CINEMÁTICA.

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1 CINEMÁTICA

2 Definição de Fluido Quando uma tensão de cisalhamento é aplicado:
O Fluido se deforma continuamente O Sólido se deforma, mas não continuamente Sólido Fluido O Fluido pode apresentar nas fases: líquido, vapor ou gás.

3 Fluido como um Continuo
Os fluidos são compostos de moléculas em constante movimento. 1 mol de gás contém 1023 moléculas, não é possível simular a trajetória de cada molécula. No entanto é possível medir os efeitos macroscópicos do de muitas moléculas: velocidade, pressão, temperatura, etc. O Conceito do Continuo é a Base da MF clássica, ele deixa de lado o comportamento individual das moléculas. Falha quando a trajetória livre das moléculas se torna da mesma ordem de grandeza da dimensão significativa do problema

4 Fluido como um Contínuo
Conseqüência da Hipótese de contínuo: cada propriedade tem um valor definido continuamente em todo espaço (x,y,z), em particular o ponto C do espaço Definição da densidade num ponto infinitezimal > 10-7 cm

5 Referencial Euler x Lagrange

6 Métodos de Descrição Referencial Lagrangeano:
Acompanha elementos de massa identificáveis; Em mecânica dos fluidos, acompanhar o movimento de cada partícula, muitas vezes, torna-se impraticável. Referencial Euleriano Focaliza a atenção sobre as propriedades do escoamento num determinado ponto do espaço como função do tempo; As propriedades do campo do escoamento são descritas como funções das coordenadas espaciais e do tempo;

7 Lagrange: segue a trajetória de partículas com identidade fixa
y x Eqs. paramétricas da trajetória de uma partícula que t =t0, x=a, y=b e z=c Velocidade partícula Aceleração partícula

8 Anemômetro y (x0,y0) (x1,y1) x
Euleriano: descreve o que ocorre em diferentes posições do campo do escoamento Anemômetro y (x0,y0) (x1,y1) x O campo de velocidades é uma função de sua posição no espaço e no tempo. Por exemplo, colocando-se um instrumento no ponto (x0,y0) ele vai registrar a velocidade: Note que se o regime for permanente, a velocidade no ponto (x0,y0) será sempre constante. No entanto, se você mudar o instrumento para o ponto (x1,y1) você obterá um novo valor de velocidade

9 Relação Coordenadas: Euler e Lagrange
No referencial Euleriano a velocidade numa posição (x0,y0,z0) coincide com a taxa de deslocamento da partícula que passa por este ponto no mesmo instante (conceito Lagrangeano): Euler Lagrange Euler/Lagrange e analogia EngTráfego/Policial: EngTráfego: conta o número de veículos que passa num cruzamento. Policial: segue um veículo

10 Lagrangeano x Euleriano
A sequência mostra a concentração de CO2 em ar com 1 segundo de injeção. Os resultados foram obtidos com o PHOENICS cfd, cortesia Prof. Altemani DE. Tente acompanhar como o CO2 se dispersa (Lagrangeano) Observe num ponto fixo no espaço como o CO2 varia (Euleriano)

11 2 seg após injeção Fração de CO2 na mistura - intervalo de injeção: 1 segundo. Perfil de fração mássica de CO2 após 2 seg, indicando superfície com 15 % .

12 4 seg após injeção Fração de CO2 na mistura - intervalo de injeção: 1 segundo. Perfil de fração mássica de CO2 após 4 seg, indicando superfície com 15 % .

13 6 seg após injeção Fração de CO2 na mistura - intervalo de injeção: 1 segundo. Perfil de fração mássica de CO2 após 6 seg, indicando superfície com 15 % .

14 8 seg após injeção Fração de CO2 na mistura - intervalo de injeção: 1 segundo. Perfil de fração mássica de CO2 após 8 seg. Concentração diluída a valores menores que 15 %.

15 10 seg após injeção Fração de CO2 na mistura - intervalo de injeção: 1 segundo. Perfil de fração mássica de CO2 após 10 seg. Concentração diluída a valores menores que 15 %.

16 Lagrangeano x Euleriano
Todas as leis físicas são definidas para um referêncial Lagrangeano: conservação massa, quantidade de movimento, energia etc Elas aplicam-se a corpos que possuem uma massa (identidade) fixa. Como tratar corpos que se deformam continuamente, ex. os fluidos, dentro deste contexto? Re-escrever as leis a partir de um referencial Euleriano que define os campos a partir da sua posição no espaço e no tempo. Isto é possível por meio do Teorema do Transporte de Reynolds (cap 4)

17 Campo de Velocidade Um conceito EULERIANO

18 Campo de Velocidade Num dado instante, o campo de velocidade, , é uma função das coordenadas espaciais (x, y, z) e do tempo (t) – referencial euleriano; Ou em termos de suas componentes: (u,v,w), também dependem de x, y, z e t.

19 Campo de Velocidade ESCOAMENTO PERMANENTE ESCOAMENTO TRANSIENTE:
As propriedades em cada ponto do campo (x,y,z) não mudam com o tempo, então: ESCOAMENTO TRANSIENTE: As propriedades em cada ponto do escoamento mudam com o tempo, então:

20 Escoamentos 1D, 2D e 3D Um escoamento é Uni, Bi ou Tridimensional em função do número de coordenadas espaciais necessárias para se especificar o campo de velocidade . Exemplos: Todos os escoamentos são 3D. Alguns casos podem ser “aproximados” para 1D ou 2D

21 Escoamento 1D Escoamento completamente desenvolvido em um Tubo. O perfil de velocidades é dado por: A velocidade axial é função do “r”

22 Escoamento 2D em um Difusor Plano
A velocidade varia em y e x. O canal é considerado como infinito em z. O campo de velocidade em z é “considerado” idêntico em todos os planos, ou seja, invariável na direção z.

23 Escoamento 3D Escoamento em rotação na vizinhança da parede de um disco estacionário. A velocidade varia nas direções x, y e z.

24 Campo de Velocidades: regime permanente e 2D
Campo Vetorial (j,k) Escoamento laminar sobre uma placa, plano YZ. Resultados produzidos pelo PHOENICS cfd Campo escalar w(y,z) superposição

25 Outras Formas de Representação Visual do Campo de Escoamento
É útil e conveniente visualizar a direção e o sentido das velocidades das partículas por meio de: Linhas de tempo (experimental) Trajetória da partícula (experimental) Linhas de emissão (experimental) Linhas de Corrente (matemática)

26 Linhas de Tempo Uma quantidade de partículas adjacentes são marcadas simultaneamente num dado instante: making timelines 1 making timelines 2 Links p/ técnica de bolha de hidrogênio: (1) e (2)

27 Trajetória e Linhas de Emissão
Linha de trajeto: é a trajetória traçada por uma partícula de fluido em movimento (ref. Lagrangeano). Linha de Emissão: num local fixo no espaço você marca as partículas que passam por lá. Após um curto período teríamos uma certa quantidade de partículas, todas identificáveis e que em algum momento passaram pelo mesmo ponto no espaço Injetor de fumaça veja túnel de fumaça

28 Diferença entre Trajetória e Linha de Emissão
Em regime permanente, a trajetória das partículas é coincidente com a linha de emissão , veja filme. A afirmativa acima não é verdadeira para regime transiente! Cenário: escoamento ascendente submetido a uma corrente horizontal alguns instantes após início. Fumaça -> linha emissão; Bolinha -> trajetória. Compare no segundo vídeo a diferença entre linha de emissão e a trajetória! emissão emissão + trajetória

29 Placa Plana Oscilante Veja filme de uma placa plana oscilante. Neste escoamento transiente as linhas de emissão não coincidem com a trajetória das partículas nem tão pouco com as linhas de corrente! filme

30 Linhas de Corrente São tangentes à direção do escoamento em cada ponto do campo. Isto é, num dado ponto, a tangente a linha de corrente é paralela ao vetor velocidade naquele ponto. ds dx dy u v ds R(t) R(t+dt) Linha de corrente Pela semelhança de triângulos tem-se a definição matemática da linha de corrente:

31 Linhas de Corrente Propriedade 1: como as linhas de correntes são sempre tangentes à velocidade, não pode haver escoamento normal a elas. flow no- Propriedade 2: linhas de corrente nunca se cruzam, do contrário haveria extinção ou produção de massa no interior do escoamento. flow no- Impossível!

32 Importante Em regime permanente, a trajetória das partículas é coincidente com a linha de emissão que por sua vez também coincide com a linha de corrente

33 Exemplo Um campo de velocidade é dado por:
Obtenha uma equação para as linhas de corrente no plano xy incluindo aquela para o ponto (x,y) = (1,2)

34 Derivada Total ou Substantiva
Ela relaciona a taxa de variação de uma propriedade (H, V, P, Conc, etc) vista de um referencial Lagrangeano a partir de medidas realizadas de um referencial Euleriano!

35 Referencial Lagrangeano: segue a partícula
y x r(t) r(t+dt) Referencial Lagrangeano: segue a partícula Velocidade e Aceleração para um referencial Lagrangeano. Como seguir uma partícula num fluido?

36 y x r1 r2 Referencial Euleriano: fixo no espaço ele define o campo de velocidades em função do ponto. Velocidade para um referencial Euleriano. Como definir uma aceleração?

37 Para que serve Derivada Total?
Todas as leis físicas são definidas para um referêncial Lagrangeano: conservação massa, quantidade de movimento, energia etc Elas aplicam-se a sistemas, que possuem uma massa (identidade) fixa. Como tratar corpos que se deformam continuamente, ex. os fluidos, dentro deste contexto? A derivada Total é a taxa de variação seguindo uma partícula. Ela possui um conceito Lagrangeano mas é medida a partir de um referencial Euleriano.

38 Um Experimento MENTAL. (Tente Imaginar...)
Imagine um rio onde há o despejo de um contaminante. A sua concentração diminui a medida que ele é transportado pela correnteza. Você deve fazer uma medida da poluição. Para isto você dispõe de um bote a motor e um medidor da concentração C do contaminante. Você realizou três tipos de medidas, cada uma com um resultado diferente! Tente explicar porque: 1) com o bote parado no rio (jogou ancora) você mediu uma concentração 2) com o motor do bote ligado você se deslocou normal a correnteza a velocidade Vb e mediu outra concentração 3) com o motor do bote desligado, você deixou o bote ir com a correnteza e mediu um valor diferente dos dois primeiros.

39 Barco Estacionário, Vb = 0
A variação da concentração c é função do tempo e do espaço: x y Se o barco está estacionário, o sensor de poluição medirá uma concentração C que passa pelo ponto de medida e que varia com o tempo apenas:

40 Barco Movimentando com Vb ≠ 0
x y A variação da concentração c é função do tempo e do espaço: Se o barco está se movimentando com Vb então dx, dy e dt não são independentes mas estão relacionados por Vb: A taxa temporal de c é determinada por:

41 Barco Movimentando com a correnteza Vb = V
x y Se o bote desloca junto com a correnteza então: Desta maneira o medidor de concentração irá medir a variação de c SEGUINDO a trajetória de uma partícula carregada pela correnteza (CONCEITO LAGRANGEANO!!!)

42 Derivada Total, Material ou Substancial
Denomina-se por derivada total, material ou substantiva a taxa temporal de variação de um escalar o vetor SEGUINDO uma partícula de fluido. De fato esta taxa de variação é coincidente com aquela determinada por um referencial LAGRANGEANO porém ela é medida a partir de um referencial EULERIANO. f é uma variável genérica, sua derivada substancial: Em notação vetorial

43 Derivada Total de um Escalar
O escalar pode ser uma concentração, temperatura, energia interna, entalpia, entropia, etc. A taxa de variação temporal seguindo uma partícula é dada por: f Transiente Convectivo – 2D T c u h

44 Derivada Total de um Vetor
A derivada total de um vetor é aceleração da partícula medida de um referencial Lagrangeano. Para um escoamento 2D ela possui duas componentes: f transiente Convectivo 2D u v

45 Motion of a Fluid Particle (Kinematics)
Fluid Translation: Acceleration of a Fluid Particle in a Velocity Field

46 Motion of a Fluid Particle (Kinematics)
Fluid Translation: Acceleration of a Fluid Particle in a Velocity Field (Cylindrical)

47 Identidade para Aceleração do Campo
Aceleração seguindo uma partícula: A identidade: mas

48 TAXA DE DEFORMAÇÃO DO FLUIDO
Fluidos são substâncias que se deformam continuamente quando submetidas a uma tensão de cisalhamento

49 Deformação de um Elemento Fluido
A taxa de deformação depende do movimento relativo de de um ponto em relação a sua vizinhança, ou seja da diferença de velocidade entre ele e seus vizinhos. Num caso 2D há duas direções principais. No instante t=0 temos o triângulo AOB, após t=dt vamos observar o deslocamento relativo AOB devido às diferentes velocidades que atuam em AOB O movimento relativo de AOB para A’OB’ ou sua taxa de deformação pode ser decomposta em três movimentos básicos : deformação angular, deformação linear e rotação: C A’ B’ A B O O’

50 Cinemática Veja a deformação de um elemento de fluido próximo a parede (filme). Movimentos complexos podem ser decompostos em três movimentos básicos : deformação angular, deformação linear e rotação: rotação def. angular def. linear

51 TAXA DE DEFORMAÇÃO Fenômeno Local, de um ponto em relação a sua vizinhança (dy) t = 0, pontos M e N alinhados e dl = 0, t = dt, ponto M’ deslocou dl em relação M dy Qual é a taxa de variação do ponto N em relação ao ponto M, isto é, como a varia com o tempo? Filme: deformação

52 du é a variação relativa da velocidade entre os pontos M e M’
TAXA DE DEFORMAÇÃO Para um instante dt, a deformação entre M e M’ é dada por a é: u+(du/dy)y dy u Logo a taxa de deformação é: du é a variação relativa da velocidade entre os pontos M e M’ << 1 ou:

53 Natureza da Taxa de Deformação
Taxa de deformação é um conceito relativo, quer dizer, ela representa a taxa de um dado ponto relativo a sua vizinhança; Ela pode variar ponto a ponto no escoamento. Este conceito uni-dimensional pode ser generalizado para tri-dimensional Tal como a tensão, a taxa de deformação de um ponto fluido possui natureza tensorial; Dxy = du/dy Para determiná-la é necessário o conhecimento do campo de velocidades e suas derivadas...

54 Deformação de um Elemento Fluido
No ponto O as componentes de velocidade são u,v,w A velocidade na vizinhança de O é determinada por uma expansão em série de Taylor (primeira ordem) ao redor de O:

55 Deformação de um Elemento Fluido
A variação da velocidade de O para vizinhança é expressa por uma matriz com 9 derivadas parciais do campo de velocidades local: Cada derivada parcial representa uma taxa de deformação do fluido ( 1/seg) associada a um plano e uma direção onde ela ocorre e portanto tem natureza tensorial.

56 Tensor Deformação Em notação indicial, o tensor deformação, Dij, é definido por Em notação vetorial,

57 Operação com Tensores Si,j Ri,j
Qualquer tensor pode ser decomposto em uma parte simétrica e outra anti-simétrica: Si,j Ri,j

58 Decomposição do Tensor Deformação
Vamos ver a seguir que: A diagonal do tensor simétrico está associada a dilatação linear do elemento Os elementos fora da diagonal do tensor simétrico estão associados a deformação angular Os elementos do tensor anti-simétrico estão associados a rotação do elemento fluido.

59 (1) Dilatação linear na direção x
Um segmento ADBC, sujeito a uma extensão ‘pura’, no tempo t=0 deforma-se e no instante t=dt, ele encontra-se em A’D’B’C’. A extensão ocorre para os segmentos AC->A’C’ e DB->D’B’. O deslocamento relativo: A taxa de deformação linear na direção é: As componentes nas outras direções são:

60 (2) Deformação angular no plano xy
Um segmento ADBC, sujeito a uma deformação angular ‘pura’ no tempo t=0, deforma-se e no instante t=dt, ele encontra-se em A’D’B’C’. O ângulo original do vértice A deforma-se proporcionalmente aos ângulos gxy e gyx A deformação angular e sua taxa: A taxa de deformação angular é definida como a média destes dois movimentos: É evidente que a deformação do vértice A é duas vezes o valor de Dxy!

61 Se o ângulo de A é preservado então:
(3) Rotação no plano xy Um segmento ADBC, sujeito a uma rotação ‘pura’ no tempo t=0, gira sobre o vértice A e no instante t=dt, ele encontra-se em A’D’B’C’. O ângulo original do vértice A é preservado! Neste movimento não há deformação mas rotação Se o ângulo de A é preservado então: A taxa de rotação é definida como a média destes dois movimentos:

62 Tensor Deformação onde e = 0 se dois índices forem iguais, e = +1 se ijk = 1,2,3; 2,3,1; 3,1,2 e e = -1 se ijk = 3,2,1; 2,1,3; 1,3,2. A diagonal de S está associada a dilatação linear do elemento. Os elementos fora da diagonal de S estão associados a deformação angular. Os elementos do tensor anti-simétrico R estão associados a rotação do elemento fluido, eles não causam deformação mas somente rotação dos elementos.

63 D = parte simétrica (shear) + parte anti-simétrica (rotação)
Dij = Sij + Rij D = parte simétrica (shear) + parte anti-simétrica (rotação)

64 Definição de vetor vorticidade:
Vetor Vorticidade, w Definição de vetor vorticidade: w é igual a duas vezes a taxa de rotação do elemento de fluido. Considere rotação no plano xy, z é a média das taxas de deformação: w representa a rotação em cada eixo das coordenadas. IMPORTANTE: vorticidade ou rotação do elemento são fenômenos locais, isto é, linhas de corrente com curvatura não garantem que o o fluido tenha rotação!

65 Relação entre Rij e w Um tensor anti-simetrico (Rij) possui somente 3 escalares distintos, isto sugere que na ‘essência’ ele é um vetor! Para um elemento em estado de rotação pura (S≡0),

66 Vetor Vorticidade, w A vorticidade é DUAS VEZES a rotação do fluido.
Ela tem papel central no estudo de escoamentos com ausência de viscosidade. Escoamentos onde w é nulo são chamados de escoamentos irrotacionais. Note que na parede (condição de não deslizamento) o fluido está impedido de ganhar velocidade mas não rotação! As equações de dinâmica dos fluidos podem ser expressas em termos de variáveis primitivas (u,v,w e p) ou em termos da vorticidade – elas contêm informação equivalente.