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AULA 05 PROBLEMAS DE ALOCAÇÃO DE RECURSOS: PROGRAMAÇÃO LINEAR Livro Texto: ANDRADE, Eduardo L. de.; Introdução à pesquisa operacional. 3 a. ed. Rio de.

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1 AULA 05 PROBLEMAS DE ALOCAÇÃO DE RECURSOS: PROGRAMAÇÃO LINEAR Livro Texto: ANDRADE, Eduardo L. de.; Introdução à pesquisa operacional. 3 a. ed. Rio de Janeiro: LTC Editora, 2004.

2 CARACTERIZAÇÃO GERAL DOS PROBLEMAS OBJETIVO GERAL: Encontrar a melhor distribuição possível dos recursos escassos entre as diversas atividades ou tarefas, de modo a alcançar um valor ótimo do objetivo estabelecido. CARACTERÍSTICAS: 1. Existência de um OBJETIVO que possa ser explicitado em termos das variáveis de decisão do problema; 2. Existência de RESTRIÇÕES à aplicação dos recursos, tanto na disponibilidade quanto no modo de utilização.

3 MODELAGEM DE PROBLEMAS DE PROGRAMAÇÃO LINEAR DEFINIÇÃO DAS VARIÁVEIS O que queremos saber? RELAÇÕES MATEMÁTICAS DAS RESTRIÇÕES A que condições devemos obedecer? EQUAÇÃO DA FUNÇÃO OBJETIVO Como o objetivo pode ser escrito em termos das variáveis? MODELO COMPLETO

4 EXEMPLO 1: PROBLEMA DE MISTURA PROPOSIÇÃO: Uma refinaria produz três tipos de gasolina: verde, azul e comum. Cada tipo requer gasolina pura, octana e aditivo que estão disponíveis nas quantidades de , e litros por semana, respectivamente. As especificações de cada tipo são: um litro de gasolina verde requer 0,22 litro de gasolina pura, 0,50 litro de octana e 0,28 litro de aditivo; um litro de gasolina azul requer 0,52 litro de gasolina pura, 0,34 litro de octana e 0,14 litro de aditivo; um litro de gasolina comum requer 0,74 litro de gasolina pura, 0,20 litro de octana e 0,06 litro de aditivo. Como regra de produção, com base na demanda de mercado, o planejamento da refinaria estipulou que a quantidade de gasolina comum deve ser no mínimo igual a 16 vezes a quantidade de gasolina verde, e que a quantidade de gasolina azul seja no máximo igual a litros por semana. A empresa sabe que cada litro de gasolina verde, azul e comum dá uma margem de contribuição para o lucro de $ 0,30, $ 0,25 e $ 0,20, respectivamente, e seu objetivo é determinar o programa de produção que maximiza a margem total de contribuição para o lucro.

5 MODELO: DEFINIÇÃO DAS VARIÁVEIS: u x 1 : quantidade de gasolina verde a produzir u x 2 : quantidade de gasolina azul a produzir u x 3 : quantidade de gasolina comum a produzir MODELO COMPLETO: Encontrar valores para x 1, x 2 e x 3 de modo a: MAXIMIZAR L = 0,30 x 1 + 0,25 x 2 + 0,20 x 3 respeitando as restrições: 0,22 x 1 + 0,52 x 2 + 0,74 x ,50 x 1 + 0,34 x 2 + 0,20 x ,28 x 1 + 0,14 x 2 + 0,06 x x 1 x 3 0 x x 1 0 x 2 0 x 3 0 Gasolina Pura Octana Aditivo A gasolina comum deve ser no mínimo igual a 16 vezes a quantidade de gasolina verde. A quantidade de gasolina azul seja no máximo igual a litros por semana. As quantidades devem ser maiores do que zero.

6 EXEMPLO 2: PROGRAMAÇÃO DA PRODUÇÃO DE CIMENTO PROPOSIÇÃO: Processo simplificado de fabricação de cimento PRODUTOS: Cimento Portland 320: CP320 Cimento Alto-forno 250: AF250 FÓRMULA DE FABRICAÇÃO: COMPONENTESCP 320AF 250 Clínquer 85% 50% Escória de Alto-Forno 7% 45% Gesso 3% 3% Aditivo 5% 2% MOINHO DE CIMENTO SILO E ENSACA- DEIRA PRÉ- HOMOGE- NEIZADOR MOINHO DE CRU E SILO DE FARINHA FORNO DEPÓSITO DE CLÍNQUER AF250 CP320 GESSO ADITIVO ESCÓRIA DE ALTO-FORNO BRITADOR JAZIDA

7 LIMITAÇÕES: u Produção de clínquer: t/ano; u Produção dos dois tipos de cimento: t/ano; u Venda de clínquer a outros fabricantes de cimento: máximo de t/ano; u Compra de escória de usinas siderúrgicas: máximo de t/ano; u Compra de gesso e aditivo (cada um): máximo de t/ano. CONTRIBUIÇÕES MARGINAIS E PREÇOS: u contribuição marginal do CP320: $ 41,00/t u contribuição marginal do AF250: $ 37,80/t u contribuição marginal do clínquer: $ 34,40/t u preço da escória de siderúrgica: $ 22,10/t u preço do gesso: $ 34,20/t u preço do aditivo: $ 1,90/t A contribuição marginal é calculada como a receita líquida menos os custos fixos e os custos variáveis, exceto escória, gesso e aditivo. O OBJETIVO DA EMPRESA É CALCULAR A PRODUÇÃO TOTAL ANUAL QUE MAXIMIZA O LUCRO TOTAL. DADOS COMPLEMENTARES :

8 LIMITAÇÕES: Com as limitações apresentadas no exemplo, determine um modelo completo de simulação para: u A produção dos dois tipos de cimento; u A produção de Clínquer; u Escória de alto-forno; u Gesso. EXERCÍCIO

9 Achar x 1, x 2 e x 3 de modo a: MAXIMIZAR L = 41,00 x ,80 x ,40 x 3 sujeito a: x 1 + x x ,85 x 1 + 0,50 x 2 + x ,07 x 1 + 0,45 x ,03 x 1 + 0,03 x ,05 x 1 + 0,02 x x 1 0 x 2 0 x 3 0 MODELO COMPLETO: Produção dos dois tipos de cimento. Clínquer Escória de Alto-forno Gesso Aditivo

10 CONCEITOS BÁSICOS DO MÉTODO SIMPLEX PROBLEMA-EXEMPLO: Uma marcenaria produz: MESA e ARMÁRIO Usa dois recursos: MADEIRA, com disponibilidade igual a 12 m 2 MÃO-DE-OBRA, com disponibilidade igual a 8 H.h 1 MESA gasta: 2 m 2 de madeira e 2 H.h de mão-de-obra 1 ARMÁRIO gasta: 3 m 2 de madeira e 1 H.h de mão-de-obra MARGENS UNITÁRIAS: Mesa= $ 4,00 Armário= $ 1,00 OBJETIVO: Calcular quanto produzir de cada produto para maximizar a margem de contribuição total

11 MODELO COMPLETO: MAXIMIZARL = 4 x 1 +1 x 2 sujeito a: 2 x x 2 12 UTILIZAÇÃO DE MADEIRA DISPONIBILIDADE 2 x 1 +1 x 2 8 UTILIZAÇÃO DE MÃO-DE-OBRA DISPONIBILIDADE com x 1 e x 2 0 LUCRO DA MESA LUCRO DO ARMÁRIO

12 COLOCAÇÃO DAS VARIÁVEIS DE FOLGA MAXIMIZARL = 4 x x 2 sujeito a: 2 x x 2 + x 3 12 UTILIZAÇÃO FOLGADISPONIBILIDADE 2 x x 2 + x 4 8 UTILIZAÇÃO FOLGADISPONIBILIDADE com x 1, x 2, x 3 e x 4 0 REGRA: Uma variável de folga para cada inequação

13 MÉTODO SIMPLEX PASSO 1: Introdução das variáveis de folga; PASSO 2: Montagem do quadro de coeficientes, incluindo-se a função objetivo com os sinais trocados; PASSO 3: Criação da solução básica inicial, geralmente atribuindo-se valor 0 às variáveis originais; PASSO 4: Variável que entra na base: A. Aquela que tem o maior valor negativo na linha da função objetivo transformada; B. Quando não houver mais coeficiente negativo na linha da função objetivo, a solução encontrada é ótima. PASSO 5: Variável que sai da base: A. Dividir os termos independentes pelos respectivos coeficientes positivos da variável que entra; B. O menor quociente indica, pela equação em que ocorreu, a variável que deve sair da base. PASSO 6: Transformar a matriz, encontrando-se a nova base.

14 INTERPRETAÇÃO ECONÔMICA DOS COEFICIENTES DO QUADRO DO SIMPLEX Modelo: MaximizarZ =3 X 1 +5 X X X X 5 sujeito a1 X X 3 = 4 (Recurso A) 5 X X 4 = 6 (Recurso B) 3 X 1 +2 X X 5 = 18 (Recurso C) com X 1, X 2, X 3, X 4, X 5 0 Definições : X 1 = quantidade de Produto 1 a ser feita X 2 = quantidade de Produto 2 a ser feita X 3 = folga na utilização do Recurso A X 4 = folga na utilização do Recurso B X 5 = folga na utilização do Recurso C

15 EXERCÍCIOS A SER RESOLVIDO Uma empresa produtora de fundos para a indústria moveleira deseja avaliar o melhor processo de corte para as partes de um determinado produto. Neste sentido, a empresa possui duas opções de corte de chapas: o corte 01 e o corte 02. Observe que as peças a serem cortadas estão dispostas sobre a chapa principal e que cada uma delas possui uma quantidade diferente no processo de corte. Sendo o tamanho das chapas de 2750 x 2130 mm e com as limitações apresentadas em anexo, determine um modelo completo de simulação para cada uma das possibilidades de corte em metros quadrados, em porcentagem e em custo das peças, sabendo que o valor da chapa inteira é de R$ 50,00. Por fim, aponte qual das duas possibilidades de corte é mais vantajosa para a empresa.


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