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NÚMEROS COMPLEXOS ORIGEM E EVOLUÇÃO Por: Rosa Canelas.

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1 NÚMEROS COMPLEXOS ORIGEM E EVOLUÇÃO Por: Rosa Canelas

2 NAS EQUAÇÕES DO 2º GRAU Os Babilónios em 1700 AC já conheciam regras para resolver equações do 2º grau. Os gregos demonstraram essas regras e conseguiram, por processos geométricos, obter raízes irracionais. Na Itália do século XV (1494) Luca Pacioli ensinou em verso a regra para resolver equações do 2º grau e afirma que não há regras para resolver as do 3º grau.

3 Cronologia I Nos séculos XVI e XVII ainda não eram considerados números os negativos e os irracionais. Menos ainda os números complexos.

4 NAS EQUAÇÕES DO 3º GRAU Scipione Ferro (cerca de 1515) descobriu uma regra para resolver as equações do 3º grau. Mas não publicou, embora tenha confiado a sua descoberta aos seus colegas Annibale Della Nave (mais tarde seu genro e sucessor na cadeira de Matemática em Bolonha) e a António Maria Fiore. A este último apenas forneceu a fórmula mas não a demonstração.

5 NAS EQUAÇÕES DO 3º GRAU Nicolo Fontana (Tartaglia(Tartamudo)) Fiore desafia Tartaglia para uma disputa matemática onde inclui 30 problemas do 3º grau. Tartaglia descobre uma fórmula e vence Fiore.

6 FÓRMULA DE CARDANO Cardano atrai Tartaglia a Milão e aí, mediante promessa de guardar segredo, Tartaglia, em verso, dá-lhe a fórmula mas não a demonstração. Em 1542, Cardano e Ferrari visitaram Bolonha e obtiveram de Della Nave permissão de examinar os manuscritos deixados por Ferro.

7 COMO SURGEM OS NÚMEROS COMPLEXOS? Os algebristas antigos (gregos, hindus e árabes) já tinham percebido o caso embaraçoso de b 2 -4ac ser negativo, mas sempre que isso acontecia os problemas não tinham solução. Mas é ao usarem a fórmula para resolver as equações do 3º grau que surgem, em passos intermédios raízes de números negativos em problemas com solução.

8 UM EXEMPLO Seja v o volume dum cubo de aresta x e v´ o de um paralelepípedo rectângulo cuja área da base é 3 e cuja altura é igual à aresta do cubo; determine x de modo tal que v = v´ + 1. Como v = x 3 e v´= 3x, o problema leva à equação x 3 = 3x +1.

9 RESOLVENDO O EXEMPLO Pela fórmula de Cardano: x = 3 ½ + - ¾ + 3 ½ - - ¾ A resolução depende do cálculo de – ¾, que não existe, mas o problema não é impossível.

10 POR QUE RAZÃO NÃO É IMPOSSÍVEL? Quando x é pequeno v é menor que v´+1, mas à medida que x aumenta, v aproxima-se de v´+1 e ultrapassa-o, logo deve haver uma solução para a equação x 3 = 3x+1. Observe a tabela ao lado. xv = x 3 v´+1=3x

11 Cronologia II Gaspar Wessel em 1797 faz a representação geométrica dos números complexos Jean Robert Argand em 1806 apresentou a mesma ideia que Wessel e ficou com o seu nome ligado ao plano complexo.

12 Cronologia III Em 1629 Girard utiliza o símbolo Em 1794 Euler usa o símbolo i pela 1ª vez. Em 1637 Descartes usa os termos real e imaginário. Em 1832 Gauss introduz a designação número complexo.

13 Cronologia IV Ludovico Ferrari ( ) encontrou uma fórmula para as equações do 4º grau. Ruffini( ) fez uma demonstração incompleta de que não existia uma fórmula que permitisse resolver equações do 5º grau. Evariste Galois ( ) demonstrou que não pode ser encontrada uma fórmula que permita resolver equações de grau igual ou superior a 5.

14 Conjunto dos números complexos Número complexo: Conjunto dos números complexos:

15 Números complexos Representação algébrica de números complexos: z = a + bi, com a, b e i 2 =-1 z = a + bi lê-se parte real de z é a lê-se o coeficiente da parte imaginária de z é b Parte real Parte imaginária


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