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Multifractais José Garcia Vivas Miranda. Que são multifractais; Métodos de caracterização; autosimilaridade; autoafinidade. Transformada Wavelets Aplicações;

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1 Multifractais José Garcia Vivas Miranda

2 Que são multifractais; Métodos de caracterização; autosimilaridade; autoafinidade. Transformada Wavelets Aplicações; Porosimetria; Catalizadores; T. Wavelets generalizada

3 Multifractais Se pensava que os fractais dariam conta da heterogeneidade na natureza. Conceitos

4 Multifractais Conceitos Os multifractais são fractais cujas partes são outros fractais. Os multifractais são fractais que exibem diferentes dimensões a diferentes escalas. OU

5 Multifractais Como caracterizá-lo (Autosimilaridares) Consideremos um conjunto de dados cuja a medida sobre eles englobe o intervalo de escalas J=[a,a+L]. 1)Se divide o intervalo em sucessivos subintervalos de tamanho definido por: =1/2 k, onde k=1,2,3,... (ex. =1/2,1/4,1/8...) 2) Para cada escala teremos um conjunto de medidas i ( ), onde o índice i representa a i-ésima partição de tamnaho. 3) O número de partições de tamanho será N( )= 2 k = -1. Ou seja, para uma escala =1/2 teremos 2 partições, para =1/4 teremos 4 e assim sucessivamente. 4) Se define o expoente de singularidade ou de Hölder para cada partição i como: i ( )= i i = log[ i ( )]/ log( )

6 Multifractais Como caracterizá-lo (Autosimilaridares) 5) O expoente representa a concentração da medida. Quanto maior menor a concentração da medida. 6) No caso da medida sobre o sistema apresentar heterogenidade, para cada partição i teremos um i diferente. 7) Se define o número de partições, para uma ecala, cujos respectivos i entejam em um intervalo entre e +d como N ( ). 8) A medida terá um comportamento multifractal se no limite de 0 o scaling seja do tipo: N ( ) -f( ). onde f( ) representa a abumdância de partições com expoentes. Para um sistema monofractal teremos sempre o mesmo para todas as partições, ou seja, N ( )= N( )= -1, e assim f( )=1.

7 Multifractais Exemplos de espectros f( )

8 Multifractais O método de Chhabra e Jensen (1989) 9) Os valores de f( ) e podem ser computados parametricamente atravéz do parâmetro q: (q) [ i=1 N( ) i (q, ) log( i ( ))]/log( )(1) f( (q)) [ i=1 N( ) i (q, ) log( i (q, ))]/log( )(2) onde i (q, ) = i ( )q/ i=1 N i ( ) q, representando a probabilidade de que determinada medida, em uma escala e para um determinado q, ocorra no conjunto de N partições. O parâmetro q funciona como um filtro que selecionas regiões mais o menos "densas" de medida. Para valores de q >> 1 as medidas com maior magnitude serão ampliadas, e para q<<-1 serão ampliadas as grandezas menores. O algoritmo consiste em, para cada valor de q, ajustar gráficos (1) e (2) onde Assim temos para cada valor de q um e um f( ). Relacionando o f( ) e o para um mesmo q, PARABIN PARABUM !!! temos o espectro de singularidade.

9 Multifractais Dimensões generalizadas. p i é a probabilidade de encontrar um ponto na i-ésima caixa. q=0 Dimensão de contagem de caixas q=1 Dimensão de informação q=2 Dimensão de correlação q pode variar entre + e – infinito, continuamente.

10 Multifractais Como caracterizá-lo quando q +infinito, apenas o subconjunto de maior probabilidade é levado em conta quando q -infinito, o subconjunto de menor probabilidade.

11 Multifractais Como caracterizá-lo (Multiafinidade) A soma dos momentos M Sendo o sistema multifractal

12 Multifractais Como caracterizá-lo (Multiafinidade) Comparando com o obtido anteriormente. Nos leva a:

13 Multifractais Transformada ondaletas (TO) Primeira referência no apêndice da tese de A.Haar (1909). Primeira aplicação a processamento de sinais Stephane Mallat (1985). Primeira aplicação a fractais A. Arneodo (1995).

14 Multifractais Transformada ondaletas O que é a TO?

15 Multifractais Transformada ondaletas...sim mais... o que é a TO? Transformada ondaleta.

16 Multifractais Transformada ondaletas TO e Fractais o MMTO ln (T) x ln(a) local Módulo Máximo da Transformada de Ondaletas (MMTO)

17 Multifractais Transformada ondaletas Relação entre a TO e as dimensões generalizadas.

18 Transformada ondaleta. WTMM Multifractais Transformada ondaletas

19 Multifractais TO Generalizadas

20 Multifractal conjunto (Joint Multifractal) (Charles et al, 1990, PRA)


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