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Método do Ponto Fixo Cálculo Numérico Prof. Wellington D. Previero Aula de Cálculo Numérico de.

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1 Método do Ponto Fixo Cálculo Numérico Prof. Wellington D. Previero Aula de Cálculo Numérico de Wellington D. Previero foi licenciado com uma Licença Creative Commons - Atribuição - NãoComercial - CompartilhaIgual 3.0 Não Adaptada.Creative Commons - Atribuição - NãoComercial - CompartilhaIgual 3.0 Não Adaptada

2 Método do Ponto Fixo Seja f(x) uma função contínua em [a,b], intevalo que contém uma raiz da equação f(x) = 0. O Método do Ponto Fixo consiste em escrever f(x) = 0 em uma equação equivalente a x = g(x) e a partir de uma aproximação inicial x o gerar a sequência {x k } de aproximações para a raiz através da relação x k+1 =g(x k ). 2

3 Método do Ponto Fixo Um função g(x) que satisfaz a condição f(x)=0 x=g(x) é chamada de função iteração. Observe que se f( )=0, então = g( ). 3

4 Método do Ponto Fixo Exercício 1: Determine algumas funções de iteração para a equação x 2 +x-6=0. 4

5 Método do Ponto Fixo Suponha que g(x) é uma função iteração da equação f(x) = 0. Então a raíz da equação f(x) = 0 equivale a abcissa do ponto de intersecção da reta y = x com a curva y = g(x). 5 f(x)=x 2 +x-6 y=x g(x)=6-x 2

6 Método do Ponto Fixo Aproximações: Dado uma aproximação inicial x 0, as aproximações da raiz são geradas pela relação x n+1 =g(x n ). Interpretação Geométrica das Aproximações: Dada a função iteração e a aproximação inicial x 0, vamos verificar como são geradas as aproximações da raiz. 6

7 Método do Ponto Fixo 7 x0x0 y=g(x) y=x

8 Método do Ponto Fixo 8 x0x0 y=g(x) y=x

9 Método do Ponto Fixo Exercício 2: Considere as funções iterativas obtidas no exercício 1. Verifique geometricamente a convergência (ou não) das aproximações da raiz de f(x)=x 2 +x-6 através da relação x n+1 =g(x n ) e x 0 =1. a) g(x)=6/(x+1) 9

10 Método do Ponto Fixo b) 10

11 Método do Ponto Fixo c) g(x)=6-x 2 considere x 0 =1,5 11

12 Método do Ponto Fixo Exercício 3: Através das funções iterações obtidas no exercício 2, obtenha numericamente a aproximação da raiz de f(x)=x 2 +x-6 através da relação x n+1 =g(x n ) e x 0 =1. Faça 5 iterações. 12

13 Método do Ponto Fixo Teorema: Sejam uma raiz da equação f(x)=0 isolada num intervalo I e g(x) uma função iteração. Se a) g(x) e g(x) são contínuas em I; b) | g(x) | M < 1, para todo x em I e c) x 0 I então a sequência {x n } gerada pelo processo iterativo x n+1 =g(x n ) converge para. 13

14 Método do Ponto Fixo Observações: a) Convergência rápida. b) Necessidade de que a função de iteração satisfaça a condição de convergência. 14


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