José Garcia Vivas Miranda

Apresentação em tema: "José Garcia Vivas Miranda"— Transcrição da apresentação:

1 José Garcia Vivas Miranda
As complexas Redes José Garcia Vivas Miranda

2 REDES

3 Conteúdo Era uma vez, na longínqua cidade de Konigsberg...
Teoria dos grafos Redes Redes complexas Caracterização Dinâmica em redes Prática Pajek R e d e s C o m p l e x a s

4 Era uma vez, na longínqua cidade de Konigsberg...
H i s t ó r i c o

5 Conceitos matemáticos.
Grafos Conceitos matemáticos. Um grafo G(V,A) é definido pelo par de conjuntos V e A, onde: V - os vértices ou nodos do grafo; A - pares ordenados a=(v,w)  V: as arestas do grafo. Seja, por exemplo, o grafo G(V,A) dado por: V = { p | p é uma pessoa } A = { (v,w) | < v é amigo de w > } Exemplo: V = { Maria, Pedro, Joana, Luiz } A = { (Maria, Pedro) , (Joana, Maria) , (Pedro, Luiz) , (Joana, Pedro) } relação simétrica : se <v é amigo de w> então <w é amigo de v>. As arestas que ligam os vértices não possuem orientação M a t e m á t i c a

6 Dígrafos Grafos orientados. Considere, agora, o grafo definido por:
V = { p | p é uma pessoa da família Castro } A = { (v,w) | < v é pai/mãe de w > } Um exemplo de deste grafo é: V = { Emerson, Isadora, Renata, Antonio, Rosane, Cecília, Alfredo } A = {(Isadora, Emerson), (Antonio, Renata), (Alfredo, Emerson), (Cecília, Antonio), (Alfredo, Antonio)} A relação não é simétrica pois se <v é pai/mãe de w>, não é o caso de <w é pai/mãe de v>. O grafo acima é dito ser um grafo orientado (ou digrafo). As conexões entre os vértices (ou nós) são chamadas de arcos. M a t e m á t i c a

7 Representações 10 8 3 7 5 8 7 C o n c e i t o s 6

8 Ordem de um grafo A ordem de um grafo G é dada pela cardinalidade do conjunto de nós, ou seja, pelo número de vértices de G. Nos exemplos dados: Ordem 4 C o n c e i t o s Ordem 6

9 Adjacência Dois vértices v e w são adjacentes (ou vizinhos) se há uma aresta a=(v,w). É o caso dos vértices Maria e Pedro em G1. No caso do grafo ser dirigido (G2), a adjacência  é especializada em: Sucessor: w é sucessor de v se há um arco que parte de v e chega em w. Ex.: em G2, Emerson e Antonio são sucessores de Alfredo. Antecessor: v é antecessor de w se há um arco que parte de v e chega em w. Em G2, Alfredo e Cecília são antecessores de Antonio. G1 G2 C o n c e i t o s

10 Grau O grau de um nó é dado pelo número de arestas que lhe são incidentes. Em G1, por exemplo: grau(Pedro) = 3 grau(Maria) = 2 Para grafos dirigidos temos: Grau de emissão: número de arcos que partem de v. grauDeEmissão(Antonio) = 1 grauDeEmissao(Alfredo) = 2 grauDeEmissao(Renata) = 0 Grau de recepção: número de arcos que chegam a v. grauDeRecepção(Antonio) = 2 grauDeRecepção(Alfredo) = 0 grauDeRecepção(Renata) = 1 G1 G2 C o n c e i t o s

11 Fonte Um nó v é uma fonte se grauDeRecepção(v) = 0.
É o caso dos vértices Isadora, Alfredo e Cecília em G2. G2 C o n c e i t o s

12 Sumidouro Um vértice v é um sumidouro se grauDeEmissão(v) = 0.
É o caso dos vértices Renata e Emerson em G2. G2 C o n c e i t o s

13 Laço Um laço é uma aresta ou arco do tipo a=(v,v), ou seja, que relaciona um vértice a ele próprio. Em G3 há três ocorrências de laços para um grafo não orientado. G3 C o n c e i t o s

14 Grafo regular Um grafo é dito ser regular quando todos os seus vértices tem o mesmo grau. O grafo G4, por exemplo, é dito ser um grafo regular-3 pois todos os seus vértices tem grau 3. G4: C o n c e i t o s

15 Grafo Completo Quando há uma aresta entre cada par de seus vértices. Estes grafos são designados por Kn, onde n é a ordem do grafo. Um grafo Kn possui o número máximo possível de arestas para um dados n. Ele é, também regular-(n-1) pois todos os seus vértices tem grau n-1. C o n c e i t o s

16 Grafo Ponderado Um grafo  G(V,A) é ponderado quando existe uma funções relacionando V e/ou A com um conjunto de números. Ex.: V = {v | v é um bairro} A = {(v,w,t) | <há linha de ônibus ligando v a w, sendo t o tempo esperado de viagem> Itinga Ribeira Lapa Pituba 50 60 40 30 120 C o n c e i t o s

17 Cadeia É uma seqüência de arestas adjacentes que ligam dois vértices. Para grafos orientados se ignora o sentido dos arcos A seqüência (x6, x5, x4, x1) é uma cadeia em G5. elementar se não passa duas vezes pelo mesmo nó. simples se não passa duas vezes pela mesma aresta. comprimento de uma cadeia é o número de arestas (arcos) que a compõe. G5: C o n c e i t o s

18 Caminho Um caminho é uma cadeia na qual todos os arcos possuem a mesma orientação. Aplica-se, portanto, somente a grafos orientados. Os nós (x1, x2, x5, x6, x3) é um exemplo de caminho em G5. G5: C o n c e i t o s Grafo Conexo : G é conexo se para todo par x,y de vértices existe um caminho que liga x a y.

19 Matriz de adjacência A B C D Sumidouro Como seria uma fonte?
1 Como seria uma fonte? C o n c e i t o s

20 Fechamento de trânsito
Considerando um dígrafo não ponderado a expressão lógica: adj[i][k] && adj[k][j] será TRUE se e somente se existe um arco entre i e j passando por k. A expressão adj[i][0] && adj[0][j] || adj[i][1] && adj[1][j] || ... será TRUE se e somente se existir um caminho de comprimento 2 do no i ao j passando por 0, ou 1, ou 2, ou 3... Existe uma matriz ajd2 chamada de matriz de caminhos de comprimento 2. ajd2 é o produto booleano de adj com ela mesma. A B C D C o n c e i t o s

21 Fechamento de trânsito
exemplo A B C D A B C D 1 A B C D 1 C o n c e i t o s Matriz adj Matriz adj2

22 Fechamento de trânsito
Matriz path Matriz path é a matriz que assummirá TRUE se e somente se existir um caminho, de qualquer tamanho, entre i e j. Evidentemente: path[i][j]=adj[i][j] || adj2[i][j] || adj3[i][j] || ... || adjn[i][j] Onde n é o numero de nós do grafo. A B C D 1 A B C D C o n c e i t o s Matriz path, ou fechamento de trânsito de adj. Código no Tenembaum

23 Matriz de vizinhança A B C D A B C D 1 A B C D 3 2 1 C o n c e i t o s

24 Fechamento de trânsito
Algoritmo de WARSHALL Definir pathk de forma que pathk[i][j] será TRUE se e somente se existir um caminho entre i e j que não passe por nenhum nó com numeração acima de k. pathk+1 será TRUE se e somente se: pathk [i][j]=TRUE pathk[i][k+1]= TRUE e pathk[k+1][j]=TRUE FecTra(int adj[][MAXNO],int path[][MAXNO]) { int i,j,k; for(i=0;i<MAXNO;++i) for(j=0;j<MAXNO;++j) path[i][j]=adj[i][j]; for(k=0;k<MAXNO;++k) if(path[i][k]) path[i][j]=path[i][j] || path[k][j]; }

25 Redes Complexas

26 Alguns Conceitos Importantes
Menor caminho médio: L = comprimento médio do menor caminho entre nós # de ligações entre os vizinhos de um nós # de ligações total possível entre esses vizinhos Coeficiente agregação: C = C = 0 C = 1 Se A é amigo de B e de C, então existe a probabilidade de B ser amigo de C. Conectividade dos nós: k = número de ligações existentes nesse nós (grau) Í n d i c e s 1 5 2 3

27 Distribuição de Graus k = 5 P(k) Í n d i c e s k

28 Redes de Mundo Pequeno (Small World)
Tipos de Redes Redes Livres de Escala Redes Aleatórias Redes de Mundo Pequeno (Small World)

29 Grafos aleatórios Alfréd Rényi Paul Erdös (1921-1970) (1913-1996)
Publications Mathematicae, 6 (1959) 290.

30 Grafos aleatórios Modelo de Erdös e Rényi
Dada uma probabilidade p e N vértices, são adicionadas arestas de forma aleatória. Para cada uma das p(N(N-1))/2 arestas possíveis.. ...se sorteiam um par de vértices ... caso não exista uma aresta entre os vértices ... Sorteia-se um número q, caso q<p a aresta é adicionada para este par. Este procedimento é feito para todas as p(N(N-1))/2 arestas do grafo. Problemas: Para probabilidades altas o algoritmo é bastante lento! Solução: Para p> ½ eliminar arestas.

31 Ligar vértices com probabilidade, p e (N fixo)
Pál Erdös ( ) Rede Erdös-Rényi (1960) Ligar vértices com probabilidade, p e (N fixo) p = 1/6 N = 10 k ~ 1,6 L ~ 1,3 C~0.15 Distribuição de Poisson Democrático Aleatório Se N é grande e p é pequeno a distribuição é binomial.

32 Redes aleatórias

33 Redes aleatórias Aglomeração médio
Em uma rede aleatória, a probabilidade de dois vértices vizinho de um vértice arbritário se conectem é a mesma de que dois vértices quaisquer se conectem, ou seja:

34 Redes aleatórias Percolação Ver NETLOGO
Qual a probabilidade crítica em que todos os nós da rede estão conectados em um único aglomerado gigante? O Limite de percolação infinita em redes equivale a N Resultados de Erdös e Rényi: Ver NETLOGO

35 Experimento de Stanley Milgram
Redes de mundo pequeno Experimento de Stanley Milgram Famoso experimento do psicólogo social Stanley Milgram (1967). 160 cartas foram enviadas a pessoas em Omaha (Nebraska), com o pedido de que elas reenviassem a correspondência a conhecidos que pudessem fazê-la chegar mais perto do destinatário alvo: um corretor de valores em Boston (Massachusetts).

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37 O Mundo é Pequeno!!! No fim do experimento, Milgram descobriu que as cartas que chegaram ao destino passaram por seis pessoas (em média).

38 Rede small-world (Watts-Strogatz, 1998)
Watts & Strogatz, Nature 393, 440(1998)

39 Fenômeno mundo pequeno
Diz-se que uma rede apresenta este tipo de comportamento quando a menor distância média entre nós (vértices) variar com o logaritmo do tamanho do sistema (N), e o coeficiente de aglomeração for grande comparado com o caso aleatório. Rede regular Zona de mundo pequeno C elevado e L pequeno, portanto tem uma característica de rede aletória com outra de rede regular. Rede aleatória Ver NETLOGO Watts & Strogatz, Nature 393, 440(1998)

40 Redes Livre de Escala R. Albert, H. Jeong, A-L Barabasi, Nature, (1999).

41 Redes Livre de Escala Iniciando com uma rede aleatória de tamanho mo muito menor que N Cada passo é acrescentado um novo vértice na rede e m (m< mo)arestas que o conectam com o resto da rede. O mecanismo de conexão é dado pelo algoritmo de “preferential attachment” dada pela probabilidade: Após t passos a rede terá N=t+mo vértices e mt+E(mo) arestas. Distribuição de graus para diferentes valores de mo. Ver NETLOGO

42 Redes Livre de Escala Muitas redes neturais exibem este comportamento.
Idéia de “The rich get richer” R. Albert, H. Jeong, A-L Barabasi, Nature, (1999).

43 Robustez Eliminar as ligações apropriadas e a web torna-se desconectada Na rede “exponencial” ambos os tipos de damage produzem o mesmo efeito nas três propriedades medidas. No caso da scale free as curvas são diferentes consoante o tipo de damage. O tamanho médio rapidamente cresce com f (fracção de nodos eliminados). O tamanho da grande componente torna-se zero para um dado valor de f_c, indicando o “percolating threshold”, S(f_c)=0 (and behaves like in mean-field theory). Em f_c <s> tem um pico. Portanto um “random damage” tem um efeito menos devastador numa rede scale free do que um ataque intencional. As redes scale free são muito robustas contra ataques aleatórios, ou seja para destruir a sua grancde componente e desintegrar a rede em pequenas partes é necessario praticamente limpar todos os nodos...efeito análogo foi observado em redes reais como: metabólicas, proteínas and food... P_c=z1/z2=1/(<k^2>/<k> - 1) Such distributions and the factor of growth determine the spectrum of unusual properties of these networks. Perhaps, their most impressive property is the unique stability against failures and random damage. To destroy such (infinitive) networks, that is, to decay them to a set of small unconnected clusters, one has often to remove at random almost all their vertices or edges. The resilience to failures is obviously necessary for biological and communication networks. This partly explains why scale-free nets are so widespread in Nature. Esquema de uma rede livre de escala. Um ataque aos nodos a vermelho pode ser drástico. O número destes pontos vitais é baixo. Logo, no caso de falhas aleatórias na maior parte dos casos são atacados nodos verdes ou pretos. Este tipo de fenómeno é válido tanto para a Internet, como para reacções metabólicas ou redes de proteínas.

44 Falha

45 Ataque

46 Fractais e redes complexas
Muitas redes naturais exibem uma topologia do tipo Mundo pequeno ou Livre de Escala. C. Song, S. Havlin, and H. A. Makse, Nature (London) 433, 392 (2005).

47 Fractais e redes complexas
Sendo a rede Fractal, esta exibirá um comportamento em forma de lei de potência. Invariância na distribuição de graus.

48 Agentes e redes complexas
Autômatos e redes complexas

49 Cronologia das Redes

50 Cronologia das Redes

51 Aplicações das redes complexas

52 Redes de Chuva Rede de estações meteorológicas. A p l i c a ç õ e s

53 Redes de Chuva (Charles Santana)
A p l i c a ç õ e s

54 Redes de migração (Fernanda Regebe)
SAÍDAS  = -2,5 A p l i c a ç õ e s

55 Redes de tuberculose (Alex e Helder Santana)
Levantamento da rede social de lugares comuns. Elaboração de um modelo de agentes autônomos sobre uma rede complexa. Matriz de probabilidade de contágio! A p l i c a ç õ e s

56 Rede de acesso a internet (Helder Santana)
Rede de acesso ao servidor UFBA A p l i c a ç õ e s

57 Plasticidade Neural A p l i c a ç õ e s O modelo
Utilizando métodos da física estatística se constrói uma rede com propriedades complexas. Esta rede representa a rede de sinapses, onde o nó da rede é o neurônio e as arestas as sinapses. Tarefa difícil é a de fazer com que a rede se estabilize. Ver modelo funcionando Um modelo similar está sendo feito para o aparelho psíquico. A p l i c a ç õ e s

58 Plasticidade Neural A p l i c a ç õ e s

59 Redes semânticas NORMAL INTERNADO S_12 S_11 A p l i c a ç õ e s

60 Matrizes de vizinhança
A p l i c a ç õ e s

61 Estudos atuais A p l i c a ç õ e s Esquizofrenia (ISC)
Dengue (ISC, Hugo Saba) Tuberculose (ISC, Alex e Helder) Agentes autônomos do mercado financeiro em redes complexas (Marcos, Banco Central,UCC) Redes de diferenciação celular (Viviane,UEFS) Agentes em Células Tronco (Viviane,FioCruz) Aparelho Psíquico de Freud (Jayme, CPPEV) Redes de Neuroplasticidade (Nadja, CPPEV) Redes de Chuva (Charles, UEFS) Métodos teóricos (Matrizes de ordem superior) Genoma (UEFS) ... A p l i c a ç õ e s

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63 Referências S. Milgram, The Small World Problem, Psychology Today 1, (1967). S. N. Dorogovtsev, J. F. F. Mendes, Evolution of Networks,Advances in Physics 51, 1079 (2002). R. Albert, A-L. Barabási, Statistical mechanics of complex networks, Reviews of Modern Physics 74, 47 (2002).

64 O d r b a o i