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Fundamentos de Mecânica Ondulatória Ondas propagantes.

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Apresentação em tema: "Fundamentos de Mecânica Ondulatória Ondas propagantes."— Transcrição da apresentação:

1 Fundamentos de Mecânica Ondulatória Ondas propagantes

2 Ondas Ondas mecânicas –precisam de um meio de propagação Ondas Eletromagnéticas –não precisam de um meio de propagação (podem se propagar no vácuo). Ondas uni-dimensionais Ondas bi-dimensionais Ondas tri-dimensionais Ondas Transversais Ondas Longitudinais Ondas progressivas Ondas estacionárias

3 Ondas transversais e longitudinais Direção do movimento

4 Ondas transversais e longitudinais Timbre: composição harmônica e decaimento Forma da frente de onda: esférica (esq.) e plana (dir.)

5 Ondas Progressivas: transversais e longitudinais Propagação de uma onda transversal e uma onda longitudinal - applet Angel Garcia – applet ondas-armonicasondas-armonicas Propagação de um pulso transversal e um pulso longitudinal - applet Angel Garcia – applet ondas-descripcionondas-descripcion Geração de uma onda transversal e sua relação com o movimento circular: Norimari – applet ewave1applet ewave1 Ondas Progressivas e MCU

6 Ondas Progressivas transversais e longitudinais Qualquer ponto da corda oscila com MHS de amplitude y m ; Onda se desloca por distância igual ao comprimento de onda vT) durante um período T; Ou seja v = f T = Os pontos que diferem por x = n oscilam em fase.

7 Ondas Transversais: Função de Onda y(x,t)=f(x,t) Sendo x=x – vt para pulso da esquerda p/ direita y(x,t)=y(x,t)=f(x) y(x,t)=f(x-vt) Se x-vt=cte v fase =dx/dt

8 Representação de uma onda transversal Amplitude x deslocamento e Amplitude x tempo Como y(x) = y(x+n t a função de onda senoidal fica: y(x,t) = y m sen [(2 (x -vt)] = y m sen [k(x –vt)] y(x,t) = y m sen (k x - t + ) onde v = f k

9 Velocidade em uma onda

10 Dada a função de onda y(x,t) = y m sen (k x - t + ) Concavidade Aceleraçao ²y = -k 2 y m sen(kx- t) ²y = - 2 y m sen(kx- t) x² t² Concavidade Positiva Aceleraçao Positiva Concavidade Nula Aceleraçao Nula Concavidade Negativa Aceleraçao Negativa Temos a Equação de Onda: ²y = v 2 ²y onde v = f k t² x² Equação de Onda

11 F 1 y /F = - (dy/dx) x F 2 y /F = (dy/dx) x+dx F y = F 1y + F 2y

12 Equação de Onda F y = F[( y/ x)] (x + x) – F[( y/ x)] (x) F y = F x[ y (x + x) – y (x ) ] 1 x x x F y = F x ²y x² Como F res = ma res Temos F y = F x ²y = x ²y x² t² ²y = F ²y t² x² ²y = ²y x² F t² ²y = v² ²y x² t² v² = F v = ( F/ ) 1/2 Ou seja, a velocidade depende das prop. do meio. Na mudança de meio f 1 = f 2 V 1 = V 2 1 2

13 Energia em uma onda transversal Para propagar energia é preciso esticar a corda!!! Ou seja, é preciso realizar trabalho sobre os elementos da corda!

14 Energia Potencial W = F. L onde L = [dl – dx] L = { [(dy) 2 + (dx) 2 ] 1/2 - dx } L = {dx[1 + (dy/dx) 2 ] 1/2 - dx} Em primeira aproximação (1+z) n = 1 + nz quando z << 1 L = { dx[1 + 1/2(dy/dx) 2 ] - dx } L = { dx + [1/2(dy/dx) 2 ]dx - dx } L = { [1/2(dy/dx) 2 ]dx } U = -F L = -F/2 ( y/ x) 2 dx

15 Energia Cinética e Potência K = ( y/ t) 2 dx P(x,t) = F y v y = - F ( y/ x) ( y/ t) P(x,t) = y 2 m v cos 2 [kx – t] Mostrando que a potência é um número positivo e portanto a energia está fluindo o tempo todo pela corda. Na média cos 2 [kx – t] = ½ tal que P med = (½) y 2 m v QUESTÃO: Quanto vale K e U para um elemento de corda que se encontra em y(x,t) = y m ?

16 Representação de uma Onda Longitudinal onda de deslocamento s = s m cos(kx - t) onda de variação de pressão Δp = Δp m sen(kx - t) onda de variação de densidade Δ = Δ m sen(kx - t) Propagação de uma onda transversal e uma onda longitudinal - applet Angel Garcia – applet ondas-armonicasondas-armonicas

17 Ondas longitudinais Lembrando que a densidade é: = m/V d m/V 2) dV d dV/V) d dV/V Sabendo que o módulo de compressibilidade volumétrica é: B = -V p/ V onde B expressa a variação relativa de volume de um elemento de fluido submetido à uma variação de pressão temos: p = -B dV/V) = B d

18 Ondas longitudinais Suponha um elemento de fluido de área A e espessura x. Seu volume é dado por: V = A x Quando uma onda de variação de pressão passa pelo elemento de fluido temos que a espessura varia de x para x = x(1+ds/dx) Tal que a densidade seja dada por: m/A x m/[A x(1+ds/dx)] m/A x) 1/[1+ds/dx] o 1/[1+ds/dx] Em 1 a. Aprox.: (1+z) -1 = 1 –z +… o (1-ds/dx) o ds/dx p = -B ds/dx x = [x + x + s(x+ x)] – (x+s(x,t)] x = x + s(x+ x) - s(x,t) x = x [ 1+ds/dx]

19 Onda longitudinal B = -V p/ V Logo a velocidade v = (B/ 0 ) 1/2 v = ( RT/M) 1/2 Var << Vsólido V T=0C < V T=20C


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