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23 mar 2009. 11:22 Cálculo Numérico / Métodos Numéricos Solução de sistemas não lineares Método Iterativo Linear.

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1 23 mar :22 Cálculo Numérico / Métodos Numéricos Solução de sistemas não lineares Método Iterativo Linear

2 23 mar :26 Várias equações Nos tópicos de solução de equações, aprendemos métodos numéricos para resolver a equação: f(x) = 0 Em diversas situações, precisamos resolver problemas onde mais de uma variável e mais de uma equação estão interligadas: f 1 (x 1, x 2,..., x m ) = 0 f 2 (x 1, x 2,..., x m ) = 0... f m (x 1, x 2,..., x m ) = 0

3 23 mar :26 2x2 Consideremos o caso de duas variáveis e duas incógnitas: f 1 (x 1, x 2,..., x m ) = 0 f 2 (x 1, x 2,..., x m ) = 0... f m (x 1, x 2,..., x m ) = 0 m = 2 f(x,y) = 0 g(x,y) = 0

4 23 mar :26 Método Iterativo Linear (Analogia com caso de uma variável) Para o caso de uma variável queríamos: f(x) = 0 Reescrevíamos na forma: x = (x) E obtínhamos o seguinte processo iterativo: x k+1 = (x k )

5 23 mar :26 Método Iterativo Linear (Analogia com caso de uma variável) Para o caso de duas variáveis queremos: Reescrevemos na forma: f(x,y) = 0 g(x,y) = 0 x= F(x,y) y= G(x,y) Analogamente x k+1 = F(x k,y k ) y k+1 = G(x k,y k ) Método Iterativo Linear para sistemas não lineares

6 23 mar :26 MIL para sistemas não lineares (Exemplo) Exemplo: Podemos reescrever este sistema na forma: f(x,y) = 0.2x xy - x = 0 g(x,y) = 0.4x + 0.1xy 2 -y = 0 x = F(x,y) = 0.2x xy y = G(x,y) = 0.4x + 0.1xy

7 23 mar :26 Exemplo MIL para sistemas não lineares Convergindo para (1,1) - que é raiz do sistema.

8 23 mar :26 MIL para sistemas não lineares (convergência) Condições suficientes (mas não necessárias) para convergência: a) F,G e suas derivadas parciais de primeira ordem são contínuas numa vizinhança V da raiz (x,y) b) As seguintes desigualdades são satisfeitas: |F x | + |F y | · k 1 < 1 |G x | + |G y | · k 2 < 1 para todo ponto (x,y) pertencente à vizinhança V. c) (x 0,y 0 ) pertence a V.

9 23 mar :26 MIL para sistemas não lineares x = F(x,y) = 0.2x xy y = G(x,y) = 0.4x + 0.1xy F e G satisfazem as condições de convergência ? Tomemos por exemplo o ponto (x 0,y 0 ) = (0.9,1.1) F x = 0.4x + 0.2y F y = 0.2x G x = y 2 G y = 0.2xy Em (0.9,1.1): |Fx| + |F y | = 0.76 < 1 |Gx| + |G y | = < 1 Se (x 0, y 0 ) está na vizinhança de uma raiz, a condição c) está garan- tida


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