José Garcia Vivas Miranda

Apresentação em tema: "José Garcia Vivas Miranda"— Transcrição da apresentação:

1 José Garcia Vivas Miranda
Multifractais    José Garcia Vivas Miranda

2 Que são multifractais;
Métodos de caracterização; autosimilaridade; autoafinidade. Transformada Wavelets Aplicações; Porosimetria; Catalizadores; T. Wavelets generalizada

3 Multifractais Conceitos Se pensava que os fractais dariam conta da heterogeneidade na natureza.

4 Os multifractais são fractais cujas partes são outros fractais.
Conceitos Os multifractais são fractais cujas partes são outros fractais. OU Os multifractais são fractais que exibem diferentes dimensões a diferentes escalas.

5 Como caracterizá-lo (Autosimilaridares) i = log[i()]/ log()
Multifractais Como caracterizá-lo (Autosimilaridares) Consideremos um conjunto de dados cuja a medida sobre eles englobe o intervalo de escalas J=[a,a+L]. Se divide o intervalo em sucessivos subintervalos de tamanho definido por: =1/2k, onde k=1,2,3,... (ex. =1/2,1/4,1/8...) 2) Para cada escala  teremos um conjunto de medidas i(), onde o índice i representa a i-ésima partição de tamnaho . 3) O número de partições de tamanho  será N()= 2k = -1. Ou seja, para uma escala =1/2 teremos 2 partições, para =1/4 teremos 4 e assim sucessivamente. 4) Se define o expoente de singularidade ou de Hölder para cada partição i como: i()= i i = log[i()]/ log()

6 Como caracterizá-lo (Autosimilaridares)
Multifractais Como caracterizá-lo (Autosimilaridares) 5) O expoente  representa a concentração da medida . Quanto maior  menor a concentração da medida. 6) No caso da medida  sobre o sistema apresentar heterogenidade, para cada partição i teremos um i diferente. 7) Se define o número de partições, para uma ecala , cujos respectivos i entejam em um intervalo entre  e +d como N(). 8) A medida  terá um comportamento multifractal se no limite de 0 o scaling seja do tipo: N()   -f(). onde f() representa a abumdância de partições com expoentes . Para um sistema monofractal teremos sempre o mesmo  para todas as partições, ou seja, N()= N()= -1, e assim f()=1.

7 Exemplos de espectros f()
Multifractais Exemplos de espectros f()

8 O método de Chhabra e Jensen (1989)
Multifractais O método de Chhabra e Jensen (1989) 9) Os valores de f() e  podem ser computados parametricamente atravéz do parâmetro q: (q)  [i=1N() i(q,) log(i())]/log() (1) f((q))  [i=1N() i(q,) log(i(q,))]/log() (2) onde i(q,) = i()q/i=1N i()q, representando a probabilidade de que determinada medida , em uma escala  e para um determinado q, ocorra no conjunto de N partições. O parâmetro q funciona como um filtro que selecionas regiões mais o menos "densas" de medida. Para valores de q >> 1 as medidas com maior magnitude serão ampliadas, e para q<<-1 serão ampliadas as grandezas menores. O algoritmo consiste em, para cada valor de q, ajustar gráficos (1) e (2) onde Assim temos para cada valor de q um  e um f(). Relacionando o f() e o  para um mesmo q, PARABIN PARABUM !!! temos o espectro de singularidade.

9 Dimensões generalizadas.
Multifractais Dimensões generalizadas. pi é a probabilidade de encontrar um ponto na i-ésima caixa. q=0  Dimensão de contagem de caixas q=1  Dimensão de informação q pode variar entre + e – infinito, continuamente. q=2  Dimensão de correlação

10 Como caracterizá-lo Multifractais
quando q +infinito, apenas o subconjunto de maior probabilidade é levado em conta quando q -infinito, o subconjunto de menor probabilidade.

11 Como caracterizá-lo (Multiafinidade)
Multifractais Como caracterizá-lo (Multiafinidade) A soma dos momentos M Sendo o sistema multifractal

12 Como caracterizá-lo (Multiafinidade)
Multifractais Como caracterizá-lo (Multiafinidade) Comparando com o obtido anteriormente. Nos leva a:

13 Transformada ondaletas (TO)
Multifractais Transformada ondaletas (TO) Primeira referência no apêndice da tese de A.Haar (1909) . Primeira aplicação a processamento de sinais Stephane Mallat (1985). Primeira aplicação a fractais A. Arneodo (1995).

14 Transformada ondaletas
Multifractais Transformada ondaletas O que é a TO?

15 Transformada ondaletas
Multifractais Transformada ondaletas ...sim mais... o que é a TO? Transformada ondaleta.

16 Transformada ondaletas
Multifractais Transformada ondaletas TO e Fractais o MMTO Módulo Máximo da Transformada de Ondaletas (MMTO) ln (T) x ln(a)   local

17 Transformada ondaletas
Multifractais Transformada ondaletas Relação entre a TO e as dimensões generalizadas.

18 Transformada ondaletas
Multifractais Transformada ondaletas Transformada ondaleta. WTMM

19 Multifractais TO Generalizadas

20 Multifractal conjunto (Joint Multifractal) (Charles et al, 1990, PRA)