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Fred Tavares NÚMEROS COMPLEXOS números. NÚMEROS COMPLEXOS Fred Tavares Os números Complexos constituem o maior conjunto numérico existente. N: conjunto.

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1 Fred Tavares NÚMEROS COMPLEXOS números

2 NÚMEROS COMPLEXOS Fred Tavares Os números Complexos constituem o maior conjunto numérico existente. N: conjunto dos números Naturais Z: conjunto dos números Inteiros Q: conjunto dos números Racionais I: conjunto dos números Irracionais R: conjunto dos números Reais C: conjunto dos números Complexos

3 NÚMEROS COMPLEXOS Fred Tavares Os números Complexos constituem o maior conjunto numérico existente.

4 Os números complexos são escritos na sua forma algébrica da seguinte forma: a + bi, sabemos que a e b são números reais e que o valor de a é a parte real do número complexo e que o valor de bi é a parte imaginária do número complexo. Podemos então dizer que um número complexo z será igual a a + bi (z = a + bi). Com esses números podemos efetuar as operações de adição, subtração e multiplicação, obedecendo à ordem e características da parte real e parte imaginária. NÚMEROS COMPLEXOS Fred Tavares

5 OBSERVAÇÕES NÚMEROS COMPLEXOS Fred Tavares i 2 = -1 i = imaginário Re = real Im = imaginário

6 IDENTIFICANDO Veja alguns exemplos de como identificar a parte real e a parte imaginária de um número complexo: z = iz = iz = 1/2 + (1/3)i Re(z) = -3Re(z) = -5Re(z) = 1/2 Im(z) = 5Im(z) = 10Im(z) = 1/3 NÚMEROS COMPLEXOS Fred Tavares

7 As coordenadas a e b podem assumir qualquer valor real, dependendo do valor que eles assumirem o número complexo irá receber um nome diferente: Quando a e b forem diferentes de zero dizemos que o número complexo é imaginário: Quando o valor de a é igual a zero e o de b é diferente de zero dizemos que o número complexo é imaginário puro: Quando a diferente de zero e b igual a zero dizemos que o número complexo será real. z = 3 + 8iz = 0 + 9i z = 9i z = 7 – 0i z = 7 É comum vir em provas de vestibular. NÚMEROS COMPLEXOS Fred Tavares

8 Exemplos: Determine o valor de m para que z =(m-2) + 5i, seja: Número Real Para que o complexo seja um número real devemos fazer b = 0 e a ≠ 0. m – 2 ≠ 0 então: m ≠ 2 Imaginário puro Para que um número complexo seja imaginário puro a = 0 e b ≠ 0, então podemos dizer que: m – 2 = 0 então: m = 2 NÚMEROS COMPLEXOS Fred Tavares

9 Adição Dado dois números complexos quaisquer z 1 = a + bi e z 2 = c + di, ao adicionarmos teremos: z 1 + z 2 = (a + bi) + (c + di) = (a + c) + (b + d)i Portanto, z 1 + z 2 = (a + c) + (b + d)i. RESUMINDO: REAL COM REAL – IMAGINÁRIO COM IMAGINÁRIO NÚMEROS COMPLEXOS Fred Tavares

10 Adição Exemplo: Dado dois números complexos z 1 = 6 + 5i e z 2 = 2 – i, calcule a sua soma: z 1 + z 2 = (6 + 5i) + (2 – i) = i – i = 8 + (5 – 1)i = 8 + 4i Portanto, z 1 + z 2 = 8 + 4i. NÚMEROS COMPLEXOS Fred Tavares

11 Subtração Dado dois números complexos quaisquer z 1 = a + bi e z 2 = c + di, ao adicionarmos teremos: z 1 - z 2 = (a + bi) - (c + di) = (a - c) + (b - d)i Portanto, z 1 - z 2 = (a - c) + (b - d)i. RESUMINDO: REAL COM REAL – IMAGINÁRIO COM IMAGINÁRIO NÚMEROS COMPLEXOS Fred Tavares

12 Subtração Exemplo: Dado dois números complexos z 1 = 6 + 5i e z 2 = 2 – i, calcule a sua soma: z 1 - z 2 = (6 + 5i) - (2 – i) = i + i = 4 + (5 + 1)i = 4 + 6i Portanto, z 1 - z 2 = 4 + 6i. NÚMEROS COMPLEXOS Fred Tavares

13 Multiplicação Dado dois números complexos quaisquer z 1 = a + bi e z 2 = c + di, ao multiplicarmos teremos: z 1. z 2 = (a + bi). (c + di) (regra do chuveirinho) ac + adi + bci + bdi 2 = ac + adi + bci + bd (-1) ac + adi + bci – bd = ac - bd + adi + bci (ac - bd) + (ad + bc)i (agrupar termos semelhantes) Portanto, z 1. z 2 = (ac + bd) + (ad + bc)i. NÚMEROS COMPLEXOS Fred Tavares

14 Exemplo: SEMPRE PRESTAR ATENÇÃO NO i 2 Dado dois números complexos z 1 = 5 + i e z 2 = 2 - i, calcule a sua multiplicação: (5 + i). (2 - i) 5. 2 – 5i + 2i – i 2 10 – 5i + 2i – (-1) – 5i + 2i 11 – 3i Portanto, z 1. z 2 = 11 – 3i. NÚMEROS COMPLEXOS Fred Tavares

15 NÚMEROS COMPLEXOS Fred Tavares A letra i acompanha a parte imaginária e dependo do valor de sua potência ela irá assumir um valor que irá facilitar vários cálculos. Potência i i 0 = 1, pois todo número ou letra elevando à zero é um. i 4 = i 2. i 2 = -1. (-1) = 1 i 1 = i, pois todo número elevado a 1 é ele mesmo. i 5 = i 4. i = 1. i = i i 2 = -1i 6 = i 4. i 2 = 1. (-1) = -1. i 3 = i 2. i = -1. i = - ii 7 = i 4. i 3 = 1. (-i) = - i. E assim por diante.

16 NÚMEROS COMPLEXOS Fred Tavares RESUMINDO: AS POTÊNCIAS SEMPRE SE REPETEM DE 4 EM 4. Qualquer potência maior que 4, basta dividir por 4 e pegar o resto.

17 NÚMEROS COMPLEXOS Fred Tavares Para descobrir, por exemplo, qual era o valor da potência i 243, basta dividirmos 243 por 4, o resto será 3 então i 243 será o mesmo que i 3, portanto i 243 = i 3 = - i. Potência i

18 NÚMEROS COMPLEXOS Fred Tavares Forma algébrica Os números complexos são formados por um par ordenado (a, b) onde os valores de a estão situados no eixo x (abscissa) e os valores de b no eixo y (ordenadas). Sobre o eixo x marcamos os pontos relacionados à parte real do número complexo e sobre o eixo y os pontos relacionados à parte imaginária. y x P Z = a + bi a b

19 Oposto, conjugado Oposto ( Basta multiplicar por -1) O oposto de qualquer número real é o seu simétrico, o oposto de 10 é -10, o oposto de -5 é +5. O oposto de um número complexo respeita essa mesma condição, pois o oposto do número complexo z será – z. Por exemplo: Dado o número complexo z = 8 – 6i, o seu oposto será: - z = i. NÚMEROS COMPLEXOS Fred Tavares

20 Oposto, conjugado Conjugado ( Basta mudar o sinal da parte imaginária) Para determinarmos o conjugado de um número complexo, basta representar o número complexo através do oposto da parte imaginária. O conjugado de z = a + bi será z = a - bi NÚMEROS COMPLEXOS Fred Tavares

21 NÚMEROS COMPLEXOS Fred Tavares

22 NÚMEROS COMPLEXOS Fred Tavares

23 NÚMEROS COMPLEXOS Fred Tavares

24 NÚMEROS COMPLEXOS Fred Tavares

25 NÚMEROS COMPLEXOS Fred Tavares

26 NÚMEROS COMPLEXOS Fred Tavares

27 Eu Sei Que Vou ESTUDAR by Fred e Tavares Eu sei que vou ESTUDAR Por toda a minha vida eu vou ESTUDAR Em cada NOTA BAIXA eu vou APANHAR Desesperadamente, eu sei que vou CHORAR E cada ERRO meu será Prá ME LEMBRAR que eu sei que DEVO ESTUDAR Por toda minha vida Eu sei que vou MELHORAR A cada NOTA BOA eu vou GRITAR Mas cada NOTA BAIXA há de LEMBRAR O que esta CHINELADA me causou Eu sei que vou sofrer a eterna desventura de viver A espera de ESTUDAR ao lado teu PROFESSOR da minha vida


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