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Análise Dimensional e Semelhança Aula 19. Objetivos  Estabelecer os parâmetros necessários para guiar estudos experimentais;  Apresentar a técnica usada.

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1 Análise Dimensional e Semelhança Aula 19

2 Objetivos  Estabelecer os parâmetros necessários para guiar estudos experimentais;  Apresentar a técnica usada para aplicar os resultados de estudos de modelos a protótipos para uma variedade de situação de escoamento;

3  Extrair os parâmetros do escoamento das equações diferenciais e condições de contorno usados para guiar estudos computacionais; Objetivos

4  Fornecer exemplos e problemas que ilustrem a utilização de parâmetros adimensionais dos escoamentos, como estudos de modelo e permitir prever quantidades de interesse em um protótipo e verificar o uso de equações diferenciais normalizadas; Objetivos

5 Homogeneidade dimensional: Condição em que todos os termos de uma equação têm as mesmas dimensões. Introdução

6 Dividindo por z 1

7 Semelhança Estudo da previsão das condições do protótipo a partir de observações de modelos A semelhança envolve o uso de parâmetros adimensionais obtidos da análise dimensional

8 Modelo em escala de edifícios grandes de uma cidade. O escoamento de ar ao redor dos edifícios é estudada. Os elementos ásperos no chão geram a turbulência desejada nas paredes. Exemplos

9 Analise Dimensional

10 Placa deslizante

11 Analise Dimensional

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15 Símbolos e Dimensões em Mec. Flu. QuantidadeSímboloDimensões Comprimento l L Tempo t T Massa m M Força F ML/T 2 Velocidade V L/T Aceleração a L/T 2 Freqüência  T -1 Gravidade g L/T 2 Área A L2L2

16 Símbolos e Dimensões em Mec. Flu. QuantidadeSímboloDimensões Vazão Q L 3 /T Fluxo de massaM/T Pressão p M/LT 2 Tensão  M/LT 2 Massa específica  M/L 3 Peso específico  M/L 2 T 2 Viscosidade  M/LT Viscosidade cinemática L 2 /T

17 Símbolos e Dimensões em Mec. Flu. QuantidadeSímboloDimensões Trabalho W ML 2 /T 2 Potencia, fluxo de calorML 2 /T 3 Tensão superficial  M/T 2 Módulo da elasticidade volumétrica  M/LT 2

18  Careta

19 Teorema  de Buckingham Dependente Independentes n- número de variáveis É o teorema que nos permite determinar os números adimensionais a partir da função característica.

20 Teorema  de Buckingham K - Grupos adimensionais; n – numero de variáveis(grandeza / quantidade); m - número dimensões básicas;

21 Partindo-se da função característica, f (F, V, ρ, µ, d) = 0, a aplicação do teorema dos π respeita a seguinte seqüência: 1º PASSO: Determinar o número de variáveis que influenciam o fenômeno - n n = 5 2º PASSO: Escrevemos a equação dimensional de cada uma das variáveis. [F] = F [V] = L x T -1 [ρ] = F x L -4 x T 2 [µ] = F x L -2 x T [D] = L Teorema  de Buckingham

22 3º PASSO: Determinamos o número de dimensões envolvidas no fenômeno - m. m = 3 4º PASSO : Determinamos o número de adimensionais que caracterizam o fenômeno - K K = n - m ∴ K = 2 5º PASSO: Estabelecemos a base dos números adimensionais. Definição de base - É um conjunto de variáveis independentes comuns aos adimensionais a serem determinados, com exceção dos seus expoentes. Variáveis independentes- São aquelas que apresentam as suas equações dimensionais diferentes entre si de pelo menos uma grandeza fundamental. Para o exemplo, temos: F, V, ρ, D ou F, V, µ, D como variáveis independentes. ρ e µ como variáveis dependentes. Teorema  de Buckingham

23 Bases possíveis para o exemplo: ρ V F; ρ V D; F V D; µ V F; µ V D. Para obtermos os adimensionais já estabelecidos para os estudos de Mecânica dos Fluidos, geralmente adotamos a base ρ V D, ou a que mais se assemelha a esta. Para o exemplo, adotamos a base ρ V D. 6º PASSO : Escrevemos os números adimensionais, multiplicando a base adotada por cada uma das variáveis que restaram na função característica após a sua retirada. π 1 = ρ α1. V α2. D α3. F π 2 = ρ γ1. V γ2. D γ3. µ Teorema  de Buckingham

24 Para obtermos os expoentes da base, substituímos cada uma das variáveis por sua respectiva equação dimensional, inclusive o número adimensional. Para  1 tem-se: Teorema  de Buckingham

25 Para  2 tem-se: Teorema  de Buckingham


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