Prof. Wellington D. Previero

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1 Prof. Wellington D. Previero
Cálculo Numérico Prof. Wellington D. Previero Método do Ponto Fixo Aula de Cálculo Numérico de Wellington D. Previero foi licenciado com uma Licença Creative Commons - Atribuição - NãoComercial - CompartilhaIgual 3.0 Não Adaptada.

2 Método do Ponto Fixo Seja f(x) uma função contínua em [a,b], intevalo que contém uma raiz da equação f(x) = 0. O Método do Ponto Fixo consiste em escrever f(x) = 0 em uma equação equivalente a x = g(x) e a partir de uma aproximação inicial xo gerar a sequência {xk} de aproximações para a raiz  através da relação xk+1=g(xk).

3 Método do Ponto Fixo Um função g(x) que satisfaz a condição f(x)=0 ↔ x=g(x) é chamada de função iteração. Observe que se f()=0, então  = g().

4 Método do Ponto Fixo Exercício 1: Determine algumas funções de iteração para a equação x2+x-6=0.

5 Método do Ponto Fixo Suponha que g(x) é uma função iteração da equação f(x) = 0. Então a raíz da equação f(x) = 0 equivale a abcissa do ponto de intersecção da reta y = x com a curva y = g(x). f(x)=x2+x-6 y=x g(x)=6-x2

6 Método do Ponto Fixo Aproximações: Dado uma aproximação inicial x0, as aproximações da raiz  são geradas pela relação xn+1=g(xn). Interpretação Geométrica das Aproximações: Dada a função iteração e a aproximação inicial x0, vamos verificar como são geradas as aproximações da raiz .

7 Método do Ponto Fixo x0 y=g(x) y=x 

8 Método do Ponto Fixo x0 y=g(x) y=x 

9 Método do Ponto Fixo Exercício 2: Considere as funções iterativas obtidas no exercício 1. Verifique geometricamente a convergência (ou não) das aproximações da raiz de f(x)=x2+x-6 através da relação xn+1=g(xn) e x0=1. a) g(x)=6/(x+1)

10 Método do Ponto Fixo b)

11 Método do Ponto Fixo c) g(x)=6-x2 considere x0=1,5

12 Método do Ponto Fixo Exercício 3: Através das funções iterações obtidas no exercício 2, obtenha numericamente a aproximação da raiz de f(x)=x2+x-6 através da relação xn+1=g(xn) e x0=1. Faça 5 iterações.

13 Método do Ponto Fixo Teorema: Sejam  uma raiz da equação f(x)=0 isolada num intervalo I e g(x) uma função iteração. Se a) g(x) e g’(x) são contínuas em I; b) | g’(x) | ≤ M < 1, para todo x em I e c) x0  I então a sequência {xn} gerada pelo processo iterativo xn+1=g(xn) converge para .

14 Método do Ponto Fixo Observações: Convergência rápida.
Necessidade de que a função de iteração satisfaça a condição de convergência.