Aula 27 Funções Vetoriais e curvas Espaciais, Continuidade, Derivada e Integral.

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1 Aula 27 Funções Vetoriais e curvas Espaciais, Continuidade, Derivada e Integral

2 Função Vetorial Uma função vetorial, ou função de valor vetorial, é uma função cujo domínio é um conjunto de números reais e cuja imagem é um conjunto de vetores.

3 Funções Componentes Se são os componentes do vetor , então são funções de valor real chamadas funções componentes de e escrevemos

4 Exemplo 1 Se então as funções coordenadas são

5 Exemplo 1 Se então as funções coordenadas são

6 Limite O limite de uma função vetorial é definido tomando-se os limites de suas funções: desde que os limites das funções componentes existam.

7 Exemplo 2 Determine onde Resp.

8 Continuidade Uma função é contínua em se ou seja, é contínua em se e somente se suas funções componentes são contínuas em .

9 Curvas Suponha que f , g , e h sejam funções reais contínuas em um intervalo I. Então o conjunto C de todos os pontos (x,y,z) no espaço para os quais x = f(t) y = g(t) z = h(t) e t varia no intervalo I é chamado curva espacial. Equações Paramétricas Parâmetro

10 Traço de uma curva

11 Exemplo 3 Descreva a curva definida pela função vetorial

12 Solução

13 Exemplo 4 Esboce a curva cuja função vetorial é dada por

14 Usando Computador

15 Usando Computador

16 Derivadas A derivada de uma função é definida do mesmo modo como feito para as funções reais: se o limite existir.

17 Interpretação Geométrica

18 Reta tangente

19 Exemplo 1 Determine a derivada de Encontre o versor tangente no ponto
Encontre a equação da reta tangente no ponto

20 Solução

21 Exemplo 2 Determine as equações paramétricas da reta tangente à hélice de equação

22 Solução

23 Derivada segunda A derivada segunda de uma função é definida do mesmo modo como feito para as funções reais:

24 Curva lisa Uma curva dada por uma função vetorial em um intervalo é denominada lisa se for contínua e (exceto possivelmente nos extremos de ).

25 Exemplo 3 Determine se a parábola semicúbica é lisa.

26 Regras de derivação Suponha e funções vetoriais diferenciáveis , um escalar e uma função real. Então

27 Regras de derivação Suponha e funções vetoriais diferenciáveis , um escalar e uma função real. Então

28 Exemplo 4 Mostre que, se (uma constante), então é ortogonal a para todo .

29 Integrais A integral definida de uma função contínua pode ser estabelecida da mesma forma que para a função real, exceto que a integral resulta em um vetor.

30 Integrais A integral definida de uma função contínua pode ser estabelecida da mesma forma que para a função real, exceto que a integral resulta em um vetor.

31 Exemplo 5 Calcule , onde

32 Solução

33 Obrigado !