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16 Nov 2008. 11:47 Cálculo Numérico / Métodos Numéricos Sistemas lineares Método dos Gradientes Conjugados.

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1 16 Nov :47 Cálculo Numérico / Métodos Numéricos Sistemas lineares Método dos Gradientes Conjugados

2 16 Nov :09 Relembrando: método dos gradientes Idéia básica: O vetor x que resolve Ax=b é o mesmo vetor x que minimiza: F(x) = ½x t Ax - b t x

3 16 Nov :09 Como resolver Min F(x) = ½x t Ax - b t x ? chutamos um valor inicial: x 0 andamos na direção de menor decrescimento naquele ponto: -grad(F(x 0 )), ou seja: x 1 = x 0 - s £ grad(F(x 0 )) onde s é o valor do passo! (o quanto andamos nesta direção)

4 16 Nov :09 Interpretação gráfica Adaptado de - Prof. Paulo Valentehttp://www.dt.fee.unicamp.br/~valente/ia543.html FEEC - Unicamp passo direção

5 16 Nov :09 Método dos Gradientes Conjugados Definição 5.3 (Franco, 2007) Dada a aplicação linear A, positiva definida, x e y são direções conjugadas (A-ortogonais) se (Ax,y) = (x,Ay) = 0. i.e. x t Ay = y t Ax = 0

6 16 Nov :09 Método dos Gradientes Conjugados Seja a matriz A simétrica (A T= A) e definida positiva (x T Ax>0, para x  0). A base do método dos Gradientes Conjugados (CG) é a seguinte propriedade: Propriedade (Cunha, 2000): É possível escolher n direções linearmente independentes, p 1, p 2,... p n, e por meio da minimização da função F(x (k) +s k p (k) ), em cada uma das direções separadamente, construir uma seqüência de aproximações que forneça o mínimo da função F(x) = ½ x T Ax – b T x após n passos (n é o número de equações do sistema).

7 16 Nov :09 Idéia: Se A é definida positiva e p 1, p 2... p n são n direções A- ortogonais, então essas direções são LI. A solução ótima pode ser escrita como combinação linear dessas n (dimensão de A) direções mais a direção b. No algoritmo anterior, se a cada passos usarmos uma direção A-ortogonal, conseguiremos a solução em n passos.

8 16 Nov :09 Método dos Gradientes Conjugados Dada uma aproximação inicial x (0), escolhemos a primeira direção p 0 = -grad(F(x (0) )). As demais direções serão escolhidas de maneira que cada direção seja perpendicular à direção anterior. Além disso, fazemos com que cada direção seja uma combinação do resíduo anterior e da direção anterior: coeficiente que será determinado de modo que p k seja perpendicular a p k-1

9 16 Nov :09 Método dos Gradientes Conjugados fazendo as direções conjugadas (obtendo  ):

10 16 Nov :09 Método dos Gradientes Conjugados Passo: x k = x k-1 + q k p k Obtemos como anteriormente: queremos o q k que minimiza F.

11 16 Nov :09 derivando em relação a q k e igualando a zero:

12 16 Nov :09

13 Simplificações

14 16 Nov :09 Simplificações Com isso, é possível simplificar as expressões de q k (o passo)  k-1 (o multiplicador na expressão de p (k) )

15 16 Nov :09 Algoritmo O primeiro passo é como no caso dos gradientes critério de parada: x x xx x x x (Franco, 2007) usa v em vez de x x

16 16 Nov :09 Método dos GC - Exemplo Usando o método dos GC resolva o sistema dado por: Com precisão e max = 3 iterações.

17 16 Nov :09 Solução x x

18 16 Nov :09 Solução x

19 16 Nov :09 Solução x x

20 16 Nov :09 Solução x x x x x

21 16 Nov :09 Exercício I: Use as propriedades: Para simplificar:

22 16 Nov :09 Exercício II Dado os sistemas lineares: a) construa funções quadráticas cujos mínimos sejam soluções dos sistemas. b) resolva o sistema II pelo método dos gradientes c) resolva o sistema II pelo método dos gradientes conjugados.


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