A apresentação está carregando. Por favor, espere

A apresentação está carregando. Por favor, espere

17/9/2014 19:00ESTATÍSTICA APLICADA I - Estatística Descritiva Estatística Aplicada I Universidade Federal do Pará Instituto de Tecnologia Campus de Tucuruí.

Apresentações semelhantes


Apresentação em tema: "17/9/2014 19:00ESTATÍSTICA APLICADA I - Estatística Descritiva Estatística Aplicada I Universidade Federal do Pará Instituto de Tecnologia Campus de Tucuruí."— Transcrição da apresentação:

1 17/9/ :00ESTATÍSTICA APLICADA I - Estatística Descritiva Estatística Aplicada I Universidade Federal do Pará Instituto de Tecnologia Campus de Tucuruí – CTUC Curso de Engenharia Mecânica Prof. Dr. Jorge Teófilo de Barros Lopes

2 17/9/ :00ESTATÍSTICA APLICADA I - Estatística Descritiva Capítulo I Universidade Federal do Pará Instituto de Tecnologia Estatística Descritiva Campus de Tucuruí – CTUC Curso de Engenharia Mecânica

3 17/9/ :00ESTATÍSTICA APLICADA I - Estatística Descritiva  Introdução  Conceitos e definições  Classificação dos dados  Caracterização e apresentação dos dados  Estatísticas amostrais  Outras apresentações gráficas de dados  Regressão linear I - Estatística Descritiva

4 17/9/ :00ESTATÍSTICA APLICADA I - Estatística Descritiva I - Estatística Descritiva  Introdução  Conceitos e definições  Classificação dos dados  Caracterização e apresentação dos dados  Estatísticas amostrais  Outras apresentações gráficas de dados  Regressão linear

5 17/9/ :00ESTATÍSTICA APLICADA I - Estatística Descritiva 1.1 Introdução ESTATÍSTICA: É a disciplina que objetiva estudar os métodos científicos para a coleta, organização, resumo, apresentação e análise de dados, bem como obter conclusões válidas e tomar decisões razoáveis baseadas em tais análises. Técnicas Estatísticas: São as várias técnicas por meio das quais é possível estudar conjuntos de dados e, a partir de uma amostra (se necessária), tirar conclusões válidas para conjuntos maiores (população).

6 17/9/ :00ESTATÍSTICA APLICADA I - Estatística Descritiva 1.1 Introdução  De uma maneira geral, as técnicas estatísticas são utilizadas em três etapas principais do trabalho de pesquisa: 1.A coleta de dados, incluindo o planejamento do trabalho e da pesquisa; 2.A apresentação dos dados coletados; e 3.A análise dos dados coletados, com a formulação de conclusões e generalizações.

7 17/9/ :00ESTATÍSTICA APLICADA I - Estatística Descritiva 1.1 Introdução -Essa primeira etapa corresponde ao estabelecimento do método de coleta de dados (questionário ou teste ou ensaio de material) e elaboração dos questionamentos; determinação das variáveis que serão estudadas, de acordo com o interesse do pesquisador; e o cálculo do tamanho da amostra, de acordo com a natureza da pesquisa, do tempo e do orçamento disponíveis. Coleta de dados

8 17/9/ :00ESTATÍSTICA APLICADA I - Estatística Descritiva 1.1 Introdução -A segunda etapa requer técnicas específicas para a transformação dos dados numéricos em tabelas ou gráficos (é a partir da organização dos dados coletados que se poderá elaborar a interpretação). Apresentação dos dados coletados Análise dos dados coletados -Essa etapa é simultânea à anterior, pois durante a própria organização dos dados já é possível ir percebendo a tendência geral da pesquisa.

9 17/9/ :00ESTATÍSTICA APLICADA I - Estatística Descritiva 1.1 Introdução No sentido de melhor esclarecer o significado da análise e interpretação dos dados, deve-se estabelecer uma distinção entre Estatística Descritiva e Inferência Estatística.

10 17/9/ :00ESTATÍSTICA APLICADA I - Estatística Descritiva 1.1 Introdução Como o próprio nome sugere, constitui-se num conjunto de técnicas que objetivam descrever, analisar e interpretar os dados numéricos de uma população ou amostra. Estatística Descritiva: Objetiva sintetizar e representar de uma forma compreensível a informação contida num conjunto de dados. Materializa-se na construção de tabelas e/ou gráficos ou no cálculo de medidas que representem convenientemente a informação contida nos dados. Adquire importância quando o volume de dados for significativo.

11 17/9/ :00ESTATÍSTICA APLICADA I - Estatística Descritiva 1.1 Introdução Objetivo mais ambicioso que o da estatística descritiva. Inferência Estatística: Baseada na análise de um conjunto limitado de dados (uma amostra), objetiva caracterizar o todo a partir do qual tais dados foram obtidos (a população). Os métodos e técnicas utilizados são mais sofisticados.

12 17/9/ :00ESTATÍSTICA APLICADA I - Estatística Descritiva 1.1 Introdução Figura 1.1- Diferença entre Estatística Descritiva e Inferência Estatística (Silva e Carvalho, 2006).

13 17/9/ :00ESTATÍSTICA APLICADA I - Estatística Descritiva 1.1 Introdução Figura 1.2- Diferença entre Estatística Descritiva e Inferência Estatística (Silva e Carvalho, 2006).

14 17/9/ :00ESTATÍSTICA APLICADA I - Estatística Descritiva I - Estatística Descritiva  Introdução  Conceitos e definições  Classificação dos dados  Caracterização e apresentação dos dados  Estatísticas amostrais  Outras apresentações gráficas de dados  Regressão linear

15 17/9/ :00ESTATÍSTICA APLICADA I - Estatística Descritiva 1.2 Conceitos e Definições População: É o conjunto de todos os elementos que contêm uma certa característica que se deseja estudar. Como é comum a todos os elementos, esta característica varia em quantidade ou qualidade. Uma população pode ter dimensão finita ou infinita. Amostra: É um subconjunto de dados que pertencem à população. As amostras aleatórias são escolhidas por meio de processos (técnicas de amostragem) que garantem que o subconjunto obtido é representativo da população.

16 17/9/ :00ESTATÍSTICA APLICADA I - Estatística Descritiva 1.2 Conceitos e Definições Principais motivos para o estudo da amostra: 1.População infinita; 2. Custo em termos de tempo ou de dinheiro que um estudo em toda a população implicaria; 3. Obtenção de informação por meio de testes destrutivos, no âmbito industrial; 4. Impossibilidade de acesso a todos os elementos da população.

17 17/9/ :00ESTATÍSTICA APLICADA I - Estatística Descritiva 1.2 Conceitos e Definições Fases do método de análise estatística: No âmbito da Estatística, o método de abordagem dos problemas pode ser dividido em cinco fases: 1.Estabelecimento do objetivo da análise a efetuar (questões a serem resolvidas) e definição das populações correspondentes; 2.Concepção de um procedimento adequado para a seleção de uma ou mais amostras (escolha das técnicas de amostragem a utilizar). 3.Coleta de dados. 4.Análise dos dados (Estatística Descritiva). 5.Estabelecimento de inferências a respeito da população (Inferência Estatística)

18 17/9/ :00ESTATÍSTICA APLICADA I - Estatística Descritiva 1.2 Conceitos e Definições Fases do método de análise estatística: Identificação do problema → Objetivo da análise Planejamento da experiência → Técnicas de Amostragem Coleta de dados Análise exploratória dos dados → Estatística Descritiva Análise e interpretação dos resultados → Inferência Estatística

19 17/9/ :00ESTATÍSTICA APLICADA I - Estatística Descritiva I - Estatística Descritiva  Introdução  Conceitos e definições  Classificação dos dados  Caracterização e apresentação dos dados  Estatísticas amostrais  Outras apresentações gráficas de dados  Regressão linear

20 17/9/ :00ESTATÍSTICA APLICADA I - Estatística Descritiva 1.3 Classificação dos Dados Iniciando o estudo: Isso é necessário, pois podem ocorrer registros que não se encaixam no padrão geral observado e, dessa forma, a sua veracidade deve ser averiguada, pois podem tratar- se de erros de observação, bem como do próprio registro ou provenientes de alterações do fenômeno em estudo. Não existe uma estratégia única para iniciar o estudo descritivo, embora uma primeira recomendação seja começar por uma exploração visual dos dados levantados.

21 17/9/ :00ESTATÍSTICA APLICADA I - Estatística Descritiva 1.3 Classificação dos Dados Iniciando o estudo: Embora estas análises já se encontrem disponíveis em vários softwares e calculadoras programáveis, para uma melhor interpretação das mesmas é conveniente conhecer as técnicas utilizadas. Para se ter uma idéia mais concreta sobre os dados levantados, deve-se recorrer às tabelas e/ou gráficos que podem representar, de maneira sintética, as informações sobre o comportamento de variáveis numéricas levantadas.

22 17/9/ :00ESTATÍSTICA APLICADA I - Estatística Descritiva 1.3 Classificação dos Dados Iniciando o estudo: Portanto, para se proceder um estudo descritivo, é importante: -Ordenação dos dados – fase onde se começa a ter uma idéia a respeito de algumas medidas de posição (média, mediana, quartis etc.); -Estatísticas amostrais – a partir de algumas medidas promove-se um resumo dos dados levantados, relativamente à posição, dispersão e forma; -Agrupamento dos dados e representação gráfica – revela a forma possível para a população em estudo e permite escolher a classe de modelos que deve ser explorada nas análises mais sofisticadas.

23 17/9/ :00ESTATÍSTICA APLICADA I - Estatística Descritiva 1.3 Classificação dos Dados Dados brutos: Como primeiro resultado de uma pesquisa, obtêm- se dados brutos, ou seja, um conjunto de números ainda sem organização alguma. Rol: Os dados brutos são então ordenados de forma crescente ou decrescente, com a indicação da freqüência de cada um, dando origem ao chamado rol. Tabulação dos dados: Depois de elaborar o rol é preciso determinar quantas faixas terá a tabela de freqüência. A fórmula de Sturges é utilizada para estabelecer o número aproximado de classes onde: n = número de elementos da amostra (tamanho da amostra) k = número de classes que a tabela de classes deverá contar.

24 17/9/ :00ESTATÍSTICA APLICADA I - Estatística Descritiva 1.3 Classificação dos Dados Observações: - k deverá ser no mínimo 3 e no máximo 20; - Como a variável k é um número inteiro, ela deverá ser aproximada para o maior inteiro (por exemplo, se k ≈ 6,4, usa-se k = 7). Freqüência de classes: O passo seguinte é subdividir os dados pelas classes ou categorias e determinar o número de indivíduos pertencentes a cada uma, resultando nas freqüências de classes. Apresentação final dos dados (tabela completa): Com base em todos os cálculos feitos anteriormente, pode-se fazer uma nova tabela com todas as freqüências, as quais serão estudadas a posteriori. Gráficos: A partir da tabela de freqüências, faz-se o desenho gráfico, um recurso de visualização dos dados constantes na tabela.

25 17/9/ :00ESTATÍSTICA APLICADA I - Estatística Descritiva 1.3 Classificação dos Dados Os dados que constituem uma amostra podem ser de quatro tipos, assim distribuídos: Qualitativos - Nominal - Ordinal Quantitativos - Intervalar - Absoluto

26 17/9/ :00ESTATÍSTICA APLICADA I - Estatística Descritiva 1.3 Classificação dos Dados a)Dados nominais: Quando cada um deles for identificado pela atribuição de um nome que designa uma classe. a) Exaustivas - qualquer dado pertence a uma das classes; b) Mutuamente exclusivas - cada dado pertence somente a uma classe; c) Não ordenáveis - não existe nenhum critério relevante que permita estabelecer preferência por qualquer classe em relação às restantes. Neste caso, as classes devem ser: - Exemplo: Classificação das pessoas pela cor do cabelo (preto, castanho, louro etc.).

27 17/9/ :00ESTATÍSTICA APLICADA I - Estatística Descritiva 1.3 Classificação dos Dados - Exemplo: Classificação de conceitos de avaliação na disciplina em insuficiente, regular, bom e excelente. b)Dados ordinais: São semelhantes aos dados nominais; contudo, nessa escala existe a possibilidade de se estabelecer uma ordenação dos dados nas classes, segundo algum critério relevante.

28 17/9/ :00ESTATÍSTICA APLICADA I - Estatística Descritiva 1.3 Classificação dos Dados -Observação: Neste caso, pode-se atribuir um significado à diferença entre esses números, mas não à razão entre eles. Por exemplo, o registro de temperaturas em ºC, em determinadas horas de dias sucessivos. Se em três dias consecutivos a temperatura atingir 5ºC, 10°C e 20ºC, não faz sentido dizer que o terceiro dia esteve duas vezes mais quente que o segundo, pois se a temperatura fosse expressa em outra escala, a razão entre os valores registrados naqueles dias seria diferente. c)Dados intervalares: No caso da escala intervalar, os dados são diferenciados e ordenados por números expressos em uma ordem cuja origem é arbitrária.

29 17/9/ :00ESTATÍSTICA APLICADA I - Estatística Descritiva 1.3 Classificação dos Dados d) Dados absolutos: Contrariamente ao que sucede com a escala intervalar, a escala absoluta tem origem fixa (nesta escala, o valor zero tem significado). Escala intervalar: temperatura de 0ºC não significa que não haja temperatura. Escala absoluta: peso de 0 kg significa que não existe peso. Em conseqüência ao fato da origem ser fixa, a razão entre os dados expressos numa escala absoluta passa a ter significado; uma pessoa com 60 kg tem o dobro do peso de uma com 30 kg. - Exemplo: Pesos de pessoas expressos em kg. -Observações:

30 17/9/ :00ESTATÍSTICA APLICADA I - Estatística Descritiva 1.3 Classificação dos Dados -Observação: Quando se trabalha com dados quantitativos, é necessário que se faça a distinção entre os dados discretos e os contínuos. Os dados denominam-se discretos quando são valores de uma variável aleatória discreta, que é a aquela que assume valores em pontos da reta real (por exemplo, número de páginas em um livro: 1, 2, 3, 4, 5...). Os dados são contínuos quando são valores de uma variável aleatória contínua, que é aquela que pode assumir qualquer valor em certo intervalo da reta real (por exemplo, o peso de funcionários de uma fábrica: 60,5 kg; 60,52 kg;...)

31 17/9/ :00ESTATÍSTICA APLICADA I - Estatística Descritiva 1.3 Classificação dos Dados Arredondamento de dados: O arredondamento de um dado estatístico deve obedecer as seguintes regras. 1. Arredondamento por falta: Quando o primeiro dígito, aquele situado mais à esquerda entre os que irão ser eliminados, for igual ou menor que quatro, não deverá ser alterado o dígito remanescente (ou seja, frações de 0, a 0, são simplesmente eliminadas, arredondadas para baixo). Exemplos: 3, 49 ≈ 3; 2,43 ≈ 2,4; 1, ≈ 1,73 Número a arredondarArredondamento paraNúmero arredondado 12,489Inteiros12 12,733Décimos12,7 12,992Centésimos12,99

32 17/9/ :00ESTATÍSTICA APLICADA I - Estatística Descritiva 1.3 Classificação dos Dados 2. Arredondamento por excesso: Quando o primeiro dígito após aquele que será arredondado for maior ou igual a cinco seguido por dígitos maiores que zero, o digito remanescente será acrescido de uma unidade (ou seja, frações maiores de 0, até 0, são eliminadas, mas o algarismo a ser arredondado aumenta 1 unidade, arredondadas para cima). Exemplos: 3,688 ≈ 3,69; 5,6501 ≈ 5,7 Número a arredondarArredondamento paraNúmero arredondado 15,504Inteiros16 15,561Décimos15,6 15,578Centésimos15,58

33 17/9/ :00ESTATÍSTICA APLICADA I - Estatística Descritiva 1.3 Classificação dos Dados 3. Arredondamento de dígitos seguidos do cinco: Quando o dígito situado mais à esquerda dos que serão eliminados for um cinco ou um cinco seguido somente de zeros, o último dígito remanescente, se for par, não se alterará, e se for impar será aumentado de uma unidade (ou seja, se a fração a ser eliminada é exatamente 0, , então o algarismo a ser arredondado, só aumentará de 1 unidade caso torne-se um algarismo par). Exemplos: 3,5 ≈ 4; 6,5 ≈ 6; 5,6500 ≈ 5,6; 5,700 ≈ 5,8; 9,475 ≈ 9,48; 3,325 ≈ 3,32 Número a arredondarArredondamento paraNúmero arredondado 215,500Inteiro ,500Inteiro ,750Décimos216,8 216,705Centésimos216,70

34 17/9/ :00ESTATÍSTICA APLICADA I - Estatística Descritiva 1.3 Classificação dos Dados 1.Nunca se deve fazer arredondamentos sucessivos. Exemplo: 17,3452 → 17,3 (correto) 17,3452 → 17,35 → 17,4 (incorreto) 2. Se for necessário um novo arredondamento, recomenda-se o retorno aos dados originais. - Observações:

35 17/9/ :00ESTATÍSTICA APLICADA I - Estatística Descritiva 1.3 Classificação dos Dados Algarismos significativos NúmerosNotação científica Algarismos significativos ,55 8, ,032 0, ,2 x ,55 x ,3400 x ,205 x ,2 x ,200 x Os algarismos significativos de um número são os dígitos diferentes de zero, contados a partir da esquerda até o último dígito diferente de zero à direita, caso não haja vírgula decimal, ou até o último dígito (zero ou não) caso haja uma vírgula decimal. Exemplos:

36 17/9/ :00ESTATÍSTICA APLICADA I - Estatística Descritiva 1.3 Classificação dos Dados Algarismos significativos: Todos os dígitos diferentes de zero são significativos. Exemplos: 7,3; 32 e 210 possuem 2 algarismos significativos. Os zeros entre dígitos diferentes de zero são significativos Exemplos: 303 e 1,03 possuem 3 algarismos significativos. Se existir uma vírgula decimal, todos os zeros à direita da vírgula decimal são significativos Exemplos: 1,000 e 33,30 possuem 4 algarismos significativos.

37 17/9/ :00ESTATÍSTICA APLICADA I - Estatística Descritiva 1.3 Classificação dos Dados Algarismos significativos: Valores medidos ou calculados: o número de algarismos significativos de uma grandeza medida ou um valor calculado é uma indicação da incerteza, ou seja, quanto mais algarismos significativos, menor a incerteza no valor. Exemplo: O valor de uma grandeza medida com 3 algarismos significativos, indica que o valor do 3º algarismo tem uma incerteza menor ± 0,5ºC. Caso seja apresentada uma temperatura como 32ºC (2 significativos), está indicado que a temperatura está entre 31,5 e 32,5ºC. Caso ela seja apresentada como 32,5ºC (3 significativos), está indicado que a temperatura está entre 32,45 e 32,55ºC.

38 17/9/ :00ESTATÍSTICA APLICADA I - Estatística Descritiva 1.3 Classificação dos Dados Algarismos significativos: Números inteiros que são resultados experimentais, seguem as regras anteriores. Exemplo: a pressão em uma caldeira é 6 atm, possui 1 algarismo significativo. Números inteiros que descrevem o número de objetos discretos possuem precisão mínima. Exemplo: 5 dias = 5, dias. Números inteiros que são parte de uma expressão física possuem precisão infinita. Exemplo: o 2 na equação do perímetro do círculo 2πR, possui uma precisão infinita uma vez que por definição o diâmetro é 2 vezes o raio.

39 17/9/ :00ESTATÍSTICA APLICADA I - Estatística Descritiva 1.3 Classificação dos Dados Na adição e na subtração faz-se a operação normalmente e no final reduz-se o resultado, usando os critérios de arredondamento, para o número de casas decimais da grandeza menos precisa. Exemplos: ,91 + 1, , ,20 = 12620,1001 = ,2  7856,32 = 4584,88 = 4584,9 Na multiplicação e na divisão o resultado deverá ter igual número de algarismos (ou um algarismo a mais) que a grandeza com menor quantidade de algarismos significativos que participa da operação. Exemplos: 12,46 x 39,83 = 496,2818 = 496,28 803,407 / 13,1 = 61,328 = 61,33 - Observações:

40 17/9/ :00ESTATÍSTICA APLICADA I - Estatística Descritiva 1.3 Classificação dos Dados Nas operações de potenciação e radiciação o resultado deverá ter o mesmo número de algarismos significativos da base (potenciação) ou do radicando (radiciação). Exemplos: (1,52 x 10 3 ) 2 = 2,31 x 10 6 (0,75 x 10 4 ) 1/2 = 0,87 x Observações:

41 17/9/ :00ESTATÍSTICA APLICADA I - Estatística Descritiva I - Estatística Descritiva  Introdução  Conceitos e definições  Classificação dos dados  Caracterização e apresentação dos dados  Estatísticas amostrais  Outras apresentações gráficas de dados  Regressão linear

42 17/9/ :00ESTATÍSTICA APLICADA I - Estatística Descritiva 1.4 Caracterização e Apresentação dos Dados Tabela de freqüências: Devido à necessidade das categorias estarem ordenadas, somente se pode falar de freqüências acumuladas quando os dados estão em escalas ordinais, intervalar ou absoluta. A representação tabular com todos os tipos de freqüências é mostrada a seguir:

43 17/9/ :00ESTATÍSTICA APLICADA I - Estatística Descritiva 1.4 Caracterização e Apresentação dos Dados Tabela de freqüências: a)Freqüência absoluta (n i ): O número de dados contidos numa classe ou categoria qualquer i (i = 1,..., k) de um conjunto de dados designa-se por freqüência absoluta da classe ou categoria i. Denotando-se por n i tal freqüência e admitindo que as categorias especificadas contêm todos os dados, o número total de dados (n) é calculado por :

44 17/9/ :00ESTATÍSTICA APLICADA I - Estatística Descritiva 1.4 Caracterização e Apresentação dos Dados Tabela de freqüências: b)Freqüência relativa (f i ): O número total de dados que pertencem a uma classe ou categoria qualquer i, quando expressos como uma proporção do número total de dados, designa-se por freqüência relativa da classe ou categoria i e é dada por As freqüências relativas são muitas vezes definidas em termos percentuais.

45 17/9/ :00ESTATÍSTICA APLICADA I - Estatística Descritiva 1.4 Caracterização e Apresentação dos Dados Tabela de freqüências: c)Freqüência absoluta acumulada (N i ): Representa para cada classe ou categoria i, a freqüência absoluta de dados que pertencem à classe ou às classes anteriores. d)Freqüência relativa acumulada (F i ): Representa para cada classe categoria i, a freqüência relativa de dados que pertencem à classe ou às classes anteriores.

46 17/9/ :00ESTATÍSTICA APLICADA I - Estatística Descritiva 1.4 Caracterização e Apresentação dos Dados Tabela de freqüências:

47 17/9/ :00ESTATÍSTICA APLICADA I - Estatística Descritiva 1.4 Caracterização e Apresentação dos Dados Gráficos estatísticos Uma vez elaborada a tabela de freqüências, segue-se o desenho do gráfico, um recurso de visualização dos dados constantes na tabela. Os tipos de gráficos mais comuns são: histograma; polígono de freqüência, setograma e ogiva de Galton.

48 17/9/ :00ESTATÍSTICA APLICADA I - Estatística Descritiva 1.4 Caracterização e Apresentação dos Dados Gráficos estatísticos -Histograma: Este tipo de gráfico é utilizado para representar as freqüências absolutas (n i ) em relação à sua classe, e é assim construído: 1.No eixo das abscissas marcam-se, em escala, as classes dos dados; 2.No eixo das ordenadas, marcam-se as freqüências das classes; 3.Faz-se a correspondência entre cada intervalo no eixo das classes com um valor no eixo das freqüências, formando um desenho de colunas paralelas.

49 17/9/ :00ESTATÍSTICA APLICADA I - Estatística Descritiva 1.4 Caracterização e Apresentação dos Dados Gráficos estatísticos 1.No eixo das abscissas, coloca-se o ponto médio de cada intervalo de classe; 2.No eixo das ordenadas, permanecem as freqüências absolutas das classes (n i ) ; 3.Ligam-se os pontos médios por segmentos de reta; 4.Para completar o polígono, acrescenta-se um ponto médio com freqüência zero em cada uma das extremidades da escala horizontal. -Polígono de freqüência: Utilizado para indicar o ponto médio ou representante de classe em suas respectivas freqüências absolutas; normalmente, é construído sobre o histograma, da seguinte forma:

50 17/9/ :00ESTATÍSTICA APLICADA I - Estatística Descritiva 1.4 Caracterização e Apresentação dos Dados Gráficos estatísticos -Histograma e Polígono de freqüência :

51 17/9/ :00ESTATÍSTICA APLICADA I - Estatística Descritiva 1.4 Caracterização e Apresentação dos Dados Gráficos estatísticos -Histograma -Polígono de freqüência :

52 17/9/ :00ESTATÍSTICA APLICADA I - Estatística Descritiva 1.4 Caracterização e Apresentação dos Dados Gráficos estatísticos -Gráfico em setores (Setograma): Também conhecido como gráfico de pizza, é utilizado para representar valores relativos (%); é construído da seguinte forma: 1.Faz-se um círculo; 2.Cada setor é regido pela fórmula: 3.No círculo, distribui-se os valores das freqüências percentuais

53 17/9/ :00ESTATÍSTICA APLICADA I - Estatística Descritiva 1.4 Caracterização e Apresentação dos Dados Gráficos estatísticos -Ogiva de Galton: Este tipo de gráfico é utilizada para representar as freqüências acumuladas de uma distribuição; é construído da seguinte forma: 1.No eixo das abscissas coloca-se as classes dos dados, tal como no histograma; 2.No eixo das ordenadas, escreve-se uma das freqüências acumuladas, marcando o ponto com os limites superiores (L i ) de cada classe; inicia-se com a freqüência zero e com limite inferior da 1ª classe.

54 17/9/ :00ESTATÍSTICA APLICADA I - Estatística Descritiva 1.4 Caracterização e Apresentação dos Dados Gráficos estatísticos -Ogiva de Galton:

55 17/9/ :00ESTATÍSTICA APLICADA I - Estatística Descritiva 1.4 Caracterização e Apresentação dos Dados Gráficos estatísticos -Gráfico linear: É o tipo de gráfico que apresenta os dados estatísticos por meio de uma linha poligonal. Os pontos da polígono são obtidos pelas informações contidas em cada linha da tabela, e marcados no plano utilizando o sistema cartesiano. São utilizados para representar séries cronológicas.

56 17/9/ :00ESTATÍSTICA APLICADA I - Estatística Descritiva 1.4 Caracterização e Apresentação dos Dados Gráficos estatísticos -Gráfico de colunas: É o tipo de gráfico que apresenta os dados estatísticos por meio de retângulos (colunas) dispostas em posições vertical. Todos os retângulos possuem a mesma base e a altura proporcional aos dados. Podem ser utilizados para representar qualquer série estatística.

57 17/9/ :00ESTATÍSTICA APLICADA I - Estatística Descritiva 1.4 Caracterização e Apresentação dos Dados Gráficos estatísticos -Gráfico de colunas: Este tipo de gráfico é semelhante ao de colunas, onde os retângulos (barras) estão dispostos horizontalmente. É utilizado para legendas longas, em todas as séries.

58 17/9/ :00ESTATÍSTICA APLICADA I - Estatística Descritiva 1.4 Caracterização e Apresentação dos Dados Dados Qualitativos: Exemplo : Em uma amostra constituída de 120 peças, constatou- se que 100 não tinham qualquer defeito, 15 tinham defeitos recuperáveis e 5 apresentavam defeitos irrecuperáveis. Representar em uma tabela, e também graficamente, as freqüências (absolutas e relativas) dos dados que constituem essa amostra: Categoria de peçasFreqüência absoluta (n i ) Freqüência relativa (f i ) Sem defeitos Recuperáveis irrecuperáveis ,3% 12,5% 4,2% TOTAL120100%

59 17/9/ :00ESTATÍSTICA APLICADA I - Estatística Descritiva 1.4 Caracterização e Apresentação dos Dados Dados Qualitativos:

60 17/9/ :00ESTATÍSTICA APLICADA I - Estatística Descritiva 1.4 Caracterização e Apresentação dos Dados Dados Quantitativos: Exemplo: Em um estudo realizado com o objetivo de caracterizar o comportamento dos clientes de um supermercado, analisou-se o número de ocupantes por veículo para 1000 veículos que entraram no estacionamento do referido supermercado, em um sábado. Os resultados encontram-se resumidos na tabela seguinte:

61 17/9/ :00ESTATÍSTICA APLICADA I - Estatística Descritiva 1.4 Caracterização e Apresentação dos Dados Dados Quantitativos: Nº de ocupantes por veículo (x i ) Freqüência absoluta (n i ) Freqüência relativa (f i ) Freqüência absoluta acumulada (N i ) Freqüência relativa acumulada (F i ) ,3% 14,7% 24,8% 19,7% 15,2% 10,0% 5,3% ,3% 25,0% 49,8% 69,5% 84,7% 94,7% 100,0% TOTAL %

62 17/9/ :00ESTATÍSTICA APLICADA I - Estatística Descritiva 1.4 Caracterização e Apresentação dos Dados Dados Quantitativos:

63 17/9/ :00ESTATÍSTICA APLICADA I - Estatística Descritiva 1.4 Caracterização e Apresentação dos Dados Distribuições agrupadas: Essas distribuições são úteis quando existe um grande número de dados relativos a uma variável contínua, cujos valores observados são muito próximos uns dos outros. -A freqüência de cada classe é o número de observações que ela contém. -No exemplo anterior, os dados observados correspondem a uma variável discreta; para o caso de dados relativos uma variável contínua existem algumas diferenças. Dados Quantitativos:

64 17/9/ :00ESTATÍSTICA APLICADA I - Estatística Descritiva 1.4 Caracterização e Apresentação dos Dados Exemplo: O conjunto de dados baixo representa o peso, em gramas, do conteúdo de uma série de 100 garrafas que, no decurso de um teste, saíram de uma linha de enchimento automático: 302,25; 299,20; 300,24; 297,22; 298,35; 303,76; 298,65; 299,38; 300,36; 299,16; 300,86; 299,83; 302,52; 300,12; 301,81; 297,99; 299,23; 298,73; 303,07; 299,07; 297,83;... ; 300,80 Dados Quantitativos:

65 17/9/ :00ESTATÍSTICA APLICADA I - Estatística Descritiva 1.4 Caracterização e Apresentação dos Dados No conjunto de dados mostrado não existe praticamente repetição de valores; logo, não é vantagem se utilizar os dados agrupados numa tabela de freqüências, pois a mesma teria tantas linhas quanto o número de dados. No entanto, a tabela de freqüências pode ser construída se os dados forem agrupados por classes: Dados Quantitativos:

66 17/9/ :00ESTATÍSTICA APLICADA I - Estatística Descritiva 1.4 Caracterização e Apresentação dos Dados Classes Freqüência absoluta (n i ) Freqüência relativa (%) (f i ) Freqüência absoluta acumulada (N i ) Freqüência relativa acumulada (%) (F i ) [297,00 ; 298,00[ [298,00 ; 299,00[ [299,00 ; 300,00[ [300,00 ; 301,00[ [301,00 ; 302,00[ [302,00 ; 303,00[ [303,00 ; 304,00[ [304,00 ; 305,00[ [305,00 ; 306,00[ TOTAL100100%

67 17/9/ :00ESTATÍSTICA APLICADA I - Estatística Descritiva 1.4 Caracterização e Apresentação dos Dados Dados Quantitativos:

68 17/9/ :00ESTATÍSTICA APLICADA I - Estatística Descritiva I - Estatística Descritiva  Introdução  Conceitos e definições  Classificação dos dados  Caracterização e apresentação dos dados  Estatísticas amostrais  Outras apresentações gráficas de dados  Regressão linear

69 17/9/ :00ESTATÍSTICA APLICADA I - Estatística Descritiva 1.5 Estatísticas Amostrais Nas seções anteriores foi visto a sintetização de dos dados sob a forma de tabelas, gráficos e distribuição de freqüências. O cálculo de estatísticas amostrais é uma forma mais sintética de descrever um conjunto de dados, ou seja, possibilita representar um conjunto de dados relativos à observação de determinado fenômeno de forma reduzida. As estatísticas amostrais são calculadas com base nos dados, a partir das quais é possível descrever globalmente o conjunto de valores que os referidos dados tomam.

70 17/9/ :00ESTATÍSTICA APLICADA I - Estatística Descritiva 1.5 Estatísticas Amostrais a)Medidas de posição ou de tendência central: Média aritmética, média geométrica, média harmônica, mediana, quartis, decis, percentis e moda. Amplitude total, desvio médio, variância, desvio padrão, amplitude interquartílica e coeficiente de variação. b) Medidas de dispersão: Medidas de assimetria e medidas de curtose. c) Medidas de forma: As estatísticas amostrais ou medidas estatísticas são divididas em três grupos:

71 17/9/ :00ESTATÍSTICA APLICADA I - Estatística Descritiva 1.5 Estatísticas Amostrais a)Medidas de posição: Essas medidas nos orientam quanto à posição da distribuição no eixo x (eixo dos números reais); Possibilitam comparações de séries de dados entre si pelo confronto desses números. São chamadas de medidas de tendência central, pelo fato de representarem os fenômenos pelos seus valores médios, em torno dos quais tendem a concentrar-se os dados.

72 17/9/ :00ESTATÍSTICA APLICADA I - Estatística Descritiva 1.5 Estatísticas Amostrais a.1) Média aritmética: (dados não agrupados) a)Medidas de posição: Para um conjunto de n dados de x i (i = 1,2,..., n) a média aritmética simples ou média amostral, representada por é definida pela expressão:

73 17/9/ :00ESTATÍSTICA APLICADA I - Estatística Descritiva 1.5 Estatísticas Amostrais a.1) Média aritmética: 2, 1, 3, 3, 2, 3, 7, 5, 5, 2, 1, 3, 1, 1, 4 Exemplo: Determinar a média aritmética simples (média aritmética amostral) dos dados mostrados abaixo: a)Medidas de posição:

74 17/9/ :00ESTATÍSTICA APLICADA I - Estatística Descritiva 1.5 Estatísticas Amostrais a.1) Média aritmética: a)Medidas de posição: Quando os dados estiverem agrupados numa distribuição de freqüência usa-se a média aritmética dos valores x i ponderadas pelas respectivas freqüências absolutas n i, assim: (dados agrupados)

75 17/9/ :00ESTATÍSTICA APLICADA I - Estatística Descritiva 1.5 Estatísticas Amostrais a.1) Média aritmética: a)Medidas de posição: Exemplo (dados agrupados): Determinar a média aritmética simples (média aritmética amostral) da distribuição dada abaixo: xixi nini

76 17/9/ :00ESTATÍSTICA APLICADA I - Estatística Descritiva 1.5 Estatísticas Amostrais a.1) Média aritmética: a)Medidas de posição: Exemplo (dados agrupados): xixi nini xinixini Σ1543

77 17/9/ :00ESTATÍSTICA APLICADA I - Estatística Descritiva 1.5 Estatísticas Amostrais a.1) Média aritmética: a)Medidas de posição No caso da variável ser contínua, visto que se perdeu os valores concretos do conjunto (ficaram afetos a uma determinada classe) não se pode calcular a média amostral diretamente dos valores dos dados.

78 17/9/ :00ESTATÍSTICA APLICADA I - Estatística Descritiva 1.5 Estatísticas Amostrais a.1) Média aritmética: a)Medidas de posição: Deste modo, à cada classe vai ser atribuído um representante (x i ), e a média amostral será calculada por meio desses representantes: (dados agrupados em classes) onde k é o número de classes do agrupamento, n i é a freqüência absoluta da classe i e x i é o ponto médio da classe i, o qual é considerado como elemento representativo da classe.

79 17/9/ :00ESTATÍSTICA APLICADA I - Estatística Descritiva 1.5 Estatísticas Amostrais a.1) Média aritmética: a)Medidas de posição: Exemplo (dados agrupados em classes): Determinar a média da distribuição a seguir, a qual representa o peso, em gramas, do conteúdo de uma série de 100 garrafas que, no decurso de um teste, saíram de uma linha de enchimento automático (exemplo anterior):

80 17/9/ :00ESTATÍSTICA APLICADA I - Estatística Descritiva 1.5 Estatísticas Amostrais a.1) Média aritmética: a)Medidas de posição: Exemplo (dados agrupados em classes): Classesnini xixi xinixini [297,00 ; 298,00[ [298,00 ; 299,00[ [299,00 ; 300,00[ [300,00 ; 301,00[ [301,00 ; 302,00[ [302,00 ; 303,00[ [303,00 ; 304,00[ [304,00 ; 305,00[ [305,00 ; 306,00[ ,5 298,5 299, ,5 302,5 303,5 304,5 305,5 2380,0 6268,5 8386,0 4507,5 3316,5 3025,0 1517,5 304,5 305,5 Σ ,0

81 17/9/ :00ESTATÍSTICA APLICADA I - Estatística Descritiva 1.5 Estatísticas Amostrais a.1) Média aritmética (Ponderada) a)Medidas de posição: Às vezes, associam-se os números x 1, x 2,..., x k a certos fatores de ponderação ou pesos w 1, w 2,..., w k que dependem do significado ou importância atribuída aos mesmos. Nesse caso é denominada de média aritmética ponderada.

82 17/9/ :00ESTATÍSTICA APLICADA I - Estatística Descritiva 1.5 Estatísticas Amostrais a.1) Média aritmética (Ponderada) a)Medidas de posição: Exemplo: Em um curso, a avaliação final tem peso 3 e as parciais peso 1; a nota média de um estudante que obtenha nota 8,5 na avaliação final e 7,0 e 9,0 nas provas parciais, será:

83 17/9/ :00ESTATÍSTICA APLICADA I - Estatística Descritiva 1.5 Estatísticas Amostrais a.2) Média geométrica: A média geométrica G (ou ) de um conjunto de n números x 1, x 2,..., x n é a raiz de ordem n do produto desses números: a)Medidas de posição: - Exemplo: A média geométrica dos números 2, 4 e 8:

84 17/9/ :00ESTATÍSTICA APLICADA I - Estatística Descritiva 1.5 Estatísticas Amostrais a.2) Média geométrica (dados agrupados): Se os elementos x 1, x 2,..., x n ocorrem com as freqüências n 1, n 2,..., n k, sendo n 1 +n n k = n a freqüência total, a média geométrica G desses elementos será deduzida como: a)Medidas de posição:

85 17/9/ :00ESTATÍSTICA APLICADA I - Estatística Descritiva 1.5 Estatísticas Amostrais a.3) Média harmônica: A média harmônica H (ou ) de um conjunto de n elementos x 1, x 2,..., x n é a recíproca da média aritmética da recíproca dos elementos: a)Medidas de posição: - Exemplo: A média harmônica dos números 2, 4 e 8:

86 17/9/ :00ESTATÍSTICA APLICADA I - Estatística Descritiva 1.5 Estatísticas Amostrais a.4) Mediana: Para os dados colocados em ordem crescente, mediana (md, M e ou ) é o valor que divide a amostra, ou população, em duas partes iguais. Assim: a)Medidas de posição: 50%100%0%

87 17/9/ :00ESTATÍSTICA APLICADA I - Estatística Descritiva 1.5 Estatísticas Amostrais a.4) Mediana (série de elementos não agrupados): a)Medidas de posição: Considerando que os dados que integram a amostra são colocados em ordem crescente, formando um vetor (x 1, x 2,..., x n ) - amostra ordenada -, a mediana amostral é definida como segue: n ímpar n par

88 17/9/ :00ESTATÍSTICA APLICADA I - Estatística Descritiva 1.5 Estatísticas Amostrais a.4) Mediana (série de elementos não agrupados): a)Medidas de posição: Exemplo: Para as distribuições abaixo, determinar as respectivas medianas: 8, 5, 15,11, 4, 1, 7, 2, 9 Ordenando: 1, 2, 4, 5, 7, 8, 9, 11,15 Como n é ímpar, então: 8, 5, 15,11, 4, 1, 7, 2, 9, 3 Ordenando: 1, 2, 3, 4, 5, 7, 8, 9, 11,15 Como n é par, então:

89 17/9/ :00ESTATÍSTICA APLICADA I - Estatística Descritiva 1.5 Estatísticas Amostrais a.4) Mediana (variáveis discretas, dados agrupados em tabela de distribuição de freqüência): a)Medidas de posição: Exemplo: Para a distribuição abaixo, determinar a mediana: xixi nini NiNi Σ contém o 6º elemento n = 11 (ímpar), logo será o elemento de ordem (n+1)/2, ou seja, (11+1)/2 = 6º elemento. Da coluna da freqüência acumulada crescente, encontra-se o valor x i correspondente à classe que contém a ordem calculada, assim: = 3.

90 17/9/ :00ESTATÍSTICA APLICADA I - Estatística Descritiva 1.5 Estatísticas Amostrais a)Medidas de posição: Exemplo: Para a distribuição abaixo, determinar a mediana: xixi nini NiNi Σ 22º n = 42, é par, logo será a média entre os elemento de ordem n/2 e (n/2)+1, ou seja, 21º e 22º elementos. Como no exemplo anterior, identificam-se os elementos de ordem 21 e 22 pela N i, ou seja, 85 e 87, assim: 21º a.4) Mediana (variáveis discretas, dados agrupados em tabela de distribuição de freqüência):

91 17/9/ :00ESTATÍSTICA APLICADA I - Estatística Descritiva 1.5 Estatísticas Amostrais a)Medidas de posição: Exemplo: Para a distribuição abaixo, determinar a mediana: xixi nini NiNi Σ 21º e 22º n = 42, é par, logo será a média entre os elemento de ordem n/2 e (n/2)+1, ou seja, 21º e 22º elementos. Como no exemplo anterior, identificam-se os elementos de ordem 21 e 22 pela N i, ou seja, 87 e 87, assim: a.4) Mediana (variáveis discretas, dados agrupados em tabela de distribuição de freqüência):

92 17/9/ :00ESTATÍSTICA APLICADA I - Estatística Descritiva 1.5 Estatísticas Amostrais a)Medidas de posição: Para variáveis contínuas, identifica-se a classe que contém a mediana (n/2), denominada classe Md (como a variável é contínua, não interessa se n é par ou ímpar); o valor aproximado para a mediana será calculado pela equação: onde: N Md-1 é a freqüência absoluta acumulada da classe antes da classe mediana, n a dimensão da amostra e l Md, a Md e n Md são, respectivamente, o limite inferior, a amplitude e a freqüência absoluta da classe mediana. a.4) Mediana (variáveis contínuas com os dados divididos em classes, tabela de distribuição de freqüência):

93 17/9/ :00ESTATÍSTICA APLICADA I - Estatística Descritiva 1.5 Estatísticas Amostrais a)Medidas de posição: Exemplo: Dada a distribuição amostral, calcular a mediana: Classesnini NiNi Σ classe Md a.4) Mediana (variáveis contínuas com os dados divididos em classes, tabela de distribuição de freqüência):

94 17/9/ :00ESTATÍSTICA APLICADA I - Estatística Descritiva 1.5 Estatísticas Amostrais a)Medidas de posição: Exemplo: 1º Passo: Calcula-se n/2; como n=58, então 58/2=29º. 2º Passo: Identifica-se a classe Md pela N i (classe Md=3ª). 3º Passo: Aplica-se a fórmula: Neste caso l i = 55, n = 58, N i-1 = 17, a i = 10, n i = 18; logo: a.4) Mediana (variáveis contínuas com os dados divididos em classes, tabela de distribuição de freqüência):

95 17/9/ :00ESTATÍSTICA APLICADA I - Estatística Descritiva 1.5 Estatísticas Amostrais a.5) Quartis: a)Medidas de posição: Como já visto anteriormente, a mediana é a medida de posição que divide um conjunto de dados em duas partes iguais; Os quartis dividem um conjunto de dados em quatro partes iguais, assim: 50% 75%25% Q1Q1 Q2Q2 Q3Q3

96 17/9/ :00ESTATÍSTICA APLICADA I - Estatística Descritiva 1.5 Estatísticas Amostrais a.5) Quartis: a)Medidas de posição: Q 1 = 1º quartil, deixa 25% dos elementos; Q 2 = 2º quartil, coincide com a mediana, deixa 50% dos elementos; Q 3 = 3º quartil, deixa 75% dos elementos. 50% 75%25% Q1Q1 Q2Q2 Q3Q3

97 17/9/ :00ESTATÍSTICA APLICADA I - Estatística Descritiva 1.5 Estatísticas Amostrais a.5) Quartis (série de elementos não agrupados): a)Medidas de posição: A determinação de Q k (k = 1, 2 e 3), segue a fórmula:

98 17/9/ :00ESTATÍSTICA APLICADA I - Estatística Descritiva 1.5 Estatísticas Amostrais a.5) Quartis (série de elementos não agrupados): a)Medidas de posição: Exemplo: Determine o 1º e o 3º quartis da série 185, 196, 207, 305, 574, 597, 612. E da série 185, 196, 207, 305, 574, 597 ?

99 17/9/ :00ESTATÍSTICA APLICADA I - Estatística Descritiva 1.5 Estatísticas Amostrais a)Medidas de posição: A determinação de Q k (k = 1, 2 e 3), segue os passos: -1º Passo: Calcula-se a ordem kn/4; -2º Passo: Identifica-se a classe Q k pela freqüência acumulada N; -3º Passo: Aplica-se a fórmula: a.5) Quartis (variáveis contínuas com os dados divididos em classes, tabela de distribuição de freqüência):

100 17/9/ :00ESTATÍSTICA APLICADA I - Estatística Descritiva 1.5 Estatísticas Amostrais a)Medidas de posição Exemplo: Dada a distribuição amostral, determinar Q 1 e Q 3 : Classesnini NiNi Σ classe Q 1 classe Q 3 a.5) Quartis (variáveis contínuas com os dados divididos em classes, tabela de distribuição de freqüência):

101 17/9/ :00ESTATÍSTICA APLICADA I - Estatística Descritiva 1.5 Estatísticas Amostrais a)Medidas de posição: Exemplo: Para Q 1. 1º Passo: Calcula-se n/4; como n=58, então 58/4=14,5º. 2º Passo: Identifica-se a classe Q 1 pela N i (classe Q 1 =2ª). 3º Passo: Aplica-se a fórmula: Neste caso l Q1 = 45, n = 58, N Q1-1 = 5, a Q1 = 10, n Q1 = 12; logo: a.5) Quartis (variáveis contínuas com os dados divididos em classes, tabela de distribuição de freqüência):

102 17/9/ :00ESTATÍSTICA APLICADA I - Estatística Descritiva 1.5 Estatísticas Amostrais a)Medidas de posição: Exemplo: Para Q 3. 1º Passo: Calcula-se 3n/4; como n = 58, então 58/4 = 43,5º. 2º Passo: Identifica-se a classe Q 3 pela N Q3 (classe Q 3 = 4ª). 3º Passo: Aplica-se a fórmula: Neste caso l Q3 = 65, n = 58, N Q3 -1 = 35, a Q3 = 10, n Q3 = 14; logo: a.5) Quartis (variáveis contínuas com os dados divididos em classes, tabela de distribuição de freqüência):

103 17/9/ :00ESTATÍSTICA APLICADA I - Estatística Descritiva 1.5 Estatísticas Amostrais a)Medidas de posição: Exemplo: Diante desses resultados, pode-se afirmar que, nesta distribuição, tem-se: 25% 52,92 61,67 71, ou seja: O valor de 52,92 deixa 25% dos elementos; O valor de 61,67 deixa 50% dos elementos; O valor de 71,07 deixa 75% dos elementos. a.5) Quartis (variáveis contínuas com os dados divididos em classes, tabela de distribuição de freqüência):

104 17/9/ :00ESTATÍSTICA APLICADA I - Estatística Descritiva 1.5 Estatísticas Amostrais a.6) Decis: a)Medidas de posição: Os decis dividem um conjunto de dados em dez partes iguais, assim: D1D1 90% 80% 70% 60%50%40%30%20%10% D2D2 D3D3 D4D4 D5D5 D6D6 D7D7 D8D8 D9D9

105 17/9/ :00ESTATÍSTICA APLICADA I - Estatística Descritiva 1.5 Estatísticas Amostrais a.6) Decis: a)Medidas de posição: D 1 = 1º decil, deixa 10% dos elementos da série; D 2 = 2º decil, deixa 12% dos elementos da série; D 5 = 5º decil, coincide com a mediana, deixa 50% dos elementos da série; D 6 = 6º decil, deixa 60% dos elementos da série; D 7 = 7º decil, deixa 70% dos elementos da série; D 8 = 8º decil, deixa 80% dos elementos da série; D 9 = 9º decil, deixa 90% dos elementos da série.

106 17/9/ :00ESTATÍSTICA APLICADA I - Estatística Descritiva 1.5 Estatísticas Amostrais a.6) Decis (série de elementos não agrupados: a)Medidas de posição: A determinação de D k (k = 1, 2,..., 9), segue a fórmula: Exemplo: Determine o 5º e o 6º decis da série 185, 196, 207, 305, 574, 597, 612.

107 17/9/ :00ESTATÍSTICA APLICADA I - Estatística Descritiva 1.5 Estatísticas Amostrais a)Medidas de posição: A determinação de D k (k = 1, 2,..., 9), para o caso de variáveis contínuas com os dados divididos em classes, segue os passos: -1º Passo: Calcula-se a ordem kn/10; -2º Passo: Identifica-se a classe D k pela freqüência acumulada N; -3º Passo: Aplica-se a fórmula: a.6) Decis (variáveis contínuas com os dados divididos em classes, tabela de distribuição de freqüência):

108 17/9/ :00ESTATÍSTICA APLICADA I - Estatística Descritiva 1.5 Estatísticas Amostrais a.7) Percentis: a)Medidas de posição: Os percentis dividem um conjunto de dados em cem partes iguais, assim: P1P1 99% 98% 97% 3%...2%1% P2P2 P3P3 P 50 P 97 P 98 P 99 50%...

109 17/9/ :00ESTATÍSTICA APLICADA I - Estatística Descritiva 1.5 Estatísticas Amostrais a.7) Percentis: a)Medidas de posição: P 1 = 1º percentil, deixa 1% dos elementos; P 2 = 2º percentil, deixa 2% dos elementos. P 50 = 50º percentil, coincide com a mediana, deixa 50% dos elementos; P 99 = 99º percentil, deixa 99% dos elementos.

110 17/9/ :00ESTATÍSTICA APLICADA I - Estatística Descritiva 1.5 Estatísticas Amostrais a.7) Percentis (série de elementos não agrupados): a)Medidas de posição: A determinação de P k (k = 1, 2,..., 99) para uma série de elementos não agrupados, segue a fórmula: Exemplo: Determine o 50º e o 60º percentis da série 185, 196, 207, 305, 574, 597, 612.

111 17/9/ :00ESTATÍSTICA APLICADA I - Estatística Descritiva 1.5 Estatísticas Amostrais a)Medidas de posição: A determinação de P k (k = 1, 2,..., 99), para o caso de variáveis contínuas com os dados divididos em classes, segue os passos: -1º Passo: Calcula-se a ordem kn/100; -2º Passo: Identifica-se a classe P k pela freqüência acumulada N; -3º Passo: Aplica-se a fórmula: a.7) Percentis (variáveis contínuas com os dados divididos em classes, tabela de distribuição de freqüência):

112 17/9/ :00ESTATÍSTICA APLICADA I - Estatística Descritiva 1.5 Estatísticas Amostrais a.7) Exemplo (decil e percentil): Determinar o 4º decil e o 72º percentil da seguinte distribuição: a)Medidas de posição: Classesnini NiNi Σ classe D 4 classe P 72 Cálculo de D 4 1º Passo: 2º Passo: 3º Passo:

113 17/9/ :00ESTATÍSTICA APLICADA I - Estatística Descritiva 1.5 Estatísticas Amostrais a.7) Exemplo (decil e percentil): Determinar o 4º decil e o 72º percentil da seguinte distribuição: a)Medidas de posição: Classesnini NiNi Σ classe D 4 classe P 72 Cálculo de P 72 1º Passo: 2º Passo: 3º Passo:

114 17/9/ :00ESTATÍSTICA APLICADA I - Estatística Descritiva 1.5 Estatísticas Amostrais a.7) Exemplo (decil e percentil). a)Medidas de posição: Portanto, na distribuição analisada, tem-se que: -O valor 55,34 indica que 40% dos elementos da distribuição estão abaixo dele e os outros 60% acima. -O valor 69,82 indica que 72% dos elementos da distribuição estão abaixo dele e os outros 28% acima.

115 17/9/ :00ESTATÍSTICA APLICADA I - Estatística Descritiva 1.5 Estatísticas Amostrais a.8) Moda a)Medidas de posição: Moda (M o ) é a medida que indica o valor ou a gama de valores nos quais a concentração dos dados amostrais é máxima. -Para variáveis discretas, a moda é o valor dos dados que ocorre com maior freqüência; -Para variáveis contínuas, a classe modal é o intervalo de classe com maior freqüência.

116 17/9/ :00ESTATÍSTICA APLICADA I - Estatística Descritiva 1.5 Estatísticas Amostrais a.8) Moda a)Medidas de posição: Assim, da representação gráfica dos dados, obtém-se imediatamente o valor que representa a moda ou a classe modal.

117 17/9/ :00ESTATÍSTICA APLICADA I - Estatística Descritiva 1.5 Estatísticas Amostrais a.8) Moda a)Medidas de posição: Esta medida é especialmente útil para reduzir a informação de um conjunto de dados qualitativos, apresentados sob a forma de nomes ou categorias, para os quais não se pode calcular a média e por vezes a mediana (se não forem susceptíveis de ordenação).

118 17/9/ :00ESTATÍSTICA APLICADA I - Estatística Descritiva 1.5 Estatísticas Amostrais a.8) Moda (distribuições simples) a)Medidas de posição: Para distribuições simples (sem agrupamento em classes), a identificação da moda é facilitada pela simples observação do elemento que apresenta maior freqüência. -Exemplo: Para a distribuição abaixo M o = 248. xixi nini

119 17/9/ :00ESTATÍSTICA APLICADA I - Estatística Descritiva 1.5 Estatísticas Amostrais a.8) Moda (dados agrupados) a)Medidas de posição: Para dados agrupados em classe, existem diversas fórmulas para o cálculo da moda: -Fórmula de Czuber: Após a identificação da classe modal, aplica-se a fórmula abaixo, onde l = limite inferior da classe modal; Δ 1 = diferença entre a freqüência absoluta da classe modal e a imediatamente anterior; Δ 2 = diferença entre a freqüência absoluta da classe modal e a imediatamente posterior; a i = amplitude da classe modal.

120 17/9/ :00ESTATÍSTICA APLICADA I - Estatística Descritiva 1.5 Estatísticas Amostrais a.8) Moda (dados agrupados) a)Medidas de posição: -Exemplo: Determinar a moda para a distribuição: Classesnini A classe com maior frequência absoluta é [55, 65[; logo, ela é a classe modal. -Aplicando a fórmula de Czuber, tem-se:

121 17/9/ :00ESTATÍSTICA APLICADA I - Estatística Descritiva 1.5 Estatísticas Amostrais a.8) Moda (dados agrupados) a)Medidas de posição: -Densidades de classes: Quando as amplitudes das classes são diferentes, deve-se calcular as densidades de classes para identificar a classe modal, as quais são obtidas por meio da relação n i /a i.

122 17/9/ :00ESTATÍSTICA APLICADA I - Estatística Descritiva 1.5 Estatísticas Amostrais a.8) Moda (dados agrupados) a)Medidas de posição: -Exemplo: Determinar a moda para a distribuição: Salários (US$)nini aiai n i /a i ,7 2,0 2,8 0,3 classe modal

123 17/9/ :00ESTATÍSTICA APLICADA I - Estatística Descritiva 1.5 Estatísticas Amostrais a.8) Moda (dados agrupados) a)Medidas de posição: -Fórmula de Pearson: Fornece uma boa aproximação quando a distribuição apresenta razoável simetria em relação à média. É dada pela relação: ou seja, a moda é aproximadamente igual a diferença entre o triplo da mediana e o dobro da média

124 17/9/ :00ESTATÍSTICA APLICADA I - Estatística Descritiva 1.5 Estatísticas Amostrais  Observações: a)Medidas de posição: 1.Média versus Mediana:  Diferença entre estas duas medidas fica mais clara quando se considera o exemplo das notas obtidas por um aluno como sendo: 10, 13, 11, 15, 18, 16, 14, 15, 14; nesse caso, como pode ser comprovado, a média aritmética e a mediana são iguais a 14.  Se esse aluno elevar a nota mais baixa, passando de 10 para 14, a mediana ainda será o mesmo valor, mas o valor da média sofrerá um aumento, passando para 14,4.

125 17/9/ :00ESTATÍSTICA APLICADA I - Estatística Descritiva 1.5 Estatísticas Amostrais  Observações: a)Medidas de posição:  A média, ao contrário da mediana, é uma medida de posição muito pouco resistente, isto é, ela é muito influenciada por valores muito grandes ou muito pequenos, mesmo que estes valores surjam em pequeno número na amostra.  Estes valores são os responsáveis pela má utilização da média em muitas situações em que teria mais significado utilizar a mediana. 1.Média versus Mediana:

126 17/9/ :00ESTATÍSTICA APLICADA I - Estatística Descritiva 1.5 Estatísticas Amostrais  Observações: a)Medidas de posição:  Entretanto, a preferência de uma ou de outra dependerá do contexto em que forem utilizadas: se a distribuição é simétrica essas medidas coincidem; caso contrário, observar que a mediana não é tão sensível quanto a média, às observações que são muito maiores ou muito menores do que as restantes; além disso, a média reflete o valor de todas as observações. 1.Média versus Mediana:

127 17/9/ :00ESTATÍSTICA APLICADA I - Estatística Descritiva 1.5 Estatísticas Amostrais  Observações: a)Medidas de posição:  Representação das distribuições dos dados na forma de uma curva de freqüência: 1.Média versus Mediana:

128 17/9/ :00ESTATÍSTICA APLICADA I - Estatística Descritiva 1.5 Estatísticas Amostrais  Observações: a)Medidas de posição:  A média geométrica de um conjunto de números positivos é menor ou igual à sua média aritmética, mas é maior ou igual à sua média harmônica:  O sinal de igualdade somente é válido quanto todos os números do conjunto de dados são idênticos. 2.Relação entre as médias aritmética, geométrica e harmônica:

129 17/9/ :00ESTATÍSTICA APLICADA I - Estatística Descritiva 1.5 Estatísticas Amostrais São medidas estatísticas utilizadas para avaliar o grau de variabilidade ou dispersão, dos valores em torno da média. Servem para medir a representatividade da média b)Medidas de dispersão -Exemplo: Sejam as séries 20, 20, 20 e 15, 10, 20, 25, 30, como pode ser calculado, ambas possuem média aritmética igual a 20; entretanto, na primeira não existe dispersão, enquanto a segunda apresenta dispersão em torno da média 20; portanto, a média é muito mais representativa para a segunda série.

130 17/9/ :00ESTATÍSTICA APLICADA I - Estatística Descritiva 1.5 Estatísticas Amostrais b)Medidas de dispersão -Exemplo: Para a série 10, 12, 15, 24, 25, 30, 36 R = 36 – 10 = 26 b.1) Amplitude total (ou amplitude amostral): É definida como sendo a diferença entre o maior e o menor dos valores da série, ou seja: -Observação: É uma medida de dispersão muito limitada, pois depende apenas dos valores externos, o que a torna instável, não sendo afetada pela dispersão dos valores internos.

131 17/9/ :00ESTATÍSTICA APLICADA I - Estatística Descritiva 1.5 Estatísticas Amostrais b)Medidas de dispersão b.2) Desvio médio: O desvio médio de um conjunto de n números x 1, x 2,..., x n é definido por: onde média aritmética dos números; valor absoluto do desvio de cada número em relação à média aritmética.

132 17/9/ :00ESTATÍSTICA APLICADA I - Estatística Descritiva 1.5 Estatísticas Amostrais b)Medidas de dispersão b.2) Desvio médio (dados agrupados): Se x 1, x 2,..., x n ocorrerem com as freqüências n 1, n 2,..., n n, respectivamente, o desvio médio poderá ser indicado da seguinte forma:

133 17/9/ :00ESTATÍSTICA APLICADA I - Estatística Descritiva 1.5 Estatísticas Amostrais b)Medidas de dispersão b.3) Variância: A variância de um conjunto de dados é definida como o quadrado do desvio padrão, evitando- se com isso que Σd i =0. -Quando é necessário distinguir entre o desvio padrão de uma população e o de uma amostra dela extraída, adota-se frequentemente o símbolo σ para o primeiro e s para o último.

134 17/9/ :00ESTATÍSTICA APLICADA I - Estatística Descritiva 1.5 Estatísticas Amostrais b)Medidas de dispersão b.3) Variância: -Para o caso da variância populacional são adotadas as seguintes fórmulas: (dados não agrupados) (dados agrupados) média populacional; tamanho da população.

135 17/9/ :00ESTATÍSTICA APLICADA I - Estatística Descritiva 1.5 Estatísticas Amostrais b)Medidas de dispersão b.3) Variância: -Para o caso da variância amostral são adotadas as seguintes fórmulas: (dados não agrupados) (dados agrupados) média populacional; tamanho da população.

136 17/9/ :00ESTATÍSTICA APLICADA I - Estatística Descritiva 1.5 Estatísticas Amostrais b)Medidas de dispersão b.3) Variância: Fórmulas práticas para os cálculos das variâncias:

137 17/9/ :00ESTATÍSTICA APLICADA I - Estatística Descritiva 1.5 Estatísticas Amostrais b)Medidas de dispersão b.4) Desvio padrão: Uma vez que a variância envolve a soma de quadrados, a unidade em que se exprime não é a mesma que a dos dados. Assim, para se conseguir uma medida da variabilidade ou dispersão com as mesmas unidades que os dados, toma-se a raiz quadrada da variância e obtém-se o desvio padrão. (desvio padrão populacional) (desvio padrão amostral)

138 17/9/ :00ESTATÍSTICA APLICADA I - Estatística Descritiva 1.5 Estatísticas Amostrais b)Medidas de dispersão b.4) Desvio padrão: O desvio padrão é uma medida que só pode assumir valores não negativos e quanto maior for, maior será a dispersão dos dados. Algumas propriedades do desvio padrão, que resultam imediatamente da definição, são: -o desvio padrão é sempre não negativo e será tanto maior, quanta mais variabilidade houver entre os dados; -se s= 0, então não existe variabilidade, isto é, os dados são todos iguais.

139 17/9/ :00ESTATÍSTICA APLICADA I - Estatística Descritiva 1.5 Estatísticas Amostrais b)Medidas de dispersão b.4) Desvio padrão: Exemplo: Calcular o desvio médio, a variância e o desvio padrão da seguinte distribuição amostral: xixi nini xixi nini nixinixi Σ Média aritmética:

140 17/9/ :00ESTATÍSTICA APLICADA I - Estatística Descritiva 1.5 Estatísticas Amostrais b)Medidas de dispersão b.4) Desvio padrão: Exemplo: Calcular o desvio médio, a variância e o desvio padrão da seguinte distribuição amostral: xixi nini nixinixi |x i -x| = |d i |n i |d i | |5 – 8,06| = 3,06 |7 – 8,06| = 1,06 |8 – 8,06| = 0,06 |9 – 8,06| = 0,94 |11 – 8,06| = 2,94 6,12 3,18 0,30 3,76 5,88 Σ ,24 -Desvio médio:

141 17/9/ :00ESTATÍSTICA APLICADA I - Estatística Descritiva 1.5 Estatísticas Amostrais b)Medidas de dispersão b.4) Desvio padrão: Exemplo: Calcular o desvio médio, a variância e o desvio padrão da seguinte distribuição amostral: xixi nini nixinixi ni2xini2xi Σ Variância: -Desvio padrão:

142 17/9/ :00ESTATÍSTICA APLICADA I - Estatística Descritiva 1.5 Estatísticas Amostrais b)Medidas de dispersão b.5) Amplitude interquartílica: A medida anterior tem a grande desvantagem de ser muito sensível à existência, na amostra, de uma observação muito grande ou muito pequena. Por esse motivo, define-se uma outra medida, a amplitude interquartílica.

143 17/9/ :00ESTATÍSTICA APLICADA I - Estatística Descritiva 1.5 Estatísticas Amostrais b)Medidas de dispersão b.5) Amplitude interquartílica: Esta medida é, de certa forma, uma solução de compromisso, pois não é afetada, de um modo geral, pela existência de um pequeno número de valores demasiadamente grandes ou pequenos. É definida como sendo a diferença entre o 3º e 1º quartis; assim:

144 17/9/ :00ESTATÍSTICA APLICADA I - Estatística Descritiva 1.5 Estatísticas Amostrais b)Medidas de dispersão b.5) Amplitude interquartílica: Da definição de amplitude interquartílica, pode-se concluir que 50% dos elementos do meio da amostra estão contidos num intervalo com aquela amplitude. Esta medida é não negativa e será tanto maior quanto maior for a variabilidade nos dados. Ao contrário do que acontece com o desvio padrão, uma amplitude interquartílica nula não significa necessariamente, que os dados não apresentem variabilidade.

145 17/9/ :00ESTATÍSTICA APLICADA I - Estatística Descritiva 1.5 Estatísticas Amostrais b)Medidas de dispersão b.5) Amplitude interquartílica: Alguns autores preferem calcular uma medida próxima da referida: a amplitude semi- interquartílica (ASI).

146 17/9/ :00ESTATÍSTICA APLICADA I - Estatística Descritiva 1.5 Estatísticas Amostrais b)Medidas de dispersão b.6) Coeficiente de variação: A variação ou dispersão real, determinada a partir do desvio padrão, ou qualquer outra medida de dispersão, é denominada dispersão absoluta; entretanto, uma variação ou dispersão, na medida de uma determinada distância, é inteiramente diferente quanto ao efeito, da mesma variação em uma distância menor.

147 17/9/ :00ESTATÍSTICA APLICADA I - Estatística Descritiva 1.5 Estatísticas Amostrais b)Medidas de dispersão b.6) Coeficiente de variação: A medida desse efeito é proporcionada pela dispersão relativa, definida por:

148 17/9/ :00ESTATÍSTICA APLICADA I - Estatística Descritiva 1.5 Estatísticas Amostrais b)Medidas de dispersão b.6) Coeficiente de variação: Se a dispersão absoluta é o desvio padrão e a média é a aritmética, a dispersão relativa é denominada coeficiente de variação ou de dispersão, dado por: coeficiente de variação é uma medida relativa de dispersão, útil para a comparação em termos relativos do grau de concentração em torno da média de séries distintas.

149 17/9/ :00ESTATÍSTICA APLICADA I - Estatística Descritiva 1.5 Estatísticas Amostrais b)Medidas de dispersão b.6) Coeficiente de variação: Exemplo: Em uma empresa, o salário médio dos homens é de $4.000,00, com desvio padrão de $1.500,00, e o das mulheres é em média de $3.000,00, com desvio padrão de $1.200,00. Então: Desses valores conclui-se, portanto, que o salário das mulheres apresentam maior dispersão que os dos homens Para os homens: Para as mulheres:

150 17/9/ :00ESTATÍSTICA APLICADA I - Estatística Descritiva 1.5 Estatísticas Amostrais b)Medidas de dispersão b.6) Coeficiente de variação: Diz-se que a distribuição possui baixa, média ou alta variabilidade (dispersão) conforme os seguintes valores: Baixa dispersão: CV ≤ 10% Média dispersão: 10% < CV < 20% Alta dispersão: CV ≥ 20% Alguns analistas consideram valores diferentes: Baixa dispersão: CV ≤ 15% Média dispersão: 15% < CV < 30% Alta dispersão: CV ≥ 30%

151 17/9/ :00ESTATÍSTICA APLICADA I - Estatística Descritiva 1.5 Estatísticas Amostrais c)Medidas de forma Uma distribuição de freqüência pode simétrica, assimétrica positiva ou assimétrica negativa. c.1) Medidas de assimetria: Denomina-se assimetria o grau de desvio ou afastamento da simetria de uma distribuição.

152 17/9/ :00ESTATÍSTICA APLICADA I - Estatística Descritiva 1.5 Estatísticas Amostrais c)Medidas de forma Uma distribuição simétrica apresenta a igualdade entre as três medidas de posição, média aritmética, mediana e modo, ou: Em uma distribuição assimétrica positiva, ou assimétrica à direita, tem-se que: Em uma distribuição assimétrica negativa, ou assimétrica à esquerda, tem-se que: c.1) Medidas de assimetria:

153 17/9/ :00ESTATÍSTICA APLICADA I - Estatística Descritiva 1.5 Estatísticas Amostrais c)Medidas de forma Existem várias fórmulas para o cálculo do coeficiente de assimetria, dentre elas duas são bastante utilizadas: -1º Coeficiente de Pearson: -2º Coeficiente de Pearson: Se AS = 0, a distribuição é simétrica AS > 0, a distribuição é assimétrica positiva AS < 0. a distribuição é assimétrica negativa. c.1) Medidas de assimetria:

154 17/9/ :00ESTATÍSTICA APLICADA I - Estatística Descritiva 1.5 Estatísticas Amostrais c)Medidas de forma Exemplo: Identificar o grau de assimetria da distribuição: c.1) Medidas de assimetria: Salários ($1.000,00) Empregados805030

155 17/9/ :00ESTATÍSTICA APLICADA I - Estatística Descritiva 1.5 Estatísticas Amostrais c)Medidas de forma Exemplo: c.1) Medidas de assimetria: Classesxixi nini nixinixi nixi2nixi2 n i /a i NiNi /20 = 4 50/50 = 1 30/50 = 0, Σ

156 17/9/ :00ESTATÍSTICA APLICADA I - Estatística Descritiva 1.5 Estatísticas Amostrais c)Medidas de forma Exemplo: c.1) Medidas de assimetria: -Como AS > 0, então a distribuição é assimétrica positiva.

157 17/9/ :00ESTATÍSTICA APLICADA I - Estatística Descritiva 1.5 Estatísticas Amostrais c)Medidas de forma Denomina-se curtose o grau de achatamento de uma distribuição. Uma distribuição de freqüência pode ser: -Mesocúrtica: quando sua forma nem é achatada e nem delgada; -Leptocúrtica: quando apresenta a forma delgada; -Platicúrdica: quando apresenta a forma achatada. c.2) Medidas de curtose:

158 17/9/ :00ESTATÍSTICA APLICADA I - Estatística Descritiva 1.5 Estatísticas Amostrais c)Medidas de forma c.2) Medidas de curtose:

159 17/9/ :00ESTATÍSTICA APLICADA I - Estatística Descritiva 1.5 Estatísticas Amostrais c)Medidas de forma Para medir o o grau de curtose utiliza-se o coeficiente: onde Q 3 = 3º quartil; P 90 = 90º percentil; Q 1 = 1º quartil; P 10 = 10º percentil. Se K = 0,263 – a curva correspondente à distribuição é mesocúrtica; K > 0,263 – a curva é platicúrdica; K < 0,263 – a curva é leptocúrdica. c.2) Medidas de curtose:

160 17/9/ :00ESTATÍSTICA APLICADA I - Estatística Descritiva 1.5 Estatísticas Amostrais c)Medidas de forma Exemplo: Para a mesma distribuição do exemplo da assimetria, calcula-se ainda P 10 e P 90 ; logo: c.2) Medidas de curtose: -Como K > 0,273, então a distribuição é do tipo platicúrtica.

161 17/9/ :00ESTATÍSTICA APLICADA I - Estatística Descritiva  Introdução  Conceitos e definições  Classificação dos dados  Caracterização e apresentação dos dados  Estatísticas amostrais  Outras apresentações gráficas de dados  Regressão linear I - Estatística Descritiva

162 17/9/ :00ESTATÍSTICA APLICADA I - Estatística Descritiva 1.6 Outras Apresentações Gráficas de Dados Além dos diagramas já estudados, existem outras formas bastante utilizadas internacionalmente para apresentar os dados amostrais. Um bom modo de obter uma apresentação visual eficiente de um conjunto de dados pode ser conseguido por meio de três tipos de gráficos: diagramas de pontos, diagramas de ramo e folhas e diagramas de caixa. O diagrama de pontos é uma apresentação útil de dados, no caso de amostras pequenas (até cerca de 20 observações). Entretanto, quando o número de observações for moderadamente alto, o diagrama de ramo e folhas e o diagrama de caixa podem ser mais úteis. Questões como quantidades de dados abaixo de certo valor, tendência central (média ou mediana), dispersão (desvio-padrão), possibilidade de detectar outliers (pontos bastante diferentes do conjunto de dados) e o desvio da simetria, não são fáceis de responder, pois existem muitas observações, e a construção de um diagrama de pontos, usando esses dados, seria relativamente ineficiente.

163 17/9/ :00ESTATÍSTICA APLICADA I - Estatística Descritiva Diagrama de pontos Um diagrama de pontos é um gráfico estatístico que consiste em grupos de pontos de dados traçados em uma escala simples. São utilizados para dados contínuos, quantitativos e univariados, e são muito úteis para exibir um pequeno conjunto de dados. Esse tipo de gráfico permite uma fácil visualização de duas características dos dados: a posição (meio) e a dispersão (espalhamento ou variabilidade) 1.6 Outras Apresentações Gráficas de Dados

164 17/9/ :00ESTATÍSTICA APLICADA I - Estatística Descritiva Diagrama de pontos Exemplo 01 (Montgomery, 2004, p.2-3): Um engenheiro está projetando um conector de náilon para ser usado em aplicação automotiva. Ele considera estabelecer como especificação do projeto uma espessura de 3/32 pol., mas está inseguro. Oito unidades do protótipo são produzidas e suas forças de remoção são medidas, resultando nos seguintes dados (em libras): 12,6; 12,9; 13,4; 12,3; 13,6; 13,5; 12,6 e 13,1. Construa um diagrama de pontos para esses dados. 1.6 Outras Apresentações Gráficas de Dados Força de remoção

165 17/9/ :00ESTATÍSTICA APLICADA I - Estatística Descritiva Diagrama de pontos Exemplo 02: O engenheiro do exemplo anterior decide considerar um projeto alternativo com uma espessura maior da parede do conector, 1/8 pol. Oito protótipos desse projeto são construídos, sendo as medidas observadas da força de remoção, resultando nos seguintes dados (em libras): 12,9; 13,7; 12,8; 13,9; 14,2; 13,2; 13,5 e 13,1. Construa um diagrama de pontos para esses dados, sobrepondo-o ao anterior para uma melhor análise da influência da espessura da parede na força de remoção. 1.6 Outras Apresentações Gráficas de Dados ,0 13,4 Força de remoção 3/32 pol. 1/8 pol.

166 17/9/ :00ESTATÍSTICA APLICADA I - Estatística Descritiva Diagrama de ramo e folhas Esta forma de apresentação de dados tem sido freqüentemente utilizada em trabalhos técnicos do mundo inteiro. Para construir o diagrama de ramo e folhas, dividimos o elemento amostral em duas partes: um ramo (stem), consistindo em um ou mais dígitos iniciais, e uma folha (leaf), consistindo nos dígitos restantes. Exemplo: O dado 458 é dividido em duas partes, a primeira parte 45, e a segunda parte 8. Geralmente, escolhe-se relativamente poucos ramos em comparação ao número de observações (5 a 20 itens). 1.6 Outras Apresentações Gráficas de Dados

167 17/9/ :00ESTATÍSTICA APLICADA I - Estatística Descritiva Diagrama de ramo e folhas Exemplo (Montgomery, 2004, p.16): Considere o conjunto de dados abaixo, relativos à resistência a compressão de uma liga de alumínio O diagrama de ramo e folhas resultante é apresentado a seguir: 1.6 Outras Apresentações Gráficas de Dados

168 17/9/ :00ESTATÍSTICA APLICADA I - Estatística Descritiva Diagrama de ramo e folhas (dados brutos) RamoFolhaFrequência Outras Apresentações Gráficas de Dados

169 17/9/ :00ESTATÍSTICA APLICADA I - Estatística Descritiva Diagrama de ramo e folhas (dados ordenados) RamoFolhaFrequência Outras Apresentações Gráficas de Dados

170 17/9/ :00ESTATÍSTICA APLICADA I - Estatística Descritiva Diagrama de ramo e folhas Em alguns casos pode ser desejável construir mais intervalos ou ramos. Uma maneira de fazer isto seria dividir o ramo escolhido em dois ou mais novos ramos, conforme mostrado abaixo: RamoFolha 14L 14U 15L 15U RamoFolha 14z 14t 14f 14s 14e 15z 15t 15f 15s 15e Outras Apresentações Gráficas de Dados

171 17/9/ :00ESTATÍSTICA APLICADA I - Estatística Descritiva Diagrama de ramo e folhas Freqüência acumuladaRamoFolha (10) Outras Apresentações Gráficas de Dados N = 80 Min = 76 Max = 245 Média = 162,7 Mediana = 161,5 Q 1 = 143,50 Q 3 = 181,00 S 2 = 33,77

172 17/9/ :00ESTATÍSTICA APLICADA I - Estatística Descritiva Diagrama de ramo e folhas 1.6 Outras Apresentações Gráficas de Dados Exercício (Montgomery, 2004, p.17): Os seguintes dados são os números de ciclos até a falha, de corpos de prova de alumínio, sujeitos a uma tensão alternada repetida, de psi e 18 ciclos por segundo:

173 17/9/ :00ESTATÍSTICA APLICADA I - Estatística Descritiva Diagrama de ramo e folhas 1.6 Outras Apresentações Gráficas de Dados (a) Construa um diagrama de ramo e folhas para esses dados. (b) Você acha que o corpo de prova “sobreviverá” além de ciclos? Justifique a sua resposta. (c) Encontre a mediana e os quartis. ProfundidadeRamo Folha (5) b) Não. A probabilidade é muito pequena. c) M = 1436,5 Q 1 = 1097,8 Q 3 = 1735 a)

174 17/9/ :00ESTATÍSTICA APLICADA I - Estatística Descritiva Diagrama de caixa (box plot) 1.6 Outras Apresentações Gráficas de Dados Uma outra forma gráfica de apresentar os dados é o chamado diagrama de caixa (box plot) ou diagrama de caixa e linhas (box and whiskers), que permite descrever simultaneamente vários fatores importantes de uma série de dados, tais como a tendência central (média ou mediana), a dispersão (desvio-padrão), a possibilidade de detectar outliers (pontos bastante diferentes do conjunto de dados) e o desvio da simetria. Um diagrama de caixa apresenta três quartis, em uma caixa retangular, alinhados tanto horizontal como verticalmente; opcionalmente, pode apresentar a média.

175 17/9/ :00ESTATÍSTICA APLICADA I - Estatística Descritiva Diagrama de caixa (box plot) 1.6 Outras Apresentações Gráficas de Dados A caixa inclui a amplitude interquartil, com o canto esquerdo (ou inferior) no primeiro quartil, Q 1, e o canto direito (ou superior) no terceiro quartil, Q 3. Portanto, o comprimento da caixa é igual a amplitude interquartil, D Q = Q 3 - Q 1. Uma linha é desenhada através da caixa, no segundo quartil (que é o percentil 50 ou a mediana), Q 2. A média, como já dito, é opcional. Uma linha (whisker) estende-se de cada extremidade da caixa. A linha inferior (ou esquerda) começa no primeiro quartil indo até o menor valor do conjunto de pontos dentro das amplitudes interquartis de 1,5, a partir do primeiro quartil.

176 17/9/ :00ESTATÍSTICA APLICADA I - Estatística Descritiva Diagrama de caixa (box plot) 1.6 Outras Apresentações Gráficas de Dados A linha superior (ou direita) começa no terceiro quartil indo até o maior do conjunto de pontos dentro das amplitudes interquartis de 1,5, a partir do terceiro quartil. Dados mais afastados dos que as linhas são plotados como pontos individuais. Um ponto além da linha, porém a menos de 3 amplitudes interquartis a partir da extremidade da caixa, é chamado de dispersos (outliers). Um ponto a mais de 3 amplitudes interquartis a partir da extremidade da caixa é chamado de um outlier extremo. Ocasionalmente, símbolos diferentes (círculos abertos e fechados, por exemplo) são usados para identificar os dois tipos de outlier.

177 17/9/ :00ESTATÍSTICA APLICADA I - Estatística Descritiva Diagrama de caixa (box plot) 1.6 Outras Apresentações Gráficas de Dados

178 17/9/ :00ESTATÍSTICA APLICADA I - Estatística Descritiva Diagrama de caixa (box plot) 1.6 Outras Apresentações Gráficas de Dados Exercício: Represente o diagrama de caixa para os dados da resistência à compressão do alumínio mostrados no exercício anterior. N = 80 Min = 76 Max = 245 Média = 162,7 Mediana = 161,5 Q 1 = 143,50 Q 3 = 181,00

179 17/9/ :00ESTATÍSTICA APLICADA I - Estatística Descritiva  Introdução  Conceitos e definições  Classificação dos dados  Caracterização e apresentação dos dados  Estatísticas amostrais  Outras apresentações gráficas de dados  Regressão linear I - Estatística Descritiva

180 17/9/ :00ESTATÍSTICA APLICADA I - Estatística Descritiva 1.7 Regressão Linear Relação entre duas variáveis Em inúmeras ocasiões o estudo descritivo não se resume ao estudo de apenas uma variável; para se ter uma visão global do problema em estudo, muitas vezes é necessário a observação de duas ou mais variáveis. Nesse caso, em vez de uma amostra (x 1, x 2,..., x n ), passa- se a ter dados bivariados (x i, y i ), i = 1, 2,..., n. Um dos objetivos desse estudo é a relação existente entre as variáveis do par.

181 17/9/ :00ESTATÍSTICA APLICADA I - Estatística Descritiva 1.7 Regressão Linear Correlação linear Para se ter uma idéia de como as duas variáveis se relacionam é comum representar graficamente esta relação por meio de um diagrama de dispersão. Esta representação consiste na marcação das observações em um sistema de eixos cartesianos. Se as variáveis fornecem um diagrama de dispersão em que os pontos se colocam ao redor de uma reta crescente ou decrescente, diz-se que essas variáveis estão linearmente correlacionadas.

182 17/9/ :00ESTATÍSTICA APLICADA I - Estatística Descritiva 1.7 Regressão Linear Correlação linear Quanto menor a dispersão dos pontos em torno da reta, mais forte será a correlação. A correlação linear será positiva ou negativa caso a tendência da reta seja crescente ou decrescente. Se nenhuma tendência positiva ou negativa pode ser detectada, a explicação possível para os valores da segunda variável é sua média. Nesse caso, o eixo da dispersão será horizontal, contendo a média da segunda variável, e diz-se que as variáveis não são linearmente correlacionadas.

183 17/9/ :00ESTATÍSTICA APLICADA I - Estatística Descritiva 1.7 Regressão Linear Correlação linear y x Correlação linear forte (positiva) y x Correlação linear forte (negativa) y x Correlação linear fraca (positiva)

184 17/9/ :00ESTATÍSTICA APLICADA I - Estatística Descritiva 1.7 Regressão Linear Correlação linear y x Variáveis não correlacionadas y x Variáveis não correlacionadas linearmente y x

185 17/9/ :00ESTATÍSTICA APLICADA I - Estatística Descritiva 1.7 Regressão Linear Correlação linear Exemplo: A tabela abaixo mostra os dados da temperatura do gás combustível (ºF) e da respectiva taxa de calor (Btu/kwh) para uma turbina de combustão, para ser usada em refrigeração, construa o diagrama de dispersão para esses dados. x y99,198,898,5 98,298,097,8 x y97,8 97,697,597,397,096,896,7 Desse diagrama pode-se extrair que talvez exista uma correlação linear entre as variáveis; esta relação pode ser traduzida por meio de uma reta.

186 17/9/ :00ESTATÍSTICA APLICADA I - Estatística Descritiva 1.7 Regressão Linear Coeficiente de correlação linear A determinação da correlação entre duas variáveis por meio de uma inspeção nos pares anotados ou no diagrama de dispersão correspondente é pouco precisa e subjetiva. Essa dificuldade pode ser contornada pelo uso de uma medida que caracterize a correlação linear e seja independente do observador que esteja examinando os dados.

187 17/9/ :00ESTATÍSTICA APLICADA I - Estatística Descritiva 1.7 Regressão Linear Coeficiente de correlação linear Karl Pearson propôs o chamado coeficiente de correlação linear, o qual é dado pela relação: onde: Cov (x,y) é a covariância das variáveis x e y, e seu cálculo é dado por e s x 2 e s y 2 são as variâncias da variáveis x e y.

188 17/9/ :00ESTATÍSTICA APLICADA I - Estatística Descritiva 1.7 Regressão Linear Coeficiente de correlação linear Fazendo-se as devidas substituições e simplificações, obtém-se o coeficiente de correlação de forma mais simples: onde:

189 17/9/ :00ESTATÍSTICA APLICADA I - Estatística Descritiva 1.7 Regressão Linear Coeficiente de correlação linear r = -1, indica correlação linear negativa perfeita; os pontos (x,y) estão sobre uma reta com coeficiente angular negativo. r = 0, indica que os pontos não estão correlacionados, nem apresentam tendência crescente ou decrescente. r = 1, indica correlação linear positiva perfeita; os pontos (x,y) estão sobre uma reta com coeficiente angular positivo.

190 17/9/ :00ESTATÍSTICA APLICADA I - Estatística Descritiva 1.7 Regressão Linear Coeficiente de correlação linear Nos casos em que os pontos do diagrama de dispersão estão em uma reta vertical ou horizontal, o quociente que calcula o coeficiente de correlação não está definido, pois apresenta numerador e denominador nulos. Nesse caso, o coeficiente de correlação será considerado nulo. r = 0, Cov (x,y) = 0, s y 2 = 0 y x r = 0, pois Cov (x,y) = 0, s x 2 = 0 y x

191 17/9/ :00ESTATÍSTICA APLICADA I - Estatística Descritiva 1.7 Regressão Linear Coeficiente de correlação linear A correlação entre duas variáveis pretende captar o fato dessas variáveis apresentarem a mesma tendência ao crescimento, ou tendências contrárias. O fato de duas variáveis evoluírem no mesmo sentido ou em sentidos opostos fornece uma idéia do que se pode esperar sobre um valor desconhecido da variável y para um particular valor de x.

192 17/9/ :00ESTATÍSTICA APLICADA I - Estatística Descritiva 1.7 Regressão Linear Coeficiente de correlação linear Se as variáveis x e y são positivamente correlacionadas, e se procura estimar o valor de y 1 para certo valor x 1 menor que a média, deve- se esperar o valor correspondente y 1 menor que a média ; para um valor x 2 maior que a média, deve-se esperar um valor y 2 maior que a média, acompanhando a tendência do eixo crescente dos pontos. y x y2y2 y1y1 x2x2 x1x1

193 17/9/ :00ESTATÍSTICA APLICADA I - Estatística Descritiva 1.7 Regressão Linear Coeficiente de correlação linear Os problemas que envolvem estimativas de valores desconhecidos a partir de valores históricos são chamados problemas de previsão ou predição. O conhecimento da correlação entre duas variáveis, embora possa fornecer uma pista para a previsão de um valor desconhecido de uma delas, nada informa a respeito da qualidade dessa previsão, ou seja, não se pode, em geral, com base apenas no conhecimento da correlação, transformar a incerteza da previsão em risco (isto só pe possível quando a correlação é perfeita). Entretanto, o fato de duas variáveis serem correlacionadas levanta a possibilidade de uma relação causal entre elas, o que é importante em problemas de previsão.

194 17/9/ :00ESTATÍSTICA APLICADA I - Estatística Descritiva 1.7 Regressão Linear Regressão linear simples Como visto anteriormente, uma previsão construída baseada nas informações obtidas da correlação nada diz a respeito da confiabilidade do valor previsto. Um método de previsão que permite a avaliação em termos de confiabilidade é a regressão linear, pois, satisfeitas determinadas condições, ela proporciona a transformação da incerteza em risco

195 17/9/ :00ESTATÍSTICA APLICADA I - Estatística Descritiva 1.7 Regressão Linear Regressão linear simples – Modelo teórico Quando se verifica, quer por meio do gráfico de dispersão, quer pelo coeficiente de correlação linear, uma correlação forte entre duas variáveis, a relação entre essas variáveis pode ser descrita por meio de uma reta de regressão (a reta que melhor se ajusta aos dados). Essa reta serve de modelo matemático para expressar a relação linear entre duas variáveis.

196 17/9/ :00ESTATÍSTICA APLICADA I - Estatística Descritiva 1.7 Regressão Linear Regressão linear simples – Modelo teórico Considere o relacionamento de duas variáveis x e y com as seguintes características: x: é a variável cujos valores são controlados e, portanto, determinados; ela é conhecida por variável independente ou variável de decisão; y: variável aleatória; é a variável que se quer prever; seu valor depende do valor atribuído a x, embora para cada valor de x se possa ter vários valores de y, devido a sua característica aleatória (variável dependente de x).

197 17/9/ :00ESTATÍSTICA APLICADA I - Estatística Descritiva 1.7 Regressão Linear Regressão linear simples – Modelo teórico O modelo teórico define a verdadeira reta de regressão, cuja equação pode ser escrita como: O valor de y é dado por: onde: é a parte funcional de y (a parte do valor de y explicada pelo valor de x); U é a parte aleatória de y, a qual é introduzida no valor de y por fatores imponderáveis.

198 17/9/ :00ESTATÍSTICA APLICADA I - Estatística Descritiva 1.7 Regressão Linear Regressão linear simples – Modelo teórico Nessas condições, dado um valor para x, a previsão ou expectativa para o correspondente valor de y é: Entretanto, dificilmente se conhece a população dos valores de y para cada valor da variável controlada x. O que se conhece, geralmente, são alguns valores dos pares (x,y), ou seja, apenas uma amostra dessas variáveis. Portanto, com base nos dados amostrais, deve-se pensar como estimar os valores de α e β, o que pode ser ser feito de forma eficiente por meio do método dos mínimos quadrados.

199 17/9/ :00ESTATÍSTICA APLICADA I - Estatística Descritiva 1.7 Regressão Linear Método dos mínimos quadrados Um dos métodos mais utilizados para ajustar uma reta a um conjunto de dados é o Método dos Mínimos Quadrados (MMQ), o qual consiste em determinar a reta que minimiza a soma dos quadrados dos desvios (os chamados erros ou resíduos) entre os verdadeiros valores de y e os valores estimados a partir da reta de regressão que se pretende ajustar, ŷ. ^ ŷ = a + bx

200 17/9/ :00ESTATÍSTICA APLICADA I - Estatística Descritiva 1.7 Regressão Linear Método dos mínimos quadrados Adota-se o quadrado das diferenças, pois como os pontos se situam acima e abaixo da reta estimada, as diferenças podem ser positivas ou negativas, e na soma podem anular-se, não refletindo o ajustamento. Sendo números positivos, esses quadrados refletem a qualidade do ajuste através de sua soma.

201 17/9/ :00ESTATÍSTICA APLICADA I - Estatística Descritiva 1.7 Regressão Linear Método dos mínimos quadrados O modelo de regressão linear é a reta de regressão ŷ i = a + bx i + ε i onde ŷ é o estimador de y; a e b os estimadores de α e β. A reta estimada é obtida de tal modo que a soma dos quadrados dos desvios ou resíduos (ε i = y i – ŷ) seja mínima, ou seja,

202 17/9/ :00ESTATÍSTICA APLICADA I - Estatística Descritiva 1.7 Regressão Linear Método dos mínimos quadrados Como tal, para estimar os parâmetros do modelo, é necessário que as primeiras derivadas em relação a a e a b sejam nulas, e as segundas sejam maiores ou iguais a zero, assim: As estimativas dos mínimos quadrados para os parâmetros α e β são:

203 17/9/ :00ESTATÍSTICA APLICADA I - Estatística Descritiva 1.7 Regressão Linear Coeficiente de explicação Calculada a estimativa de mínimos quadrados para uma amostra dada, deve-se verificar a qualidade do ajuste dessa reta aos dados históricos. Uma forma de medir a qualidade do ajuste é verificar qual a porcentagem da variação dos valores de y em relação à sua média pode ser explicada pela regressão de y sobre x, o que dará origem ao coeficiente de explicação R 2.

204 17/9/ :00ESTATÍSTICA APLICADA I - Estatística Descritiva 1.7 Regressão Linear Coeficiente de explicação Do gráfico abaixo, onde ŷ = a + bx é a regressão de y sobre x, observa-se que o valor de y i correspondente a um valor x i pode ser composto de duas partes: a parte explicada pela média e a parte não explicada pela média. y parte do valor de y explicada pela média parte do valor de y explicada pela regressão parte do valor de y não explicada pela média xxixi yiyi ŷ ŷ = a + bx

205 17/9/ :00ESTATÍSTICA APLICADA I - Estatística Descritiva Interessa avaliar que porcentagem da parte não explicada pela média,, pode ser explicada pela regressão de y sobre x, isto é, por. 1.7 Regressão Linear Coeficiente de explicação VE = variação explicada, a soma dos quadrados das variações em relação à média. Designando: VT = variação total, soma dos quadrados das variações de y em relação à sua média. No método dos mínimos quadrados, ao invés de somar essas diferenças, soma-se o quadrado delas para evitar que valores positivos e negativos se anulem.

206 17/9/ :00ESTATÍSTICA APLICADA I - Estatística Descritiva 1.7 Regressão Linear Coeficiente de explicação O coeficiente de explicação R 2 pode ser definido agora como sendo a porcentagem da variação total representada pela variação explicada.

207 17/9/ :00ESTATÍSTICA APLICADA I - Estatística Descritiva 1.7 Regressão Linear Método dos mínimos quadrados Exemplo: No exemplo anterior, observou-se no diagrama de dispersão uma possível relação linear entre as variáveis. a)Confirme essa relação por meio do coeficiente de correlação; b)Encontre a reta de regressão pelo método dos mínimos quadrados.

208 17/9/ :00ESTATÍSTICA APLICADA I - Estatística Descritiva 1.7 Regressão Linear Método dos mínimos quadrados Cálculos: ixyx2x2 y2y2 xy ,1 98,8 98,5 98,2 98,0 97,8 97,6 97,5 97,3 97,0 96,8 96, ,8 9761,4 9702,2 9643,2 9604,0 9564,8 9525,8 9506,2 9467,3 9409,0 9370,2 9350,9 9910, , , , , , , , , , , , , , , ,0 Σ , , ,0

209 17/9/ :00ESTATÍSTICA APLICADA I - Estatística Descritiva 1.7 Regressão Linear Método dos mínimos quadrados Cálculos: -O valor da correlação e do coeficiente de explicação indicam uma forte correlação linear entre a temperatura do gás combustível e a taxa de calor. Pode-se, portanto, estimar, através do MMQ os parâmetros a e b e traçar a reta de regressão: -Sendo assim a reta de regressão é:

210 17/9/ :00ESTATÍSTICA APLICADA I - Estatística Descritiva 1.7 Regressão Linear Funções linearizáveis Para que se evite erros de previsão, a condição inicial para um estudo de regressão linear entre duas variáveis é que essas variáveis apresentem uma razoável correlação linear. Caso os valores de y para crescentes valores de x variem de modo aleatório, sem apresentar qualquer tendência, o valor que melhor explica y é, geralmente, a sua média; entretanto, em alguns casos, o diagrama de dispersão apresenta uma tendência não linear, isto é, uma curva bem definida, em torno da qual os pontos parecem agrupar-se.

211 17/9/ :00ESTATÍSTICA APLICADA I - Estatística Descritiva 1.7 Regressão Linear Funções linearizáveis Existe um grupo de funções que apresentam diagramas ajustáveis a muitas dessas tendências, e que possuem a qualidade de poder transformar-se em funções lineares com a aplicação de logaritmos ou por mudança de variável. A forma linear dessas funções transformadas pode então ser usada para estimar os parâmetros da curva ajustada àquela tendência, conforme será estudado a seguir.

212 17/9/ :00ESTATÍSTICA APLICADA I - Estatística Descritiva 1.7 Regressão Linear Funções linearizáveis 1.Função potência: y = a.x b, com x ≥ 0 e b ≥ 0 Para este caso, a primeira e a segunda derivadas da função fornecem a forma da curva. b > 1 Crescente Concavidade para cima Contém a origem x y 0 < b < 1 Crescente Concavidade para baixo Contém a origem x y

213 17/9/ :00ESTATÍSTICA APLICADA I - Estatística Descritiva 1.7 Regressão Linear Funções linearizáveis 1.Função potência: y = a.x b, com x ≥ 0 e b ≥ 0 Se x = 0, então y = 0. Para x > 0, aplicando o logaritmo, tem-se: ln y = ln a + b.ln x Fazendo Y = ln y, A = ln a e X = ln x, tem-se a forma linear: Y = A + b.X O diagrama de dispersão de (X = ln x, Y = ln y) e o coeficiente de correlação correspondente podem indicar a oportunidade e qualidade do ajuste.

214 17/9/ :00ESTATÍSTICA APLICADA I - Estatística Descritiva 1.7 Regressão Linear Funções linearizáveis 2.Função exponencial: y = ab x, a > 0, b > 0, x ≥ 0 Como no caso anterior, as derivadas fornecem a forma das curvas. a b > 1 Crescente Concavidade para cima x = 0 → y = a x y 0 < b < 1 Decrescente Concavidade para cima x = 0 → y = a x y a

215 17/9/ :00ESTATÍSTICA APLICADA I - Estatística Descritiva 1.7 Regressão Linear Funções linearizáveis 2.Função exponencial: y = ab x, a > 0, b > 0, x ≥ 0 Aplicando o logaritmo, tem-se: ln y = ln a + x.ln b Fazendo Y = ln y, A = ln a e B = ln b, tem-se a forma linear: Y = A + B.x O diagrama de dispersão de (x, Y=lny) e o coeficiente de correlação correspondente podem indicar a oportunidade e qualidade do ajuste.

216 17/9/ :00ESTATÍSTICA APLICADA I - Estatística Descritiva 1.7 Regressão Linear Funções linearizáveis 2.Função hiperbólica, tipo I: A primeira e a segunda derivadas fornecem a forma das curvas. b > 0 Decrescente Concavidade para cima Assíntota em x = 0 e y = a x y a x Crescente Concavidade para baixo Assíntota em y = a y a b < 0 - b/a

217 17/9/ :00ESTATÍSTICA APLICADA I - Estatística Descritiva 1.7 Regressão Linear Funções linearizáveis 3.Função hiperbólica, tipo I: Fazendo X = 1/x, obtém-se a forma linear: y = a + b.X O diagrama de dispersão de (X=1/x, y) e o coeficiente de correlação correspondente podem indicar a oportunidade e qualidade do ajuste.

218 17/9/ :00ESTATÍSTICA APLICADA I - Estatística Descritiva 1.7 Regressão Linear Funções linearizáveis 4.Função hiperbólica, tipo II: As derivadas da função indicam que a curva é decrescente e tem concavidade voltada para cima, com assíntotas em y = 0. Para x =0, y = 1/a. x y 1/a

219 17/9/ :00ESTATÍSTICA APLICADA I - Estatística Descritiva 1.7 Regressão Linear Funções linearizáveis 4.Função hiperbólica, tipo II: Fazendo Y = 1/y, obtém-se: O diagrama de dispersão de (x, Y=1/y) e o coeficiente de correlação correspondente podem indicar a oportunidade e qualidade do ajuste.

220 17/9/ :00ESTATÍSTICA APLICADA I - Estatística Descritiva 1.7 Regressão Linear Funções linearizáveis 5.Função logaritmo: y = a + b.ln x, x > 0 As derivadas indicam a forma da curva: b < 0 Decrescente Concavidade para cima x y e -a/b x Crescente Concavidade para baixo y b > 0 e - a/b

221 17/9/ :00ESTATÍSTICA APLICADA I - Estatística Descritiva 1.7 Regressão Linear Funções linearizáveis 5.Função logaritmo: y = a + b.ln x, x > 0 Fazendo X = ln x, obtém-se a forma linear: O diagrama de dispersão de (X=ln x, y) e o coeficiente de correlação correspondente podem indicar a oportunidade e qualidade do ajuste.

222 17/9/ :00ESTATÍSTICA APLICADA I - Estatística Descritiva 1.7 Regressão Linear Funções linearizáveis Exemplo: Um estudo sobre a oferta de mercado de um produto revelou as quantidades que os produtores estariam dispostos a oferecer a vários níveis de preços x = preço10,0010,5011,0011,5012,0012,5013,0013,50 y = oferta (em 1000 un.)

223 17/9/ :00ESTATÍSTICA APLICADA I - Estatística Descritiva 1.7 Regressão Linear Funções linearizáveis Exemplo: a.Construa um diagrama de dispersão para os dados da tabela; b.Calcule o coeficiente de correlação linear das variáveis; c.O diagrama de dispersão sugere o uso de alguma forma linearizável para ajustar os pontos? d.Construa o gráfico de dispersão da forma linear correspondente à função escolhida em (c); e.Calcule o coeficiente de correlação dos pares em (d); f.Comente os resultados obtidos; g.Calcule a regressão de y sobre x para a função de maior correlação; h.Calcule o coeficiente de explicação para a função escolhida em (g); i.Calcule a oferta para um preço de 15,00.

224 17/9/ :00ESTATÍSTICA APLICADA I - Estatística Descritiva 1.7 Regressão Linear Funções linearizáveis Solução: a.Diagrama de dispersão

225 17/9/ :00ESTATÍSTICA APLICADA I - Estatística Descritiva 1.7 Regressão Linear Funções linearizáveis Solução: b.Coeficiente de correlação. nxyx2x2 y2y2 xy ,0 10,5 11,0 11,5 12,0 12,5 13,0 13, ,00 110,25 121,00 132,25 144,00 156,25 160,00 182, ,0 4620,0 4917,0 5209,5 5520,0 5812,5 6110,0 6372,0 Σ94, , ,0

226 17/9/ :00ESTATÍSTICA APLICADA I - Estatística Descritiva 1.7 Regressão Linear Funções linearizáveis Solução: b.Coeficiente de correlação. c.A forma do diagrama de dispersão sugere a curva logaritmica por suas características. y = a + b.ln x

227 17/9/ :00ESTATÍSTICA APLICADA I - Estatística Descritiva 1.7 Regressão Linear Funções linearizáveis Solução: d.Diagrama de dispersão: a forma linear é y = a + b.X, com X = ln x. X = ln x2,302,352,402,442,482,532,562,60 y = oferta (em 1000 un

228 17/9/ :00ESTATÍSTICA APLICADA I - Estatística Descritiva 1.7 Regressão Linear Funções linearizáveis Solução: e.Coeficiente de correlação. nX=ln xyX2X2 y2y2 Xy ,30 2,35 2,40 2,44 2,48 2,53 2,56 2, ,29 2,52 5,76 5,95 6,15 6,40 6,55 6, , , , , , , , ,2 Σ19, , ,57

229 17/9/ :00ESTATÍSTICA APLICADA I - Estatística Descritiva 1.7 Regressão Linear Funções linearizáveis Solução: e.Coeficiente de correlação. f.A correlação obtida com a curva logarítmica é maior; portanto, essa função será escolhida para o processo de regressão.

230 17/9/ :00ESTATÍSTICA APLICADA I - Estatística Descritiva 1.7 Regressão Linear Funções linearizáveis Solução: g.Cálculo da regressão linear: h.Cálculo do R 2. A regressão de y sobre x explica 97,6% das variações de y a partir de sua média; os outros 2,4% são atribuídos a fatores imponderáveis.

231 17/9/ :00ESTATÍSTICA APLICADA I - Estatística Descritiva 1.7 Regressão Linear Funções linearizáveis Solução: i.Projeção da oferta para um preço de 15,00: A oferta esperada quando o preço for 15,00 é de 490,68 mil unidades.

232 17/9/ :00ESTATÍSTICA APLICADA I - Estatística Descritiva FIM I - Estatística Descritiva


Carregar ppt "17/9/2014 19:00ESTATÍSTICA APLICADA I - Estatística Descritiva Estatística Aplicada I Universidade Federal do Pará Instituto de Tecnologia Campus de Tucuruí."

Apresentações semelhantes


Anúncios Google