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UNIVERSIDADE SEVERINO SOMBRA Especialização em Educação Matemática Matemática Discreta – Parte 2 Combinatória e Probabilidade Prof. Ilydio Pereira de Sá.

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1 UNIVERSIDADE SEVERINO SOMBRA Especialização em Educação Matemática Matemática Discreta – Parte 2 Combinatória e Probabilidade Prof. Ilydio Pereira de Sá

2 Princípio Básico da Contagem (Multiplicativo) O princípio fundamental da contagem diz que se há x modos de tomar uma decisão D 1 e, tomada a decisão D 1, há y modos de tomar a decisão D 2, então o número de modos de tomar sucessivamente as decisões D 1 e D 2 é xy. Exemplo 1: Com 5 homens e 5 mulheres, de quantos modos se pode formar um casal? SOLUÇÃO: Formar um casal equivale a tomar as decisões: D1 : Escolha do homem (5 modos). D2 : Escolha da mulher (5 modos). Há 5 × 5 = 25 modos de formar um casal.

3 SOBRE O ENSINO DE MATEMÁTICA COMBINATÓRIA Não faça fórmulas demais ou casos particulares demais. Isso obscurece as idéias gerais e torna as coisas mais complicadas. Aprenda e faça com que os alunos aprendam com os erros. É importante, diante de uma solução errada, analisar o motivo do erro. Combinatória não é difícil. Resista aos truques imediatos. Devemos procurar métodos mais gerais e não truques específicos para determinados formatos de problemas. Resista às enfadonhas listas de exercícios que ninguém saber resolver e que só fazem com que os alunos se desinteressem cada vez mais pelo tema.

4 Exemplo 2: Uma bandeira é formada por 7 listras que devem ser coloridas usando-se apenas as cores verde, azul e cinza. Se cada listra deve ter apenas uma cor e não podem ser usadas cores iguais em listras adjacentes, de quantos modos se pode colorir a bandeira? Solução: Colorir a bandeira equivale a escolher a cor de cada listra. Há 3 modos de escolher a cor da primeira listra e, a partir daí, 2 modos de escolher a cor de cada uma das outras 6 listras. A resposta é 3 × 2 6 = 192 modos. Exemplo 3: Quantos são os números de três dígitos distintos? Solução: O primeiro dígito pode ser escolhido de 9 modos, pois não pode ser igual a 0. O segundo dígito pode ser escolhido de 9 modos, pois não pode ser igual ao primeiro dígito. O terceiro dígito pode ser escolhido de 8 modos, pois não pode ser igual nem ao primeiro nem ao segundo dígitos. A resposta é 9 × 9 × 8 = 648 números.

5 IMPORTANTE ! Você já deve ter percebido nesses exemplos qual é a estratégia para resolver problemas de Combinatória: 1)Postura: Devemos sempre nos colocar no papel da pessoa que deve fazer a ação solicitada pelo problema e ver que decisões devemos tomar. No Exemplo 3, nós nos colocamos no papel da pessoa que deveria escrever o número de três dígitos; no Exemplo 2, nós nos colocamos no papel da pessoa que deveria colorir a bandeira; no Exemplo 1, nós nos colocamos no papel da pessoa que deveria formar o casal. 2) Divisão: Devemos, sempre que possível, dividir as decisões a serem tomadas em decisões mais simples. Formar um casal foi dividido em escolher o homem e escolher a mulher; colorir a bandeira foi dividido em colorir cada listra; formar um número de três dígitos foi dividido em escolher cada um dos três dígitos.

6 Exemplo 4: O código Morse usa duas letras, ponto e traço, e as palavras têm de 1 a 4 letras. Quantas são as palavras do código Morse? Solução: Há 2 palavras de uma letra; há 2 × 2 = 4 palavras de duas letras, pois há dois modos de escolher a primeira letra e dois modos de escolher a segunda letra; analogamente, há 2×2×2 = 8 palavras de três letras e 2 × 2 × 2 × 2 = 16 palavras de 4 letras. O número total de palavras é = 30. Exemplo 5: Quantos divisores inteiros e positivos possui o número 360? Solução: 360 = 2 3 × 3 2 × 5 1. Os divisores inteiros e positivos de 360 são os números da forma 2 x × 3 y × 5 z, com x {0, 1, 2, 3} (4 possibilidades); y {0, 1, 2} (3 possibilidades) e z {0, 1} (2 possibilidades). Há 4 × 3 × 2 = 24 maneiras de escolher os expoentes x, y e z. Há, portanto, 24 divisores.

7 Mas será que recaímos sempre em multiplicação ? Ou existem outros casos? Observe o próximo exemplo: Uma famosa sorveteria anuncia 31 diferentes sabores de sorvete. O número possível de casquinhas com três bolas sem nenhuma repetição de sabor é, portanto, 31 x 30 x 29 = ; qualquer um dos 31 sabores pode vir em cima, qualquer um dos 30 restantes no meio, e qualquer um dos 29 que sobraram embaixo. Se não estamos interessados no modo como os sabores são dispostos na casquinha, mas simplesmente em quantas casquinhas com três sabores há, teremos que dividir por 6, obtendo então casquinhas. Por que dividimos por 6? A razão por que dividimos por 6 é que há 6 = 3 x 2 x 1 diferentes maneiras de dispor os sabores escolhidos numa casquinha. Vamos supor que os sabores escolhidos seja: morango-baunilha-chocolate. Teríamos as seguintes ordenações possíveis: MBC, MCB; BMC; BCM, CBM e CMB. Uma vez que o mesmo se aplica a cada casquinha com três sabores, o número dessas casquinhas é (31x30x29)/(3x2x1) = casquinhas com 3 sabores, escolhidos dentre os 31 oferecidos (sem importar a ordem de colocação desses 3 sabores na casquinha).

8 Um exemplo menos engordativo é fornecido pelas muitas loterias existentes em nosso país. A mega-sena, por exemplo cujo jogo mínimo consiste na escolha de 6 dezenas, dentre as 60 disponíveis. Caso a ordem de escolha dos números fosse importante na escolha do apostador, teríamos 60 x 59 x 58 x 57 x 56 x 55 jogos distintos, com seis dezenas. Mas como sabemos que a ordem de escolha desses números não é importante, temos que dividir esse resultado por 6 x 5 x 4 x 3 x 2 x 1 = 720, já que qualquer uma das seqüências de seis números pode ser decomposta em 720 outras apostas iguais. Teremos, portanto possibilidades de escolha das 6 dezenas, dentre as 60 disponíveis na Mega-sena. Verifique que uma pessoa que escolher apenas uma dessas apostas (6 dezenas) terá uma possibilidade em de ser o ganhador do prêmio. Agora já estamos falando em probabilidades...

9 Observe que a forma do número obtido é a mesma nesses 2 últimos exemplos: (31x30x29)/(3x2x1) diferentes casquinhas com três sabores; (60x59x58x57x56x55)/(6x5x4x3x2x1) maneiras de escolher seis números entre os sessenta da mega-sena. Números obtidos desta forma são chamados coeficientes combinatórios ou combinações. Eles surgem quando estamos interessados no número de maneiras de escolher R elementos a partir de N elementos e não estamos interessados na ordem em que os R elementos são escolhidos. Tente resolver sozinho: 1) Durante a Copa do Mundo, que foi disputada por 24 países, as tampinhas de Coca-Cola traziam sempre palpites sobre os países que se classificariam nos três primeiros lugares (por exemplo: 1º lugar, Brasil; 2º lugar, Nigéria; 3º lugar, Holanda). Se, em cada tampinha, os três países são distintos, quantas tampinhas diferentes poderiam existir?

10 SOLUÇÃO: 24 x 23 x 22 = tampinhas distintas, já que a ordem de colocação dos nomes dos países é importante (define a sua classificação na copa) 2) Quantos são os triângulos que podem ser construídos a partir de 10 pontos marcados sobre uma circunferência? SOLUÇÃO: Neste caso, a ordem de disposição dos elementos de cada coleção não importa ao problema, isto é, o triângulo ABC é o mesmo do triângulo ACB, por exemplo. Logo, como na questão da Mega-Sena, teremos que a quantidade de triângulos será dada por: A B C

11 Problemas Combinatórios: Complementos Todas as questões que vimos até o momento se encaixam num dos três tipos clássicos de problemas combinatórios: ARRANJOS, COMBINAÇÕES E PERMUTAÇÕES. Vamos agora apresentar mais informações sobre tais tipos e até algumas fórmulas que, como já mostramos antes, não são necessárias. Lembro que se os problemas não permitem a repetição de elementos em cada agrupamento formado, temos um caso de Combinatória Simples mas quando as repetições são permitidas, temos a Combinatória com Repetição. Arranjos e Combinações Simples: Nesses dois casos a situação é semelhante pois possuímos uma coleção de n objetos (distintos) da qual vamos sempre escolher uma quantidade p de objetos também distintos (p < n). O que difere esses dois tipos de agrupamentos é apenas o fato de que nos ARRANJOS a ordem dos elementos é importante para a formação do grupo, enquanto que nas combinações essa ordem não tem qualquer influência na formação de cada grupo.

12 Vamos pegar dois exemplos já resolvidos anteriormente para, em seguida, mostrarmos as fórmulas específicas de cada caso. 1) Durante a Copa do Mundo, que foi disputada por 24 países, as tampinhas de Coca-Cola traziam sempre palpites sobre os países que se classificariam nos três primeiros lugares (por exemplo: 1º lugar, Brasil; 2º lugar, Nigéria; 3º lugar, Holanda). Se, em cada tampinha, os três países são distintos, quantas tampinhas diferentes poderiam existir? Quando resolvemos essa questão, pelo princípio multiplicativo, vimos que o resultado era 24 x 23 x 22 = tampinhas distintas. Esse mesmo resultado poderia ser obtido pela fórmula: Verifique que na questão do exemplo, teríamos: A ORDEM DOS PAÍSES É IMPORTANTE, LOGO

13 2) Quantos são os triângulos que podem ser construídos a partir de 10 pontos marcados sobre uma circunferência? Quando resolvemos essa questão, pelo princípio multiplicativo, vimos que o resultado era Nesse caso a ordem dos elementos não é importante, já que o triângulo ABC, por exemplo é o mesmo do triângulo CBA. Trata-se de um caso de Combinações Simples. Para as combinações simples temos a fórmula: Para o nosso exemplo, teríamos:

14 E ainda temos as permutações simples... Podemos, de forma resumida, dizer que as permutações simples nada mais são do que os arranjos simples em que n = p, ou seja, usamos em cada agrupamento TODOS os elementos disponíveis e não alguns, como nos arranjos. Exemplo: Quantas filas distintas podemos formar com as 5 pessoas de uma família? Solução: Pelo princípio multiplicativo, teremos: 5 x 4 x 3 x 2 x 1 = 120 filas ou 5! filas. Poderíamos também fazer P5 = A 5,5 = 5! / 0! = 5! Dessa forma, podemos concluir a seguinte fórmula:

15 Exemplo: Quantos são os anagramas da palavra CHINELO? SOLUÇÃO: Concorda que essa questão é semelhante à anterior? Que formar palavras (com ou sem significado) com 7 letras distintas é o mesmo que formar filas com 7 pessoas, logo, a resposta é 7! = 5040 anagramas. Exemplo: Quantos são os anagramas da palavra CHINELO e que apresentam sílaba CHI? SOLUÇÃO: Nesse caso temos que manter essas três letras juntas e nessa mesma ordem, logo, elas serão como uma nova letra K. A questão é como se desejássemos obter os anagramas da palavra KNELO, ou seja, teremos agora permutações simples de 5 elementos, logo, a resposta será 5! = 120 anagramas. Exemplo: Quantos são os anagramas da palavra CHINELO e que apresentam juntas as letras C,H, I, em QUALQUER ordem? SOLUÇÃO: Acho que você concorda comigo que essa questão é a mesma anterior, multiplicada por 6, que são as variações possíveis das letras C, H, I, entre si, ou seja, 5! x 3!

16 Exemplo: E como você calcularia os anagramas da palavra ARARA? SOLUÇÃO: Nesse caso agora, já estamos começando a falar em repetições. Note que se trocarmos os lugares das letras A ou das letras R, a palavra obtida não sofrerá qualquer alteração. E como as letras A podem variar entre si de 3! modos e as letras R podem variar de 2! modos, o resultado obtido terá de ser dividido por 3! x 2!. Esses tipos de questão são denominadas de Permutações com Objetos Repetidos, para os quais, temos a fórmula:

17 TENTE ESSA... O gráfico abaixo representa um Sistema Cartesiano Ortogonal. Quantos são os caminhos distintos, do ponto A (1,2) até o ponto B (8,6), de acordo com as seguintes regras: a)Só podemos percorrer as linhas horizontais e verticais, do quadriculado, uma unidade de cada vez. b)Só podemos percorrer essas linhas, no sentido positivo dos eixos. A B Este é um dos possíveis caminhos...

18 SOLUÇÃO: Você conseguiu encontrar semelhança entre essa questão e a das permutações com elementos repetidos? Não? Veja comigo... Se designarmos cada passo para a direita por D e cada passo para cima por C, o caminho que está representado na figura poderia ser representado por DDDDDDDCCCC. Qualquer outro caminho que fizermos, se representado dessa forma, será uma variação da ordenação dessas letras, ou seja, achar o número de caminhos é como calcular o número de anagramas dessa palavra de 11 letras, com 7 repetições do D e 4 repetições do C, logo:

19 Uma outra versão do mesmo problema... O SAPO E O PERNILONGO – VESTIBULAR PUC RGS. Um sapo e um pernilongo encontram-se respectivamente na origem e no ponto (8, 2) de um sistema cartesiano ortogonal. Se o sapo só pudesse saltar nos sentidos positivos dos eixos cartesianos e cobrisse uma unidade de comprimento em cada salto, o número de trajetórias possíveis para o sapo alcançar o pernilongo seria igual a: a) 35 b) 45 c) 70 d) 125 e) 256 UMA DAS TRAJETÓRIAS

20 Convencionando que um deslocamento para a direita seja indicado por D e um deslocamento para cima seja indicado por C, o deslocamento indicado na figura seria representado por DCDDDCDDDD. O número de trajetórias possíveis será dado então por: Uma outra questão de aparência bem simples mas que tem derrubado muitas pessoas é a seguinte: Quantos pedidos diferentes podemos fazer numa lanchonete que oferece três tipos de pastéis e vamos fazer um pedido de 6 unidades? Na seqüência vamos mostrar que tal tipo de exercício também recai no caso anterior e é o que denominamos de Combinações com Repetição.

21 Exemplo: Quantas soluções inteiras, não negativas, possui a equação: x + y + z = 5 ? Mostraremos que esse tipo de problema pode recair exatamente numa situação gráfica, como vimos no exemplo anterior, de permutações com elementos repetidos. Vamos imaginar que temos 5 unidades (representaremos cada unidade por *) que serão repartidas por três variáveis. Usaremos traços para separar as variáveis. É claro que, como são três variáveis, precisaremos de dois traços para esta separação. Vejamos uma possível solução * * * * * Aqui, temos representada a solução: x = 1; y = 2 e z = 2. * * * * * Aqui, temos representada a solução: x = 0; y = 3 e z = 2.

22 Logo, o número de soluções procuradas será dado pela permutação de 7 elementos, com 5 repetições ( * ) e 2 repetições ( ). Generalizando: Quantas soluções inteiras e não negativas possui a equação E o que o problema dos pastéis tem a ver com isso?

23 Repetindo o problema: Quantos pedidos diferentes podemos fazer numa lanchonete que oferece três tipos de pastéis e vamos fazer um pedido de 6 unidades? Solução: Concorda que se a lanchonete só oferece três sabores e o pedido terá 6 unidades, alguns pastéis terão de ser repetidos, obrigatoriamente. Concorda também que esse problema recai exatamente na equação: Onde x 1, x 2 e x 3 são as quantidades pedidas, de cada tipo. A questão que acabamos de resolver representa exatamente as combinações com repetição de 3 elementos, tomados 6 a 6, ou seja: Generalizando

24 OBSERVAÇÃO: Verificação:

25 Tente agora fazer essa... Problema do Menino Guloso: Um menino encontra-se no balcão de uma sorveteria que oferece 7 opções diferentes de sabores. Ele tem dinheiro para comprar 4 sorvetes e ele também pode escolher sabores repetidos. Nessas condições, quantos diferentes pedidos ele pode fazer? SOLUÇÃO: Esse problema, que confunde muitas pessoas, que o resolvem por combinações simples, é novamente um caso de combinações com repetições. Como são sete opções de sabores, para escolha de 4 sabores, temos a equação linear:

26 E sobre as Probabilidades... Para iniciar, vamos considerar algumas hipóteses: Rita espera ansiosamente o nascimento de seu filho, mas ela ainda não sabe qual será o sexo da criança. Em outro caso, antes do início de um jogo de futebol, o juiz tira "cara ou coroa" com uma moeda para definir o time que ficará com a bola. Numa terceira hipótese, toda semana, milhares de pessoas arriscam a sorte na loteria. Problemas como os acima são, hoje, objeto de estudo das probabilidades. Laplace foi, certamente, o que mais contribuiu para a teoria das probabilidades. Seus inúmeros trabalhos nessa área foram reunidos no monumental Tratado Analítico das Probabilidades, onde são introduzidas técnicas poderosas como a das funções geradoras, que são aproximações para probabilidades com o uso do cálculo integral. Atualmente, a teoria das probabilidades é muito utilizada em outros ramos da Matemática (como o Cálculo e a Estatística), da Biologia (especialmente nos estudos da Genética), da Física (como na Física Nuclear), da Economia, da Sociologia, das Ciências Atuariais, da Informática, etc.

27 UMA QUESTÃO INICIAL: JOGO DOS DOIS DADOS Uma boa atividade introdutória ao estudo das probabilidades é apresentar este jogo aos alunos e perguntar-lhes se lhes parece que algum dos jogadores está em vantagem. Você verá que essa provocação inicial será um excelente modo de começar o estudo desse importante tópico do Ensino Médio. JOGO DOS DOIS DADOS - INSTRUÇÕES Dois jogadores ou duas equipes; Em cada jogada, cada jogador (ou equipe) lança um dado e somam-se os pontos dos dois dados. O jogador (ou equipe) A marca um ponto se a soma for 5, 6, 7 ou 8. O jogador (ou equipe) B marca um ponto se a soma for 2, 3, 4, 9, 10, 11 ou 12. Ganha quem primeiro obtiver 20 pontos.

28 COMENTÁRIOS Depois de ouvir as opiniões dos alunos, mas antes de as discutir, proponha que eles façam algumas apostas. Para isso, devem organizar-se em grupos de dois, escolhendo entre si qual deles aposta no jogador A e qual é no B. Uma boa parte dos alunos prefere ser o jogador B porque, das onze somas possíveis, há sete que fazem o jogador B ganhar e só quatro que o fazem perder. Um pouco apressadamente concluem que a probabilidade de B ganhar seria maior, ou seja, 7 sobre 11. Normalmente, o jogador (equipe) A ganhará a maior parte dos jogos. Isto faz-nos suspeitar que A está em vantagem. É uma boa hora para analisar a questão e verificar se a probabilidade de A ser o vencedor é realmente maior. O professor não deve resolver a questão, mas pode fornecer pistas, do tipo: Será a soma 2 tão fácil de acontecer como a 7?

29 SOLUÇÃO: Dado 1 Dado Vê-se então que há 36 casos elementares possíveis e organiza-se um quadro com o número de casos favoráveis para cada resultado. Vejamos quem tem realmente a vantagem...

30 Resultados Casos favoráveis O jogador (equipe) A ganha se sair 5, 6, 7 ou 8. Os casos favoráveis a A são = 20. O jogador (equipe) B ganha saindo 2, 3, 4, 9, 10, 11 ou 12. Os casos favoráveis a B são = 16. Conclui-se então que o jogo é favorável ao jogador A, apesar de só lhe servirem quatro resultados. A probabilidade de ele ganhar uma jogada é de 20 sobre 36 ou 55,6%. Para o jogador B, a probabilidade de ganhar é de 16 sobre 36 ou 44,4%.. Comentário... você pode ainda aproveitar a atividade para preparar a turma para a definição de probabilidade como distribuição de freqüências e Lei dos Grandes Números e comparar o resultado obtido na prática da sala de aula com o resultado final obtido com a análise das possibilidades de cada equipe..

31 As três definições de probabilidade A)Definição Clássica (Laplace) A probabilidade de um acontecimento E, que é um subconjunto finito de um espaço amostral S, de resultados igualmente prováveis, é: p(E) = Sendo n(E) e n(S) as quantidades de elementos de E e de S, respectivamente. Exemplo: Num sorteio de Escola, com bilhetes numerados de 1 a 1000, qual a probabilidade de sortearmos um múltiplo de 3? Solução: n(E) = 333, n(S) = 1000

32 Críticas à definição clássica: (I) A definição clássica é dúbia, já que a idéia de igualmente provável é a mesma de com probabilidade igual, isto é, a definição é circular, porque está definindo essencialmente a probabilidade com seus próprios termos. (II) A definição não pode ser aplicada quando o espaço amostral é infinito. B) A definição de probabilidade como freqüência relativa Na prática acontece que nem sempre é possível determinar, pela forma tradicional, a probabilidade de ocorrência um evento. Qual a probabilidade de um avião cair? Qual a probabilidade de que um carro seja roubado? Qual a probabilidade de que um licenciando de matemática termine a sua graduação? Respostas para esses problemas são fundamentais mas, como não podemos calcular essas probabilidades pela definição clássica, tudo o que podemos fazer é observar com que freqüência esses fatos ocorrem. Com um grande número de observações, podemos obter uma boa estimativa da probabilidade de ocorrência desse tipo de eventos. É o que denominamos Lei dos Grandes Números.

33 Freqüência relativa de um evento Seja E um experimento e A um evento de um espaço amostral associado ao experimento E. Suponha-se que E seja repetido n vezes e seja m o número de vezes que A ocorre nas n repetições de E. Então a freqüência relativa do evento A, anotada por f r A, é o quociente: f r A = m / n = (nº de vezes que A ocorre) / (nº de vezes que E é repetido) Propriedades da freqüência relativa Seja E um experimento e A e B dois eventos de um espaço amostral associado S. Sejam f r A e f r B as freqüências relativas de A e B respectivamente. Então: (i) 0 f r A 1, isto é, a freqüência relativa do evento A é um número que varia entre 0 e 1. (ii) f r A = 1 se e somente se, A ocorre em todas as n repetições de E. (iii) f r A = 0, se e somente se, A nunca ocorre nas n repetições de E. (iv) f r AUB = f r A + f r B, se A e B forem eventos mutuamente excludentes.

34 Exemplo: Lançamos um dado várias vezes e fomos anotando numa tabela o número de vezes que a face sorteada era o número 1. Os dados obtidos encontram-se na tabela a seguir: nº de lançamentos face 1 freqüência , , , ,16532 Se calcularmos a probabilidade pela forma convencional, teremos p = 1/6 = 0, Note que a freqüência obtida nos lançamentos se aproxima do resultado dessa probabilidade conforme aumentamos a quantidade de lançamentos. Por isso, na definição freqüencista de probabilidade, temos:

35 Definição freqüencista de probabilidade: Seja E um experimento e A um evento de um espaço amostral associado S. Suponhamos que E é repetido n vezes e seja f r A a freqüência relativa do evento. Então a probabilidade de A é definida como sendo o limite de f r A quando n tende ao infinito. Ou seja: P(A) = Deve-se notar que a freqüência relativa do evento A é uma aproximação da probabilidade de A. As duas se igualam apenas no limite. Em geral, para um valor de n, razoavelmente grande a f r A é uma boa aproximação de P(A). É o que chamamos de Lei dos grandes números. Crítica à definição freqüencial Esta definição, embora útil na prática, apresenta dificuldades matemáticas, pois o limite pode não existir. Em virtude dos problemas apresentados pela definição clássica e pela definição freqüencial, foi desenvolvida uma teoria moderna, que é a Teoria Axiomática das Probabilidades.

36 Definição axiomática de probabilidade Seja E um experimento aleatório com um espaço amostral associado S. A cada evento A S associa-se um número real, representado por P(A) e denominado probabilidade de A, que satisfaz as seguintes propriedades (axiomas): (i) 0 P(A) 1; (ii) P(S) = 1; (iii) P(AUB) = P(A) + P(B), se A e B forem eventos mutuamente excludentes. Conseqüência: Se A e A são eventos complementares então: P(A) + P(A) = 1 ou P(A) = 1 - P(A) Prova Tem-se que A A= e A A = S. Então: P(A A) = P(A) + P(A) = P(S) = 1, pela propriedade 3.

37 1) Qual a probabilidade de obtermos 5 caras, em cinco lançamentos sucessivos de uma moeda equilibrada? SOLUÇÃO: A probabilidade de obtermos cara em um lançamento é de ½. Logo, em cinco lançamentos sucessivos, pelo princípio fundamental da contagem, teremos: 2) Qual a probabilidade de, em um grupo de 10 pessoas, escolhidas aleatoriamente, ao menos uma delas ter nascido em julho? CASOS COMENTADOS SOLUÇÃO: Nesse caso, fica mais fácil encontrarmos a resposta indiretamente, isto é, pela probabilidade complementar. Vamos verificar a probabilidade de NENHUMA das pessoas nascer em julho e, em seguida, subtraímos a resposta de 1 (se duas probabilidades, em um mesmo universo, são complementares, a soma de suas probabilidades é igual a 1).

38 Probabilidade de NENHUMA DELAS ter nascido em julho Probabilidade Complementar (o que se pede). A probabilidade de cada uma dessas pessoas não ter nascido em julho é 11/12. Como são 10 pessoas, aplicando o princípio multiplicativo, teremos a resposta dada acima. A probabilidade acima calculada refere-se à chance de que alguma das 10 pessoas ou pelo menos uma delas, ter nascido em Julho.

39 3) Um problema clássico: Antoine Gambeaud, Chevalier de Mère, um famoso jogador, queria saber o que era mais provável de ocorrer: obter ao menos um 6 em 4 lances de um único dado, ou obter pelo menos um 12 em 24 lances de um par de dados ? SOLUÇÃO a) obtenção de pelo menos um 6 = 1 – p (probabilidade de não sair o número 6, nos 4 lances do dado). b) obtenção de pelo menos um 12 = 1 – p (probabilidade de não sair 12, nos 24 lances de um par de dados). Mais provável

40 4) O PROBLEMA DA COINCIDÊNCIA DOS ANIVERSÁRIOS Em um grupo de 8 pessoas, determine a probabilidade de que duas dessas pessoas, pelo menos, aniversariem no mesmo dia. SOLUÇÃO Vamos primeiro determinar a probabilidade de que todas as oito pessoas façam aniversários em datas diferentes, e depois calcular o que se pede pelo complementar, ou seja, 1 – p. Número de possibilidades das oito pessoas aniversariarem em datas diferentes = Note que o último fator corresponde a 365 – ou 366 – 8. (casos favoráveis) Número total de possibilidades das oito pessoas aniversariarem = Probabilidade das 8 pessoas aniversariarem em datas distintas. Probabilidade pedida = 100% - 92,57% = 7,43%

41 GENERALIZANDO... A probabilidade de, num grupo de k pessoas, encontrarmos pelo menos duas com a mesma data de aniversário é dada por: PessoasProbabilidade 2041% 2557% 3071% 4089% 4594% 5097% Abaixo elaboramos uma tabela com as probabilidades encontradas, para distintos valores de k Verifique que, num grupo de 50 pessoas, é praticamente certo o fato de que duas delas, ao menos, aniversariam na mesma data...incrível, não?

42 No cálculo de probabilidades vários são os caminhos possíveis. Os caminhos são muitos e o cuidado que se deve tomar é de usar o mesmo critério no cálculo do número de elementos do Espaço Amostral e também dos casos favoráveis. Outro cuidado deve ser o de não mudar esse critério ao longo da resolução do problema. Vejamos um exemplo: Três bilhetes de cinema A professora de História resolveu levar os seus 15 alunos para ver um filme. Como o cinema tem filas de precisamente 15 cadeiras, comprou uma fila inteira e distribuiu os bilhetes ao acaso pelos alunos. As alunas Ana, Beth e Carla, por serem muito amigas, gostariam de ficar juntas e numa das extremidades da fila. Qual a probabilidade de que isso ocorra?

43 Fazer um esquema ajuda sempre a pensar melhor na solução do problema: As três amigas querem ficar nos lugares 1, 2 e 3 ou 13, 14 e 15. Existem pelo menos quatro processos de resolver o problema. Método 1: Por Combinações Simples Vamos pensar apenas nos três bilhetes destinados às três amigas, não nos interessando a ordem como elas ocuparão depois esses três lugares. O espaço de resultados é o conjunto dos ternos não ordenados. Por exemplo, um dos seus elementos é o terno {5, 7, 15}, que corresponde às três amigas receberem os bilhetes 5, 7 e 15 embora não saibamos o lugar exato em que cada uma delas se vai sentar. Os casos possíveis são as diferentes maneiras delas receberem os 3 bilhetes de um conjunto de 15, ou seja, todos os ternos não ordenados formados a partir do conjunto de 15 bilhetes.

44 Casos Possíveis = C 15,3 = 455 Os casos favoráveis são apenas 2: ou recebem os bilhetes ou os bilhetes Lembre-se de que não estamos considerando as variações entre elas. p (ficarem juntas numa ponta) = Método 2: Por Arranjos Simples Vamos pensar nos três bilhetes destinados às três amigas, mas interessando-nos agora a ordem como elas ocuparão depois esses três lugares. Continuamos a ignorar os outros 12 bilhetes. O espaço de resultados é o conjunto dos ternos ordenados. Por exemplo, um dos seus elementos é o terno {5, 7, 15}, ou seja, a Ana fica no lugar 5, a Bela no 7 e a Carla no 15.

45 Os casos possíveis são portanto as diferentes maneiras de elas receberem 3 bilhetes de um conjunto de 15, mas em que a ordem por que recebem os bilhetes é importante. Casos Possíveis = A 15,3 = 2730 Se os bilhetes que elas receberem forem 1, 2 e 3, como a ordem interessa, há seis maneiras de elas os ocuparem (são as permutações de 3). O mesmo se passa para os bilhetes 13, 14 e 15. Logo, os casos favoráveis são 2 x 3!, ou seja, 12. p (ficarem juntas numa ponta) = Método 3: Por Permutações Simples Desta vez vamos considerar todas as maneiras como os 15 alunos podem sentar-se nos 15 lugares

46 O espaço de resultados é constituído por todas as permutações dos 15 alunos pelas cadeiras. Os casos possíveis são, portanto as permutações de 15. Casos Possíveis = = 15! Se as três amigas ficarem nos lugares 1, 2 e 3, podem permutar entre si, e os outros 12 alunos também. O mesmo se passa se ficarem nos três últimos lugares. Então: Casos Favoráveis = 2 x P 3 x P 12 p (ficarem juntas numa ponta) = Método 4: Aplicando o Princípio Multiplicativo com as probabilidades Vamos calcular a probabilidade pedida admitindo que os bilhetes vão ser entregues um a um às três amigas. A primeira vai receber o seu bilhete. Dos 15 lugares, há 6 que lhe servem (os três primeiros e os três últimos). Logo, p = 6/15

47 Chegou a vez da segunda. Há 14 bilhetes e a ela só servem os dois lugares que restam na ponta onde a primeira ficou. Logo, p = 2/14 Finalmente, a terceira, dos 13 bilhetes restantes, tem de receber o único que sobra na ponta onde estão as amigas. Logo, p = 1/13 p (ficarem juntas numa ponta) =

48 PROBABILIDADE X FAVORABILIDADE Trataremos agora de alguns aspectos simples da Teoria das Probabilidades e que normalmente não são explorados em sala de aula. confusão entre as duas medidas usuais de chance ou acaso: probabilidade e favorabilidade. a noção de valor esperado ou esperança matemática. O que você acharia de alguém que dissesse: Esse fenômeno tem 120% de chance de acontecer ? Provavelmente você deve ter dito que essa pessoa está errada, pois está lembrando que a probabilidade máxima de ocorrência de um evento é igual a 1 ou 100%. Mas quem falou em probabilidade? Ele falou em chance...será que a única medida de chance é a probabilidade? O que a pessoa falou pode estar correto...vamos mostrar isso nesse tópico de nosso curso.

49 Existem duas medidas de chance: a probabilidade e a favorabilidade. As duas são facilmente relacionáveis, mas enquanto a escola trata exclusivamente da probabilidade, muitas são as situações do cotidiano onde se usa exclusivamente a favorabilidade, como é o caso dos jogos esportivos e as apostas em jogos de azar. A probabilidade p de ocorrer um evento é o quociente entre a quantidade ou medida dos casos favoráveis pela quantidade ou medida de todas as possibilidades (favoráveis ou desfavoráveis). Já a favorabilidade desse evento é o quociente entre as quantidade ou medida de casos favoráveis pela dos casos desfavoráveis. Exemplo: Imaginemos uma urna com fichas numeradas de 1 a 10 e o evento de sortear um número que não seja múltiplo de 3. Em termos de probabilidade, a chance desse fato ocorrer será igual a 7/10 ou 70%. Pois dos 10 números, 3 são múltiplos de 3 e 7 não são múltiplos de 3. Já em termos de favorabilidade essa chance seria expressa por 7/3 2,33 ou 233%. Conclusão: Se a medida de chance for a favorabilidade, pode ser superior a 1 ou a 100%.

50 Na linguagem do cotidiano é muito comum as pessoas usarem, intuitivamente, a favorabilidade. Vejamos um exemplo disso: Um micro-empresário concluiu que há uma chance de 3 em 2 que seu novo negócio tenha sucesso. Traduzir isso em termos de probabilidade. Solução: O empresário expressou-se da maneira comum no cotidiano. Traduzindo isso para a terminologia matemática, ele disse que a favorabilidade de seu negócio ter sucesso é f = 3/2 = 1,5 (150%), ou 3 casos favoráveis para cada 2 desfavoráveis. Em termos de probabilidade, significa que ele tem 3 casos favoráveis em cada 5 considerados, ou seja, a probabilidade é de 3/5 ou 0,6 ou ainda 60%.

51 ESPERANÇA MATEMÁTICA Esse conceito surgiu antes da noção de probabilidade. Historicamente, foi introduzido para quantificar o provável ganho de um jogador, mas hoje é aplicado nas mais diversas áreas da ciência. Vejamos a sua definição: Se uma variável aleatória assume valores v 1, v 2,..., v n cujas probabilidades são, respectivamente: p 1, p 2,..., p n, sendo que p 1 + p p n = 1, então o valor esperado dessa variável é: E = v 1 p 1 + v 2 p v n p n EXEMPLO 1 O governo avalia em 22%, 36%, 28% e 14% a probabilidade de que a venda da estatal XYZ renda um lucro de R$ 2 500, R$ e R$ 500, ou um prejuízo de R$ 500 (em milhares de reais). Qual o lucro esperado?

52 Solução: Valor esperado E = x 0, x 0, x 0,28 – 500 x 0,14 = milhares de reais. EXEMPLO 2 Usando a noção de valor esperado, podemos facilmente ver o quão equivocada é a expectativa dos apostadores de jogos de cassino, jogo do bicho e loterias. Nesses jogos, em média, o jogador sempre perde. Comecemos por uma loteria simples e fácil de entender: jogadores apostam R$ 5,00 em um número de 000 a 999, recebendo R$ 2 500,00 se o mesmo for sorteado. Interessado? Vejamos: as probabilidades de acertar e errar são: 0,001 e 0,999, de modo que, em cada aposta, o jogador em média recebe: E = 2500 x 0, x 0,999 = -2,495, ou seja: ele perde, em média, R$ 2,50 cada vez que jogar.

53 Exercícios Resolvidos 1) (UFF - RJ) Em um jogo de bingo são sorteadas, sem reposição, bolas numeradas de 1 a 75 e um participante concorre com a cartela reproduzida abaixo. Qual é a probabilidade de que os três primeiros números sorteados estejam nessa cartela? B I N G O ª solução: Total de casos possíveis: C 75,3 = Total de casos favoráveis: C 24,3 = 2ª Solução: Pelo princípio multiplicativo das probabilidades

54 2) (Concurso para Professores – Ensino Fundamental – SME Valença RJ – 1998) A turma 801 da Escola Esperança é constituída de 12 meninas e 8 meninos. Com o objetivo de organizar uma gincana na escola, deseja-se selecionar 3 alunos para representantes de turma. Qual a probabilidade aproximada de que essa comissão de representantes tenha exatamente 2 meninas e 1 menino? Solução: Total de comissões que podem ser formadas: Total de comissões com 2 meninas e 1 menino: Probabilidade pedida: p = 528 / ,46 ou 46%

55 3) A chance de um time ser campeão, em termos de favorabilidade é de 180%. Expresse essa chance em termos de probabilidade. Solução: F = 180 / 100 = 9 / 5 Logo, temos 9 casos favoráveis contra 5 desfavoráveis. Em termos de probabilidade, teremos: P = 9 / 14 0,64 ou 64% Conclusão: A probabilidade desse time ser campeão é de 64%, aproximadamente.

56 PROBABILIDADE GEOMÉTRICA UMA QUESTÃO INICIAL Um atirador, com os olhos vendados, procura atingir um alvo circular com 50 cm de raio, tendo no centro um disco de 10 cm de raio. Se em certo momento temos a informação de que o atirador acertou o alvo, perguntamos qual deve ser a probabilidade de que tenha atingido o disco central. No ensino médio, o ensino de probabilidades se restringe ao caso finito e os problemas são basicamente de contagem de casos favoráveis e casos possíveis. Existem, entretanto, problemas muito simples e interessantes de probabilidades onde o espaço amostral possui a situação análoga ao exemplo mostrado acima. A questão apresentada, bastante simples, costuma ser resolvida acertadamente por muitos alunos com base apenas na intuição. Mas existem outras bastante mais complexas e que exigem um estudo detalhado desse tema.

57 DEFINIÇÃO: PROBABILIDADE GEOMÉTRICA Se tivermos uma região B, do plano, contida numa região A, admitimos que a probabilidade de um ponto de A também pertencer a B (e que chamamos de probabilidade geométrica) é proporcional à área da região B e não depende da posição que B ocupa em A. Em outras palavras, se B está contido em A, a probabilidade de que um ponto de A, selecionado ao acaso também pertença a B é igual a: Demos uma definição com áreas de regiões do plano, mas poderíamos usar definições semelhantes para comprimentos de segmentos ou volumes de regiões não planas, dependendo da situação envolvida no problema.

58 ATIVIDADE DE APLICAÇÃO: O JOGO DOS DISCOS Trata-se de um jogo que tem sido aplicado com grande sucesso em aulas de Prática de Ensino nas Licenciaturas de Matemática, bem como nas aulas do Ensino Médio, como aplicação do conceito de Probabilidade Geométrica. O jogo Uma escola estava preparando uma Feira de Ciências e foi pedido aos estudantes que bolassem um jogo que servisse para arrecadar fundos para uma um laboratório de matemática. Os estudantes observaram que o piso do salão onde se realizaria a feira era formado por placas quadradas de Paviflex, com 30 cm de lado, cada uma. Pensaram então em construir discos de papelão ou de madeira, de um certo diâmetro d que seriam entregues aos visitantes, a R$ 2,00 cada um para que jogassem sobre o piso. Combinaram o seguinte desafio: o participante só seria premiado se o disco caísse dentro de uma placa sem tocar num de seus lados. Se a pessoa fosse vitoriosa, receberia R$ 4,00 (um ganho de 100%).

59 O problema para os estudantes que tinham bolado a brincadeira era saber qual o valor do diâmetro d do disco a ser construído, de modo que o jogo resultasse em favor da Escola. Sabiam ainda que quanto menor o valor desse diâmetro, melhor seria para o jogador e quanto maior ele fosse, melhor seria para a Escola, sendo que, tinham em mente também que esse favorecimento da Escola não poderia ser exagerado pois se o jogo fosse muito desfavorável aos apostadores, ninguém iria querer jogar. Acordaram que uma probabilidade de 60% em favor da Escola seria adequada aos propósitos. Favorável ao jogador Favorável à Escola

60 1)Qual o valor do diâmetro d, adequado à proposta, ou seja, que gera uma probabilidade de 40% favorável ao jogador e 60% favorável à Escola? 2)Se usaram esse diâmetro adequado às pretensões, qual o lucro da Escola se foram atirados 1000 discos? SOLUÇÃO: Podemos imaginar o caso ideal de considerar que lançar o disco aleatoriamente no piso é o mesmo que lançar seu centro, também aleatoriamente. Assim, a probabilidade p do jogador ganhar (no nosso caso 40%) é a mesma probabilidade de um ponto, lançado aleatoriamente dentro de um quadrado de lado 30 cm, cair dentro de um outro quadrado, concêntrico, de lado igual a 30 – d. Verifique no modelo que apresentamos a seguir que se esse ponto caísse sobre um dos lados do quadrado menor (afastado em d/2 dos lados do maior) o disco seria tangente a um dos lados do piso (quadrado maior) e se o ponto (centro do disco) caísse fora do quadrado menor, o disco seria secante a um dos lados do quadrado maior

61 d Usando a noção de probabilidade geométrica, teremos: Como queremos que a probabilidade de sucesso para o jogador seja de 40%, temos que igualar a fração a 0,4. Resolvendo a equação obtida, vamos obter d 11,03 cm.

62 Sugestão para sala de aula: Vamos mostrar uma experiência do prof. Roberto Paterlini, desenvolvida com alguns colegas professores da UFSCar (São Paulo) que a aplicaram com seus alunos do Ensino Médio. Para resolver o problema dos discos, de forma experimental, foram construídos diversos discos de madeira (ou borracha) com diâmetros iguais a 4, 6, 8, 10, 12, 14 cm. Os professores que elaboraram a experiência acordaram que deveriam ser feitos, no mínimo, uns 200 lançamentos para cada diâmetro construído. Para facilitar e poderem contar com várias pessoas experimentando, construíram 10 discos de cada tipo (para 10 participantes) e cada um realizou 20 lançamentos, por tipo de diâmetro. Foram anotando a freqüência de lançamentos vitoriosos para cada diâmetro usado e, ao final, fazendo a razão entre os casos favoráveis, sobre 200 (que foi o total de arremessos), chegaram à seguinte tabela:

63 Diâmetro d Probabilidade de acertos (p) 4 cm75,5% 6 cm68,5% 8 cm62% 10 cm50% 12 cm38% 14 cm32% Assumiram então uma resposta experimental (aproximada, é claro) de que o diâmetro ideal para a proposta deveria ser de 11,5 cm (para gerar uma probabilidade 40% favorável ao jogador). Note que, como fizeram um grande número de arremessos, a resposta obtida foi bastante próxima do valor que encontramos pela probabilidade geométrica. Quanto à outra pergunta, se forem lançados 1000 discos no tamanho calculado, a expectativa é que a escola tenha um lucro de R$ 400,00. Confira!!!!

64 ATIVIDADE DE APLICAÇÃO: O Problema do Macarrão (adaptado de: SBM – Revista do Professor de Matemática, nº 34 – 1997 – Eduardo Wagner) Gostaria que todos dividissem o macarrão que receberam em três pedaços quaisquer. Gostaria agora que verificassem se conseguem formar um triângulo com as três partes obtidas. DIVIDINDO, ALEATORIAMENTE, UM SEGMENTO DE RETA EM 3 PARTES, QUAL É A PROBABILIDADE DE QUE ESSES NOVOS SEGMENTOS FORMEM UM TRIÂNGULO? Trata-se de uma questão não muito simples e cuja solução recai em Probabilidade Geométrica. Vamos tentar? A resposta, posso adiantar, é de 25%.

65 Solução do problema do macarrão (por probabilidade geométrica) Vamos supor um segmento de reta AB, representando o macarrão. Vamos adotar que ele tenha comprimento unitário. Em seguida, através dos pontos M e N, vamos dividir o nosso segmento (macarrão) em três partes, AM, MN e NB, que representaremos, respectivamente, por: x, y e 1 – x – y. Logo, cada uma das maneiras de dividir o segmento em três partes fica definida pelo par ordenado (x, y), que atende às seguintes condições:

66 Sabemos que essas três condições, no plano cartesiano, definem uma região triangular que representamos abaixo: Os pares (x,y) que representam todas as divisões possíveis são dados pelos pontos interiores ao triângulo da figura ao lado. Mas é claro que nem todas essas divisões gerarão triângulos. Vamos continuar investigando. Basta lembrar que o triângulo só estará definido se cada segmento for menor do que a soma dos outros dois (condição de existência de um triângulo). Isso equivale a dizer que cada lado é inferior ao semiperímetro do triângulo, vejamos: Se designarmos os três lados de um triângulo qualquer por a, b, c, a condição de existência desse triângulo diz que a < b + c (1). Se representarmos o perímetro a + b + c por 2p, teremos: a + b + c = 2p ou então b + c = 2p – a (2).

67 Substituindo a relação (2) na relação (1), teremos: a < 2p – a ou 2 a < 2 p ou finalmente a < p, o que prova a nossa afirmativa. Essa propriedade vai acarretar para nosso problema, considerando como unidade de medida o comprimento do macarrão (1 u), as seguintes condições: Essas três novas condições (casos favoráveis ao nosso problema) definem uma nova região, interior ao triângulo formado pelos pontos médios dos lados do nosso triângulo inicial. Vejamos na figura a seguir: É claro que a razão entre a área desse triângulo (casos favoráveis) e a área do triângulo inicial (total de casos possíveis) é igual a ¼ ou 0,25 ou 25%.

68 Temas para pesquisa e aprofundamento Teoria dos Grafos Teoria dos Grafos Teoria das Filas Teoria das Filas Probabilidade Condicional – Teorema de Bayes Probabilidade Condicional – Teorema de Bayes Genética e Probabilidades Genética e Probabilidades Loterias Brasileiras e Probabilidade Loterias Brasileiras e Probabilidade Distribuição Binomial em Probabilidade Distribuição Binomial em Probabilidade Cada grupo de duas ou três pessoas deverá escolher um dos temas acima para apresentarem na próxima aula. Deverão entregar um texto sobre o tema escolhido, com duas cópias (uma para a turma e outra para o professor), além de fazerem uma apresentação sobre o assunto. Importante fazerem alguma aplicação sobre o tema e também citarem as fontes da consulta.


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