PROBLEMAS DE ALOCAÇÃO DE RECURSOS: PROGRAMAÇÃO LINEAR

Apresentação em tema: "PROBLEMAS DE ALOCAÇÃO DE RECURSOS: PROGRAMAÇÃO LINEAR"— Transcrição da apresentação:

1 PROBLEMAS DE ALOCAÇÃO DE RECURSOS: PROGRAMAÇÃO LINEAR
AULA 05 PROBLEMAS DE ALOCAÇÃO DE RECURSOS: PROGRAMAÇÃO LINEAR Livro Texto: ANDRADE, Eduardo L. de.; Introdução à pesquisa operacional. 3a. ed. Rio de Janeiro: LTC Editora, 2004.

2 CARACTERIZAÇÃO GERAL DOS PROBLEMAS
OBJETIVO GERAL: Encontrar a melhor distribuição possível dos recursos escassos entre as diversas atividades ou tarefas, de modo a alcançar um valor ótimo do objetivo estabelecido. CARACTERÍSTICAS: 1. Existência de um OBJETIVO que possa ser explicitado em termos das variáveis de decisão do problema; 2. Existência de RESTRIÇÕES à aplicação dos recursos, tanto na disponibilidade quanto no modo de utilização.

3 MODELAGEM DE PROBLEMAS DE PROGRAMAÇÃO LINEAR
DEFINIÇÃO DAS VARIÁVEIS O que queremos saber? RELAÇÕES MATEMÁTICAS DAS RESTRIÇÕES A que condições devemos obedecer? EQUAÇÃO DA FUNÇÃO OBJETIVO Como o objetivo pode ser escrito em termos das variáveis? MODELO COMPLETO

4 EXEMPLO 1: PROBLEMA DE MISTURA
PROPOSIÇÃO: Uma refinaria produz três tipos de gasolina: verde, azul e comum. Cada tipo requer gasolina pura, octana e aditivo que estão disponíveis nas quantidades de , e litros por semana, respectivamente. As especificações de cada tipo são: um litro de gasolina verde requer 0,22 litro de gasolina pura, 0,50 litro de octana e 0,28 litro de aditivo; um litro de gasolina azul requer 0,52 litro de gasolina pura, 0,34 litro de octana e 0,14 litro de aditivo; um litro de gasolina comum requer 0,74 litro de gasolina pura, 0,20 litro de octana e 0,06 litro de aditivo. Como regra de produção, com base na demanda de mercado, o planejamento da refinaria estipulou que a quantidade de gasolina comum deve ser no mínimo igual a 16 vezes a quantidade de gasolina verde, e que a quantidade de gasolina azul seja no máximo igual a litros por semana. A empresa sabe que cada litro de gasolina verde, azul e comum dá uma margem de contribuição para o lucro de $ 0,30, $ 0,25 e $ 0,20, respectivamente, e seu objetivo é determinar o programa de produção que maximiza a margem total de contribuição para o lucro.

5 As quantidades devem ser maiores do que zero.
MODELO: DEFINIÇÃO DAS VARIÁVEIS: x1 : quantidade de gasolina verde a produzir x2 : quantidade de gasolina azul a produzir x3 : quantidade de gasolina comum a produzir MODELO COMPLETO: Encontrar valores para x1, x2 e x3 de modo a: MAXIMIZAR L = 0,30 × x1 + 0,25 × x2 + 0,20 × x3 respeitando as restrições: 0,22 × x1 + 0,52 × x2 + 0,74 × x3  0,50 × x1 + 0,34 × x2 + 0,20 × x3  0,28 × x1 + 0,14 × x2 + 0,06 × x3  16 × x  x3  0 x  x  0 x  0 x3  0 Gasolina Pura A quantidade de gasolina azul seja no máximo igual a litros por semana. Octana Aditivo A gasolina comum deve ser no mínimo igual a 16 vezes a quantidade de gasolina verde. As quantidades devem ser maiores do que zero.

6 EXEMPLO 2: PROGRAMAÇÃO DA PRODUÇÃO DE CIMENTO
PROPOSIÇÃO: Processo simplificado de fabricação de cimento MOINHO DE CIMENTO SILO E ENSACA-DEIRA PRÉ- HOMOGE- NEIZADOR MOINHO DE CRU E SILO DE FARINHA FORNO DEPÓSITO DE CLÍNQUER AF250 CP320 GESSO ADITIVO ESCÓRIA DE ALTO-FORNO BRITADOR JAZIDA FÓRMULA DE FABRICAÇÃO: COMPONENTES CP 320 AF 250 Clínquer % 50% Escória de Alto-Forno % 45% Gesso % 3% Aditivo % 2% PRODUTOS: ·       Cimento Portland 320: CP320 ·       Cimento Alto-forno 250: AF250

7 DADOS COMPLEMENTARES:
LIMITAÇÕES: Produção de clínquer: t/ano; Produção dos dois tipos de cimento: t/ano; Venda de clínquer a outros fabricantes de cimento: máximo de t/ano; Compra de escória de usinas siderúrgicas: máximo de t/ano; Compra de gesso e aditivo (cada um): máximo de t/ano.   CONTRIBUIÇÕES MARGINAIS E PREÇOS: contribuição marginal do CP320: $ 41,00/t contribuição marginal do AF250: $ 37,80/t contribuição marginal do clínquer: $ 34,40/t preço da escória de siderúrgica: $ 22,10/t preço do gesso: $ 34,20/t preço do aditivo: $ 1,90/t A contribuição marginal é calculada como a receita líquida menos os custos fixos e os custos variáveis, exceto escória, gesso e aditivo. O OBJETIVO DA EMPRESA É CALCULAR A PRODUÇÃO TOTAL ANUAL QUE MAXIMIZA O LUCRO TOTAL.

8 EXERCÍCIO LIMITAÇÕES: Com as limitações apresentadas no exemplo, determine um modelo completo de simulação para: A produção dos dois tipos de cimento; A produção de Clínquer; Escória de alto-forno; Gesso.

9 Produção dos dois tipos de cimento.
MODELO COMPLETO: Achar x1, x2 e x3 de modo a: MAXIMIZAR L = 41,00 × x1 + 37,80 × x2 + 34,40 × x3 sujeito a: x x  x3  0,85 × x ,50 × x x3  0,07 × x ,45 × x  0,03 × x ,03 × x  0,05 × x ,02 × x  x  0 x  0 x3  0 Produção dos dois tipos de cimento. Clínquer Escória de Alto-forno Gesso Aditivo

10 CONCEITOS BÁSICOS DO MÉTODO SIMPLEX
PROBLEMA-EXEMPLO: Uma marcenaria produz: MESA e ARMÁRIO Usa dois recursos: MADEIRA, com disponibilidade igual a 12 m2 MÃO-DE-OBRA, com disponibilidade igual a 8 H.h 1 MESA gasta: 2 m2 de madeira e 2 H.h de mão-de-obra 1 ARMÁRIO gasta: 3 m2 de madeira e 1 H.h de mão-de-obra MARGENS UNITÁRIAS: Mesa = $ 4,00 Armário = $ 1,00 OBJETIVO: Calcular quanto produzir de cada produto para maximizar a margem de contribuição total

11 MODELO COMPLETO: com x1 e x2  0 MAXIMIZAR L = 4 × x1 + 1 × x2
sujeito a: 2 × x × x2  12 UTILIZAÇÃO DE MADEIRA DISPONIBILIDADE 2 × x1 + 1 × x2  8 UTILIZAÇÃO DE MÃO-DE-OBRA DISPONIBILIDADE com x1 e x2  0 LUCRO DA MESA LUCRO DO ARMÁRIO

12 REGRA: Uma variável de folga para cada inequação
COLOCAÇÃO DAS VARIÁVEIS DE FOLGA MAXIMIZAR L = 4 × x1 + 1 × x2 sujeito a: × x1 + 3 × x2 + x3  12 UTILIZAÇÃO FOLGA DISPONIBILIDADE 2 × x1 + 1 × x2 + x4  8 UTILIZAÇÃO FOLGA DISPONIBILIDADE com x1 , x2 , x3 e x4  0 REGRA: Uma variável de folga para cada inequação

13 MÉTODO SIMPLEX PASSO 1: Introdução das variáveis de folga;
PASSO 2: Montagem do quadro de coeficientes, incluindo-se a função objetivo com os sinais trocados; PASSO 3: Criação da solução básica inicial, geralmente atribuindo-se valor 0 às variáveis originais; PASSO 4: Variável que entra na base: A. Aquela que tem o maior valor negativo na linha da função objetivo transformada; B. Quando não houver mais coeficiente negativo na linha da função objetivo, a solução encontrada é ótima. PASSO 5: Variável que sai da base: A. Dividir os termos independentes pelos respectivos coeficientes positivos da variável que entra; B. O menor quociente indica, pela equação em que ocorreu, a variável que deve sair da base. PASSO 6: Transformar a matriz, encontrando-se a nova base.

14 INTERPRETAÇÃO ECONÔMICA DOS COEFICIENTES DO QUADRO DO SIMPLEX
Modelo: Maximizar Z = 3 × X1 + 5 × X2 + 0 × X3 + 0 × X4 + 0 × X5 sujeito a 1 × X × X3 = 4 (Recurso A) 5 × X2 + 0 × X4 = 6 (Recurso B) 3 × X1 + 2 × X × X5 = 18 (Recurso C) com X1 , X2 , X3 , X4 , X5  0 Definições: X1 = quantidade de Produto 1 a ser feita X2 = quantidade de Produto 2 a ser feita X3 = folga na utilização do Recurso A X4 = folga na utilização do Recurso B X5 = folga na utilização do Recurso C

15 EXERCÍCIOS A SER RESOLVIDO
Uma empresa produtora de fundos para a indústria moveleira deseja avaliar o melhor processo de corte para as partes de um determinado produto. Neste sentido, a empresa possui duas opções de corte de chapas: o corte 01 e o corte 02. Observe que as peças a serem cortadas estão dispostas sobre a chapa principal e que cada uma delas possui uma quantidade diferente no processo de corte. Sendo o tamanho das chapas de 2750 x 2130 mm e com as limitações apresentadas em anexo, determine um modelo completo de simulação para cada uma das possibilidades de corte em metros quadrados, em porcentagem e em custo das peças, sabendo que o valor da chapa inteira é de R$ 50,00. Por fim, aponte qual das duas possibilidades de corte é mais vantajosa para a empresa.