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As complexas Redes José Garcia Vivas Miranda. Conteúdo Konigsberg...Era uma vez, na longínqua cidade de Konigsberg... Teoria dos grafos Redes Redes.

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1 As complexas Redes José Garcia Vivas Miranda

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3 Conteúdo Konigsberg...Era uma vez, na longínqua cidade de Konigsberg... Teoria dos grafos Redes Redes complexas Caracterização Dinâmica em redes Prática –Pajek R e d e s C o m p l e x a s

4 Era uma vez, na longínqua cidade de Konigsberg... H i s t ó r i c o

5 Grafos Conceitos matemáticos. Um grafo G(V,A) é definido pelo par de conjuntos V e A, onde: V - os vértices ou nodos do grafo; A - pares ordenados a=(v,w) V: as arestas do grafo. Seja, por exemplo, o grafo G(V,A) dado por: V = { p | p é uma pessoa } A = { (v,w) | } Exemplo: V = { Maria, Pedro, Joana, Luiz } A = { (Maria, Pedro), (Joana, Maria), (Pedro, Luiz), (Joana, Pedro) } relação simétrica : se então. As arestas que ligam os vértices não possuem orientação M a t e m á t i c a

6 Dígrafos Grafos orientados. Considere, agora, o grafo definido por: V = { p | p é uma pessoa da família Castro } A = { (v,w) | } Um exemplo de deste grafo é: V = { Emerson, Isadora, Renata, Antonio, Rosane, Cecília, Alfredo } A = {(Isadora, Emerson), (Antonio, Renata), (Alfredo, Emerson), (Cecília, Antonio), (Alfredo, Antonio)} A relação não é simétrica pois se, não é o caso de. O grafo acima é dito ser um grafo orientado (ou digrafo). As conexões entre os vértices (ou nós) são chamadas de arcos. M a t e m á t i c a

7 Representações C o n c e i t o s

8 Ordem de um grafo A ordem de um grafo G é dada pela cardinalidade do conjunto de nós, ou seja, pelo número de vértices de G. Nos exemplos dados: Ordem 6 Ordem 4 C o n c e i t o s

9 Adjacência Dois vértices v e w são adjacentes (ou vizinhos) se há uma aresta a=(v,w). É o caso dos vértices Maria e Pedro em G 1. No caso do grafo ser dirigido (G 2 ), a adjacência é especializada em: Sucessor: w é sucessor de v se há um arco que parte de v e chega em w. Ex.: em G 2, Emerson e Antonio são sucessores de Alfredo. Antecessor: v é antecessor de w se há um arco que parte de v e chega em w. Em G 2, Alfredo e Cecília são antecessores de Antonio. G1 G2 C o n c e i t o s

10 Grau O grau de um nó é dado pelo número de arestas que lhe são incidentes. Em G 1, por exemplo: grau(Pedro) = 3 grau(Maria) = 2 Para grafos dirigidos temos: Grau de emissão: número de arcos que partem de v. grauDeEmissão(Antonio) = 1 grauDeEmissao(Alfredo) = 2 grauDeEmissao(Renata) = 0 Grau de recepção: número de arcos que chegam a v. grauDeRecepção(Antonio) = 2 grauDeRecepção(Alfredo) = 0 grauDeRecepção(Renata) = 1 G1 G2 C o n c e i t o s

11 Um nó v é uma fonte se grauDeRecepção(v) = 0. É o caso dos vértices Isadora, Alfredo e Cecília em G 2. Fonte G2 C o n c e i t o s

12 Um vértice v é um sumidouro se grauDeEmissão(v) = 0. É o caso dos vértices Renata e Emerson em G 2. Sumidouro G2 C o n c e i t o s

13 Laço Um laço é uma aresta ou arco do tipo a=(v,v), ou seja, que relaciona um vértice a ele próprio. Em G 3 há três ocorrências de laços para um grafo não orientado. G3 C o n c e i t o s

14 Grafo regular Um grafo é dito ser regular quando todos os seus vértices tem o mesmo grau. O grafo G 4, por exemplo, é dito ser um grafo regular-3 pois todos os seus vértices tem grau 3. G4: C o n c e i t o s

15 Grafo Completo Quando há uma aresta entre cada par de seus vértices. Estes grafos são designados por K n, onde n é a ordem do grafo. Um grafo K n possui o número máximo possível de arestas para um dados n. Ele é, também regular-(n-1) pois todos os seus vértices tem grau n-1. C o n c e i t o s

16 Grafo Ponderado Um grafo G(V,A) é ponderado quando existe uma funções relacionando V e/ou A com um conjunto de números. Ex.: V = {v | v é um bairro} A = {(v,w,t) | Itinga Ribeira Lapa Pituba C o n c e i t o s

17 Cadeia É uma seqüência de arestas adjacentes que ligam dois vértices. Para grafos orientados se ignora o sentido dos arcos A seqüência (x 6, x 5, x 4, x 1 ) é uma cadeia em G 5. elementar se não passa duas vezes pelo mesmo nó. simples se não passa duas vezes pela mesma aresta. comprimento de uma cadeia é o número de arestas (arcos) que a compõe. G5:G5: C o n c e i t o s

18 Caminho Um caminho é uma cadeia na qual todos os arcos possuem a mesma orientação. Aplica-se, portanto, somente a grafos orientados. Os nós (x 1, x 2, x 5, x 6, x 3 ) é um exemplo de caminho em G 5. G5:G5: Grafo Conexo : G é conexo se para todo par x,y de vértices existe um caminho que liga x a y. C o n c e i t o s

19 Matriz de adjacência AB C D ABCD A0010 B1011 C0100 D0000 Como seria uma fonte? Sumidouro C o n c e i t o s

20 Fechamento de trânsito Considerando um dígrafo não ponderado a expressão lógica: adj[i][k] && adj[k][j] será TRUE se e somente se existe um arco entre i e j passando por k. AB C D A expressão adj[i][0] && adj[0][j] || adj[i][1] && adj[1][j] ||... será TRUE se e somente se existir um caminho de comprimento 2 do no i ao j passando por 0, ou 1, ou 2, ou 3... Existe uma matriz ajd 2 chamada de matriz de caminhos de comprimento 2. ajd 2 é o produto booleano de adj com ela mesma. C o n c e i t o s

21 AB C D Fechamento de trânsito exemplo ABCD A0010 B1011 C0100 D0000 ABCD A0100 B0100 C1011 D0000 Matriz adjMatriz adj 2 C o n c e i t o s

22 Matriz path é a matriz que assummirá TRUE se e somente se existir um caminho, de qualquer tamanho, entre i e j. Evidentemente: path[i][j]=adj[i][j] || adj 2 [i][j] || adj 3 [i][j] ||... || adj n [i][j] Onde n é o numero de nós do grafo. Fechamento de trânsito Matriz path AB C D ABCD A1111 B1111 C1111 D0000 Matriz path, ou fechamento de trânsito de adj. Código no Tenembaum C o n c e i t o s

23 Matriz de vizinhança ABCD A1111 B1111 C1111 D0000 ABCD A3213 B1211 C2122 D0000 AB C D C o n c e i t o s

24 Fechamento de trânsito Algoritmo de WARSHALL FecTra(int adj[][MAXNO],int path[][MAXNO]) { int i,j,k; for(i=0;i

25 Redes Complexas

26 1.Menor caminho médio: L = comprimento médio do menor caminho entre nós Se A é amigo de B e de C, então existe a probabilidade de B ser amigo de C. 2.Coeficiente agregação: C = # de ligações entre os vizinhos de um nós # de ligações total possível entre esses vizinhos 3. Conectividade dos nós: k = número de ligações existentes nesse nós (grau) Alguns Conceitos Importantes C = 0 C = Í n d i c e s

27 Distribuição de Graus k = Í n d i c e s P(k) k

28 Tipos de Redes Redes Livres de Escala Redes Aleatórias Redes de Mundo Pequeno (Small World)

29 Publications Mathematicae, 6 (1959) 290. Paul Erdös ( ) Alfréd Rényi ( ) Grafos aleatórios

30 Grafos aleatórios Modelo de Erdös e Rényi Dada uma probabilidade p e N vértices, são adicionadas arestas de forma aleatória. Para cada uma das p(N(N-1))/2 arestas possíveis.....se sorteiam um par de vértices... caso não exista uma aresta entre os vértices... Sorteia-se um número q, caso q

½ eliminar arestas.

31 Rede Erdös-Rényi (1960) Democrático Aleatório p = 1/6 N = 10 k ~ 1,6 L ~ 1,3 C~0.15 Distribuição de Poisson Pál Erdös Pál Erdös ( ) Ligar vértices com probabilidade, p e (N fixo) Se N é grande e p é pequeno a distribuição é binomial.

32 Redes aleatórias

33 Em uma rede aleatória, a probabilidade de dois vértices vizinho de um vértice arbritário se conectem é a mesma de que dois vértices quaisquer se conectem, ou seja: Redes aleatórias Aglomeração médio

34 Qual a probabilidade crítica em que todos os nós da rede estão conectados em um único aglomerado gigante? O Limite de percolação infinita em redes equivale a N Resultados de Erdös e Rényi: Redes aleatórias Percolação Ver NETLOGO

35 160 cartas foram enviadas a pessoas em Omaha (Nebraska), com o pedido de que elas reenviassem a correspondência a conhecidos que pudessem fazê-la chegar mais perto do destinatário alvo: um corretor de valores em Boston (Massachusetts). Experimento de Stanley Milgram Famoso experimento do psicólogo social Stanley Milgram (1967). Redes de mundo pequeno

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37 O Mundo é Pequeno!!! No fim do experimento, Milgram descobriu que as cartas que chegaram ao destino passaram por seis pessoas (em média).

38 Rede small-world (Watts- Strogatz, 1998) Watts & Strogatz, Nature 393, 440(1998)

39 Diz-se que uma rede apresenta este tipo de comportamento quando a menor distância média entre nós (vértices) variar com o logaritmo do tamanho do sistema (N), e o coeficiente de aglomeração for grande comparado com o caso aleatório. Zona de mundo pequeno Watts & Strogatz, Nature 393, 440(1998) Rede regular Rede aleatória Fenômeno mundo pequeno Ver NETLOGO

40 Redes Livre de Escala R. Albert, H. Jeong, A-L Barabasi, Nature, (1999).

41 Redes Livre de Escala Iniciando com uma rede aleatória de tamanho m o muito menor que N Cada passo é acrescentado um novo vértice na rede e m (m< m o )arestas que o conectam com o resto da rede. O mecanismo de conexão é dado pelo algoritmo de preferential attachment dada pela probabilidade: Após t passos a rede terá N=t+m o vértices e mt+E(m o ) arestas. Distribuição de graus para diferentes valores de m o. Ver NETLOGO

42 Redes Livre de Escala R. Albert, H. Jeong, A-L Barabasi, Nature, (1999). Muitas redes neturais exibem este comportamento. Idéia de The rich get richer

43 Este tipo de fenómeno é válido tanto para a Internet, como para reacções metabólicas ou redes de proteínas. Esquema de uma rede livre de escala. Um ataque aos nodos a vermelho pode ser drástico. O número destes pontos vitais é baixo. Logo, no caso de falhas aleatórias na maior parte dos casos são atacados nodos verdes ou pretos. Robustez

44 Falha

45 Ataque

46 Muitas redes naturais exibem uma topologia do tipo Mundo pequeno ou Livre de Escala. Fractais e redes complexas C. Song, S. Havlin, and H. A. Makse, Nature (London) 433, 392 (2005).

47 Sendo a rede Fractal, esta exibirá um comportamento em forma de lei de potência. Fractais e redes complexas Invariância na distribuição de graus.

48 Agentes e redes complexas Autômatos e redes complexas

49 Cronologia das Redes

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51 Aplicações das redes complexas

52 Redes de Chuva Rede de estações meteorológicas. A p l i c a ç õ e s

53 Redes de Chuva (Charles Santana) A p l i c a ç õ e s

54 Redes de migração (Fernanda Regebe) SAÍDAS = -2,5 A p l i c a ç õ e s

55 Redes de tuberculose (Alex e Helder Santana) Levantamento da rede social de lugares comuns. Elaboração de um modelo de agentes autônomos sobre uma rede complexa. Matriz de probabilidade de contágio! A p l i c a ç õ e s

56 Rede de acesso a internet (Helder Santana) Rede de acesso ao servidor UFBA A p l i c a ç õ e s

57 Plasticidade Neural O modelo –Utilizando métodos da física estatística se constrói uma rede com propriedades complexas. –Esta rede representa a rede de sinapses, onde o nó da rede é o neurônio e as arestas as sinapses. –Tarefa difícil é a de fazer com que a rede se estabilize. Ver modelo funcionando Um modelo similar está sendo feito para o aparelho psíquico. A p l i c a ç õ e s

58 Plasticidade Neural A p l i c a ç õ e s

59 Redes semânticas NORMALINTERNADO S_11 S_12 A p l i c a ç õ e s

60 Matrizes de vizinhança A p l i c a ç õ e s

61 Estudos atuais Esquizofrenia (ISC) Dengue (ISC, Hugo Saba) Tuberculose (ISC, Alex e Helder) Agentes autônomos do mercado financeiro em redes complexas (Marcos, Banco Central,UCC) Redes de diferenciação celular (Viviane,UEFS) Agentes em Células Tronco (Viviane,FioCruz) Aparelho Psíquico de Freud (Jayme, CPPEV) Redes de Neuroplasticidade (Nadja, CPPEV) Redes de Chuva (Charles, UEFS) Métodos teóricos (Matrizes de ordem superior) Genoma (UEFS)... A p l i c a ç õ e s

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63 Referências 1. S. Milgram, The Small World Problem, Psychology Today 1, (1967). 2. S. N. Dorogovtsev, J. F. F. Mendes, Evolution of Networks,Advances in Physics 51, 1079 (2002). 3. R. Albert, A-L. Barabási, Statistical mechanics of complex networks, Reviews of Modern Physics 74, 47 (2002)

64 O b r i a d o


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