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O problema da divisão das apostas e outras histórias Carlos Tenreiro Departamento de Matemática Universidade de Coimbra Escola Superior de Tecnologia e.

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1 O problema da divisão das apostas e outras histórias Carlos Tenreiro Departamento de Matemática Universidade de Coimbra Escola Superior de Tecnologia e Gestão Guarda, 23 de Novembro de 2006

2 Plano da exposição 1. O problema da divisão das apostas 2. O conceito de probabilidade 3. O problema dos três dados 4. Soluções de Pascal e de Fermat para o problema da divisão das apostas 5. O erro de dAlembert

3 O problema da divisão das apostas Dois jogadores jogam uma série de partidas justas até que um deles obtenha 6 vitórias. Por motivos exteriores ao jogo, este é interrompido quando um dos jogadores somava 5 vitórias e o outro 3 vitórias.

4 O problema da divisão das apostas Jogador A Jogador B VVVVV VVV

5 O problema da divisão das apostas Como devemos dividir, de forma justa, o montante apostado por ambos os jogadores?

6 O problema da divisão das apostas Por volta de 1652, este problema é colocado a Pascal ( ) pelo Chevalier de Méré, um homem de letras e filósofo marcante na corte de Luís XIV. Blaise Pascal

7 O problema da divisão das apostas No verão de 1654, ele é o principal motivo duma troca de correspondência entre Pascal e Fermat ( ). Pierre de Fermat

8 O problema da divisão das apostas Esse conjunto de documentos é composto por 7 cartas: - 1ª carta, de Pascal para Fermat, que já não existe; - 2ª carta, de Fermat para Pascal, da qual se desconhece a data em que foi escrita; - 3ª carta, de Pascal para Fermat, escrita a 29 de Julho de 1654; - 4ª carta, de Pascal para Fermat, de 24 de Agosto de 1654; - 5ª carta, de Fermat para Pascal, de 29 de Agosto de 1654; - 6ª carta, de Fermat para Pascal, de 25 de Setembro de 1654; - 7ª carta, de Pascal para Fermat, de 27 de Outubro de 1654.

9 O problema da divisão das apostas O problema já tinha sido discutido por vários matemáticos: 1494 – Pacioli ( ) propõe: Luca Pacioli

10 O problema da divisão das apostas 1556 – Tartaglia ( ) diz: A solução de Pacioli não parece estar correcta, mas qual- quer que seja a forma de dividir o prémio haverá sem- pre lugar a litígio Nicolo Tartaglia

11 O problema da divisão das apostas 1564 – Cardano ( ) diz: Há um erro evidente na divisão do prémio proposta por Pacioli que até uma criança pode reconhecê-lo Girolamo Cardano

12 O problema da divisão das apostas Para os matemáticos anteriores o problema da divisão das apostas é um problema sobre proporções. Para Pascal e Fermat o problema reduz- se a um problema de probabilidades.

13 O problema da divisão das apostas Ninguém, antes de Pascal e Fermat, estabeleceu os princípios e os métodos que permitissem calcular as chances favoráveis e desfavoráveis aos jogadores, bem como resolver questões complicadas deste género. Laplace, P.-S., 1814, Essai Philosophique sur les Probabilités.

14 Probabilidade A probabilidade é um número entre 0 e 1 (ou entre 0% e 100%). A probabilidade quantifica a maior ou menor possibilidade que um acontecimento tem de ocorrer. Quanto maior for a probabilidade de determinado acontecimento, mais possibilidade tem ele de ocorrer.

15 Probabilidade Probabilidade = resultados favoráveis resultados possíveis Para resultados igualmente prováveis:

16 Probabilidade A definição anterior de probabilidade é conhecida como Definição Clássica sendo atribuída a Laplace ( ) Pierre-Simon Laplace

17

18 Probabilidade No entanto, a definição clássica de probabilidade foi usada por outros matemáticos anteriores a Laplace!!!! A definição clássica de probabilidade está relacionada com outro conceito de probabilidade a que por vezes se dá o nome de Definição Frequencista. simul1dado.xls

19 Probabilidade Probabilidade ~ Repetindo muitas vezes a experiência: proporção de resultados favoráveis

20 Probabilidade A igualdade anterior é conhecida como Lei dos grandes números e é devida a Jacques Bernoulli ( ). Jacques Bernoulli

21 O problema dos 3 dados Jogando com três dados, 9 e 10 pontos podem ser obtidos de seis maneiras diferentes: 9 pontos pontos

22 O problema dos 3 dados Porque não está este facto de acordo com a experiência que revela que a soma 10 ocorre mais vezes que a soma 9? simul3dadosA.xls

23 O problema dos 3 dados Cardano ( ) Livro sobre jogos de azar (escrito em 1526, publicado em 1663) Este problema foi estudado por gente famosa: Girolamo Cardano

24 O problema dos 3 dados Galileu Galilei ( ) Considerações sobre o jogo dos dados (escrito entre 1613 e 1623) Galileu Galilei

25 O problema dos 3 dados Ambos concluem que as combinações anteriores não são igualmente prováveis. A definição clássica de probabilidade não pode ser usada a partir da contagens de tais combinações.

26 O problema dos 3 dados Resultado º dado2º dado3º dado

27 O problema dos 3 dados Resultado º dado2º dado3º dado Resultado º dado2º dado3º dado 3 33

28 O problema dos 3 dados 9 pontosPossibili- dades

29 O problema dos 3 dados 9 pontosPossibili- dades

30 O problema dos 3 dados 9 pontosPossibili- dades

31 O problema dos 3 dados 9 pontosPossibili- dades

32 O problema dos 3 dados 9 pontosPossibili- dades

33 O problema dos 3 dados 9 pontosPossibili- dades

34 O problema dos 3 dados 9 pontosPossibili- dades

35 O problema dos 3 dados 9 pontosPossibili- dades total25

36 O problema dos 3 dados 9 pontosPossibili- dades total25 10 pontosPossibili- dades

37 O problema dos 3 dados 9 pontosPossibili- dades total25 10 pontosPossibili- dades

38 O problema dos 3 dados 9 pontosPossibili- dades total25 10 pontosPossibili- dades

39 O problema dos 3 dados 9 pontosPossibili- dades total25 10 pontosPossibili- dades

40 O problema dos 3 dados 9 pontosPossibili- dades total25 10 pontosPossibili- dades

41 O problema dos 3 dados 9 pontosPossibili- dades total25 10 pontosPossibili- dades

42 O problema dos 3 dados 9 pontosPossibili- dades total25 10 pontosPossibili- dades

43 O problema dos 3 dados 9 pontosPossibili- dades total25 10 pontosPossibili- dades total27

44 O problema dos 3 dados Há 27 maneiras igualmente prováveis de obter 10 pontos. Há apenas 25 maneiras igualmente prováveis de obter 9 pontos. simul3dadosB.xls

45 O problema da divisão das apostas Dois jogadores jogam uma série de partidas justas até que um deles obtenha 6 vitórias. Por motivos exteriores ao jogo, este é interrompido quando um dos jogadores somava 5 vitórias e o outro 3 vitórias.

46 O problema da divisão das apostas Jogador A Jogador B VVVVV VVV

47 O problema da divisão das apostas Como devemos dividir, de forma justa, o montante apostado por ambos os jogadores?

48 O problema da divisão das apostas A primeira publicação de uma solução para o problema é feita por Christians Huygens ( ) em Christiaan Huygens

49 Primeira página da versão latina do livro de Huygens De Ratiociniis de Ludo Aleæ (Sobre o raciocínio nos jogos de azar) 1657

50 O problema da divisão das apostas Se p é a probabilidade de um dos jogadores ganhar, ele deverá arrecadar p x Prémio Divisão justa: p x Prémio (1-p) x Prémio

51 O problema da divisão das apostas O problema reduz-se ao cálculo da probabilidade de um jogador ganhar As soluções apresentadas por Pascal e por Fermat são diferentes mas chegam ao mesmo resultado.

52 O problema da divisão das apostas O seu método é muito bom e foi o primeiro que me ocorreu durante estas pesquisas. Mas, devido ao facto de as combinações serem excessivas, eu encontrei um atalho e, na realidade, outro método mais curto e claro, o qual lhe passo a descrever em poucas palavras; pelo que gostaria de lhe abrir o meu coração daqui para a frente, se tal me é permitido, visto ter sido enorme o prazer que tive com o nosso acordo. Claramente vejo que a VERDADE é a mesma em Toulouse e em Paris. Carta de Pascal a Fermat de 29 de Julho 1654

53 O problema da divisão das apostas Jogador A Jogador B VVVVV VVV V VV Solução de Pascal

54 O problema da divisão das apostas 1ª partida2ª partida3ª partidavencedor A B A B A B A B A B ABABABAB A A A A A A A B Solução de Fermat

55 O problema da divisão das apostas Divisão justa: Jogador A recebe Jogador B recebe simuldivisao.xls

56 O erro de DAlembert Esta questão tem origem num artigo publicado por DAlembert ( ) na Enciclopédia Francesa de Jean Le Round DAlembert

57 O erro de DAlembert

58 Qual é a probabilidade de obter pelo menos uma cara em dois lançamentos duma moeda? Resposta de DAlembert: = 0.666…

59 O erro de DAlembert cara sim coroa coroa não 1º lançamento2º lançamento1 ou 2 caras

60 O erro de DAlembert Qual é a probabilidade de obter pelo menos uma cara em três lançamentos duma moeda? Resposta de DAlembert: = 0.75

61 O erro de DAlembert 1º lançamento 2º lançamento 3º lançamento 1,2 ou 3 caras cara coroa cara coroa cara coroa sim não

62 O erro de DAlembert Cardano ( ) Galileu ( ) Fermat ( ) Pascal ( ) Huygens ( ) Bernoulli ( ) Montmort ( ) De Moivre (1667 – 1754) Laplace ( ) DAlembert ( )

63 O erro de DAlembert

64 E DAlembert termina: Isto parece-me digno de merecer a atenção dos calculadores que irão reformular as regras por todos aceites sobre os jogos de azar Estarão as respostas de DAlembert correctas? simul2erroA.xls simul3erroA.xls

65 O erro de DAlembert As respostas de DAlembert não estão correctas. As combinações por ele descritas não são igualmente prováveis. DAlembert devia ter usado o método que Fermat utilizou 100 anos antes.

66 O erro de DAlembert cara sim cara coroa sim cara sim coroa coroa não 1º lançamento2º lançamento1 ou 2 caras simul2erroB.xls

67 O erro de DAlembert 1º lançamento 2º lançamento 3º lançamento 1,2 ou 3 caras cara coroa cara coroa cara coroa cara coroa cara coroa cara coroa cara coroa sim não simul3erroB.xls

68 Bibliografia Deheuvels, Paul (1990) La Probabilité, le Hasard et la Certitude, PUF. Hald, Anders (1990) A history of probability and statistics and their applications before 1750, Wiley. Laplace, Pierre-Simon (1812) Essai Philosophique sur les probabilités. Székely, Gábor J. (1986) Paradoxes in probability theory and mathematical statistics, Reidel.

69 O paradoxo seguinte é essencial para conclusão da exposição. Podiamos também tentar simular para analisar a velocidade de convergência.

70 Paradoxo Opinião contrária à opinião comum ou ao sentir comum; Contradição ou contra-senso, pelo menos aparente; Coisa que não liga bem com outra; Coisa incrível; Discordância, discrepância, desarmonia.

71 Paradoxo do dia de aniversário Se não mais que 365 pessoas estiverem reunidas, é possível que todas tenham um dia de aniversário diferente. Com 366 pessoas é certo que pelo menos duas delas têm o mesmo dia de aniversário.

72 Paradoxo do dia de aniversário Se 57 pessoas estiverem reunidas, qual é a probabilidade de pelo menos duas terem o mesmo dia de aniversário? Com certeza deve ser pequena...

73 Paradoxo do dia de aniversário Probabilidade = resultados favoráveis resultados possíveis Para resultados igualmente prováveis:

74 Paradoxo do dia de aniversário 2 pessoas … 365 1,2,3,…,365 … 1,2,3,…, x 365 resultados possíveis resultados possíveis

75 Paradoxo do dia de aniversário 2 pessoas … resultados favoráveis … 365 resultados favoráveis

76 Paradoxo do dia de aniversário Para 2 pessoas a probabilidade pedida é igual a = Em 0.27% das reuniões com 2 pessoas, essas duas pessoas têm o mesmo dia de aniversário

77 Paradoxo do dia de aniversário Probabilidade = 1 - resultados desfavoráveis resultados possíveis Para resultados igualmente prováveis:

78 Paradoxo do dia de aniversário 2 pessoas … 365 2,3,…,365 1,3,…,365 1,2,…,365 … 1,2,…, x 364 resultados desfavoráveis resultados desfavoráveis

79 Paradoxo do dia de aniversário Para 2 pessoas a probabilidade pedida é igual a =

80 Paradoxo do dia de aniversário 3 pessoas 365 x 365 x 365 resultados possíveis 365 resultados possíveis

81 Paradoxo do dia de aniversário 3 pessoas 365 x 364 x 363 resultados desfavoráveis resultados desfavoráveis

82 Paradoxo do dia de aniversário Para 3 pessoas a probabilidade pedida é igual a = Em 0.82% das reuniões com 3 pessoas, há pelo menos duas que têm o mesmo dia de aniversário

83 Paradoxo do dia de aniversário Fórmula de cálculo para 2 pessoas Fórmula de cálculo para 3 pessoas

84 Paradoxo do dia de aniversário Fórmula de cálculo para 57 pessoas = !!!

85 Paradoxo do dia de aniversário Em 99.01% das reuniões com 57 pessoas, há pelo menos duas que têm o mesmo dia de aniversário

86 Paradoxo do dia de aniversário nºP P P 20.27% % % % % % % % %

87 Paradoxo do dia de aniversário Não devemos confundir o problema anterior com o seguinte: Qual é a probabilidade de alguém nesta sala ter o mesmo dia de aniversário que eu?

88 Paradoxo do dia de aniversário 3 pessoas além de mim 364 x 364 x resultados desfavoráveisresultados possíveis eu x 365 x

89 Paradoxo do dia de aniversário nºP P P % % % % % % % % %

90 O paradoxo das coincidências Numa festa de natal os alunos de uma escola decidem dar presente uns aos outros. Cada um traz um presente que é misturado com os outros presentes. Os presentes são distribuídos ao acaso pelos alunos.

91 O paradoxo das coincidências Este procedimento é usado acreditando-se que, se o número de alunos for grande, a probabilidade de alguém receber o seu próprio presente deve ser muito pequena... Será isto verdade?

92 O paradoxo das coincidências Este problema é referido por Pierre Rémond de Montmort ( ) em 1708.

93 O paradoxo das coincidências Este problema é referido por Pierre Rémond de Montmort ( ) em Uma tal probabilidade é dada por:

94 O paradoxo das coincidências nºP P P

95 O paradoxo das coincidências nºP P P 1100%

96 O paradoxo das coincidências nºP P P 1100%47 250%58 369

97 O paradoxo das coincidências nºP P P 1100%47 250% %69

98 O paradoxo das coincidências nºP P P 1100%462.5%7 250% %69

99 O paradoxo das coincidências nºP P P 1100%462.5%7 250%563.33% %69

100 O paradoxo das coincidências nºP P P 1100%462.5%7 250%563.33% %663.19%9

101 O paradoxo das coincidências nºP P P 1100%462.5%763.21% 250%563.33% %663.19%9

102 O paradoxo das coincidências nºP P P 1100%462.5%763.21% 250%563.33%863.21% %663.19%9

103 O paradoxo das coincidências nºP P P 1100%462.5%763.21% 250%563.33%863.21% %663.19%963.21%

104 O paradoxo das coincidências

105 Bibliografia Deheuvels, Paul (1990) La Probabilité, le Hasard et la Certitude, PUF. Hald, Anders (1990) A history of probability and statistics and their applications before 1750, Wiley. Laplace, Pierre-Simon (1812) Essai Philosophique sur les probabilités. Székely, Gábor J. (1986) Paradoxes in probability theory and mathematical statistics, Reidel.


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