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Compasso: perpendiculares e paralelas. Traçada de reta perpendicular a uma reta dada Retas perpendiculares são aquelas que se interceptam formando quatro.

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1 Compasso: perpendiculares e paralelas

2 Traçada de reta perpendicular a uma reta dada Retas perpendiculares são aquelas que se interceptam formando quatro ângulos retos (90º). Podem ocorrer em três casos: 1º caso: A perpendicular passa por um ponto pertencente à reta dada. 2º caso: A perpendicular passa por um ponto não pertencente à reta dada. 3º caso: A perpendicular passa em qualquer lugar da reta dada.

3 Exemplo 1 A perpendicular passa por um ponto pertencente à reta dada. Dados a reta r e o ponto P (P Є r), trace uma reta s perpendicular a r no ponto P.

4 Construção: Com uma abertura qualquer, centramos o compasso no ponto P e marcamos dois pontos auxiliares (1 e 2) na reta r.

5 Aumentando sua abertura, centramos o compasso no ponto 1 e traçamos um arco. Com a mesma abertura, centramos o compasso no ponto 2 e traçamos outro arco. A intersecção dos dois arcos nos dará o ponto 3.

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7 A reta que passa pelo ponto P e pelo ponto 3 é a reta s procurada.

8 Por que é assim que se faz? Marcamos os pontos 1 e 2 à mesma distância do ponto P. Usamos a mesma abertura no compasso para marcar os dois arcos que determinam o ponto 3. Assim, o ponto 3 é equidistante de 1 e 2.

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10 Se está à mesma distância de 1 e 2, a reta que passa pelo ponto 3 e por P divide o ângulo de 180º exatamente no meio, ou seja, em dois ângulos de 90º.

11 Exemplo 2 A perpendicular passa por um ponto não- pertencente à reta dada. Dados a reta r e o ponto P (P Є r), trace uma reta s perpendicular a r e que passe pelo ponto P.

12 Construção: Com uma abertura qualquer, centramos o compasso no ponto P e marcamos dois pontos (1 e 2) na reta r. Com uma abertura qualquer, centramos o compasso nos pontos 1 e 2 e traçamos dois arcos que se interceptam no ponto 3. A reta r passa pelo ponto P e pelo ponto 3 é a reta s procurada.

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14 Por que é assim que se faz? A justificativa é a mesma do exemplo 1. O ponto P é equidistante dos ponto 1 e 2. O ponto 3 também é equidistante de 1 e 2. Portanto, a reta passa pelo ponto P e por 3 divide ao meio os ângulos de 180º, resultando em ângulos de 90º.

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16 Exemplo 3 A perpendicular passa em qualquer lugar da reta dada. Trace uma reta s perpendicular à reta r.

17 Construção: Neste caso, basta determinar um ponto P, pertencente à reta ou não, e aplicar um dos processos vistos anteriormente. Determina-se o ponto P na reta r.

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19 Determina-se o ponto P fora da reta r.

20 Fazer exercícios 01

21 Traçados de retas paralelas Retas paralelas são aquelas que não possuem pontos em comum, pois não se interceptam, ou seja, mantêm sempre a mesma distância uma da outra. Podem ocorrer dois casos: 1º caso: A paralela passa por um ponto dado. 2º caso: A paralela passa a determinada distância da reta dada.

22 1º caso Veremos quatro processos de resolução para esse caso.

23 Exemplo 1 A paralela passa por um ponto dado. Dados a reta r e o ponto P, trace a reta s paralela a r no ponto P.

24 Construção: Com uma abertura qualquer, centramos o compasso no ponto P e traçamos um arco que determine na reta r o ponto auxiliar 1. Com a mesma abertura, centramos o compasso no ponto 1 e traçamos um arco que determine em r o ponto auxiliar 2. Abrimos o compasso com medida igual à distância de 2 a P. Transportamos essa medida para o outro arco, a partir do ponto 1, obtendo assim o ponto 3. A reta r que passa pelo pontos P e 3 é a reta s procurada.

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26 Por que é assim que se faz? Os dois arcos têm o mesmo raio e sobre eles transportamos a mesma distância.

27 Exemplo 2 Dados a reta r e o ponto P, trace a reta s paralela a r no ponto P

28 Construção: Marcamos um ponto O (centro) em qualquer lugar da reta r. Centramos o compasso em O e, com abertura até o ponto P, traçamos um arco, que determinará na reta r dois pontos auxiliares ( 1 e 2). Com o auxílio do compasso, transportamos a distância 1P para o outro arco, a partir do ponto 2, obtendo o ponto 3. A reta que passa pelos pontos P e 3 é a reta s procurada.

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30 Por que é assim que se faz? A justificativa é a mesma do processo anterior: transportando no arco a distância que determina o ponto auxiliar 3, obtendo a mesma distância de P em relação à reta r.

31 Qual a diferença entre 1º e o 2º processo? No 1º processo, começamos a construção centrando o compasso no ponto P. No 2º processo, começamos a construção centrando o compasso em um ponto qualquer da reta (ponto O).

32 Exemplo 3 Dados a reta r e o ponto P, trace a reta s paralela a r no ponto P.

33 Construção: Com uma abertura qualquer, centramos o compasso no ponto P e traçamos um arco que determina na reta r o ponto auxiliar 1. Com a mesma abertura, centramos o compasso em 1 e marcamos em r o ponto auxiliar 2. ainda com a mesma abertura, centramos o compasso no ponto 2 e marcamos no arco o ponto 3.

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35 A reta que passa pelos pontos P e 3 é a reta s procurada.

36 Por que é assim que se faz? Sabemos que, num paralelogramo, os lados opostos são paralelos entre si. Nesse 3º processo, os pontos P, 1, 2 e 3 correspondem aos vértices de um losango.

37 Qual a diferença entre esse processo e os anteriores? No 3º processo, não alteramos a abertura do compasso: a medida inicial, para o arco, é conservada até o final.

38 Exemplo 4 Dados a reta r e o ponto P, trace a reta s paralela à reta r no ponto P.

39 Construção: Traçamos uma reta perpendicular a r em P, obtendo o ponto auxiliar 1.

40 Marcamos na reta r, em qualquer lugar, um ponto auxiliar 2. Nesse ponto, traçamos uma perpendicular a r. Transportamos a distância P1 para a outra perpendicular, a partir de 2, obtendo o ponto 3. A reta que passa pelos pontos P e 3 é a reta s procurada.

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42 O 4º processo lembra a figura formada pro um gol de futebol. Em relação ao chão, o travessão é paralelo e as duas traves são perpendiculares e de mesma medida. Daqui em diante, utilizaremos esse processo sempre que trabalharmos com distância entre paralelas.

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44 Fazer exercícios 02

45 2º caso Vamos agora estudar o traçado de paralelas a uma distância determinada da reta dada.

46 Exemplo 5 Trace o par de retas (r´e r´´) distantes 2,0 cm da reta r.

47 Construção: Marcamos na reta r dois pontos auxiliares quaisquer (1 e 2). Em cada ponto, traçamos uma reta perpendicular a r.

48 Nas perpendiculares, a partir de r, marcamos para os dois lados a distância desejada (2,0 cm), obtendo os pontos 3, 4, 5 e 6. As retas que passam por 3 e 5 e por 4 e 6 são paralelas r´e r´´ procuradas.

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