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Controle ótimo quadrático Sistemas Lineares Controle ótimo quadrático Santa Maria, junho de 2012 Josemar de Oliveira Quevedo Lucas Vizzotto Bellinaso Prof.

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1 Controle ótimo quadrático Sistemas Lineares Controle ótimo quadrático Santa Maria, junho de 2012 Josemar de Oliveira Quevedo Lucas Vizzotto Bellinaso Prof. Dr. Vinícius Montagner

2 Controle ótimo quadrático Sistemas Lineares Tópicos Introdução Controle ótimo quadrático: equacionamento Escolha de Q e R Exemplo de projeto – Projeto mal feito – Projeto bem feito Simulação de um conversor Buck Conclusões 2

3 Controle ótimo quadrático Sistemas Lineares Introdução Realimentação de estados: – Obtenção da resposta desejada para o sistema através do cálculo do ganho K, onde u = R – K x. – Funciona se o sistema for controlável. Controle ótimo quadrático: – Técnica empregada para cálculo do ganho K. 3 u

4 Controle ótimo quadrático Sistemas Lineares Controle ótimo quadrático Desenvolvimento matemático Consiste na minimização de um índice de desempenho quadrático J. As matrizes Q e R devem ser Hermitianas e definidas positivamente: – Q = Q’ e R = R’ – v’Qv ≥ 0 e v’Rv ≥ 0, onde v é um vetor como x e u. Se o sistema for controlável, a minimização de J sempre torna o sistema estável. 4

5 Controle ótimo quadrático Sistemas Lineares Controle ótimo quadrático Desenvolvimento matemático Sendo u = - Kx, pode-se obter: 5 Se houver uma matriz P Hermitiana que: Do sistema realimentado substitui-se: O que leva a:

6 Controle ótimo quadrático Sistemas Lineares Controle ótimo quadrático Desenvolvimento matemático 6 Sendo Q + K’RK sempre positivo, pela segunda Lei de Liapunov, se o sistema for estável, então existe P que satisfaça: Se e separando os termos em K da equação acima: Pode-se obter que a minimização de J em relação a K requer:

7 Controle ótimo quadrático Sistemas Lineares Controle ótimo quadrático Desenvolvimento matemático O cálculo de K é resumido nas seguintes etapas: – Encontrar P definida positivamente que satisfaça a equação reduzida de Ricatti: – Calcular K com a seguinte equação: 7

8 Controle ótimo quadrático Sistemas Lineares Escolha de Q e R Matriz Q : – Relativa à importância do erro de cada estado do sistema. – Normalmente definida na forma diagonal, para que a importância de cada estado seja definida de forma independente. – Exemplo: q 1 refere-se à importância do erro de x 1. Quando maior q 1, mais rápido será reduzido o erro de x 1. 8

9 Controle ótimo quadrático Sistemas Lineares Escolha de Q e R Matriz R : – Relativa à energia necessária para cada entrada. – Normalmente definida na forma diagonal, para que cada entrada seja tratada independentemente. – Exemplo: r 1 refere-se à energia absorvida da entrada u 1. – Quanto maior é r 1, menor é a energia absorvida de u 1, e mais lento é o controle dependente dessa entrada. – Quanto menor r 1 maiores os ganhos relativos à entrada u 1. 9

10 Controle ótimo quadrático Sistemas Lineares Escolha de Q e R Comando do Matlab Para obter o ganho K no software Matlab, utiliza-se o seguinte comando: 10 K = lqr(A,B,Q,R) ou K = lqr(sys,Q,R) Exemplo: A = [1 2 ; 3 4]; B = [1 ; 0]; Q = [10 0; 0 1]; R = 1; K = lqr(A,B,Q,R) Valor de K obtido no Matlab: K = [ ]

11 Controle ótimo quadrático Sistemas Lineares Exemplo de projeto: modelagem do sistema Figura 1 - Sistema RLC proposto R=50Ω; C=220uF; L=886μH; Vc (referência)=50V 11

12 Controle ótimo quadrático Sistemas Lineares Exemplo de projeto: sistema ampliado Sistema aumentado: Figura 2 – Diagrama de blocos do sistema a ser controlado 12.

13 Controle ótimo quadrático Sistemas Lineares Exemplo de projeto: controlabilidade Controlabilidade: – Valores numéricos da matriz aumentada 13

14 Controle ótimo quadrático Sistemas Lineares Exemplo de projeto: definição de Q e R Projeto adequado: – Objetivo: buscar a resposta que alie os menores ganhos, menor energia de controle e resposta mais rápida do controlador sobre a planta. Ganhos: K = [-0, , ,0569]; Pólos = [ ]. 14

15 Controle ótimo quadrático Sistemas Lineares Exemplo de projeto: definição de Q e R Aaum = [A zeros(2,1);-C 0]; Baum = [B;0]; Q = [1 0 0; ; ]; R = [800]; Kah = lqr(Aaum,Baum,Q,R) K = Kah(1:2) Kl = -Kah(3); AA = [A-B*K B*Kl;-C 0]; BB = [0;0;1]; CC = [C 0]; DD = [0]; 15 t = 0:0.0001:0.12; [y,x,t] = step(AA,BB,CC,DD,1,t); [y2,X,t] = step(A,B,C,D,1,t); x1 = [1 0 0]*x'; x2 = [0 1 0]*x'; x3 = [0 0 1]*x'; subplot(2,2,1); plot(t,x1,'LineWidth',2); grid hold on plot(t,y2,'r'); subplot(2,2,2); plot(t,x2,'LineWidth',2); grid subplot(2,2,3); plot(t,x3,'LineWidth',2); grid erro=1-x1; subplot(2,2,4); plot(t,erro);grid % tensão de saída % corrente % erro integrado

16 Controle ótimo quadrático Sistemas Lineares Exemplo de projeto: definição de Q e R Figura 3 - Resposta do sistema – projeto adequado 16 Tempo de acomodação: 40 ms

17 Controle ótimo quadrático Sistemas Lineares Exemplo de projeto: definição de Q e R Figura 4 – Resposta em frequência do sistema – projeto adequado 17

18 Controle ótimo quadrático Sistemas Lineares Exemplo de projeto: definição de Q e R Projeto inadequado: – Atribuir valores à matriz Q que priorizem os estados menos relevantes para a resposta do sistema. Valores elevados reduzem o erro em relação à referência, mas aumentam o esforço de controle. Valores reduzidos aumentam o erro e diminuem o esforço de controle; – Reduzir ou elevar demasiadamente os valores da matriz R; A redução resulta em ganhos que tenham magnitude que podem não ser implementáveis na prática; O aumento eleva o erro. 18

19 Controle ótimo quadrático Sistemas Lineares Exemplo de projeto: definição de Q e R Exemplo: priorização dos estados menos relevantes para a resposta do sistema na matriz Q. – Ga nhos: K = [30, , ,1623]; – Pólos = [-9043,3 + j*8974,3; -9043,3 – j*8974,3]. 19

20 Controle ótimo quadrático Sistemas Lineares Exemplo de projeto: definição de Q e R 20 Figura 5 – Resposta em frequência - priorização dos estados menos relevantes para a resposta do sistema na matriz Q

21 Controle ótimo quadrático Sistemas Lineares Exemplo de projeto: definição de Q e R Exemplo: Valores muito reduzidos para a matriz R. – Ga nhos: K = [38,4 1000, ,1]; – Pólos = [-300; -1,1287*10^6]. 21

22 Controle ótimo quadrático Sistemas Lineares Figura 6 – Resposta em frequência – redução excessiva dos valores da matriz R 22

23 Controle ótimo quadrático Sistemas Lineares Exemplo de projeto: definição de Q e R Exemplo: Valores muito elevados para a matriz R. – Ga nhos: K = [ ]; – Pólos = [-404,5+j*2229,6; -404,5-j*2229,6]. 23

24 Controle ótimo quadrático Sistemas Lineares Exemplo de projeto: definição de Q e R Figura 7 – Resposta em frequência – aumento excessivo dos valores da matriz R 24

25 Controle ótimo quadrático Sistemas Lineares Exemplo de projeto: definição de Q e R Comparação dos projetos: Tabela 1 – Comparação das características dos projetos 25 pólosganhos p1p2k1k2kl Sistema em malha aberta - 4,55 + j*2264,6 -4,55 - j*2264,6--- Projeto adequado ,022311, ,0569 priorização inadequada dos estados em Q -9043,3 +j*8974, ,3 -j*8974,330,320115,9441-3,1623 Redução excessiva dos valores de R ,41000,2-7071,1 Aumento excessivo dos valores de R -404,5+j*2229,6 -404,5-j*2229,6-0,01180,6362-5

26 Controle ótimo quadrático Sistemas Lineares Simulação: conversor Buck Figura 8 – Conversor buck simulado sob condições nominais 26

27 Controle ótimo quadrático Sistemas Lineares Simulação: conversor Buck Condições nominais: Figura 9 – Resposta do conversor operando em malha aberta (vermelho), e com o LQR (azul) 27

28 Controle ótimo quadrático Sistemas Lineares Simulação: conversor Buck Figura 10 – Resposta do erro e erro integrado 28

29 Controle ótimo quadrático Sistemas Lineares Simulação: conversor Buck Figura 11 – Conversor buck simulado com redução de 50% da carga 29

30 Controle ótimo quadrático Sistemas Lineares Simulação: conversor Buck Redução de 50% da carga: Figura 12 – Resposta do conversor operando em malha aberta (vermelho), e com o LQR (azul) 30

31 Controle ótimo quadrático Sistemas Lineares Simulação: conversor Buck Figura 13 – Conversor buck simulado com aumento de 100% da carga 31

32 Controle ótimo quadrático Sistemas Lineares Simulação: conversor Buck Aumento de 100% da carga: Figura 14 – Resposta do conversor operando em malha aberta (vermelho), e com o LQR (azul) 32

33 Controle ótimo quadrático Sistemas Lineares Simulação: conversor Buck Figura 15 – Conversor buck simulado com variação da referência 33

34 Controle ótimo quadrático Sistemas Lineares Simulação: conversor Buck Variação da tensão de referência de 50 V para 70 V: Figura 16 – Resposta do conversor para a variação da referência 34

35 Controle ótimo quadrático Sistemas Lineares Simulação: conversor Buck Figura 17 – Conversor buck alimentado por retificador monofásico 35

36 Controle ótimo quadrático Sistemas Lineares Simulação: conversor Buck Conversor buck alimentado por retificador monofásico: Figura 18 – T ensão de saída em azul, tensão de entrada em vermelho. (a) malha fechada (b) malha aberta 36

37 Controle ótimo quadrático Sistemas Lineares Conclusões O controle LQR oferece uma forma metódica de cálculo dos ganhos de realimentação de estados a partir da minimização de um fator de desempenho quadrático J; A resposta do sistema depende dos valores projetados para as matrizes Q e R, as quais determinam a importância relativa do erro e da quantidade de energia necessária no processo de controle, respectivamente; 37

38 Controle ótimo quadrático Sistemas Lineares Conclusões As matrizes Q e R são definidas empiricamente, portanto, estão sujeitas a diferentes respostas, que serão tão boas quanto maior a faixa de valores testados, permitindo assim definir a configuração que melhor se encaixa para um dado projeto; O projeto do controlador aplicado ao conversor Buck visou obter uma resposta que levasse o nível de tensão de saída para o valor desejado com reduzida demanda de energia e rápida resposta dos estados do sistema; 38

39 Controle ótimo quadrático Sistemas Lineares Conclusões Vantagens do conversor LQR: – Permite a minimização da energia demandada pelo sistema, resultando em melhor rendimento do sistema de controle; Desvantagens do conversor LQR: – Limitação da técnica relacionada à maneira aleatória de definição dos ganhos do controlador, sendo difícil definir a condição ótima de ganhos. 39

40 Controle ótimo quadrático Sistemas Lineares Considerações finais Josemar de Oliveira Quevedo: – Lucas Vizzotto Bellinaso: – 40


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