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1 Preparação para o teste intermédio de Matemática 8º ano Conteúdos do 7º ano Conteúdos do 8º ano.

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1 1 Preparação para o teste intermédio de Matemática 8º ano Conteúdos do 7º ano Conteúdos do 8º ano

2 Conteúdos do 7º Ano Proporcionalidade directa Semelhança de Figuras Conhecer melhor os números Equações (está abordado nos conteúdos de 8º ano) Do Espaço ao Plano Estatística (está abordado nos conteúdos de 8º ano) 2

3 Vamos analisar as duas situações seguintes: I II Proporcionalidade directa 3

4 Quando uma das grandezas é zero a outra também é zero. Existe proporcionalidade directa, porque a razão entre as grandezas é constante. A constante de proporcionalidade directa é 2. Não existe proporcionalidade directa, porque a razão entre as grandezas não é constante. I II Quando uma das grandezas é zero a outra também é dois. Expressão Analítica 4

5 I II Representação gráfica de cada situação Unindo os pontos obtém-se uma recta que passa pela origem. Unindo os pontos obtém-se uma recta que não passa pela origem. Existe proporcionalidade directa, porque a representação gráfica é uma recta que passa pela origem. Não existe proporcionalidade directa, porque a representação gráfica não é uma recta que passa pela origem. 5

6 Definição: Duas grandezas x e y são directamente proporcionais se a razão entre os seus valores correspondentes, tomados pela mesma ordem, é constante. Quando umas das grandezas é zero a outra também é zero. A representação gráfica de uma situação de proporcionalidade directa é uma recta que passa pela origem. A expressão analítica de uma situação de proporcionalidade directa é, onde k é a constante de proporcionalidade directa. Definição: Duas grandezas x e y são directamente proporcionais se a razão entre os seus valores correspondentes, tomados pela mesma ordem, é constante. Quando umas das grandezas é zero a outra também é zero. A representação gráfica de uma situação de proporcionalidade directa é uma recta que passa pela origem. A expressão analítica de uma situação de proporcionalidade directa é, onde k é a constante de proporcionalidade directa. Proporcionalidade directa 6

7 Percentagens 5 % de 120 chocolates são _______ 5 x 120 = chocolates em 50 são ___% % x = 6 x 100 =12% x 50 7

8 Resolução de problemas envolvendo Percentagens 1- O preço de um sofá é de 300, sem IVA. Sabendo que o IVA é 20%, quanto é o valor, em euros, do IVA deste sofá? Qual é o preço final do sofá? 20% de 300 = 300 x 20 = 60 euros = 360 O preço final do sofá é 360 euros. 2- Uma camisola custava 56 euros e a Ana que era amiga da dona da loja, comprou-a por 42 euros. Qual foi a percentagem de desconto? Euros % x x = 42 x 100 = 75% – 75% = 25% O desconto foi de 25%. 8

9 As figuras 1 e 2 – têm a mesma forma e as mesmas dimensões: são geometricamente iguais. Fig. 2 Fig. 3 Fig. 4 As figuras 1 e 3 – têm a mesma forma, mas a figura 3 tem maiores dimensões. A figura 3 é uma ampliação da figura 1. As figuras 1 e 4 – têm a mesma forma, mas a figura 4 tem menores dimensões. A figura 4 é uma redução da figura 1. Fig. 1 Semelhança de Figuras 9

10 - mesma forma - mesma dimensão - mesma forma - menor dimensão - mesma forma - maior dimensão Ampliação Figuras Semelhantes Redução Geometricamente iguais Semelhança de Figuras Dois Polígonos são Semelhantes quando têm os ângulos geometricamente iguais e os lados correspondentes directamente proporcionais. 10

11 Semelhança de Figuras Se a razão de semelhança for: maior que 1, obtemos uma ampliação; menor que 1, obtemos uma redução; igual a 1, obtemos uma figura geometricamente igual à original. Se a razão de semelhança for: maior que 1, obtemos uma ampliação; menor que 1, obtemos uma redução; igual a 1, obtemos uma figura geometricamente igual à original. 11

12 Conjuntos numéricos IN Q Z IN IN - Conjunto dos números Naturais IN = {1;2;3;4;5;6…} IN 0 - Conjunto dos números Inteiros IN 0 ={0;1;2;3;4;5;6…} Z - Conjunto dos números Inteiros relativos Z= {… -3;-2;-1;0;1;2;3;…} Q- Conjunto dos números racionais Q = z U { números fraccionários} Completa com os símbolos ; ; ; -1 ….. I N 1,4 ….. Z -3 …… Z - 0 …… I N 3 …… I N 4 …… Z - I N…… Z 2,3 …… Q 12

13 13 Classificação de Quadriláteros

14 Se dois ângulos têm o vértice em comum e os lados de cada um dos ângulos estiverem no prolongamento dos lados do outro ângulo, então chamam-se ângulos verticalmente opostos. Ângulos opostos formados por duas rectas que se cruzam. Os ângulos AOB e COD são verticalmente opostos. Os ângulos AOC e BOD também são verticalmente opostos. Os ângulos AOB e COD são verticalmente opostos. Os ângulos AOC e BOD também são verticalmente opostos. Ângulos Verticalmente Opostos 14

15 Na figura abaixo os dois ângulos têm os lados paralelos e são ambos ângulos obtusos (a sua amplitude é maior do que 90º e menor do que 180º). Os dois ângulos assinalados são geometricamente iguais. Ângulos de Lados Paralelos 15

16 Posição relativa de dois Planos 16

17 Posição relativa de uma recta a um plano 17

18 Posição relativa de duas Rectas 18

19 Conteúdos do 8º Ano Ainda os números Teorema de Pitágoras Semelhança de triângulos Notação científica Funções Estatística Lugares geométricos 19

20 EQUAÇÃO: é uma igualdade entre duas expressões onde, pelo menos numa delas, figura uma ou mais letras. 3x+5=2-x+4 Sou equação 3+(5-2-4) = 3+1 Não sou equação 1º membro 2º membro termos: ; -2 ; 3x ; - 4 ; - x incógnita: x termos com incógnita: 3x ; - x ; termos independentes: -2 ; -4 Equações 20

21 Solução de uma equação: é um número que colocado no lugar da incógnita transforma a equação numa igualdade numérica verdadeira 6 SOLUÇÃO 5 5 Equações equivalentes: Mesmo conjunto solução Equações 21

22 Equações sem parênteses e sem denominadores Resolver uma equação é determinar a sua solução. efectuamos as operações. Dividimos ambos os membros pelo coeficiente da incógnita. Conjunto solução Determinamos a solução. mudar termos de um membro troquemos o sinalNuma equação podemos mudar termos de um membro para o outro, desde que lhes troquemos o sinal Num dos membros ficam os termos com incógnita e no outro os termos independentes 22

23 EQUAÇÕES COM PARÊNTESES simplificação de expressões com parênteses: Sinal menos antes dos parêntesesSinal menos antes dos parênteses: Tiramos os parênteses trocando os sinais dos termos que estão dentro Sinal mais antes dos parênteses:Sinal mais antes dos parênteses: Tiramos os parênteses mantendo os sinais que estão dentro. Número antes dos parênteses:Número antes dos parênteses: Tiramos os parênteses, aplicando a propriedade distributiva. 23

24 Como resolver uma equação com parênteses. Eliminar parênteses. Agrupar os termos com incógnita. Efectuar as operações Dividir ambos os membros pelo coeficiente da incógnita Determinar a solução, de forma simplificada. C.S = 24

25 EQUAÇÕES COM DENOMINADORES Começamos por reduzir todos os termos ao mesmo denominador. Duas fracções com o mesmo denominador são iguais se os numeradores forem iguais. Podemos tirar os denominadores desde que sejam todos iguais. 25

26 Esta fracção pode ser apresentada da seguinte forma Sinal menos antes de uma fracção O sinal menos que se encontra antes da fracção afecta todos os termos do numerador. 1 (2) (6) (3) Começamos por desdobrar a fracção que tem o sinal menos antes.(atenção aos sinais!) Reduzimos ao mesmo denominador e eliminamos os denominadores. 26

27 EQUAÇÕES COM PARÊNTESES E DENOMINADORES Devemos começar por eliminar os parênteses e depois os denominadores (3) (2) C.S.= 27

28 Mínimo múltiplo comum (m.m.c) 1º processo M 12 = {0;12;24;36;48;60…} M 30 = {0;30;60…} m.m.c = {60} Determina o m.m.c (12;30) 2º processo = 2 2 x 3 30 = 2 x 3 x 5 m.m.c = 2 2 x 3 x5 = 60 Produto dos factores primos comuns e não comuns de maior expoente 28

29 Máximo divisor comum (m.d.c) 1º processo D 12 = {1;2;3;4;6;12} D 30 = {1;2;3;5;6;10;15;30} M.d.c (12;30)= {6} Determina o m.d.c (12;30) 2º processo = 2 2 x 3 30 = 2 x 3 x 5 M.d.c (12;30) = 2 x 3 = 6 Produto dos factores primos comuns com menor expoente 29

30 mmc e mdc TextoLugar geométrico «…de tanto em tanto…»mmc «…dividir/repartir/agrupar…»mdc 30

31 Teorema de Pitágoras Teorema: Num triângulo rectângulo, o quadrado da hipotenusa é igual à soma dos quadrados dos catetos. c 2 c 1 h h 2 = c 1 2 +c 2 2 Determinação da hipotenusa x 2 = x 2 = x 2 = 169 x = 13 V x=-13 x = 15 2 x = 225 x 2 = x 2 = 144 x =12 V x=-12 Determinação de um cateto x 15x 31

32 Semelhança de triângulos Critérios de semelhança de triângulos Dois triângulos são semelhantes se: Tiverem dois ângulos geometricamente iguais (aaa) Tiverem os três lados correspondentes directamente proporcionais (lll) Tiverem dois lados directamente proporcionais e o ângulo por eles formado for igual (lal) 32

33 Aplicação dos critérios de semelhança de triângulos Semelhança de triângulos 1. Determina a altura da árvore. Serão os triângulos [ABE] e [CDE] semelhantes? Sim, porque tem dois ângulos geometricamente iguais, o de 90º e o ângulo AEB. Determinação da altura da árvore. sombra altura 5,2 = h 1,6 0,8 h = 5,2 x 0,8 1,6 h = 2,6 m A altura da árvore é de 2,6 metros. 3,6 + 1,6 = 5,2 m Semelhança de triângulos 33

34 Semelhança de triângulos Relação entre perímetros e áreas de figuras semelhantes Se dois polígonos A e B são semelhantes e a razão de semelhança de A para B é r, então: A razão entre os perímetros de A e B é r. A Razão entre as áreas de A e B é r 2. P B :P A = r A B :A A =r 2 34

35 Potências Regras operatórias das potências Multiplicação Com a mesma base 2 -2 x 2 7 = 2 5 Com o mesmo expoente (-2) 3 x (-7) 3 = 14 3 Divisão Com a mesma base 2 -2 : 2 7 = 2 -9 Com o mesmo expoente (-24) 3 : 6 3 = (-4) 3 Potencia de potência (2 3 ) 5 = 2 15 Potencia de expoente inteiro negativo 5 -1 = 1 5 Potencia de expoente nulo (-8) 0 = 1 35

36 Notação Científica Definição : Diz-se que um número está escrito em notação cientifica se está escrito na forma de um produto de um número a entre 1 e 10 e uma potência de base 10, e escreve-se: a x 10 n, com 1a<10 Ex: Escreve os seguintes números em notação cientifica 253 x ; ; 0, ; 76,9 x 10 5 = 2,53 x ; =6,7698 x 10 6 ; = 8 x ; = 7,69 x 10 6 Operações com números escritos em notação científica Multiplicação (2,1 x ) x (2 x10 8 ) = (2,1 x2) x (10 -3 x 10 8 ) = 4,2 x 10 5 Divisão (8,04 x ) : ( 4,02 x 10 5 ) = 2,02 x

37 Funções Definição: Uma função é uma correspondência entre dois conjuntos em que a cada elemento do conjunto de partida corresponde um e um só elemento do conjunto de chegada. Formas de definir uma função: Por um diagrama Por uma tabela Por uma expressão analítica Por um gráfico 37

38 Funções definidas por um diagrama Ex. Não são funções Ex. Funções A B D f = {1;2,3} D f = {-1;-2,-3} Objectos: 1;2,3 Imagens: -1;-2;-3 A – Conjunto de Partida B – Conjunto de chegada f ( 2 ) = -2 f ( x ) = -x f 38

39 Funções definidas por uma Tabela D g = {1;2,3;4} D g = {4;8;12;16} Objectos: 1;2,3;4 Imagens: 4;8;12;16 Variável independente: Lado do quadrado Variável dependente: Perímetro do quadrado g ( 2 ) = 8 g ( x ) = 4 x Seja a função g definida pela tabela seguinte Lado de um quadrado (L)1234 Perímetro do quadrado (P)

40 Funções definidas por uma expressão analítica Seja a função h definida pela seguinte expressão analítica h( x ) = 2 x -1 Calcular a imagem sendo dado o objecto h(3) = 2 x h(3) = 5 Calcular o objecto sendo dada a imagem h( x ) = 15 2 x – 1 = 15 2 x = x = 16 x = 8 (3;5) e (8;15) pertencem à recta que é gráfico da função h. 40

41 Funções definidas por um gráfico Variável independente: Peso Variável dependente: Custo j( … ) = 12 j(1) = ….. Tipo de função: Linear Expressão analítica: j( x ) = 6 x 41

42 qualitativos Representam a informação que não susceptível de ser medida, mas de ser classificação. Exemplos: - Cor dos olhos dos alunos de uma turma. Podem ser castanhos, azuis ou verdes. Representam a informação que pode ser medida, apresentando-se com diferentes intensidades, que podem ser de natureza discreta ou contínua. Exemplo quantitativos Notas de Matemática, do 7ºF, no final do 2º período. Exemplo Altura dos jogadores da equipa de futebol do FCP. Estatística – Recolha de dados Tipo de dados 42

43 Estatistica - Contagem dos dados Total Que número calças? 37;41;38;39;42;37; 40;39;41;39;39;40; 39;39;40;39;38;36 43

44 Frequência absoluta (f) Frequência relativa (f r ) F r em percentagem 6 % 11 % 39 % 16 % 11 % X 100% 1 : 18 = 0,06 2 : 18 = 0,11 7 : 18 = 0,39 3 : 18 = 0,16 1, Total : 18 = 0,11 1 : 18 = 0,066 % 100 % Estatística - Tabelas de frequências Número do sapato 44

45 Estatística - Gráficos de barras 45

46 Pictograma = 1 aluno Estatística - Pictograma 46

47 Estatística - Gráficos circulares Frequência absoluta (f) Graus 20º 40º 140º 60º 360º Total º 20º 47

48 Estatística – Medidas de tendência central Frequência absoluta (f) Total 18 Média A média do número do sapato dos alunos é 39,1 48

49 Estatística – Medidas de tendência central Frequência absoluta (f) Total 18 Moda - É o valor que surge com mais frequência se os dados são discretos. Neste caso a moda é 39. Mediana - Ordenados os elementos, a mediana é o valor que a divide ao meio, isto é, 50% dos elementos da amostra são menores ou iguais à mediana e os outros 50% são maiores ou iguais à mediana. 36;37;37;38;38;39;39;39;39;39;39;39;40;40;40;41;41;42 ( ) : 2 = 39 49

50 Lugares geométricos Uma circunferência é o lugar geométrico dos pontos do plano que são equidistantes de um ponto fixo chamado centro da circunferência. O círculo é o lugar geométrico dos pontos pertencentes a uma circunferência ou ao seu interior. exterior de uma circunferência é o lugar geométrico dos pontos do plano que distam do centro da circunferência mais do que o seu raio. 50

51 Lugares geométricos Coroa circular: É o conjunto dos pontos do plano que se encontram a uma distancia maior ou igual a r 1 ou menor ou igual a r 2 de um ponto C. r1r1 r2r2 Mediatriz de um segmento de recta É o lugar geométrico dos pontos do plano que estão á mesma distância dos extremos do segmento de recta [AB] 51

52 Lugares geométricos TextoLugar geométrico «…está a uma distância de um ponto fixo…» Circunferência «…está a uma distância inferior de um ponto fixo…» Círculo «…está à mesma distância…»Mediatriz «…está mais perto…»Mediatriz 52

53 Lugares geométricos Bissectriz de um ângulo A bissectriz é o lugar geométrico dos pontos do plano equidistantes dos lados de um ângulo. circuncentro – Ponto de intersecção das mediatrizes dos lados de um triângulo. Incentro - Ponto de intersecção das bissectrizes dos lados de um triângulo. Baricentro – Ponto de intersecção das medianas de um triângulo 53

54 Lugares geométricos no espaço Superfície esférica e esfera Ao lugar geométrico dos pontos do espaço equidistantes de um ponto fixo chamado centro, dá-se o nome de superfície esférica. A esfera é o lugar geométrico de todos os pontos do espaço que se encontram a igual ou menor distância de um ponto fixo chamado centro. 54

55 Lugares geométricos no espaço Plano mediador O plano mediador de um segmento de recta é o lugar geométrico dos pontos do espaço equidistantes dos extremos do segmento de recta. O plano mediador é perpendicular ao segmento de recta e contém o ponto médio desse segmento de recta. 55

56 Monómios Semelhantes são os que têm a mesma parte literal. Definições: Num monómio podemos distinguir uma parte numérica ou coeficiente e uma parte literal. Por exemplo: coeficiente parte literal Exemplos: Monómios Simétricos são monómios semelhantes com coeficientes simétricos. Monómios Simétricos são monómios semelhantes com coeficientes simétricos. Exemplos: 56

57 Adição algébrica de monómios e polinómios A expressão simplificada do perímetro da figura é: 4 57

58 Nota: Só podemos somar ou subtrair monómios semelhantes, ou seja, com a mesma parte literal. Nota: Só podemos somar ou subtrair monómios semelhantes, ou seja, com a mesma parte literal. Vamos simplificar as seguintes expressões: a) 58

59 b) c) 59

60 d) 60

61 A expressão da área do quadrado é: Potência de um monómio 61

62 Produto de um monómio por um polinómio A expressão simplificada da área do rectângulo é: Fim 62


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