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Gráficos e Equações Polinomiais Prof. Marquinhos.

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Apresentação em tema: "Gráficos e Equações Polinomiais Prof. Marquinhos."— Transcrição da apresentação:

1 Gráficos e Equações Polinomiais Prof. Marquinhos

2 UFRGS 2012 Raízes candidatas: 1, 2 e 4. Nem é preciso utilizar... Aplicar Briot-Ruffini DUAS VEZES! x 3 – 3x 2 – 3x + 2 = x 2 + x – 1 = 0 Resolvendo a equação quadrática, encontramos as raízes x 3 = – 1 e x 4 = ½, cuja soma é – ½ = – 0,5. SOMA –b/a = – ½ = – 0,5.

3 UFRGS 2008 Raízes candidatas: 1, apenas. Aplicando Briot-Ruffini com x = Não serve!!! Resolvendo a equação quadrática, encontramos as raízes x 3 = – 1 e x 4 = – 1. Aplicando Briot-Ruffini com x 1 = – –1– x 3 + 3x 2 + 3x + 1 = – x 2 + 2x + 1 = 0 Aplicando Briot-Ruffini com x 2 = – 1. Assim, a equação possui 4 raízes iguais; – 1 é raiz quádrupla.

4 UFRGS 2011 Teorema: Numa equação algébrica com coeficientes reais, se a + bi é raiz dessa equação, então a – bi também é raiz dela. 1) raízes imaginárias sempre aparecem aos pares; 2) uma equação de grau ímpar tem, pelo menos, uma raiz real. Coeficientes reais Teorema! Se – 2 + i é raiz, então – 2 – i também é... Se 1 – 2i é raiz, então 1 + 2i também é... Temos um equação de 5º grau, onde 4 são imaginárias. Assim, a outra é REAL.

5 UFRGS 2009 Forma Fatorada de um Polinômio P(x) = a.(x – r 1 ).(x – r 2 ).....(x – r n ) A partir do enunciado, temos que: r 1 = r 2 = r 3 = 1. Da mesma forma, temos que a = 1. Assim, temos que: P(x) = 1.(x – 1 ).(x – 1 ). (x – 1 ) = = (x – 1 ) 3 = = x 3 – 3x 2 + 3x – 1

6 O gráfico abaixo representa um polinômio P(x) de grau 4. Determine a soma dos coeficientes desse polinômio. Raízes: Raízes: 1, 2 e –1 (Observe que -1 é dupla.) Termo independente: Termo independente: P(0) = – 4 Forma Fatorada de um Polinômio P(x) = a.(x – r 1 ).(x – r 2 ).....(x – r n ) P(x) = a.(x + 1) 2.(x – 1).(x – 2) P(x) = a.(x 4 – x 3 – 3x 2 + x + 2) P(0) = a.2 = – 4 a = – 2 P(x) = – 2x x 3 + 6x 2 – 2 x – 4 A soma dos coeficientes também pode ser dada por P(1) = – – 2 – 4 = 0, pois 1 é uma raiz de P(x).

7 UFRGS 2005 O polinômio possui 4 raízes simples GRAU 4 Alternativas (A) e (B) eliminadas! O gráfico de f(x) passa pela origem T. I. é NULO Alternativas (C) e (D) eliminadas! Resposta Alternativa (E)

8 UFRGS 2004 O polinômio possui 3 raízes 1 simples e 1 dupla (tangência) Forma Fatorada P(x) = a. (x – 2) 2. (x + 2) P(0) = 2 P(0) = a. (0 – 2) 2. (0 + 2) = 2 a = 2 a = ¼ P(x) = 1/4. (x – 2) 2. (x + 2) = ¼. (x 3 – 2x 2 – 4x + 8) = = ¼.x 3 – ½.x 2 – 2x + 4 Soma dos Coeficientes = = ¼ – ½ – = ¾ Resposta Alternativa (B) Soma dos Coeficientes P(1) P(1) = ¼. (1 – 2) 2. (1 + 2) = = ¾ = 0,75

9 UFRGS 2007 O polinômio possui 3 raízes 1 simples e 1 dupla (tangência) Forma Fatorada p(x) = a. (x + 1) 2. (x – 2) p(0) = 2 p(0) = a. (0 + 1) 2. (0 – 2) = 2 a. 1. (– 2) = 2 a = –1 p(x) = – 1. (x + 1) 2. (x – 2) Valor de p(– 2) p(–2) = – 1. (–2 + 1) 2. (–2 – 2) = = (– 1). 1. (– 4) = 4 Resposta Alternativa (C)


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