VI – DISTRIBUIÇÃO DE PROBABILIDADES

Apresentação em tema: "VI – DISTRIBUIÇÃO DE PROBABILIDADES"— Transcrição da apresentação:

1 VI – DISTRIBUIÇÃO DE PROBABILIDADES
Prof. Herondino

2 Estudo de Caso Pesquisa de Resíduos Industriais - Análise de Dados
Os dados de demanda bioquímica de oxigênio (DBO) (5 dias) apresentados na Tabela 5.1 foram obtidos a partir de uma pesquisa de águas residuais industriais (EPA dos EUA, 1973). A DBO de uma água é a quantidade de oxigênio necessária para oxidar a matéria orgânica por decomposição microbiana aeróbia para uma forma inorgânica estável. Na legislação do Estado de São Paulo, no Decreto Estadual n.º 8468, a DBO de cinco dias é padrão de emissão de esgotos diretamente nos corpos d’água, sendo exigidos uma DBO máxima de 60 mg/L ou uma eficiência global mínima do processo de tratamento igual a 80%.

3 Concentrações e contribuições unitárias típicas de DBO de esgoto doméstico e efluentes industriais.

4 Estudo de Caso - U.S. EPA 1973 Há 99 observações, cada medida de uma amostra composta, retirada num intervalo de 4 horas, dando seis observações diariamente por 16 dias, mais três observações sobre o 17º dia. O estudo foi realizado para avaliar a DBO média e para estimar a concentração que é excedida uma pequena fração do tempo (por exemplo, 10%). Esta informação é necessária para planejar um processo de tratamento. O padrão de variação também precisa ser visto porque vai influenciar a viabilidade de utilização de um processo de compensação para reduzir a variação da carga DBO.

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6 Análise dos Dados(Utilizando o Excel)
Rol (207 ,221, 233, 235 ,241 ,... ,1158 ,1167 ,1174, 1185 ) ,ou seja,

7 Análise dos Dados(Utilizando o Excel)
Rol (207 ,221, 233, 235 ,241 ,... ,1158 ,1167 ,1174, 1185 ) ,ou seja,

8 Análise dos Dados(Utilizando o Excel)
Rol (207 ,221, 233, 235 ,241 ,... ,1158 ,1167 ,1174, 1185 ) ,ou seja, Para encontrar o número de classes (k) utilizaremos a fórmula de Sturges: Neste caso, temos:

9 Análise dos Dados(Utilizando o Excel)
Rol (207 ,221, 233, 235 ,241 ,... ,1158 ,1167 ,1174, 1185 ) ,ou seja, Para encontrar o número de classes (k) utilizaremos a fórmula de Sturges: Neste caso, temos:

10 Análise dos Dados(Utilizando o Excel)
Rol (207 ,221, 233, 235 ,241 ,... ,1158 ,1167 ,1174, 1185 ) ,ou seja, Para encontrar o número de classes (k) utilizaremos a fórmula de Sturges: Neste caso, temos:

11 Análise dos Dados(Utilizando o Excel)
Rol (207 ,221, 233, 235 ,241 ,... ,1158 ,1167 ,1174, 1185 ) ,ou seja, Para encontrar o número de classes (k) utilizaremos a fórmula de Sturges: Neste caso, temos:

12 Análise dos Dados(Utilizando o Excel)
Rol (207 ,221, 233, 235 ,241 ,... ,1158 ,1167 ,1174, 1185 ) ,ou seja, Para encontrar o número de classes (k) utilizaremos a fórmula de Sturges: Neste caso, temos:

13 Análise dos dados Poderíamos também utilizar a fórmula:
contudo, primeiro utilizaremos o resultado arredondado para mais, na fórmula de Sturges, ou seja: Amplitude da Classe (h) e dada por: em que AT é a amplitude total e k o número de classe.

14 Análise dos dados Poderíamos também utilizar a fórmula:
contudo, primeiro utilizaremos o resultado arredondado para mais, na fórmula de Sturges, ou seja: Amplitude da Classe (h) e dada por: em que AT é a amplitude total e k o número de classe.

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16 A concentração varia rapidamente, com mais ou menos igualde variação acima ou abaixo da média, o que é 688 mg/L. O intervalo é de mg/L. A DBO pode mudar em 1000 mg/L de um intervalo de amostragem para a próxima. Não está claro se os altos e baixos são aleatórios ou fazem parte de algum padrão cíclico. Há pouco mais para ser visto a partir deste gráfico.

17 O diagrama de frequência dá uma melhor imagem da variabilidade
O diagrama de frequência dá uma melhor imagem da variabilidade. Os dados apresentam uma distribuição uniforme entre 200 e 1200 mg/L. Qualquer valor dentro desta faixa parece igualmente provável.

18 Os valores observados cobrem todo o contingente de amostras, independentemente da hora do dia.
Não há variação cíclica regular e nenhuma hora do dia tem valores consistentemente alto ou baixo.

19 O Gráfico de Probabilidades
A utilização destes dados serve para ilustrar como um gráfico de probabilidade é construído, como a sua forma está relacionada com a forma da distribuição de frequência, e como poderia ser utilizado para estimar as características da população. Nº de Ordem (i) Valor do DBO Probabilidade Gráfica (p=1/(n+1) 1 207 1/99+1=0,01 2 221 0,02 3 233 0,03 4 235 0,04 ... 99 1185 0,99

20 Gráfico de Probabilidade
Gráficos de probabilidade dos dados de DBO uniformemente distribuídas.

21 Gráfico da probabilidade ou Frequência acumulada

22 A figura mostra que os dados de DBO são distribuídos de forma simétrica, mas não na forma de uma distribuição normal. A curva em forma de S é característica de distribuições que têm mais observações sobre as caudas do que o previsto pela distribuição normal. Este tipo de distribuição é chamado de "cauda pesada.“ A literatura frequentemente sugerem estimar as médias e desvios padrão de amostra de a partir de um gráfico de probabilidade, dizendo que a média situa-se em p = 50% num gráfico de probabilidade normal o desvio padrão e a distância a partir de p = 50% para p = 84,1% (ou, por causa da simetria, a partir de p = 15,9% para p = 50%). O painel superior é um gráfico de probabilidade normal. É traçada uma linha reta para dimensionar os dados normalmente distribuídos. O painel inferior é dimensionada para que os dados de DBO desenhado como uma linha reta. Estes dados de DBO não são normalmente distribuídos. Eles estão uniformemente distribuídos.

23 Estas estimativas gráficas são válidas apenas quando os dados são normalmente distribuídos. Porque alguns conjuntos de dados ambientais são normalmente distribuídos, esta estimativa gráfica da média e desvio padrão não é recomendado. Um gráfico de probabilidade é útil, no entanto, para estimar a mediana (p = 50%) e para ler diretamente qualquer percentil de interesse especial.

24 Referência BERTHOUEX, Paul Mac; BROWN, Linfield C.. Statistics for Environmental Engineers. 2ª Boca Raton London New York Washington, D.c: Lewis Publishers, 2002.