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IM250 – Prof. Eugênio Rosa CINEMÁTICA. Definição de Fluido Quando uma tensão de cisalhamento é aplicado:  O Fluido se deforma continuamente  O Sólido.

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1 IM250 – Prof. Eugênio Rosa CINEMÁTICA

2 Definição de Fluido Quando uma tensão de cisalhamento é aplicado:  O Fluido se deforma continuamente  O Sólido se deforma, mas não continuamente SólidoFluido  O Fluido pode apresentar nas fases: líquido, vapor ou gás.

3 IM250 – Prof. Eugênio Rosa Fluido como um Continuo  Os fluidos são compostos de moléculas em constante movimento.  1 mol de gás contém moléculas, não é possível simular a trajetória de cada molécula. No entanto é possível medir os efeitos macroscópicos do de muitas moléculas: velocidade, pressão, temperatura, etc.  O Conceito do Continuo é a Base da MF clássica, ele deixa de lado o comportamento individual das moléculas.  Falha quando a trajetória livre das moléculas se torna da mesma ordem de grandeza da dimensão significativa do problema

4 IM250 – Prof. Eugênio Rosa Fluido como um Contínuo Definição da densidade num ponto infinitezimal > cm  Conseqüência da Hipótese de contínuo: cada propriedade tem um valor definido continuamente em todo espaço (x,y,z), em particular o ponto C do espaço

5 IM250 – Prof. Eugênio Rosa Referencial Euler x Lagrange

6 IM250 – Prof. Eugênio Rosa Métodos de Descrição Referencial LagrangeanoReferencial Lagrangeano:  Acompanha elementos de massa identificáveis;  Em mecânica dos fluidos, acompanhar o movimento de cada partícula, muitas vezes, torna-se impraticável.  Referencial Euleriano Referencial Euleriano  Focaliza a atenção sobre as propriedades do escoamento num determinado ponto do espaço como função do tempo;  As propriedades do campo do escoamento são descritas como funções das coordenadas espaciais e do tempo;

7 IM250 – Prof. Eugênio Rosa Lagrange: Lagrange: segue a trajetória de partículas com identidade fixa y x Eqs. paramétricas da trajetória de uma partícula que t =t 0, x=a, y=b e z=c Velocidade partículaAceleração partícula

8 IM250 – Prof. Eugênio Rosa Euleriano: Euleriano: descreve o que ocorre em diferentes posições do campo do escoamento y x Anemômetro O campo de velocidades é uma função de sua posição no espaço e no tempo. Por exemplo, colocando-se um instrumento no ponto (x 0,y 0 ) ele vai registrar a velocidade: Note que se o regime for permanente, a velocidade no ponto (x 0,y 0 ) será sempre constante. No entanto, se você mudar o instrumento para o ponto (x 1,y 1 ) você obterá um novo valor de velocidade (x 0,y 0 ) (x 1,y 1 )

9 IM250 – Prof. Eugênio Rosa Relação Coordenadas: Euler e Lagrange  No referencial Euleriano a velocidade numa posição (x 0,y 0,z 0 ) coincide com a taxa de deslocamento da partícula que passa por este ponto no mesmo instante (conceito Lagrangeano): Euler Lagrange  Euler/Lagrange e analogia EngTráfego/Policial: EngTráfego: conta o número de veículos que passa num cruzamento. Policial: segue um veículo

10 IM250 – Prof. Eugênio Rosa Lagrangeano x Euleriano  A sequência mostra a concentração de CO 2 em ar com 1 segundo de injeção.  Os resultados foram obtidos com o PHOENICS cfd, cortesia Prof. Altemani DE.  Tente acompanhar como o CO 2 se dispersa (Lagrangeano)  Observe num ponto fixo no espaço como o CO 2 varia (Euleriano)

11 IM250 – Prof. Eugênio Rosa Fração de CO2 na mistura - intervalo de injeção: 1 segundo. Perfil de fração mássica de CO2 após 2 seg, indicando superfície com 15 %. 2 seg após injeção

12 IM250 – Prof. Eugênio Rosa Fração de CO2 na mistura - intervalo de injeção: 1 segundo. Perfil de fração mássica de CO2 após 4 seg, indicando superfície com 15 %. 4 seg após injeção

13 IM250 – Prof. Eugênio Rosa Fração de CO2 na mistura - intervalo de injeção: 1 segundo. Perfil de fração mássica de CO2 após 6 seg, indicando superfície com 15 %. 6 seg após injeção

14 IM250 – Prof. Eugênio Rosa Fração de CO2 na mistura - intervalo de injeção: 1 segundo. Perfil de fração mássica de CO2 após 8 seg. Concentração diluída a valores menores que 15 %. 8 seg após injeção

15 IM250 – Prof. Eugênio Rosa Fração de CO2 na mistura - intervalo de injeção: 1 segundo. Perfil de fração mássica de CO2 após 10 seg. Concentração diluída a valores menores que 15 %. 10 seg após injeção

16 IM250 – Prof. Eugênio Rosa Lagrangeano x Euleriano  Todas as leis físicas são definidas para um referêncial Lagrangeano: conservação massa, quantidade de movimento, energia etc  Elas aplicam-se a corpos que possuem uma massa (identidade) fixa.  Como tratar corpos que se deformam continuamente, ex. os fluidos, dentro deste contexto?  Re-escrever as leis a partir de um referencial Euleriano que define os campos a partir da sua posição no espaço e no tempo.  Isto é possível por meio do Teorema do Transporte de Reynolds (cap 4)

17 IM250 – Prof. Eugênio Rosa Campo de Velocidade Um conceito EULERIANO

18 IM250 – Prof. Eugênio Rosa  Num dado instante, o campo de velocidade,, é uma função das coordenadas espaciais (x, y, z) e do tempo (t) – referencial euleriano;  Ou em termos de suas componentes: (u,v,w), também dependem de x, y, z e t. Campo de Velocidade

19 IM250 – Prof. Eugênio Rosa ESCOAMENTO PERMANENTE As propriedades em cada ponto do campo (x,y,z) não mudam com o tempo, então: ESCOAMENTO TRANSIENTE: As propriedades em cada ponto do escoamento mudam com o tempo, então: Campo de Velocidade

20 IM250 – Prof. Eugênio Rosa Escoamentos 1D, 2D e 3D Um escoamento é Uni, Bi ou Tridimensional em função do número de coordenadas espaciais necessárias para se especificar o campo de velocidade. Exemplos: Todos os escoamentos são 3D. Alguns casos podem ser “aproximados” para 1D ou 2D

21 IM250 – Prof. Eugênio Rosa Escoamento 1D Escoamento completamente desenvolvido em um Tubo. O perfil de velocidades é dado por: A velocidade axial é função do “r”

22 IM250 – Prof. Eugênio Rosa Escoamento 2D em um Difusor Plano A velocidade varia em y e x. O canal é considerado como infinito em z. O campo de velocidade em z é “considerado” idêntico em todos os planos, ou seja, invariável na direção z.

23 IM250 – Prof. Eugênio Rosa Escoamento 3D  Escoamento em rotação na vizinhança da parede de um disco estacionário.  A velocidade varia nas direções x, y e z.

24 IM250 – Prof. Eugênio Rosa Campo de Velocidades: regime permanente e 2D Escoamento laminar sobre uma placa, plano YZ. Resultados produzidos pelo PHOENICS cfd Campo Vetorial (j,k) Campo escalar w(y,z) superposição

25 IM250 – Prof. Eugênio Rosa Outras Formas de Representação Visual do Campo de Escoamento É útil e conveniente visualizar a direção e o sentido das velocidades das partículas por meio de:  Linhas de tempo (experimental)  Trajetória da partícula (experimental)  Linhas de emissão (experimental)  Linhas de Corrente (matemática)

26 IM250 – Prof. Eugênio Rosa Linhas de Tempo Uma quantidade de partículas adjacentes são marcadas simultaneamente num dado instante: • making timelines 1making timelines 1 • making timelines 2making timelines 2 Links p/ técnica de bolha de hidrogênio: (1) e (2)(1)(2)

27 IM250 – Prof. Eugênio Rosa Trajetória e Linhas de Emissão Linha de trajeto: é a trajetória traçada por uma partícula de fluido em movimento (ref. Lagrangeano).Linha de trajeto Linha de EmissãoLinha de Emissão: num local fixo no espaço você marca as partículas que passam por lá. Após um curto período teríamos uma certa quantidade de partículas, todas identificáveis e que em algum momento passaram pelo mesmo ponto no espaço Injetor de fumaça veja túnel de fumaça

28 IM250 – Prof. Eugênio Rosa Diferença entre Trajetória e Linha de Emissão  Em regime permanente, a trajetória das partículas é coincidente com a linha de emissão, veja filme.veja filme  A afirmativa acima não é verdadeira para regime transiente!  Cenário: escoamento ascendente submetido a uma corrente horizontal alguns instantes após início. Fumaça -> linha emissão; Bolinha -> trajetória.  Compare no segundo vídeo a diferença entre linha de emissão e a trajetória! emissão emissão + trajetória

29 IM250 – Prof. Eugênio Rosa Placa Plana Oscilante  Veja filme de uma placa plana oscilante. Neste escoamento transiente as linhas de emissão não coincidem com a trajetória das partículas nem tão pouco com as linhas de corrente! filme

30 IM250 – Prof. Eugênio Rosa Linhas de Corrente ds dx dy u v ds R(t) R(t+  t) Linha de corrente Pela semelhança de triângulos tem-se a definição matemática da linha de corrente: São tangentes à direção do escoamento em cada ponto do campo. Isto é, num dado ponto, a tangente a linha de corrente é paralela ao vetor velocidade naquele ponto.

31 IM250 – Prof. Eugênio Rosa Linhas de Corrente Propriedade 1: como as linhas de correntes são sempre tangentes à velocidade, não pode haver escoamento normal a elas. flow no- flow no- flow Impossível! Propriedade 2: linhas de corrente nunca se cruzam, do contrário haveria extinção ou produção de massa no interior do escoamento.

32 IM250 – Prof. Eugênio Rosa Importante  Em regime permanente, a trajetória das partículas é coincidente com a linha de emissão que por sua vez também coincide com a linha de corrente

33 IM250 – Prof. Eugênio RosaExemplo Um campo de velocidade é dado por: Obtenha uma equação para as linhas de corrente no plano xy incluindo aquela para o ponto (x,y) = (1,2)

34 IM250 – Prof. Eugênio Rosa Derivada Total ou Substantiva Ela relaciona a taxa de variação de uma propriedade (H, V, P, Conc, etc) vista de um referencial Lagrangeano a partir de medidas realizadas de um referencial Euleriano!

35 IM250 – Prof. Eugênio Rosa Referencial Lagrangeano: segue a partícula y x r(t) r(t+  t)  Velocidade e Aceleração para um referencial Lagrangeano.  Como seguir uma partícula num fluido?

36 IM250 – Prof. Eugênio Rosa Referencial Euleriano: fixo no espaço ele define o campo de velocidades em função do ponto. y x r1r1 r2r2  Velocidade para um referencial Euleriano.  Como definir uma aceleração?

37 IM250 – Prof. Eugênio Rosa Para que serve Derivada Total?  Todas as leis físicas são definidas para um referêncial Lagrangeano: conservação massa, quantidade de movimento, energia etc  Elas aplicam-se a sistemas, que possuem uma massa (identidade) fixa.  Como tratar corpos que se deformam continuamente, ex. os fluidos, dentro deste contexto?  A derivada Total é a taxa de variação seguindo uma partícula. Ela possui um conceito Lagrangeano mas é medida a partir de um referencial Euleriano.

38 IM250 – Prof. Eugênio Rosa Um Experimento MENTAL. (Tente Imaginar...) Imagine um rio onde há o despejo de um contaminante. A sua concentração diminui a medida que ele é transportado pela correnteza. Você deve fazer uma medida da poluição. Para isto você dispõe de um bote a motor e um medidor da concentração C do contaminante. Você realizou três tipos de medidas, cada uma com um resultado diferente! Tente explicar porque: 1) com o bote parado no rio (jogou ancora) você mediu uma concentração 2) com o motor do bote ligado você se deslocou normal a correnteza a velocidade Vb e mediu outra concentração 3) com o motor do bote desligado, você deixou o bote ir com a correnteza e mediu um valor diferente dos dois primeiros.

39 IM250 – Prof. Eugênio Rosa Barco Estacionário, Vb = 0 Se o barco está estacionário, o sensor de poluição medirá uma concentração C que passa pelo ponto de medida e que varia com o tempo apenas: x y A variação da concentração c é função do tempo e do espaço:

40 IM250 – Prof. Eugênio Rosa Barco Movimentando com Vb ≠ 0 Se o barco está se movimentando com Vb então dx, dy e dt não são independentes mas estão relacionados por Vb: x y A variação da concentração c é função do tempo e do espaço: A taxa temporal de c é determinada por:

41 IM250 – Prof. Eugênio Rosa Barco Movimentando com a correnteza V b = V x y Se o bote desloca junto com a correnteza então: Desta maneira o medidor de concentração irá medir a variação de c SEGUINDO a trajetória de uma partícula carregada pela correnteza (CONCEITO LAGRANGEANO!!!)

42 IM250 – Prof. Eugênio Rosa Derivada Total, Material ou Substancial • Denomina-se por derivada total, material ou substantiva a taxa temporal de variação de um escalar o vetor SEGUINDO uma partícula de fluido. • De fato esta taxa de variação é coincidente com aquela determinada por um referencial LAGRANGEANO porém ela é medida a partir de um referencial EULERIANO. •  é uma variável genérica, sua derivada substancial: • Em notação vetorial

43 IM250 – Prof. Eugênio Rosa Derivada Total de um Escalar • O escalar pode ser uma concentração, temperatura, energia interna, entalpia, entropia, etc. • A taxa de variação temporal seguindo uma partícula é dada por:  TransienteConvectivo – 2D T c u h

44 IM250 – Prof. Eugênio Rosa Derivada Total de um Vetor • A derivada total de um vetor é aceleração da partícula medida de um referencial Lagrangeano. Para um escoamento 2D ela possui duas componentes:  transienteConvectivo 2D u v

45 IM250 – Prof. Eugênio Rosa Motion of a Fluid Particle (Kinematics)  Fluid Translation: Acceleration of a Fluid Particle in a Velocity Field

46 IM250 – Prof. Eugênio Rosa Motion of a Fluid Particle (Kinematics)  Fluid Translation: Acceleration of a Fluid Particle in a Velocity Field (Cylindrical)

47 IM250 – Prof. Eugênio Rosa Identidade para Aceleração do Campo  Aceleração seguindo uma partícula:  A identidade: mas

48 IM250 – Prof. Eugênio Rosa TAXA DE DEFORMAÇÃO DO FLUIDO Fluidos são substâncias que se deformam continuamente quando submetidas a uma tensão de cisalhamento

49 IM250 – Prof. Eugênio Rosa Deformação de um Elemento Fluido  A taxa de deformação depende do movimento relativo de de um ponto em relação a sua vizinhança, ou seja da diferença de velocidade entre ele e seus vizinhos.  Num caso 2D há duas direções principais. No instante t=0 temos o triângulo AOB, após t=  t vamos observar o deslocamento relativo AOB devido às diferentes velocidades que atuam em AOB  O movimento relativo de AOB para A’OB’ ou sua taxa de deformação pode ser decomposta em três movimentos básicos : deformação angular, deformação linear e rotação: C A’ B’ A B O O’

50 IM250 – Prof. Eugênio RosaCinemática • Veja a deformação de um elemento de fluido próximo a parede (filme).filme • Movimentos complexos podem ser decompostos em três movimentos básicos : deformação angular, deformação linear e rotação: rotação def. linear def. angular

51 IM250 – Prof. Eugênio Rosa  Qual é a taxa de variação do ponto N em relação ao ponto M, isto é, como  varia com o tempo? TAXA DE DEFORMAÇÃO t = 0, pontos M e N alinhados e  l = 0, t =  t, ponto M’ deslocou  l em relação M yy  Fenômeno Local, de um ponto em relação a sua vizinhança (  y) Filme: deformação

52 IM250 – Prof. Eugênio Rosa TAXA DE DEFORMAÇÃO yy Para um instante  t, a deformação entre M e M’ é dada por  é:  ou:  u é a variação relativa da velocidade entre os pontos M e M’ << 1  Logo a taxa de deformação é: u u+(du/dy)  y

53 IM250 – Prof. Eugênio Rosa Natureza da Taxa de Deformação  Taxa de deformação é um conceito relativo, quer dizer, ela representa a taxa de um dado ponto relativo a sua vizinhança;  Ela pode variar ponto a ponto no escoamento.  Este conceito uni-dimensional pode ser generalizado para tri-dimensional  Tal como a tensão, a taxa de deformação de um ponto fluido possui natureza tensorial; D xy = du/dy  Para determiná-la é necessário o conhecimento do campo de velocidades e suas derivadas...

54 IM250 – Prof. Eugênio Rosa Deformação de um Elemento Fluido  No ponto O as componentes de velocidade são u,v,w  A velocidade na vizinhança de O é determinada por uma expansão em série de Taylor (primeira ordem) ao redor de O:

55 IM250 – Prof. Eugênio Rosa Deformação de um Elemento Fluido  A variação da velocidade de O para vizinhança é expressa por uma matriz com 9 derivadas parciais do campo de velocidades local:  Cada derivada parcial representa uma taxa de deformação do fluido ( 1/seg) associada a um plano e uma direção onde ela ocorre e portanto tem natureza tensorial.

56 IM250 – Prof. Eugênio Rosa Tensor Deformação  Em notação indicial, o tensor deformação, D ij, é definido por  Em notação vetorial,

57 IM250 – Prof. Eugênio Rosa Operação com Tensores  Qualquer tensor pode ser decomposto em uma parte simétrica e outra anti-simétrica: S i,j R i,j

58 IM250 – Prof. Eugênio Rosa Decomposição do Tensor Deformação Vamos ver a seguir que: 1. A diagonal do tensor simétrico está associada a dilatação linear do elemento 2.Os elementos fora da diagonal do tensor simétrico estão associados a deformação angular 3.Os elementos do tensor anti-simétrico estão associados a rotação do elemento fluido.

59 IM250 – Prof. Eugênio Rosa (1) Dilatação linear na direção x Um segmento ADBC, sujeito a uma extensão ‘pura’, no tempo t=0 deforma-se e no instante t=  t, ele encontra-se em A’D’B’C’. A extensão ocorre para os segmentos AC->A’C’ e DB->D’B’. O deslocamento relativo: A taxa de deformação linear na direção é: As componentes nas outras direções são:

60 IM250 – Prof. Eugênio Rosa (2) Deformação angular no plano xy Um segmento ADBC, sujeito a uma deformação angular ‘pura’ no tempo t=0, deforma-se e no instante t=  t, ele encontra-se em A’D’B’C’. O ângulo original do vértice A deforma-se proporcionalmente aos ângulos  xy e  yx A taxa de deformação angular é definida como a média destes dois movimentos: A deformação angular e sua taxa: É evidente que a deformação do vértice A é duas vezes o valor de D xy !

61 IM250 – Prof. Eugênio Rosa (3) Rotação no plano xy Um segmento ADBC, sujeito a uma rotação ‘pura’ no tempo t=0, gira sobre o vértice A e no instante t=  t, ele encontra-se em A’D’B’C’. O ângulo original do vértice A é preservado! Neste movimento não há deformação mas rotação A taxa de rotação é definida como a média destes dois movimentos: Se o ângulo de A é preservado então:

62 IM250 – Prof. Eugênio Rosa Tensor Deformação 1.A diagonal de S está associada a dilatação linear do elemento. 2.Os elementos fora da diagonal de S estão associados a deformação angular. 3.Os elementos do tensor anti-simétrico R estão associados a rotação do elemento fluido, eles não causam deformação mas somente rotação dos elementos. onde  = 0 se dois índices forem iguais,  = +1 se ijk = 1,2,3; 2,3,1; 3,1,2 e  = -1 se ijk = 3,2,1; 2,1,3; 1,3,2.

63 IM250 – Prof. Eugênio Rosa D ij = S ij + R ij D = parte simétrica (shear) + parte anti-simétrica (rotação)

64 IM250 – Prof. Eugênio Rosa Vetor Vorticidade,   Definição de vetor vorticidade:   é igual a duas vezes a taxa de rotação do elemento de fluido. Considere rotação no plano xy,  z é a média das taxas de deformação:  representa a rotação em cada eixo das coordenadas. IMPORTANTE: vorticidade ou rotação do elemento são fenômenos locais, isto é, linhas de corrente com curvatura não garantem que o o fluido tenha rotação!

65 IM250 – Prof. Eugênio Rosa Relação entre R ij e   Um tensor anti-simetrico (R ij ) possui somente 3 escalares distintos, isto sugere que na ‘essência’ ele é um vetor!  Para um elemento em estado de rotação pura (S≡0),

66 IM250 – Prof. Eugênio Rosa Vetor Vorticidade,   A vorticidade é DUAS VEZES a rotação do fluido.  Ela tem papel central no estudo de escoamentos com ausência de viscosidade.  Escoamentos onde  é nulo são chamados de escoamentos irrotacionais.  Note que na parede (condição de não deslizamento) o fluido está impedido de ganhar velocidade mas não rotação!  As equações de dinâmica dos fluidos podem ser expressas em termos de variáveis primitivas (u,v,w e p) ou em termos da vorticidade – elas contêm informação equivalente.


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