Análise Dimensional e Semelhança

Apresentação em tema: "Análise Dimensional e Semelhança"— Transcrição da apresentação:

1 Análise Dimensional e Semelhança
Aula 19 Análise Dimensional e Semelhança

2 Objetivos Estabelecer os parâmetros necessários para guiar estudos experimentais; Apresentar a técnica usada para aplicar os resultados de estudos de modelos a protótipos para uma variedade de situação de escoamento;

3 Objetivos Extrair os parâmetros do escoamento das equações diferenciais e condições de contorno usados para guiar estudos computacionais;

4 Objetivos Fornecer exemplos e problemas que ilustrem a utilização de parâmetros adimensionais dos escoamentos, como estudos de modelo e permitir prever quantidades de interesse em um protótipo e verificar o uso de equações diferenciais normalizadas;

5 Introdução Homogeneidade dimensional: Condição em que todos os termos de uma equação têm as mesmas dimensões.

6 Introdução Dividindo por z1

7 Semelhança Estudo da previsão das condições do protótipo a partir de observações de modelos A semelhança envolve o uso de parâmetros adimensionais obtidos da análise dimensional

8 Exemplos Modelo em escala de edifícios grandes de uma cidade. O escoamento de ar ao redor dos edifícios é estudada. Os elementos ásperos no chão geram a turbulência desejada nas paredes.

9 Analise Dimensional

10 Analise Dimensional Placa deslizante

11 Analise Dimensional

12 Analise Dimensional

13 Analise Dimensional

14 Analise Dimensional

15 Símbolos e Dimensões em Mec. Flu.
Quantidade Símbolo Dimensões Comprimento l L Tempo t T Massa m M Força F ML/T2 Velocidade V L/T Aceleração a L/T2 Freqüência w T-1 Gravidade g Área A L2

16 Símbolos e Dimensões em Mec. Flu.
Quantidade Símbolo Dimensões Vazão Q L3/T Fluxo de massa M/T Pressão p M/LT2 Tensão t Massa específica r M/L3 Peso específico g M/L2T2 Viscosidade m M/LT Viscosidade cinemática n L2/T

17 Símbolos e Dimensões em Mec. Flu.
Quantidade Símbolo Dimensões Trabalho W ML2/T2 Potencia, fluxo de calor ML2/T3 Tensão superficial s M/T2 Módulo da elasticidade volumétrica B M/LT2

18 pCareta

19 Teorema p de Buckingham
É o teorema que nos permite determinar os números adimensionais a partir da função característica. n- número de variáveis Dependente Independentes

20 Teorema p de Buckingham
K - Grupos adimensionais; n – numero de variáveis(grandeza / quantidade); m - número dimensões básicas;

21 Teorema p de Buckingham
1º PASSO: Determinar o número de variáveis que influenciam o fenômeno - n n = 5 2º PASSO: Escrevemos a equação dimensional de cada uma das variáveis. [F] = F [V] = L x T-1 [ρ] = F x L-4 x T2 [µ] = F x L-2 x T [D] = L Partindo-se da função característica, f (F, V, ρ, µ, d) = 0, a aplicação do teorema dos π respeita a seguinte seqüência:

22 Teorema p de Buckingham
3º PASSO: Determinamos o número de dimensões envolvidas no fenômeno - m. m = 3 4º PASSO: Determinamos o número de adimensionais que caracterizam o fenômeno - K K = n - m ∴ K = 2 5º PASSO: Estabelecemos a base dos números adimensionais. Definição de base - É um conjunto de variáveis independentes comuns aos adimensionais a serem determinados, com exceção dos seus expoentes. Variáveis independentes- São aquelas que apresentam as suas equações dimensionais diferentes entre si de pelo menos uma grandeza fundamental. Para o exemplo, temos: F, V, ρ, D ou F, V, µ, D como variáveis independentes. ρ e µ como variáveis dependentes.

23 Teorema p de Buckingham
Bases possíveis para o exemplo: ρ V F; ρ V D; F V D; µ V F; µ V D. Para obtermos os adimensionais já estabelecidos para os estudos de Mecânica dos Fluidos, geralmente adotamos a base ρ V D, ou a que mais se assemelha a esta. Para o exemplo, adotamos a base ρ V D. 6º PASSO : Escrevemos os números adimensionais, multiplicando a base adotada por cada uma das variáveis que restaram na função característica após a sua retirada. π1 = ρα1 . Vα2 . Dα3 . F π2 = ργ1 . Vγ2 . Dγ3 . µ

24 Teorema p de Buckingham
Para obtermos os expoentes da base, substituímos cada uma das variáveis por sua respectiva equação dimensional, inclusive o número adimensional. Para p1 tem-se:

25 Teorema p de Buckingham
Para p2 tem-se: