Controle ótimo quadrático

Controle ótimo quadrático
Josemar de Oliveira Quevedo Lucas Vizzotto Bellinaso Prof. Dr. Vinícius Montagner Santa Maria, junho de 2012

Tópicos Introdução Controle ótimo quadrático: equacionamento
Escolha de Q e R Exemplo de projeto Projeto mal feito Projeto bem feito Simulação de um conversor Buck Conclusões

Introdução Realimentação de estados: Controle ótimo quadrático:
Obtenção da resposta desejada para o sistema através do cálculo do ganho K, onde u = R – K x. Funciona se o sistema for controlável. Controle ótimo quadrático: Técnica empregada para cálculo do ganho K. u

Controle ótimo quadrático Desenvolvimento matemático
Consiste na minimização de um índice de desempenho quadrático J. As matrizes Q e R devem ser Hermitianas e definidas positivamente: Q = Q’ e R = R’ v’Qv ≥ 0 e v’Rv ≥ 0 , onde v é um vetor como x e u. Se o sistema for controlável, a minimização de J sempre torna o sistema estável.

Sendo u = - Kx, pode-se obter: Se houver uma matriz P Hermitiana que: Do sistema realimentado substitui-se: O que leva a:

Sendo Q + K’RK sempre positivo, pela segunda Lei de Liapunov, se o sistema for estável, então existe P que satisfaça: Se e separando os termos em K da equação acima: Pode-se obter que a minimização de J em relação a K requer:

O cálculo de K é resumido nas seguintes etapas: Encontrar P definida positivamente que satisfaça a equação reduzida de Ricatti: Calcular K com a seguinte equação:

Escolha de Q e R Matriz Q:
Relativa à importância do erro de cada estado do sistema. Normalmente definida na forma diagonal, para que a importância de cada estado seja definida de forma independente. Exemplo: q1 refere-se à importância do erro de x1. Quando maior q1, mais rápido será reduzido o erro de x1.

Escolha de Q e R Matriz R:
Relativa à energia necessária para cada entrada. Normalmente definida na forma diagonal, para que cada entrada seja tratada independentemente. Exemplo: r1 refere-se à energia absorvida da entrada u1. Quanto maior é r1, menor é a energia absorvida de u1, e mais lento é o controle dependente dessa entrada. Quanto menor r1 maiores os ganhos relativos à entrada u1.

Escolha de Q e R Comando do Matlab
Para obter o ganho K no software Matlab, utiliza-se o seguinte comando: K = lqr(A,B,Q,R) ou K = lqr(sys,Q,R) Exemplo: A = [1 2 ; 3 4]; B = [1 ; 0]; Q = [10 0; ]; R = 1; K = lqr(A,B,Q,R) Valor de K obtido no Matlab: K = [ ]

Exemplo de projeto: modelagem do sistema
Figura 1 - Sistema RLC proposto R=50Ω; C=220uF; L=886μH; Vc (referência)=50V

Exemplo de projeto: sistema ampliado
Sistema aumentado: Figura 2 – Diagrama de blocos do sistema a ser controlado .

Exemplo de projeto: controlabilidade
Valores numéricos da matriz aumentada

Exemplo de projeto: definição de Q e R
Projeto adequado: Objetivo: buscar a resposta que alie os menores ganhos, menor energia de controle e resposta mais rápida do controlador sobre a planta. Ganhos: K = [-0, , ,0569]; Pólos = [ ].

Aaum = [A zeros(2,1);-C 0]; Baum = [B;0]; Q = [1 0 0; ; ]; R = [800]; Kah = lqr(Aaum,Baum,Q,R) K = Kah(1:2) Kl = -Kah(3); AA = [A-B*K B*Kl;-C 0]; BB = [0;0;1]; CC = [C 0]; DD = [0]; t = 0:0.0001:0.12; [y,x,t] = step(AA,BB,CC,DD,1,t); [y2,X,t] = step(A,B,C,D,1,t); x1 = [1 0 0]*x'; x2 = [0 1 0]*x'; x3 = [0 0 1]*x'; subplot(2,2,1); plot(t,x1,'LineWidth',2); grid hold on plot(t,y2,'r'); subplot(2,2,2); plot(t,x2,'LineWidth',2); grid subplot(2,2,3); plot(t,x3,'LineWidth',2); grid erro=1-x1; subplot(2,2,4); plot(t,erro);grid % tensão de saída % corrente % erro integrado

Tempo de acomodação: 40 ms Figura 3 - Resposta do sistema – projeto adequado

Figura 4 – Resposta em frequência do sistema – projeto adequado

Projeto inadequado: Atribuir valores à matriz Q que priorizem os estados menos relevantes para a resposta do sistema. Valores elevados reduzem o erro em relação à referência, mas aumentam o esforço de controle. Valores reduzidos aumentam o erro e diminuem o esforço de controle; Reduzir ou elevar demasiadamente os valores da matriz R; A redução resulta em ganhos que tenham magnitude que podem não ser implementáveis na prática; O aumento eleva o erro.

Exemplo: priorização dos estados menos relevantes para a resposta do sistema na matriz Q. Ganhos: K = [30, , ,1623]; Pólos = [-9043,3 + j*8974,3; ,3 – j*8974,3].

Figura 5 – Resposta em frequência - priorização dos estados menos relevantes para a resposta do sistema na matriz Q

Exemplo: Valores muito reduzidos para a matriz R. Ganhos: K = [38, , ,1]; Pólos = [-300; -1,1287*10^6].

Figura 6 – Resposta em frequência – redução excessiva dos valores da matriz R

Exemplo: Valores muito elevados para a matriz R. Ganhos: K = [ ]; Pólos = [-404,5+j*2229,6; -404,5-j*2229,6].

Figura 7 – Resposta em frequência – aumento excessivo dos valores da matriz R

Comparação dos projetos: Tabela 1 – Comparação das características dos projetos pólos ganhos p1 p2 k1 k2 kl Sistema em malha aberta - 4,55 + j*2264,6 -4,55 - j*2264,6 --- Projeto adequado -505 -12195 -0,0223 11,1723 -79,0569 priorização inadequada dos estados em Q -9043,3 +j*8974,3 -9043,3 -j*8974,3 30,3201 15,9441 -3,1623 Redução excessiva dos valores de R -300 38,4 1000,2 -7071,1 Aumento excessivo dos valores de R -404,5+j*2229,6 -404,5-j*2229,6 -0,0118 0,6362 -5

Simulação: conversor Buck
Figura 8 – Conversor buck simulado sob condições nominais

Condições nominais: Figura 9 – Resposta do conversor operando em malha aberta (vermelho), e com o LQR (azul)

Figura 10 – Resposta do erro e erro integrado

Figura 11 – Conversor buck simulado com redução de 50% da carga

Redução de 50% da carga: Figura 12 – Resposta do conversor operando em malha aberta (vermelho), e com o LQR (azul)

Figura 13 – Conversor buck simulado com aumento de 100% da carga

Aumento de 100% da carga: Figura 14 – Resposta do conversor operando em malha aberta (vermelho), e com o LQR (azul)

Figura 15 – Conversor buck simulado com variação da referência

Variação da tensão de referência de 50 V para 70 V: Figura 16 – Resposta do conversor para a variação da referência

Figura 17 – Conversor buck alimentado por retificador monofásico

Conversor buck alimentado por retificador monofásico: Figura 18 – Tensão de saída em azul, tensão de entrada em vermelho. (a) malha fechada (b) malha aberta

Conclusões O controle LQR oferece uma forma metódica de cálculo dos ganhos de realimentação de estados a partir da minimização de um fator de desempenho quadrático J; A resposta do sistema depende dos valores projetados para as matrizes Q e R, as quais determinam a importância relativa do erro e da quantidade de energia necessária no processo de controle, respectivamente;

Conclusões As matrizes Q e R são definidas empiricamente, portanto, estão sujeitas a diferentes respostas, que serão tão boas quanto maior a faixa de valores testados, permitindo assim definir a configuração que melhor se encaixa para um dado projeto; O projeto do controlador aplicado ao conversor Buck visou obter uma resposta que levasse o nível de tensão de saída para o valor desejado com reduzida demanda de energia e rápida resposta dos estados do sistema;

Conclusões Vantagens do conversor LQR: Desvantagens do conversor LQR:
Permite a minimização da energia demandada pelo sistema, resultando em melhor rendimento do sistema de controle; Desvantagens do conversor LQR: Limitação da técnica relacionada à maneira aleatória de definição dos ganhos do controlador, sendo difícil definir a condição ótima de ganhos.

Considerações finais Josemar de Oliveira Quevedo:
Lucas Vizzotto Bellinaso:

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