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Prof. GISELI VERGINIA SONEGO Orientador: Profª. Drª. ELENI BISOGNIN AS CONTRIBUIÇÕES DA ETNOMODELAGEM MATEMÁTICA NO ESTUDO DA GEOMETRIA ESPACIAL MESTRADO.

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1 Prof. GISELI VERGINIA SONEGO Orientador: Profª. Drª. ELENI BISOGNIN AS CONTRIBUIÇÕES DA ETNOMODELAGEM MATEMÁTICA NO ESTUDO DA GEOMETRIA ESPACIAL MESTRADO PROFISSIONALIZANTE EM ENSINO DE FÍSICA E DE MATEMÁTICA Link para a dissertação (PDF):

2 Neste trabalho, o propósito é utilizar a metodologia da Modelagem Matemática, desenvolvendo conceitos relacionados com Geometria Espacial, enquanto é explorado o tema plantio do arroz. Sendo assim, procurou-se fazer uma conexão entre a Modelagem Matemática e a Etnomatemática, pelo fato de trabalhar essa disciplina utilizando conhecimentos relacionados com as atividades econômicas e culturais da comunidade.

3 As atividades foram desenvolvidas com 27 alunos da 3ª série do Ensino Médio, da Escola Estadual de Educação Básica João XXIII, na cidade de São João do Polêsine, no Rio Grande do Sul. Para o desenvolvimento das atividades, utilizaram-se como referencial as etapas da Modelagem sugeridas por Bassanezi (2002),que norteiam o trabalho proposto para os encaminhamentos em sala de aula.

4 ATIVIDADES DE EXPLORAÇÃO DO TEMA Foi solicitado aos 27 alunos que se dividissem em cinco grupos para efetuar o levantamento de dados sobre o tema escolhido. Devido a amplitude do tema, a professora dividiu-o em partes, e cada grupo ficou responsável por pesquisar um desses assuntos, a saber: financiamento de implementos agrícolas para o plantio ou colheita de arroz; plantação, colheita e processo de beneficiamento; secagem e armazenamento; transporte e comercialização; e planejamento de uma lavoura de arroz. Essa etapa da Modelagem, que é a exploração do tema, teve o objetivo de capturar informações e envolver os alunos, para que se familiarizassem com o assunto.

5 A obtenção de dados foi realizada em jornais, revistas especializadas ligadas à área, livros, internet, visitas à cooperativa de beneficiamento de arroz e fábrica de implementos agrícolas, ambas localizadas no município, conversas informais com profissionais da área, entrevista com o gerente do Banco do Brasil e SICREDI (Sistema de Crédito Cooperativo) e entrevista com profissionais da EMATER e Secretaria da Agricultura.

6 Visita à fabrica de implementos agrícolas

7 Visita à cooperativa Visita ao engenho de arroz

8 Encontro para orientação

9 LEVANTAMENTO E RESOLUÇÃO DAS SITUAÇÕES-PROBLEMA RELACIONADAS AO TEMA As atividades e as situações-problema descritas abordam principalmente os conceitos de áreas e volumes dos principais sólidos geométricos como prisma, cilindro, pirâmide e cone, estudados no 3º ano do Ensino Médio.

10 SITUAÇÃO-PROBLEMA 1: Se um reboque tem 4,5 m de comprimento, 2,2 m de largura e 70 cm de altura, quanta madeira é necessária para construí-lo? Aluno: - Devemos saber quanta madeira é necessária para a base e para as laterais. A professora desenhou no quadro um reboque, desta forma:

11 Representação de um reboque A professora aproveitou para chamar atenção sobre a unidade de medida, que deve sempre ser a mesma, portanto as medidas foram expressas em metros. Professora: - Para saber quanto de madeira necessitamos, devemos calcular o quê? Um aluno, disse: - A área da superfície total, menos a tampa. Professora: - É isso mesmo. Então, vamos imaginar um reboque aberto ( com as guardas laterais abertas), isto é, planificar o reboque: Planificação do reboque 2,2 m0,7m 4,5 m

12 Professora: - Como é cada parte do reboque? Aluno: - Um retângulo. Professora: - Então, como podemos calcular a área total? Aluno: - Devemos calcular a área de cada retângulo e somar. Conhecendo as medidas das arestas, os alunos efetuaram o cálculo. Cálculo realizado por um grupo de alunos.

13 SITUAÇÃO-PROBLEMA 2: Um dos alunos informou que o reboque de seu pai havia estragado e para usá-lo na colheita do arroz ele teve a idéia de colocar uma ripa (travessa) de madeira para ficar firme, por isso já desenhou o reboque com a travessa mostrado no desenho. A professora indagou porque ele colocou a ripa atravessada. Qual a medida (comprimento) dessa ripa? Desenho feito por um grupo de alunos.

14 A forma triangular dá melhor firmeza à estrutura, evitando que se deforme com a ação do tempo, por isso nas porteiras e nas construções de casas, por exemplo, usa-se o triângulo nas estruturas. Professora: - Então onde é melhor o agricultor colocar a ripa para o reboque ficar firme? Eles responderam: - Atravessada. Professora: - Então vamos tentar ilustrar a questão. Ilustração da diagonal da face de um reboque. Divididos em grupos, os alunos foram desafiados a resolver o problema. A posição da ripa gerou discussão nos grupos e a professora aproveitou o momento para comentar sobre a rigidez do triângulo, que é a única figura rígida do plano.

15 Professora: - Como vamos calcular o comprimento da ripa? Eles responderam: - Pitágoras. A professora continuou dizendo: - Vejam no sólido de acrílico, nessa face, a linha (como se fosse a ripa) atravessa a face e une dois vértices não consecutivos. Isso se chama diagonal da face. Ela divide a face, que é retangular, em dois triângulos retângulos, então a linha (no nosso exemplo, a ripa) é a hipotenusa. Diagonal da face do paralelepípedo

16 Com essa explicação, os alunos calcularam o comprimento da diagonal utilizando o Teorema de Pitágoras. Representando por d a diagonal da face, os alunos obtiveram:

17 Eles verificaram que a travessa deveria medir aproximadamente 5 m. Além da travessa na base, a professora chamou a atenção para o fato de que o pai do aluno havia colocado uma travessa unindo dois vértices não consecutivos. O esboço do reboque mostra a travessa colocada. Ilustração das diagonais do reboque.

18 Professora: - Que tamanho tem essa ripa? Professora: - Como já calculamos a diagonal da face, essa outra ripa se chama diagonal do sólido ou do reboque no caso. A professora também mostrou, nos paralelepípedos de acrílico, que a diagonal da face, a altura e a diagonal do sólido formam um triângulo retângulo. Sólidos de acrílico mostrando as diagonais.

19 Não foi difícil aos alunos concluírem que poderiam usar o Teorema de Pitágoras novamente. Indicaram a diagonal (ripa) por D e fizeram o cálculo obtendo. Isto é, o comprimento da ripa é de aproximadamente 5 m.

20 A professora indagou aos alunos como calcular a diagonal no caso de um cubo. Foi representado no quadro a diagonal do cubo, e a professora lembrou que, nesse caso, as arestas do cubo têm o mesmo comprimento. O comprimento da aresta foi indicado por a, e a diagonal da base foi calculada usando o Teorema de Pitágoras. Representação do cubo com as diagonais.

21 Para determinar o modelo matemático que representa a medida da diagonal do cubo, utilizou-se a diagonal da base.

22 SITUAÇÃO-PROBLEMA 3: Aluno: - Quanto de arroz cabe nesse reboque? Para responder a questão foi necessário retomar o conceito de volume. Inicialmente, a professora desenhou, no quadro, um cubo cuja aresta media 1 cm e salientou que a área da base desse cubo era de 1 cm 2 e o volume era de 1 cm 3. Em seguida, desenhou um paralelepípedo formado por 24 cubinhos de 1 cm de aresta, portanto o volume do paralelepípedo composto de 24 cubinhos mede 24 cm 3. Paralelepípedo com 24 cubos

23 Retomada a idéia de volume com material concreto, a professora concluiu, junto com os alunos, que, para se obter o volume do paralelepípedo, basta multiplicar a medida da área da base pela medida da altura. Assim: V = Ab x h em que Ab é a área da base e h é a altura do paralelepípedo. Depois de os alunos terem compreendido a maneira de calcular volume, voltou-se à questão inicial, que era saber qual o volume de arroz que comporta um reboque com 4,5 m de comprimento, 2,2 m de largura e 70 cm de altura. Modelo real:

24 Conhecidas as dimensões de um reboque, que se assemelha a um paralelepípedo, os alunos obtiveram seu volume: V = 4,5 x 2,2 x 0,7 = 6,93 m 3 A professora indagou qual é a unidade mais utilizada para medir a quantidade de arroz. Alguns alunos responderam que era o kg e que outra unidade muito utilizada pelos agricultores era a saca de 50 kg. Professora: - Que relação há entre o metro cúbico e o quilograma? Os alunos começaram a discutir sobre a transformação de unidades até que um deles salientou que um decímetro cúbico era equivalente a 1 kg, assim, por meio dessa equivalência, poderiam saber quantos kg de arroz o reboque comportava.

25 Alguns alunos, em grupos, discutiram a situação e indicaram: Alunos: - Em 1m 3 cabem 600 kg de arroz com casca. Professora: - Como vocês chegaram a essa conclusão? Os alunos responderam que sabiam que 1m 3 equivalia a 12 sacos de arroz com casca e cada saco de arroz pesava 50 kg, então 1m 3 equivalia a 600 kg. Como o volume do reboque é de 6, 93 m 3, os alunos concluíram que poderiam colocar, 6,93 x 600 = 4158 kg nesse reboque.

26 Para calcular o número de sacas, eles dividiram o total de quilogramas por 50, obtendo 83 sacas. Portanto, nesse reboque cabem 83 sacas de arroz de 50 quilogramas. As discussões com a participação dos alunos, que surgiram nessa aula, foram muito interessantes. Eles chegaram à conclusão de que a relação que eles conheciam para transformar unidades e volume, capacidade e massa tinha uma aplicabilidade. Como alguns alunos são agricultores, eles mesmos validaram essa questão, afirmando que num reboque cabem aproximadamente 83 sacas de arroz de 50 kg. A partir dessa questão, pôde-se descobrir o peso específico do arroz com casca, que é de 600 kg/m 3, ou seja, 0,6 t/ m 3. Esse valor foi confirmado na fábrica de máquinas agrícolas visitada e na Internet.

27 Tendo determinado o volume do paralelepípedo, foi trabalhado, com auxílio do material concreto, o cálculo do volume dos demais prismas. Para a dedução do cálculo, a professora utilizou o Princípio de Cavalieri. Essa experiência foi feita no laboratório.Princípio de Cavalieri A professora pegou um prisma de base quadrangular e encheu-o de água, em seguida pegou outro prisma de base triangular, com mesma área da base do anterior e transferiu a água contida para esse prisma. A seguir, a professora repetiu esse processo com diversos prismas e também com cilindros de mesma área da base e mesma altura. Verificou- se que a água encheu totalmente todos os prismas e cilindros nessas condições, com isso, concluiu-se que o volume dos prismas e do cilindro de mesma base e mesma altura são iguais.

28 Através dessa experiência, os alunos constataram que o volume de qualquer prisma ou cilindro que possui a mesma área da base e mesma altura são equivalentes. Como os alunos já haviam compreendido anteriormente que o cálculo do volume do paralelepípedo se obtém pelo produto da área da base pela altura, verificaram que, para os demais prismas e cilindros, o cálculo é realizado da mesma maneira, ou seja, V = Ab. h. Um aluno fez um comentário sobre a forma como seu pai armazena o arroz. Com isso, surgiu a seguinte situação originando o problema 4.

29 SITUAÇÃO- PROBLEMA 4: Aluno: - Meu pai armazenou no galpão lá de casa, todo arroz que ele colheu. São mais ou menos sacas, que foram colocadas em pilhas. Ele me perguntou se eu sabia calcular a largura da pilha para colocar todas as sacas. Professora: - Você conseguiu fazer esse cálculo? Aluno: - Eu tentei, medi o comprimento do galpão e calculei mais ou menos a altura. Ele tem 8 m de comprimento e 4 m de altura, mas não descobri a solução. A professora colocou o problema para toda a turma resolver, os alunos, em grupos, tentaram solucionar o problema. Consideraram inicialmente que 1m 3 equivale a 12 sacas, portanto, como o agricultor havia colhido sacas, eles concluíram que o volume era de 2.700/ 12, isto é, 225 m 3. Conhecendo-se o volume e as dimensões do galpão, um grupo fez o seguinte cálculo.

30 Concluíram que a pilha pode medir 7 metros. Um segundo grupo comparou o volume de 1 m 3 com o número de sacos de arroz e também concluiu que a largura da pilha pode ser de 7 m. Cálculo realizado por um grupo de alunos.

31 Resolvido esse problema, cada grupo analisou a pesquisa feita e buscou as formas dos implementos agrícolas encontrados. Cada grupo elaborou uma situação-problema: Cálculo realizado por um grupo de alunos.

32 Na pesquisa realizada pelo grupo de alunos que planejou uma lavoura de 10 hectares, eles comentaram que o custo do cultivo de uma lavoura de arroz é muito alto, e um dos itens que encarece a produção é o combustível, pois é utilizado na plantação, aplicação de insumos, colheita e também no transporte do arroz. Uma maneira de os agricultores baixarem os custos de produção é estocar combustível em tonéis, então a maioria das famílias possui seus reservatórios de óleo (que normalmente tem a forma cilíndrica) como mostrado na figura a seguir. Reservatório de óleo. Um dos componentes do grupo colocou a seguinte questão:

33 SITUAÇÃO- PROBLEMA 5: Aluno: - Lá em casa, meu pai tem um reservatório de óleo, que tem a forma de um cilindro. Ele possui 3 m de raio e 2 m de altura. É possível saber quantos litros de óleo esse reservatório comporta? Todos os alunos da classe buscaram uma solução para o problema. Essa era uma questão que interessava à maioria dos alunos, pois seus pais armazenavam óleo em reservatórios semelhantes. Primeiramente, eles desenharam um tonel, que tem a forma de um cilindro de 3 m de raio e 2 m de altura. – Desenho de um tonel de forma cilíndrica.

34 A professora indagou aos alunos: Professora: - Como podemos calcular o volume do cilindro? Um aluno lembrou a experiência feita no laboratório e comentou que o volume do prisma é calculado multiplicando a área da base pela altura do prisma.

35 Nesse momento, a professora aproveitou para explicar que o volume do cilindro se calcula da mesma maneira que o volume do prisma, lembrando o Princípio de Cavalieri. Professora: - Como é a forma da base desse reservatório de óleo? Aluno: - É um círculo. Professora: - Como se calcula a área do círculo? Aluno: - Eu lembro que é лr 2. Professora: - Então como se calcula o volume do cilindro? Aluno: - Se o volume é calculado do mesmo modo do prisma, então o volume é a área da base multiplicada pela altura do tonel, V = лr 2 h. Professora: - No nosso caso, temos um tonel de 3 m de raio e 2 m de altura. Se considerarmos л = 3,14 então o volume do tonel será:

36 Professora: - Achamos o volume em metros cúbicos, mas o problema pede para calcular em litros. Como vamos fazer essa transformação? Um aluno respondeu: Aluno: - Vamos usar a relação: V = 56,52 m3 = dm3 = l Assim, chegaram à conclusão de que esse reservatório comportava litros de óleo diesel. A questão seguinte, proposta por um dos alunos, foi apresentada ao restante da turma, utilizando-se os dados pesquisados pelo grupo.

37 SITUAÇÃO- PROBLEMA 6 : O pai de Daniel quer construir em seu galpão um reservatório de óleo diesel de forma cilíndrica com a capacidade de 5 mil litros e quer saber quanto metal é necessário. Ele informou que possui um espaço disponível no galpão de 5 m para colocar o reservatório deitado. O primeiro passo para solucionar o problema foi fazer um desenho representativo do reservatório. Os alunos representaram o reservatório na forma de um cilindro. Desenho do reservatório na forma de um cilindro.

38 Para saber quanto material seria necessário para construir o reservatório, os alunos reportaram-se à situação já trabalhada referente à construção do reboque para o transporte do arroz. A professora orientou-os a planificar o cilindro. Cada grupo realizou a planificação. Um aluno integrante do grupo, que pesquisou sobre este tema colocou que, se o volume do reservatório era de 5000 l, então, utilizando a equivalência, Para calcular o material necessário para a construção, a professora orientou os alunos para calcular a área de cada uma das partes da planificação. Planificação do cilindro feito por um grupo de alunos.

39 Base (círculo) Superfície lateral (retângulo) Base (círculo) A professora explicou que, quando um cilindro é planificado, a lateral é um retângulo e, portanto, a sua área pode ser calculada multiplicando-se a medida da base pela medida da altura. Como a base do retângulo coincide com o comprimento da circunferência da base do cilindro, a área da base do cilindro é é o comprimento da circunferência, e h é a altura do cilindro. Planificação de um cilindro.

40 A superfície total é a soma da superfície lateral com as superfícies das bases. Assim: St = Sl + 2Sb Este é o modelo matemático que permite calcular a área da superfície de um cilindro.

41 Com essas explicações, os alunos iniciaram a resolução do problema. Eles colocaram que a área do círculo era лr 2, mas desconheciam o valor do raio. A professora lembrou que eles conheciam o volume do reservatório, e que o pai de Daniel dispunha somente de 5 m para colocar o tonel deitado, portanto, com essas informações, era possível calcular o raio. Foram muitas as tentativas, até que um aluno perguntou: - Professora, sabemos o volume, que é 5 m 3. A altura é 5 m. Será que não dá para descobrir o valor do raio com esses dados?

42 Professora: - Como você faria? Aluno: - Sei que o volume é a área da base multiplicado pela altura. Complementou ainda: - A área da base é л r 2, e a altura é o espaço que o pai de Daniel dispõe porque ele vai colocar o tonel, que mede 5 m, deitado. Então, posso calcular o raio, assim: e, extraindo a raiz quadrada, o raio mede 0,56 m. O aluno fez o cálculo usando a calculadora. A descoberta do valor do raio fez com que os alunos calculassem a área da superfície. Professoras: agora podem calcular a área do círculo, é л. 0,318. Como temos dois círculos, a área é л. 0, = 1,96 m 2. O problema é como calcular a área do retângulo.

43 Nesse momento, a professora mostrou um cilindro formado por uma folha de papel e perguntou: - Quanto mede o lado do retângulo? Aluno: - Deve ser igual ao comprimento da circunferência. Professora: ­- E quanto mede o comprimento da circunferência? A professora recordou que o comprimento da circunferência é 2 л r, portanto a área do retângulo é A = 2 л. 0,56.5 = 17,5 m 2

44 Assim, o pai do Daniel precisava de 1, ,5 = 19,46 m 2 de material para construir o reservatório de óleo. Os cálculos a seguir mostram como os alunos resolveram o problema: - Solução do problema obtida por um dos grupos.

45 Um outro grupo apresentou solução semelhante. Solução do problema obtida por um dos grupos.

46 A professora voltou a indagar: - Que outros implementos agrícolas, apresentados na exploração do tema, chamaram a atenção de vocês? Uma aluna respondeu que o graneleiro lhe havia chamado a atenção e uma outra menina disse que havia sido a moega. A moega, que é um reservatório para armazenar grãos, é muito utilizada pelos agricultores da região. Ela tem a forma de uma pirâmide invertida, construída embaixo da terra.

47 Os alunos responderam que eram semelhantes e que lembravam uma pirâmide. Professora: - O graneleiro e a moega têm a mesma forma?

48 SITUAÇÃO- PROBLEMA 7 : As duas questões seguintes foram trazidas para a aula por um aluno e surgiram no momento em que seu pai precisava construir, em sua propriedade, um reservatório para armazenar arroz. Ele pediu a seu filho que o ajudasse a calcular, pois queria ter uma estimativa de quantos tijolos necessitava comprar e queria saber também quanto caberia de arroz nessa referida moega. Com as medidas fornecidas pelo pai do menino, a professora esboçou no quadro o desenho da moega. O paralelepípedo da parte de cima mede 3 m de comprimento, 3 m de largura e 0,4 m de altura. A altura total da moega é de 1,9 m.

49 Desenho representativo da moega. 1,9 m 0,4 m A seguir são relatados qual o raciocínio utilizado pelos alunos para a resolução do problema e os questionamentos feitos pela professora aos alunos.

50 Professora: - Para saber quantos tijolos são necessários, que cálculo devemos fazer? Um aluno respondeu: - Precisamos saber a superfície total. A professora indagou: - Que figura é essa? (Indicando a moega). Aluno: - Em cima é um prisma e em baixo é uma pirâmide. Professora: - E então como iremos calcular?

51 Aluno: - Calculamos a superfície lateral do prisma e a superfície lateral da pirâmide e somamos. Professora: - Muito bem, então vamos lá. A superfície da parte de cima, que é um prisma, foi calculada pelos alunos da seguinte forma: Área da superfície lateral do paralelepípedo: 4 x 3 x 0,4 = 4,8 m 2

52 Como a parte de baixo é uma pirâmide de base quadrangular e as faces laterais são triangulares, os alunos calcularam a área de uma das faces e multiplicaram por 4. Assim, obtiveram a área lateral da pirâmide Al = (3 x 1,5)/2 x 4 = 9 m 2 Para calcular a superfície total da moega, os alunos somaram a superfície lateral do prisma com a superfície lateral da pirâmide, já calculadas anteriormente, obtendo 13,8 m 2. A professora perguntou: - E agora, como vamos saber quantos tijolos serão necessários?

53 Aluno: - Precisamos saber de que tamanho é o tijolo. Professora: - Muito bem, é isso mesmo, então precisamos calcular a superfície de um tijolo. O aluno Marcos trouxe um tijolo à sala para obter as medidas. Medindo o tijolo na sala de aula.

54 Professora: - O tijolo vai ser colocado com a face maior ou menor? Aluno: - Vai ser assentado no lado maior. Para calcular a superfície lateral maior do tijolo, que tem faces retangulares, é só multiplicar o comprimento pela largura. Assim: Superfície = 23cm x 11cm = 253 cm 2 = 0,0253 m 2 Professora: - Para saber quantos tijolos são necessários, o que se deve fazer? Aluna: - Basta dividir a superfície total da moega pela área da superfície maior do tijolo. TIJOLO: 23 cm 5 cm 11 cm Desenhos representativos de um tijolo.

55 Em seguida, os alunos determinaram o número de tijolos que seriam utilizados para a construção da moega, obtendo 545,45 tijolos ou 546. Na aula seguinte, as situações-problema foram desenvolvidas com o objetivo de estudar o volume da pirâmide. Para dar inicio à aula, a professora relembrou, junto com os alunos, o cálculo do volume do prisma. Disse a professora: - Agora, vamos ao laboratório para observarmos experimentalmente como se calcula o volume da pirâmide. No laboratório, a professora foi explicando aos alunos e questionando-os.

56 A professora tomou um prisma (sólidos de acrílico) de base quadrangular (paralelepípedo retângulo) e uma pirâmide de base retangular de mesma altura do prisma e mesma área da base e perguntou aos alunos: Se eu encher de água esta pirâmide e colocá-la dentro do prisma, quantas vezes a quantidade de água contida nessa pirâmide cabe dentro do prisma, ou seja, quantas vezes o volume dessa pirâmide é maior que o volume do prisma? Alguns alunos responderam: - 2 vezes; e outros: - 3 vezes. Bom, disse a professora, então vamos ver, vamos encher de água e ver quantas vezes cabe realmente.

57 Dando seqüência, a professora indagou aos alunos: - Que relação há entre o volume do prisma e o volume da pirâmide? Relembrando a experiência com a água, eles responderam: - O prisma é 3 vezes a pirâmide. Professora: - Que conclusão vocês chegaram? Aluno: - Acho que o volume da pirâmide é igual ao volume do prisma dividido por 3. Professora: - Muito bem. Como podemos representar isso que o colega falou?

58 Dando seqüência, a professora indagou aos alunos: - Que relação há entre o volume do prisma e o volume da pirâmide? Relembrando a experiência com a água, eles responderam: - O prisma é 3 vezes a pirâmide. Professora: - Que conclusão vocês chegaram? Aluno: - Acho que o volume da pirâmide é igual ao volume do prisma dividido por 3. Professora: - Muito bem. Como podemos representar isso que o colega falou?

59 Os alunos escreveram: V pirâmide = 1/3 V prisma Essa conclusão foi retomada pela professora para que todos tivessem clareza do cálculo efetuado. Voltando para o problema do aluno, a professora falou: - Agora já podemos ajudá-lo mais um pouco. Seu pai também quer saber quantos sacos de arroz cabem nesse reservatório?

60 Para responder a essa questão, foi necessário retomar o conceito de volume do prisma e da pirâmide. Analisando o desenho da moega, verificou-se que a parte de cima tem a forma de um prisma de base quadrada e, em baixo, é uma pirâmide. O modo como os alunos resolveram foi o seguinte: Resolução do problema por um dos grupos. Logo na moega que o pai do aluno deseja construir, caberão aproximadamente 97 sacos de arroz.

61 SITUAÇÃO- PROBLEMA 8: Um outro equipamento, muito utilizado pelos agricultores no transporte do arroz e lembrado por uma aluna, foi o graneleiro. Esse equipamento tem a forma poliédrica, semelhante a um tronco de pirâmide invertida na parte de baixo e, em cima, é um prisma. Modelo real: Graneleiro.

62 A professora pediu aos alunos que medissem um graneleiro, e trouxessem essas medidas para a aula, a fim de que pudessem elaborar algumas questões sobre esse implemento agrícola utilizado na lavoura de arroz. Em seguida, com as medidas do graneleiro em mãos, foi possível levantar a seguinte questão pelos alunos: Qual a capacidade desse graneleiro?

63 A professora indagou: - Que figura é essa? Alunos: - A parte de cima é um prisma e em baixo é parecida com a pirâmide. Professora: - Como iremos calcular a capacidade do graneleiro? Alunos: - Da mesma forma como calculamos o volume da moega. Alunos: - Calculamos o volume do prisma, o volume da pirâmide e somamos. Como os alunos já possuíam as medidas do graneleiro, fizeram o desenho com as medidas. 1 m 2,4 m 2 m Desenho do graneleiro com suas medidas.

64 Como os alunos sabiam calcular o volume do prisma e da pirâmide, realizaram o cálculo do volume da seguinte forma: V total = V prisma + V pirâmide V prisma = Sb x h = 2 x 2,40 x 1 = 4,8 m 3 V pirâmide =1/3. Sb.h = (2 x 2,4 x 1)/3 = 1,6 m 3 Portanto, o volume V = 6,4 m 3 é o volume total do graneleiro em metros cúbicos.

65 Professora: - Se quisermos saber quantos quilogramas de arroz cabem no graneleiro, como devemos proceder? Alunos – É só multiplicar 6,4 por 600. Professora – É isso mesmo, pois já sabemos que 1 m 3 = 600 kg. Então, 6,4 m 3 = 6,4 x 600 = 3840 kg. Portanto, neste graneleiro, cabem 6,4 m 3 de arroz a granel, ou seja, 3840 kg, aproximadamente, 4 toneladas.

66 SITUAÇÃO- PROBLEMA 9 : Um aluno lembrou outro instrumento utilizado pelos agricultores, o pluviômetro, que é um instrumento em forma de pirâmide quadrangular regular, utilizado para verificar o índice pluviométrico da região. O desenvolvimento da planta e a produção de grãos dependem da temperatura e da quantidade de chuva, por isso, é comum os agricultores possuírem, em suas propriedades, um pluviômetro. O aluno informou que, em sua casa, havia um pluviômetro, porém, num dia de chuva, ele recolheu a água num recipiente na forma de um cubo e gostaria de saber quanta água esse cubo armazenou.

67 A professora pediu para trazer o cubo e o pluviômetro para a sala de aula e foram medidos os dois instrumentos. Ao colocar a água no pluviômetro, na forma de uma pirâmide, a altura atingiu 8 cm. Os alunos mediram o apótema da pirâmide determinada pelo nível da água e verificaram que a medida era de 10 cm. h = 8 cm a = 10 cm Desenho de um pluviômetro.

68 Para resolver o problema a professora iniciou dizendo: - O que precisamos calcular? Um aluno respondeu: - O volume da pirâmide formada pela água. Professora: - Como vamos fazer isso? Como todos ficaram calados, a professora prosseguiu: - Necessitamos calcular a medida do apótema da base dessa pirâmide, pois precisamos saber a medida da área da base.

69 Ao analisar o desenho, os alunos conseguiram calcular o valor do apótema da base, usando o Teorema de Pitágoras. r =102 e portanto r = 6 cm A seguir, a professora questionou: - Analisando o desenho, podemos descobrir qual é a medida da aresta da base dessa pirâmide? : - Professora, é 12 cm. Triângulo retângulo.

70 Professora: - Como você descobriu? Aluno: - A base do pluviômetro é quadrada, e o apótema da base mede 6 cm. Professora: - Podemos calcular o volume de água da pirâmide com esses dados? Como vamos calcular a área da base? Aluno: - Professora, como a base é um quadrado de aresta 12, é só multiplicar um lado vezes o outro, ou seja, é 12x12. Com esses dados, os alunos calcularam o volume da pirâmide formada pelo nível da água no pluviômetro V p = 1/3 x S b x h = 1/ cm 3 = 384 cm 3

71 Continuando a questão, a professora colocou o seguinte problema: - Colocando a água armazenada no recipiente onde foi recolhida, é possível determinar a altura da água nesse recipiente na forma de um cubo? Professora: - Vamos chamar de x a altura, atingida pela água quando colocada no cubo de aresta medindo 10 cm. A professora seguiu, dizendo: - Como o volume da água independe do recipiente onde está armazenado, de que forma iremos calcular a altura(x) atingida pela água no cubo? Aluno: - Como no cubo todas as arestas têm a mesma medida, para calcular o volume, é só multiplicar a medida do comprimento pela largura e pela altura. Fazendo o cálculo: x = 384 x = 3,84 cm

72 Ao efetuar o cálculo, podemos concluir que a altura da água, quando colocada num cubo de 10 cm de aresta, é de 3,84 cm. Essas questões postas pelos alunos e a busca de solução foram etapas desenvolvidas com muita motivação e interesse pelos alunos. Nesse momento, foi possível perceber a eficácia da metodologia da Modelagem para ensinar Matemática a partir de situações vivenciadas pelos alunos. Durante a visita à fábrica de implementos agrícolas, os alunos tiveram a oportunidade de visualizar como são realizados os cálculos para a fabricação de um silo e de outros maquinários utilizados na agricultura. Dessa visita surgiu outra questão:

73 SITUAÇÃO- PROBLEMA 10 : Quanto de metal é necessário para construir um silo? Silo.

74 Professora: - Para calcular a área da superfície lateral do silo, facilita o entendimento se o visualizarmos planificado. Como sua forma é a de um cilindro, vamos planificar um cilindro. Para iniciar a resolução desse problema, a professora perguntou aos alunos: - O que, matematicamente, estamos necessitando resolver? Analisando a foto do silo, os alunos perceberam que a forma do silo é um cilindro, e a parte de cima é um cone. Então um aluno respondeu: - A área lateral do cilindro e do cone. Professora: - Como podemos calcular a área lateral do cilindro? E do cone?

75 h 2 лr Professora: - Que figura vê-se na lateral do cilindro planificado? Aluno: - Forma um retângulo. Professora: - Então, como se calcula a área de um retângulo? Aluno: - É só multiplicar a base pela altura. Professora: - Mas, quanto mede a base desse retângulo? Aluno: - É 2 л r, porque é o comprimento da circunferência do cilindro. A professora lembrou aos alunos que, na visita à cooperativa, o funcionário havia informado as dimensões do silo. Os alunos confirmaram que o raio do silo era de aproximadamente 2,36 m e a altura 4,73 m. Planificação do cilindro.

76 Assim, A cilindro = 2 л r.h = 2. 3,14. 2,36. 4,73 A cilindro = 70,10 m 2 Professora: - Até agora foi calculada a área lateral do silo (cilindro). O que falta ainda calcular? Aluno: - O coberto. Professora: - Como é o coberto de um silo? Aluno: - É um cone. Professora: - Como é o coberto de um silo? Aluno: - É um cone.

77 Altura(H) Vértice(V) Raio(r) Geratriz(g) A planificação do cone é formada por um setor circular cujo raio é igual à geratriz e por um círculo de raio r igual ao raio da base do cone. Planificação do cone. Desenho de um cone com seus elementos.

78 Aluno: - Professora, então o telhado do silo não é um cone completo, porque ele só tem a parte do setor circular. Professora: - É realmente como vimos nas visitas à cooperativa e na fábrica de implementos, o telhado de um silo é um cone, mas sem a base. Professora: - Para calcular a área da superfície lateral do cone (telhado do silo), vamos também visualizá-lo planificado. Setor circular.

79 A base do setor circular é o comprimento da circunferência que forma a base do cone. Então a área lateral do cone é determinada pela área do setor circular. Para determinar a área do setor circular, a professora chamou a atenção para o fato de que, se o círculo de raio g fosse completo, o comprimento da circunferência seria 2 л g, e a área correspondente seria л g 2. Como temos só um setor circular, podemos determinar sua área fazendo uma regra de três, isto é, observando que

80 Portanto, a área lateral do cone é a área do setor circular conforme a figura. Com as dimensões do silo fornecidas pela fábrica, temos: r = 2,36 m e h = 2m, então pelo teorema de Pitágoras, resulta: g2 = h2 +r2 = 22 +(2,36)2 = 9,5696 ou g = 3,06 m Área lateral do cone com seus elementos.

81 Portanto, a área lateral do cone que compõe a parte de cima do silo é e a área lateral do silo é calculada somando-se a área lateral do cilindro com a área lateral do cone: Ou seja, necessitamos de aproximadamente 92,99 m2 de metal para construir o silo em questão.

82 Nessa questão vários alunos tiveram dificuldade em solucionar, somente foi possível resolvê-la com a intervenção da professora. Em seguida, a professora solicitou que cada grupo recortasse um retângulo de papel, de qualquer tamanho, unisse as bordas nos dois sentidos e perguntou aos alunos: - Em qualquer um dos sentidos que enrolarmos a folha (retângulo) de papel, que figura forma? Alunos: - Um cilindro. Professora: - Imaginemos que cada um desses cilindros formados pela união das bordas ilustre as laterais de um silo, qual dos cilindros tem maior volume, ou seja, em qual deles cabe mais arroz?

83 Os grupos calcularam o volume de cada cilindro que construíram. Primeiramente, mediram o retângulo que recortaram, e cada retângulo originou duas possibilidades de cilindros. Veja o cálculo realizado por três grupos: GRUPO AGRUPO BGRUPO C

84 Cada grupo calculou a razão entre os volumes e a razão entre as alturas e concluíram, nessa tarefa, que a razão entre os volumes é igual à razão inversa entre as alturas, ou seja, o cilindro (silo) de menor altura tem o maior volume, comportando, portanto, mais arroz que o silo de maior altura. A professora sugeriu aos alunos que comparassem as medidas da altura e do diâmetro da base dos cilindros que haviam construído. Após, a professora indagou aos alunos: - Qual dos cilindros tem maior volume? Depois de muita discussão e comparações, concluíram que o cilindro tem maior volume quando a altura é próxima do diâmetro da base. Essa conclusão foi feita após analisar vários cilindros, aumentando a base e diminuindo a altura. A professora indagou: - As dimensões do silo que visitamos têm essa relação?

85 Os alunos lembraram que o funcionário havia lhes informado que o raio da base do silo media 2,36 m, e a altura era 4,73 m. Logo, com essas dimensões, o volume do silo era máximo. Também se pôde concluir, por meio dessa atividade, que a forma ideal de um silo é estabelecida pela economia de material para a fabricação, capacidade de armazenamento e a durabilidade do grão. Teve-se aqui um momento precioso que possibilitou desenvolver no aluno a capacidade de observação e análise para a tomada de decisão sobre a questão levantada.

86 A situação-problema seguinte foi proposta pelos alunos e também surgiu a partir da visita à fábrica de máquinas agrícolas. Nessa visita, o funcionário mostrou aos alunos como funcionava uma semeadura. Semeadeira.

87 SITUAÇÃO- PROBLEMA 11 : Observando a semeadeira, um aluno indagou: - Qual é a quantidade de material (chapa de ferro) necessária para construir esta semeadeira? O funcionário respondeu que a capacidade da semeadeira era de kg, mas, para saber a quantidade de material, precisava fazer as contas. Em sala de aula, a professora perguntou: - O que precisamos calcular para saber quanto de material é necessário para construir uma semeadeira? Um aluno respondeu: - A área da semeadeira, ou seja, a área lateral do cone. Como a capacidade da semeadeira é de kg, primeiramente os alunos passaram para metros cúbicos, através da regra de três, utilizando novamente a relação:

88 Para determinar o volume do cone, a professora utilizou a mesma estratégia para determinar o volume da pirâmide. Foram comparados um cilindro e um cone de mesma base e mesma altura. Os alunos colocaram água no cone e depois transferiram para o cilindro. Desse modo, concluíram que, no cilindro, cabia três vezes mais água. A professora fez uma síntese do resultado da experiência. Se o volume do cilindro de raio r e altura h é

89 Desenho representativo de uma semeadeira. Conhecendo o raio da base do cone, foi possível calcular a superfície lateral

90 Como os alunos já haviam trabalhado com um problema semelhante a professora recordou que a superfície lateral de um cone circular reto com raio da base medindo r e geratriz g é equivalente a um setor circular de raio g, cujo arco mede 2 л r. Portanto, A lateral cone = л.r. g Para visualizar essa equivalência, cortamos sua superfície lateral sobre uma geratriz e, por fim, planificamos a região obtida. Desenho da superfície lateral da semeadeira.

91 A professora desenhou no quadro um cone, representando a semeadeira. O raio da base da semeadeira foi calculado, e sua medida é 1,26 m. Para determinar a geratriz, os alunos usaram o Teorema de Pitágoras. Triângulo retângulo. r

92 g = 1,5876 m ou aproximadamente 1,59 m. Tendo calculado a medida da geratriz, os alunos calcularam a área lateral do cone. A l =3,14.1,26.1,59 = 6,29 m 2 Então, para fabricar uma semeadeira com capacidade para kg, a fábrica precisará de aproximadamente 6,29 m 2 de metal. Por meio dessas situações-problema foi possível realizar o estudo do prisma, cilindro, cone e pirâmide. Para a compreensão desse conteúdo, a Modelagem Matemática foi uma metodologia que se mostrou eficiente, além disso, o tema escolhido foi adequado para a turma em questão.

93 CONSTRUÇÃO DE MAQUETES PELOS ALUNOS Nessa atividade, a professora solicitou que cada grupo de alunos construísse uma maquete de um implemento agrícola utilizado na lavoura de arroz e utilizasse uma escala para fazer a equivalência das medidas, com escala horizontal e escala vertical. O objetivo de propor essa atividade aos alunos foi proporcionar o desenvolvimento da percepção tridimensional dos objetos construídos, oferecendo aos estudantes um recurso didático poderoso e relativamente simples de se construir.

94 Outro objetivo foi utilizar o material concreto como forma de auxiliar no processo de ensino e aprendizagem, mostrando que a Geometria pode ser trabalhada de maneira construtiva, atrativa e motivadora. Todos os grupos entregaram, além da maquete, um trabalho por escrito, orientado pela professora, que deveria conter: capa, introdução, desenvolvimento e conclusão. No desenvolvimento, os alunos teriam que elaborar pelo menos uma situação-problema referente ao implemento escolhido para a confecção da maquete.

95 Maquete uma semeadeira É um equipamento utilizado para semear o arroz. a semeadeira utilizada como modelo real nesse trabalho possui a forma de um tronco de cone e é feita de metal.A maquete também foi construída em metal, na escala 1: 8 cm Maquete do grupo 5: semeadeira.

96 Maquete do silo A maquete do silo foi muito bem construída pelo grupo, muito criativa, foi quase toda feita em metal. Além de fazer a maquete do silo, eles fizeram a maquete de toda a estrutura que compõe o silo, como o elevador e os condutores, conforme é mostrado na figura. Segundo o relato dos próprios alunos, foi muito difícil fazer a cobertura do silo, pois é um cone, e a planificação do cone dá um setor circular. Eles tiveram que fazer o molde planificado do cone em papel, mas, segundo eles,não dava certo e foi difícil de encaixar a base do cone na base cilindro. Depois de fazer o molde em papel, eles recortaram o molde em uma chapa metálica e soldaram. Maquete do grupo 4: silo metálico.

97 Após serem concluídos os trabalhos com os alunos, utilizando-se a Modelagem Matemática, pôde-se constatar que a construção do conhecimento ocorreu de forma efetiva. Isso se evidenciou no momento em que os alunos utilizaram as informações que recolheram na exploração do tema e nas visitas a campo e as transformaram em conhecimento para a resolução das situações-problema. Percebe-se que esses alunos conseguiram vincular o conhecimento adquirido no dia-a-dia com a Matemática estudada em sala de aula. Um dos indícios foi o comentário de um dos alunos: - Este trabalho possibilitou uma aproximação entre a matemática teórica e a prática, mostrando que ela está mais presente no nosso dia-a-dia do que podemos imaginar. CONSIDERAÇÕES FINAIS

98 Algumas contribuições foram observadas com o uso da Modelagem Matemática em relação às aulas tradicionais, no que diz respeito ao entendimento dos conceitos de Geometria Espacial, tais como: Proporcionou ao aluno o contato com a representação dos sólidos geométricos manipuláveis que se encontram no meio em que eles vivem. Facilitou a visualização da utilidade dos conteúdos estudados em sala de aula, possibilitando aos alunos fazer a conexão da Matemática com a realidade vivida por eles no seu dia-a-dia. Propiciou aos alunos a compreensão e resolução de situações- problema reais, de seu interesse. Facilitou a troca de informações entre os alunos, que se ajudaram mutuamente, com a intervenção da professora, quando necessário, proporcionando um trabalho pedagógico cooperativo.

99 O professor deixou de ser o detentor do conhecimento e passou a ser o orientador, motivador do melhor caminho a seguir para a construção do conhecimento pelos próprios alunos, podendo, através dessa prática cooperativa, aprender junto com eles.

100 No século XVII o matemático Italiano Bonaventura Cavalieri estabelece um princípio básico para o cálculo de volumes, que diz que dois sólidos que tiverem a área da base igual e, sempre que seccionados por um mesmo plano vão gerar áreas iguais, terão o mesmo volume. Princípio de Cavalieri

101 4 cm 8 cm A = 32 cm 2 Desenhos da atividade realizada por um grupo de alunos.

102 A = 24 cm 2 4 cm 6 cm Desenhos da atividade realizada por um grupo de alunos.

103 A = 6000 cm 2 20 cm 30 cm Desenhos da atividade realizada por um grupo de alunos


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