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(Re) Construindo Conceitos das Operações com Números Inteiros Relativos Mestrandos: Agnaldo de Oliveira Daiane Corrêa Juliana Alves Agosto/2012.

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1 (Re) Construindo Conceitos das Operações com Números Inteiros Relativos Mestrandos: Agnaldo de Oliveira Daiane Corrêa Juliana Alves Agosto/2012

2 Questões Iniciais  Como justificar para o aluno porquê de “-” com “-” resultar em “+” ?  Será que podemos provar as regras de sinais?  De que forma pode-se trabalhar, do ponto de vista didático, as operações em Z?  De que forma podemos justificar as regras de sinais referentes a operações de adição/subtração e multiplicação/divisão no conjunto dos inteiros?

3 Os Modelos Básicos de Pommer (2010) Modelo Aritmético Adição/Subtração Modelo Algébrico Modelo Conjuntista Modelo Geométrico Multiplicação/Divisão Modelo Aritmético Modelo Conjuntista Modelo Físico Geométrico Modelo Funcional

4 O Ábaco dos Inteiros

5  1) Represente no ábaco o número 6, depois acrescente três argolas vermelhas.  a) Que número você obteve?______  b) Escreva essa operação utilizando a linguagem matemática._____________.  2) Represente no ábaco o número 3, depois acrescente cinco argolas pretas.  a) Que número você obteve?______  b) Escreva essa operação utilizando a linguagem matemática._____________.  1) Represente no ábaco o número 6, depois acrescente três argolas vermelhas.  a) Que número você obteve?______  b) Escreva essa operação utilizando a linguagem matemática._____________.  2) Represente no ábaco o número 3, depois acrescente cinco argolas pretas.  a) Que número você obteve?______  b) Escreva essa operação utilizando a linguagem matemática._____________. Primeiro Momento – Adição

6  3) Represente no ábaco o número -3, depois acrescente sete argolas vermelhas.  a) Que número você obteve?______  b) Escreva essa operação utilizando a linguagem matemática._____________.  4) Represente no ábaco o número -6, depois acrescente quatro argolas pretas.  a) Que número você obteve?______  b) Escreva essa operação utilizando a linguagem matemática._____________.  3) Represente no ábaco o número -3, depois acrescente sete argolas vermelhas.  a) Que número você obteve?______  b) Escreva essa operação utilizando a linguagem matemática._____________.  4) Represente no ábaco o número -6, depois acrescente quatro argolas pretas.  a) Que número você obteve?______  b) Escreva essa operação utilizando a linguagem matemática._____________. Adição

7  5) Efetue as operações abaixo com a ajuda do ábaco. a) (+4) + (+2)=+6e) (-6) + (-1)=-7i) (+5) + (-8)=-3 b) (+2) + (+5)=+7f) (-4) + (-7)=-11j) (+9) + (-4)=+5 c) (+6) + (+3)=+9g) (-1) + (-8)=-9k) (-8) + (+6)=-2 d) (+5) + (+8)=+13h) (-9) + (-3)=-12l) (-7) + (+1)=-6

8 a) (+4) + (+2)=+6e) (-6) + (-1)=-7i) (+5) + (-8)=-3 b) (+2) + (+5)=+7f) (-4) + (-7)=-11j) (+9) + (-4)=+5 c) (+6) + (+3)=+9g) (-1) + (-8)=-9k) (-8) + (+6)=-2 d) (+5) + (+8)=+13h) (-9) + (-3)=-12l) (-7) + (+1)=-6 Adição  Resultado das operações...

9  6) Analisando os itens de a a d o que você observa de comum entre as operações feitas e os resultados obtidos? A soma de dois números inteiros relativos positivos equivale à soma de seus valores absolutos e o resultado terá “sinal” positivo. Adição

10  7) Analisando os itens de e a h o que você observa de comum entre as operações feitas e os resultados obtidos? A soma de dois números inteiros relativos negativos equivale à soma de seus valores absolutos e o resultado terá “sinal” negativo. Adição

11  8) Analisando os itens de i a l o que você observa de comum entre as operações feitas e os resultados obtidos? Quando representamos valores absolutos sinais diferentes, subtraímos os valores absolutos das parcelas e o resultado terá o sinal da parcela que possui maior valor absoluto. Adição

12  9) A partir das respostas anteriores, é possível chegar a um padrão de resolução da operação de adição de números inteiros? Qual? A soma de dois números inteiros relativos de mesmo sinal equivale à soma de seus valores absolutos e “seu sinal” é igual ao dos números das parcelas; e a soma de dois números inteiros relativos de “sinais diferentes” equivale a diferença entre os valores absolutos dos números e o seu sinal é o “sinal da parcela” que possui maior valor absoluto. Adição

13  1) Represente no ábaco o número 6, depois retire três argolas vermelhas.  a) Que número você obteve?______  b) Escreva essa operação utilizando a linguagem matemática._____________.  2) Represente no ábaco o número 3, depois retire cinco argolas pretas.  a) Que número você obteve?______  b) Escreva essa operação utilizando a linguagem matemática._____________.  1) Represente no ábaco o número 6, depois retire três argolas vermelhas.  a) Que número você obteve?______  b) Escreva essa operação utilizando a linguagem matemática._____________.  2) Represente no ábaco o número 3, depois retire cinco argolas pretas.  a) Que número você obteve?______  b) Escreva essa operação utilizando a linguagem matemática._____________. Segundo Momento – Subtração

14  3) Represente no ábaco o número -3, depois retire sete argolas vermelhas.  a) Que número você obteve?______  b) Escreva essa operação utilizando a linguagem matemática._____________.  4) Represente no ábaco o número -6, depois retire quatro argolas pretas.  a) Que número você obteve?______  b) Escreva essa operação utilizando a linguagem matemática._____________.  3) Represente no ábaco o número -3, depois retire sete argolas vermelhas.  a) Que número você obteve?______  b) Escreva essa operação utilizando a linguagem matemática._____________.  4) Represente no ábaco o número -6, depois retire quatro argolas pretas.  a) Que número você obteve?______  b) Escreva essa operação utilizando a linguagem matemática._____________. Subtração

15  5) Efetue as operações abaixo com a ajuda do ábaco. Subtração a) (+4) - (+2)=+2e) (-6) - (-1)=-5i) (-8) - (+5)=-13 b) (+5) - (+3)=+2f) (-7) - (-4)=-3j) (-9) - (+4)=-13 c) (+4) - (+6)=-2g) (-1) - (-8)=+7k) (+6) - (-8)=+14 d) (+5) - (+8)=-3h) (-3) - (-9)=+6l) (+2) - (-7)=+9

16 a) (+4) - (+2)=+2e) (-6) - (-1)=-5i) (-8) - (+5)=-13 b) (+5) - (+3)=+2f) (-7) - (-4)=-3j) (-9) - (+4)=-13 c) (+4) - (+6)=-2g) (-1) - (-8)=+7k) (+6) - (-8)=+14 d) (+5) - (+8)=-3h) (-3) - (-9)=+6l) (+2) - (-7)=+9  Resultado das operações... Subtração

17  6) Analisando os itens de a, b, e e f o que você observa de comum entre as operações feitas e os resultados obtidos? Subtraímos os valores absolutos dos números e o sinal do resto será igual ao “sinal” do minuendo, quando este possuir maior valor absoluto que o subtraendo. Subtração

18  7) Analisando os itens de c, d, g e h o que você observa de comum entre as operações feitas e os resultados obtidos? Subtraímos os valores absolutos dos números e o “sinal” do resto será oposto ao “sinal” do minuendo, quando este possuir menor valor absoluto que o subtraendo. Subtração

19  8) Analisando os itens de i a l o que você observa de comum entre as operações feitas e os resultados obtidos? Somamos os valores absolutos dos números e o “sinal” do resto será o mesmo do minuendo. Subtração

20  9) A partir das respostas anteriores, é possível chegar a uma regra para todas as operações realizadas? Qual? Quando os “sinais” são iguais, subtraímos os valores absolutos dos números e o sinal do resto será igual ao “sinal” do minuendo, quando este possuir maior valor absoluto e, “sinal” oposto ao do minuendo quando este possuir menor valor absoluto que o subtraendo. E quando os “sinais” são diferentes somamos os valores absolutos e o “sinal” será o mesmo do minuendo. Subtração

21 Terceiro Momento – Multiplicação  1) Efetue as operações abaixo com a ajuda do ábaco. a) (+4).(+2)=+8f) (-6).(-2)=+12k) (-3).(+4)=-12 b) (+5).(+3)=+15g) (-7).(-1)=+7l) (-5).(+2)=-10 c) (+2).(+6)=+12h) (-4).(-2)=+6m) (-1).(+9)=-9 d) (+1).(+8)=+9i) (-3).(-4)=+12n) (+2).(-7)=-14 e) (+2).(+3)=+5j) (-2).(-6)=+12o) (+3).(-2)=-6

22 Terceiro Momento – Multiplicação  Resultado das operações... a) (+4).(+2)=+8f) (-6).(-2)=+12k) (-3).(+4)=-12 b) (+5).(+3)=+15g) (-7).(-1)=+7l) (-5).(+2)=-10 c) (+2).(+6)=+12h) (-4).(-2)=+8m) (-1).(+9)=-9 d) (+1).(+8)=+8i) (-3).(-4)=+12n) (+2).(-7)=-14 e) (+2).(+3)=+6j) (-2).(-6)=+12o) (+3).(-2)=-6

23  2) Analisando os itens de a a e o que você observa de comum entre as operações feitas e os resultados obtidos? Quando os sinais dos fatores são positivos, o produto é igual ao produto entre os valores absolutos dos fatores e o seu “sinal” será sempre positivo. Multiplicação

24  3) Analisando os itens de f a j o que você observa de comum entre as operações feitas e os resultados obtidos? Quando os sinais dos fatores são negativos, o produto é igual ao produto entre os valores absolutos dos fatores e o seu “sinal” será sempre positivo. Multiplicação

25  4) Analisando os itens de k a o, o que você observa de comum entre as operações feitas e os resultados obtidos? Quando os “sinais” dos fatores são diferentes, o produto é igual ao produto dos valores absolutos dos fatores, e o “sinal” será sempre negativo. Multiplicação

26  5) A partir das respostas anteriores, é possível chegar a um padrão de resolução para todas as operações realizadas? Qual? Quando os sinais dos fatores são iguais, o produto é igual ao produto entre os valores absolutos dos fatores, e seu “sinal” será sempre positivo. Quando os “sinais” dos fatores são diferentes, seu produto é igual ao produto dos valores absolutos dos fatores, e seu “sinal” será sempre negativo. Multiplicação

27 Quarto Momento – Divisão a) (+9):(+3)=+3f) (-12):(-4)=+3k) (-9):(+3)=-3 b) (+10):(+5)=+2g) (-8):(-4)=+2l) (-8):(+2)=-4 c) (+6):(+3)=+2h) (-4):(-2)=+2m) (-8):(+4)=-2 d) (+12):(+4)=+3i) (-5):(-1)=+5n) (+12):(-4)=-3 e) (+14):(+2)=+7j) (-10):(-5)=+20) (+6):(-3)=-2  1) Efetue as operações abaixo com a ajuda do ábaco.

28 Divisão a) (+9):(+3)=+3f) (-12):(-4)=+3k) (-9):(+3)=-3 b) (+10):(+5)=+2g) (-8):(-4)=+2l) (-8):(+2)=-4 c) (+6):(+3)=+2h) (-4):(-2)=+2m) (-8):(+4)=-2 d) (+12):(+4)=+3i) (-5):(-1)=+5n) (+12):(-4)=-3 e) (+14):(+2)=+7j) (-10):(-5)=+20) (+6):(-3)=-2  Resultado das operações...

29  2) Analisando os itens de a a e o que você observa de comum entre as operações feitas e os resultados obtidos? Quando os “sinais” são positivos dividimos os valores absolutos dos números e o quociente terá “sinal” positivo. Divisão

30  3) Analisando os itens de f a j o que você observa de comum entre as operações feitas e os resultados obtidos? Quando os “sinais” são negativos dividimos os valores absolutos dos números e o quociente terá “sinal” positivo.

31 Divisão  4) Analisando os itens de k a o, o que você observa de comum entre as operações feitas e os resultados obtidos? Quando os “sinais” são diferentes, dividimos os valores absolutos dos números e o quociente terá “sinal” negativo.

32 Divisão  5) A partir das respostas anteriores, é possível chegar a um padrão de resolução para todas as operações realizadas? Qual? Quando os “sinais” são iguais dividimos os valores absolutos dos números e o quociente sempre terá “sinal” positivo. Quando os “sinais” são diferentes dividimos os valores absolutos dos números e o quociente sempre terá “sinal” negativo.

33  POMMER, W. M. Diversas abordagens das regras de sinais nas operações elementares em Z. FEUSP: Disponível em:. Acesso em 27 jan  RODRIGUES, L. R; OLIVEIRA, T. O. Operando números inteiros com o ábaco. Disponível em:. Acesso em 27 de jan. de Referências


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