude do ângulo orientado definido por P, O e P é igual a α. Rotação de centro O e amplitude 90 0 F F Rotação

22 Retomando a ideia de simetria de uma figura De entre as aplicações mais interessantes das transformações e grupos de transformações estão as relacionadas com questões de simetria. Existindo muitas espécies de simetrias no plano e no espaço (...). (Oliveira, 1996, p. 187) Simetria de reflexão (ou simetria axial) Simetria de rotação (ou simetria rotacional) Simetria de translação Simetria de reflexão deslizante Há uma simetria para cada um dos quatro tipos de isometrias referidos. ( Serra, 1993, p. 305)

23 Simetria de reflexão de uma figura Existe, pelo menos, uma reflexão que deixa a figura globalmente invariante Como a reconhecemos? Várias hipóteses... Se conseguirmos dobrar a figura de tal modo que as duas partes obtidas se sobreponham exactamente; Se conseguirmos colocar um espelho ou mira sobre a figura de modo a que a junção da parte reflectida com a não reflectida seja exactamente igual à figura toda; Se recortarmos a figura e conseguirmos preencher exactamente o buraco que fica na folha com a parte recortada mas virada ao contrário (com a parte de baixo do papel virada para cima);...

24 Simetria de reflexão de uma figura Por vezes a simetria de reflexão é designada por simetria axial; o eixo de reflexão também se pode designar por eixo de simetria ou linha de simetria. (Serra, 1993, p. 305) Eixo de simetria? 1 eixo de simetria? eixos de simetria

25 Simetria de reflexão de uma figura Eixo de simetria? 1 eixo de simetria6 eixos de simetria0 eixos de simetria2 eixos de simetria4 eixos de simetria Eixo de simetria de uma figura: Reta (sobre a qual se faz a dobra ou se coloca o espelho/mira…) que divide a figura ao meio de modo que uma metade da figura seja a reflexão da outra metade. Caso contrário, a reta não é eixo de simetria.

26 Figura com simetria rotacionalFigura sem simetria rotacional Simetria rotacional de uma figura Existe, pelo menos, uma rotação com uma amplitude superior a 0 0 e inferior a que deixa a figura globalmente invariante. Só neste caso se admite também uma simetria rotacional associada a um ângulo de Se conseguirmos girar a figura em torno de um ponto fixo, de modo a que a imagem resultante, através da rotação, coincida com a figura original. Como a reconhecemos? (ou qualquer outro tipo de simetria)

27 Simetria rotacional de uma figura Que simetrias rotacionais tem a figura? C: Centro da simetria rotacional (ponto em torno do qual a figura roda) C Ângulo da simetria rotacional: ângulo orientado que descreve o movimento da figura. Três quartos de volta (270º) Uma volta inteira (360º) Um quarto de volta (90º) Meia volta (180º)

28 Simetria de translação de uma figura Existe, pelo menos, uma translação que deixa a figura globalmente invariante Como a reconhecemos? Se podemos movimentar a figura segundo uma dada distância e uma dada direcção (identificadas pelo vector da translação) de tal modo que o seu transformado coincide com a figura original Se a figura for infinita, existe essa possibilidade…

29 Simetria de reflexão deslizante de uma figura Existe, pelo menos, uma reflexão deslizante que deixa a figura globalmente invariante Como a reconhecemos? Se, por exemplo, depois de desenharmos a figura em papel transparente, de virarmos o papel ao contrário em torno de uma determinada reta e de o deslocarmos segundo a direção dessa reta, conseguirmos que o transformado da figura coincida com a figura original. Se a figura for infinita, existe essa possibilidade…

30 Simetrias de polígonos Que simetrias existem num quadrado? DC B A

31 90º B C D Simetrias de polígonos Que simetrias existem num quadrado? Simetrias de reflexão Simetrias rotacionais 4 Com centro no ponto de encontro das diagonais do quadrado e amplitudes 90 0, 180 0, e Eixos de simetria: 2 rectas que contêm as diagonais do quadrado e 2 rectas que passam pelos pontos médios de lados opostos

32 Simetrias na arte decorativa: o caso das rosáceas Exemplos de rosáceas Figuras compostas por diversos módulos geometricamente iguais que se repetem por rotação. O centro de rotação é sempre o mesmo ponto, a amplitude da rotação é sempre a mesma e a divisão entre e a medida desta amplitude é exacta. Rosáceas Existe sempre um ponto do plano que é fixo para o grupo de simetria da figura (conjunto das transformações de simetria da figura). Têm sempre simetrias rotacionais, podendo ter também simetrias de reflexão.

33 Que simetrias existem nestas rosáceas? Simetrias na arte decorativa: o caso das rosáceas assinala o centro de simetria (ou centro de rotação) da figura Identificar

34 Que simetrias existem nestas rosáceas? Simetrias na arte decorativa: o caso das rosáceas Simetria de reflexão 2 eixos de simetria – lado/lado Simetria rotacional R rotação de R 2 rotação de (identidade) R rotação de 60 0 R 2 rotação de R 3 rotação de R 4 rotação de R 5 rotação de R 6 rotação de (identidade) Só simetria rotacional Simetria de reflexão e simetria rotacional Identificar assinala o centro de simetria (ou centro de rotação) da figura

35 Exemplos de frisos As barras cinzentas ou os motivos incompletos, indicam que a figura se prolonga indefinidamente para a esquerda e para a direita Figura infinita caracterizada por apresentar sempre simetrias de translação com a mesma e uma só direcção. No friso, o grupo de simetria fixa uma recta. Pode haver outras simetrias para além das de translação Friso Simetrias na arte decorativa: o caso dos frisos

36 Que simetrias existem neste friso? Simetrias na arte decorativa: o caso dos frisos Identificar reta horizontal Nomenclatura adotada reta vertical

37 Que simetrias existem neste friso? Simetrias na arte decorativa: o caso dos frisos De translação. Por exemplo, translações associadas aos vectores e. De reflexão de eixo horizontal Identificar reta horizontal Nomenclatura adotada reta vertical

38 Que simetrias existem neste friso? Simetrias na arte decorativa: o caso dos frisos Identificar

39 Que simetrias existem neste friso? Simetrias na arte decorativa: o caso dos frisos De reflexão de eixo horizontal De reflexão de eixos verticais De translação da figura associadas a vectores com a direcção de e comprimento múltiplo do deste vector. Identificar

40 A partir de um motivo simples podem-se construir frisos muito diversos usando isometrias Simetrias na arte decorativa: o caso dos frisos Motivo simples Construir [A´, B, C, D] imagem do motivo simples através de uma reflexão de eixo r. A B C D [A´, B, C, D] imagem de [A´, B, C, D] através de uma translação de vector paralelo ao eixo de reflexão (recta r). A B C D A B C D Nota: O motivo simples é, por vezes, designado por módulo r


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