Regressão Pontos mais importantes: -objectivo -regressão linear

Apresentação em tema: "Regressão Pontos mais importantes: -objectivo -regressão linear"— Transcrição da apresentação:

1 Regressão Pontos mais importantes: -objectivo -regressão linear
-distribuição dos estimadores, limites de confiança para os coeficientes -limite de confiança para o valor previsto -coeficiente de correlação amostral -analise dos erros -transformação para um modelo linear -regressão polinomial -regressão linear múltipla 1

2 Objectivo da regressão
Uma tarefa frequente é determinar a relação matemática entre as variáveis de interesse: sistema {x} {y} {y}=f{x} f{x}=? e.g. -escoamento horizontal numa conduta: -desactivação dos microorganismos: -temperatura num cilindro (condução): -log(TR-T(t))= -(1/fh)t-log(jh(TR-T0)) 2

3 Modelos matemáticos experiência Determinação dos parâmetros (e.g. propriedades físicas) previsão Objectivo da regressão: 1) estimação dos parâmetros dos modelos matemáticos 2) verificar se o modelo é adequado Condição: os dados são sujeitos a erros (aleatórios). 3

4 regressão f(x)=ax+b f(x) a=? b=? x 4

5 Regressão linear Seja Y uma função de x1, x2,..., xr variáveis independentes. A relação entre eles segue um modelo linear (múltiplo) quando a variável dependente (Y) pode ser escrita: Onde: -bi (i=0, 1,..., r) são os coeficientes de regressão -”e” representa o erro aleatório com N(0,s2) O caso mais simples é quando temos só uma variável independente: 5

6 Suponha, que temos n conjuntos de pontos (xi,yi), i=1,2,...,n.
Agora sejam: -A estimador de a -B estimador de b Assim: estimador de Y Escolhemos A e B tal que a soma dos quadrados dos resíduos, seja mínimo. 6

7 Para encontrar o mínimo da SSR, temos,
1) ou 2) Aplicando, temos da primeira equação, 7

8 Substituindo o resultado na segunda equação:
8

9 Distribuição dos estimadores, limites de confiança para os coeficientes de regressão
Para determinar a distribuição A e B, vamos supor que, B pode ser escrito, onde fi e x são constantes. 9

10 Porque Y tem uma distribuição normal, B também tem com N(mB,s2B).
A variância de B sem prova, 10

11 Da mesma forma podemos ver que A também segue uma distribuição normal com os seguintes parâmetros:
A variância de A sem prova, 11

12 Assim, A e B são v.a. normais:
Antes de determinar os intervalos de confiança para os parâmetros de regressão, vamos definir: 12

13 Para determinar os intervalos de confiança para b, temos que ter uma estimativa da s2 (desconhecida). Mas como, assim a distribuição O intervalo de confiança (com nível de conf. 1-a) é dada pela: 13

14 Pela a mesma razão, a distribuição,
Assim o intervalo de confiança (com nível de conf. 1-a) é dada pela: 14

15 Coefficients a 7.464 -3.570 .007 -9.438 .889 .050 .987 17.612 .000 .773 1.006 A B Model 1 Std. Error Unstandardized Beta Standardi zed Coefficien ts t Sig. Lower Bound Upper Bound 95% Confidence Interval for Dependent Variable: Y a. 15

16 Limites de confiança para o valor previsto
Para fazer uma previsão de Y para um dado valor de x0, talvez a melhor opção seja: Geralmente, temos mais interesse em definir um intervalo onde Y ocorre com um dado grau de confiança. Sem prova, 16

17 O intervalo de confiança para Y é dado por,
x 17

18 Coeficiente de correlação amostral, R
No caso de duas v.a.s X e Y, a dependência linear entre eles é dada pela: A estimativa de Assim 18

19 |R| alto (1) significa uma forte dependência linear entre Y e x
19

20 Analise dos erros O modelo linear de forma,
é um modelo adequado para descrever a relação entre Y~x se, 1) b0 (R é alto) 2) e tem IIDN(0,s2) A avaliação do segundo termo é através de visualização dos resíduos com alguns gráficos diagnósticos e o cálculo de coeficientes de auto-correlação 20

21 - resíduos vs. Y: 21

22 -resíduos sobre uma curva de distribuição normal:
22

23 -resíduos vs. x 23

24 Coeficiente de auto-correlação de “lag” k.
24

25 Transformação para um modelo linear
Muitas as vezes a relação entre duas variáveis, não pode ser escrita com uma função linear. E.g. cinética de degradação: Tirando o logaritmo Assim escolhendo: temos um problema de regressão linear 25

26 -exemplo 26

27 x ln Y ln 27

28 [A]{B}={f} Regressão polinomial Modelo
Para estimar os coeficientes desta equação, temos que minimizar, igualando as respectivas derivadas de esta função a zero. O resultado é um sistema de equações lineares. A maior parte dos softwares oferecem a opção regressão polinomial. - [A] é uma função de xi [A]{B}={f} - {f} é uma função de xi e Yi. 28

29 -exemplo 29

30 Regressão linear múltipla
Modelo: Para estimar os coeficientes da equação, temos que minimizar, O resultado é um sistema de equações com r+1 incógnitas de forma: 30

31 R=1 31